2017_2018版高中数学第一章常用逻辑用语章末复习课学案北师大版选修2_1

第一章 常用逻辑用语 学习目标 1.理解命题及四种命题的概念,掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、 必要条件的概念,掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义,会判断含 有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义,会判断全称命题、特称命题 的真假,会求含有一个量词的命题的否定. 知识点一 命题及其关系 1.判断一个语句是否为命题,关键是: (1)为__________; (2)能__________. 2.互为逆否关系的两个命题的真假性________. 3.四种命题之间的关系如图所示. 知识点二 充分条件、必要条件和充要条件 1.定义 “若 p,则 q”形式的命题为真命题是指:由条件 p 可以得到结论 q,通常记作:p? q,读作 “p 推出 q”.此时我们称 p 是 q 的充分条件,同时我们称 q 是 p 的必要条件. 一般地,如果既有 p? q,又有 q? p,就记作 p?q.此时,我们说,p 是 q 的充分必要条件, 简称充要条件. 2.特征 充分条件与必要条件具有以下两个特征: (1)对称性:若 p 是 q 的充分条件,则 q 是 p 的______条件; (2)传递性:若 p 是 q 的充分条件,q 是 r 的充分条件,则 p 是 r 的______条件.即若 p? q, q? r,则 p? r.必要条件和充分条件一样具有传递性,但若 p 是 q 的充分条件,q 是 r 的必要 条件,则 p 与 r 的关系不能确定. 知识点三 简单的逻辑联结词与量词 1.常见的逻辑联结词有“____”“____”“____”. 2.短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词. 1 3.短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为 存在量词. 4.含有全称量词的命题叫作______命题,含有存在量词的命题叫作______命题. 类型一 充分条件与必要条件、充要条件的探究 命题角度 1 充分条件与必要条件的再探究 例 1 设甲、乙、丙三个命题,若①甲是乙的充要条件;②丙是乙的充分条件,但不是乙的 必要条件,则( ) A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C.丙是甲的充要条件 D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 反思与感悟 若 p? q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件,即 q 的充分条件是 p,p 的必要条件是 q. 如果将“必要条件”理解为“必然结果”,则可认为 p 的必然结果是 q,q 是 p 的必然结果. 则 p?q 易表述为以下几种说法: p 是 q 的不充分条件,q 的不充分条件是 p; q 是 p 的不必要条件,p 的不必要条件是 q. 跟踪训练 1 使 a>b>0 成立的一个充分不必要条件是( A.a >b >0 C.ln a>ln b>0 命题角度 2 充要条件的再探究 例 2 设数列{an}、{bn}、{cn}满足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1,2,3…),证明: {an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且 bn≤bn+1(n=1,2,3,…). 2 2 ) B. log 1 a> log 1 b>0 2 a b 2 D.x >x 且 x>0.5 反思与感悟 利用充要条件的定义证明问题时,需要从两个方面加以证明,切勿漏掉其中一 个方面. 跟踪训练 2 设{an}是各项为正数的无穷数列, Ai 是边长为 ai, ai+1 的矩形的面积(i=1,2, …), 则{An}为等比数列的充要条件是( A.{an}是等比数列 B.a1,a3,…,a2n-1,…或 a2,a4,…,a2n,…是等比数列 2 ) C.a1,a3,…,a2n-1,…和 a2,a4,…,a2n,…均是等比数列 D.a1,a3,…,a2n-1,…和 a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同 类型二 等价转化思想的应用 例 3 已知 c>0,设 p:函数 y=logcx 在(0,+∞)上是减少的;q:不等式 x+|x-2c|>1 的 解集为 R.如果 p 和 q 有且仅有一个为真命题,求 c 的取值范围. 反思与感悟 等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想,本章主要体现 在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等, 即以充要条件为基础,把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学 语言形式,从而使复杂问题简单化、具体化. 跟踪训练 3 已知命题 p:(x+1)(x-5)≤0,命题 q:1-m≤x<1+m(m>0). (1)若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; (2)若 m=5,“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求实数 x 的取值范围. 类型三 分类讨论思想的应用 例 4 已知关于 x 的方程(m∈Z): mx2-4x+4=0, x2-4mx+4m2-4m-5=0, 求方程①和②的根都是整数的充要条件. ① ② 3 反思与感悟 分类讨论思想是中学数学中常用的思想方法之一,利用分类讨论思想解答问题 已成为高考中考查学生知识和能力的热点.这是因为: 其一, 分类讨论问题一般都覆盖较多的 知识点,有利于对学生知识面的考查;其二,解分类讨论问题需要有一定的分析能力,一定 的分类讨论思想与技巧,因此有利于对能力的考查;其三,分类讨论问题常与实际问题和高 等数学相联系.解决分类讨论问题的实质是:整体问题化为部分来解决,化成部分后,可以增 加题设条件,这也是解分类讨论问题总的指导思想. 跟踪训练 4 已知 p: 值范围. x-5 2 ≥2;q:x -ax≤x-a.若綈 p 是綈 q 的充分条件,求实数 a 的取 x-3 1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A

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