内蒙古赤峰市2015届高考数学模拟试卷(文科)(4月份)

内蒙古赤峰市 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (4 月份)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是符合题目要求的) 2 1. (5 分)已知集合 A={﹣2,0,2},B={x|x ﹣x﹣2=0},则 A∩B=() A.? B.{2} C.{0} D . {﹣2} 2. (5 分)在复平面内,与复数 A.第一象限 (i 是虚数单位)对应的点位于() C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

3. (5 分)设 a=log53,b=log73,c=log35,则 a,b,c 的大小关系是() A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b 4. (5 分)设公比为 q 的等比数列{an}中,an>0,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 q=() A.1+ B.1﹣ C. 1 )在区间[0, C. 0 D. ]上的最小值为() D.

5. (5 分)函数 f(x)=cos(2x﹣ A.﹣1 B. ﹣

6. (5 分)抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为 3 的概率是() A. B. C. D.

7. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+5y 的最小值为()

A.9 B . ﹣9 C . ﹣8 [来源:学科网 ZXXK] 8. (5 分)在正棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1C1=2,AA1= B1DC1 的体积为() A. B. 2 C. 1

D.8 ,D 为 BC 的中点,则三棱锥 A﹣ D.3

9. (5 分)在△ ABC 中,角 A<B 是 sinA<sinB 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 10. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该 多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()

A.2

B.
2

C. 2

D.3

11. (5 分)设 F 为抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A, B 两点,若|AB|=12,则 p=() A. B. 3 C. D.

12. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)= 的图象恰有两个公共点,则实数 a 的取值范围是() A.(0,2) B.[0,2) C.(0,2]

若直线 y=a 与函数 f(x)

D.[1,2]

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是.

14. (5 分)已知等边△ ABC 的边长为 1,D 为边 AC 的中点,则
*

?

=.

15. (5 分)数列{an}满足 a1=1,a2=3,an+2=an+1﹣an,n∈N ,则 a2015=.

16. (5 分)已知⊙O:x +y =1.若直线 y=kx+2 上总存在点 P,使得过点 P 的⊙O 的两条切线 互相垂直,则实数 k 的取值范围是.

2

2

三、解答题(共 60 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17. (12 分)已知 a,b,c 分别是锐角△ ABC 单个内角 A,B,C 的所对的边,且 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c= ,a+b=5,求△ ABC 的面积.

a=2csinA.

18. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD, M 为 AB 的中点,△ PAD 为等边三角形,且平面 PAD⊥平面 ABCD. (Ⅰ)证明:PM⊥BC. (Ⅱ)若 PD=1,求点 D 到平面 PAB 的距离.

19. (12 分)某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平,在全市范围内随机抽取了近千名学 生参加汉字听写考试,将所得数据进行分组,分组区间为:[50,60) ,[60,70) ,[70,80) , [80,90) ,[90,100],并绘制出频率分布直方图,如图所示. (Ⅰ)求频率分布直方图中的 a 值;从该市随机选取一名学生,试估计这名学生参加考试的成 绩低于 90 分的概率; (Ⅱ)设 A,B,C 三名学生的考试成绩在区间[80,90)内,M,N 两名学生的考试成绩在区 间[60,70)内,现从这 5 名学生中任选两人参加座谈会,求学生 M,N 至少有一人被选中的 概率; (Ⅲ)试估计样本的中位数落在哪个分组区间内(只需写出结论) . (注:将频率视为相应的概率)

20. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点(1,

) ,离心率为

.过椭圆右顶

点 A 的两条斜率乘积为﹣ 的直线分别交椭圆 C 于 M,N 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 MN 是否过定点 D?若过定点 D,求出点 D 的坐标;若不过,请说明理由. 21. (12 分)已知函数 f(x)=ax ﹣x +bx(a,b∈R,f′(x)为其导函数,且 x=3 时 f(x)有 极小值﹣9 (Ⅰ)求 f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)若不等式 f′(x)>k(xlnx﹣1)﹣6x﹣4(k 为正整数)对任意正实数 x 恒成立,求 k 的最大值. (解答过程可参考使用以下数据:ln7≈1.95,ln8≈2.08)
3 2

选修 4—1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,PA 为圆 O 的切线,切点为 A,直径 BC⊥OP,连接 AB 交 OP 于点 D,证 明: (Ⅰ)PA=PD; (Ⅱ)PA?AC=AD?OC.

选修 4—4:坐标系与参数方程 23.在极坐标系中,已知三点 O(0,0) ,A(2, ) ,B(2 , ) .

(Ⅰ)求经过 O,A,B 的圆 C 的极坐标方程 (Ⅱ)以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆 C2 的参数方程 (θ 是参数) ,若圆 C1 与圆 C2 相切,求实数 a 的值.

选修 4—5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|x+a|+|2x﹣1|,a∈R. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤2x 的解集包含[ ,1],求 a 的取值范围.

内蒙古赤峰市 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (4 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是符合题目要求的) 2 1. (5 分)已知集合 A={﹣2,0,2},B={x|x ﹣x﹣2=0},则 A∩B=() A.? B.{2} C.{0} D.{﹣2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 先解出集合 B,再求两集合的交集即可得出 正确选项. 解答: 解:∵A={﹣2,0,2},B={x|x ﹣x﹣2=0}={﹣1,2}, ∴A∩B={2}. 故选 B 点评: 本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键.
2

2. (5 分)在复平面内,与复数 A.第一象限

(i 是虚数单位)对应的点位于() C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接由复数代数形式的除法运算化简复数 坐标,则答案可求. 解答: 解:∵ ∴复数 = , , 求出复数 在复平面内对应的点的

在复平面内对应的点的坐标为: ( ,﹣ ) ,

位于第四象限. 故选:D. 点评: 本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,是 基础题. 3. (5 分)设 a=log53,b=log73,c=log35,则 a,b,c 的大小关系是()

A.a>b>c 考点: 专题: 分析: 解答:

B.c>b>a

C.c>a>b

D.a>c>b

对数值大小的比较. 计算题;函数的性质及应用. 由题意可由 1<3<5<7 得 0<log73<log53<1,log35>1. 解:∵1<3<5<7,

∴0<log73<log53<1, log35>1; ∴c>a>b, 故选 C. 点评: 本题考查了对数函数的单调性的应用,属于基础题.

4. (5 分)设公比为 q 的等比数列{an}中,an>0,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 q=() A.1+ B.1﹣ C. 1 D.

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 设等比数列{an}的公比为 q(q>0) ,由 a1, a3,2a2 成等差数列,运用等差数列的 性质和等比数列的通项公式,得到关于 q 的方程,解之即可. 解答: 解:由题意设等比数列{an}的公比为 q(q>0) , ∵a1, a3,2a2 成等差数列, ∴2× a3=a1+2a2, ∵a1≠0, 2 ∴q ﹣2q﹣1=0, 解得 q=1 或 q=1﹣ (舍去) , ∴公比 q=1+ . 故选 A. 点评: 本题考查了等差与等比数列的通项公式的应用问题,属于中档题. ]上的最小值为() D.

5. (5 分)函数 f(x)=cos(2x﹣ A.﹣1 B. ﹣

)在区间[0, C. 0

考点: 余弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用余弦函数的定义域和值域求得 f(x)在区间[0, ]上的最小值.

解答: 解:由 x∈[0, 取得最小值为﹣ ,

],可得 2x﹣

∈[﹣



],故当 2x﹣

=

时,函数 f(x)

故选:B. 点评: 本题主要考查余弦函数的定义域和值域,属于基础题. 6. (5 分)抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为 3 的概率是() A. B. C. D.

[来源:Z|xx|k.Com] 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 本题主要是列举出基本事件的个数,以及事件发生的个数,然后后者除以前者即可 得到答案. 解答: 解:抛掷一枚骰子结果有 6 种,用有序数对(x,y)来表示抛掷的结果 抛掷两枚质地均匀的骰子的基本事件结果有 36 种: (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1, 5) , (1,6) , (2,1) (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) (3,2) (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) , (4,5) , (4,6) , (5,1) (5, 2) (5,3) (5,4) (5,5) , (5,6) , ) , (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) , (6,6) 而向上的点数之差的绝对值为 3 的事件结果有 6 种: (1,4) , (4,1) , (2,5) , (5,2) , (3, 6) , (6,3 ) 所以向上的点数之差的绝对值为 3 的概率是 .

点评: 本题是个基础题,主要考查了学生列举基本事件的能力以及概率的求法.

7. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+5y 的最小值为()

A.9 考点: 专题: 分析: 解答:

B . ﹣9

C . ﹣8

D.8

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域,根据 z 的几何意义,利用数形结合即可得到最小值. 解:不等式组对应的平面区域如图: ,平移直线 y= , 的截距最小,

由 z=3x+5y 得 y= 则由图象可知当直线 y= 此时 z 最小, 由 ,解得

经过点 A 时直线 y=

,即 A(﹣1,﹣1) ,

此时 z=3×(﹣1)+5×(﹣1)=﹣8, 故选:C.

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 根据 z 的几何意义, 利用数形结合是解决本题的关键. 8. (5 分)在正棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1C1=2,AA1= B1DC1 的体积为() A. B. 2 C. 1 ,D 为 BC 的中点,则三棱锥 A﹣ D.3

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意求出底面 B1DC1 的面积,求出 A 到底面的距离,即可求解三棱锥的体积.[来 源:Zxxk.Com] 解答: 解:∵正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 ,D 为 BC 中点, ∴底面 B1DC1 的面积: = , . =1.

A 到底面的距离就是底面正三角形的高: 三棱锥 A﹣B1DC1 的体积为:

故选:C. 点评: 本题考查几何体的体积的求法,求解几何体的底面面积与高是解题的关键. 9. (5 分)在△ ABC 中,角 A<B 是 sinA<sinB 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件[来源:Zxxk.Com][来 源:学科网] 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 先看由角 A<B 能否得到 sinA<sinB:讨论 A,B A 两种情况,并结合 y=sinx 在(0, 和 ]单调性及 0<A+B

<π 即可得到 sinA<sinB;然后看由 sinA<sinB 能否得到 A<B:根据上一步的讨论方法以及 y=sinx 的单调性即可得到 sinA<sinB,所以得到角 A<B 是 sinA<sinB 的充要条件. 解答: 解: (1)△ ABC 中,角 A<B:

若 0<A<B≤ 若 0<A

,根据 y=sinx 在(0, ,

]上单调递增得到 sinA<sinB; ,所以 sinA<sin(π﹣B)

,∵0<A+B<π,∴

=sinB; ∴角 A<B 能得到 sinA<sinB; 即 A<B 能得到 sinA<sinB; ∴角 A<B 是 sinA<sinB 的充分条件; (2)若 sinA<sinB: A,B∈(0, A ]时,y=sinx 在 ,B 上单调递增,所以由 sinA<sinB,得到 A<B; 时,显然满足 A<B;

即 sinA<sinB 能得到 A<B; ∴A<B 是 sinA<sinB 的必要条件; 综合(1) (2)得角 A<B,是 sinA<sinB 的充要条件. 故选 C. 点评: 考查充分条件、必要条件、充要条件的概念,以及正弦函数 y=sinx 在 的单调性,通过 y=sinx 在(0,π)的图象看函数的取值情况,及条件 0<A+B<π. 10. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该 多面体的各条棱中,最长的棱的长度为() 上

A.2 B. C. 2 D.3 [来源:Z。xx。k.Com] 考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 画出几何体的直观图,分析出最长的棱长是哪一条,结合三视图的数据求出棱长, 推出结果即可. 解答: 解:几何体的直观图如图:

由已知中的三视图可得: AB=2,BD=2,C 到 BD 的中点的距离为:2, ∴BC=CD= AC= =3, = .

AD=2 , 显然 AC 最长.长为 3. 故选:D. 点评: 本题考查三视图求解几何体的棱长,考查计算能力.难度不大,属于基础题. 11. (5 分)设 F 为抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A, B 两点,若|AB|=12,则 p=() A. B. 3 C. D.
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 抛物线的方程可求得焦点坐标,进而根据斜率表示出直线的方程,与抛物线的方程 联立消去 y,进而根据韦达定理表示出 x1+x2 和 x1x2,进而利用配方法求得|x1﹣x2|,利用弦长 公式表示出 AB 的长求得 p.[来源:学科网 ZXXK] 解答: 解:由题意可知过焦点的倾斜角为 30°直线方程为 y= 代入 y =2px 可得:x ﹣7px+ ∴x1+x2=7p,x1x 2= ∴|x1﹣x2|= ∴|AB|= 解得:p= , 故选:A. 点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质.涉及直线与抛物线的关系时,往往是利用韦达 定理设而不求. |x1﹣x2|= ×4 ,
2 2

(x﹣ ) ,

=0,

=4

p,

p=12,

12. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)= 的图象恰有两个公共点,则实数 a 的取值范围是() A.(0,2) B.[0,2) C.(0,2]

若直线 y=a 与函数 f(x)

D.[1,2]

考点: 分段函数的应用;函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 画出函数 f(x)= 的取值范围. 解答: 解:函数 f(x)= 的图象如下图所示: 的图象,数形结合,可得满足条件的实数 a

由图可知:若直线 y=a 与函数 f(x)的图象恰有两个公共点, 则实数 a 的取值范围是[0,2) , 故选:B 点评: 本题考查的知识点是指数函数的图象变换,其中根据指数函数的图象及函数图象的 变换法则,得到函数 f(x)的图象,数形结合即可得到答案. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 20.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析 : 执行程序框图,依次写出每次循环得到的 a,b,c,s 的值,当 c=8 时,满足条件 c >5,退出循环,输出 s 的值为 20. 解答: 解:执行程序框图,有 a=1,b=1,s=2 c=2,s=4 不满足条件 c>5,a=1,b=2,c=3,s=7 不满足条件 c>5,a=2,b=3,c=5,s=12 不满足条件 c>5,a=3,b=5,c=8,s=20 满足条件 c>5,退出循环,输出 s 的值为 20. 故答案为:20. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,正确理解循环结构的功能是解题的关键,属于基 本知识的考查. 14. (5 分)已知等边△ ABC 的边长为 1,D 为边 AC 的中点,则

?

=



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 所求利用数量积公式解答,其中向量的夹角为 150°. 解答: 解:因为△ ABC 为等边三角形,所以 故答案为:﹣ . 点评: 本题考查了向量的数量积的定义和等边三角形的性质,属于基础题. 15. (5 分)数列{an}满 足 a1=1,a2=3,an+2=an+1﹣an,n∈N ,则 a2015=﹣3. 考点: 数列递推式.
*

?

=1×

cos150°=



专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 先分别求出{an}的前 9 项,观察这 9 项知 an 是周期为 6 的周期函数,由此可得结论. * 解答: 解:∵a1=1,a2=3,an+2=an+1﹣an(n∈N ) , ∴a3=3﹣1=2, a4=2﹣3=﹣1, a5=﹣1﹣2=﹣3, a6=﹣3+1=﹣2, a7=﹣2+3=1, a8=1+2=3, a9=3﹣1=2, … ∴an 是周期为 6 的周期函数, ∵2015=335×6+5, ∴a2015=﹣3. 故答案为:﹣3. 点评: 本题考查数列递推式,找出周期性是解决本题的关键,属于中档题. 16. (5 分)已知⊙O:x +y =1.若直线 y=kx+2 上总存在点 P,使得过点 P 的⊙O 的两条切线 互相垂直,则实数 k 的取值范围是(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) . 考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 设两个切点分别为 A、B,则由题意可得四边形 PAOB 为正方形,根据圆心 O 到直线 y=kx+2 的距离 d≤ ,进行求解即可得 k 的范围. 解答: 解:∵圆心为 O(0,0) ,半径 R=1. 设两个切点分别为 A、B,则由题意可得四边形 PAOB 为正方形, 故有 PO= R= , ∴圆心 O 到直线 y=kx+2 的距离 d≤ , 即
2 2 2



即 1+k ≥2,解得 k≥1 或 k≤﹣1, 故答案为: (﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) 点评: 本题主要考查直线和圆相交的性质,点到直线的距离公式的应用,体现了转化的数 学思想,属于中档题. [来源:Z。xx。k.Com] 三、解答题(共 60 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17. (12 分)已知 a,b,c 分别是锐角△ ABC 单个内角 A,B,C 的所对的边,且 a=2csinA. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c= ,a+b=5,求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (I)由 a=2csinA,由正弦定理可得:

,化简整理即可得出;

(II)由余弦定理可得:c =a +b ﹣2abcosC,化为 7=(a+b) ﹣3ab=25﹣3ab,可得 ab=6,再 利用三角形面积计算公式即可得出. 解答: 解: (I)∵ a=2csinA, 由正弦定理可得: , ∴ sinC= , .
2 2 2

2

2

2

2

∵C 为锐角,∴C=

(II)由余弦定理可得:c =a +b ﹣2abcosC, 2 ∴7=(a+b) ﹣3ab=25﹣3ab,化为 ab=6, ∴S△ ABC= = = .

点评: 本题主要考查正、余弦定理、三角形面积计算公式,考查了考生运算求解的能力, 属于中档题. 18. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD, M 为 AB 的中点,△ PAD 为等边三角形,且平面 PAD⊥平面 ABCD. (Ⅰ)证明:PM⊥BC. (Ⅱ)若 PD=1,求点 D 到平面 PAB 的距离.

考点: 点、线、面间的距离计算;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)取 AD 中点 O,连接 PO,OM,DM,证明 BC⊥平面 POM,可得 PM⊥BC. (Ⅱ)若 PD=1,利用 VP﹣ABD=VD﹣PAB,可求点 D 到平面 PAB 的距离. 解答: (Ⅰ)证明:取 AD 中点 O,连接 PO,OM,DM, 由已知得 PO⊥平面 ABCD, ∴PO⊥BC, ∵∠DAB=60°,AB=2AD, ∴△ADM 是正三角形, ∴OM⊥AD,OM∥BD,OM= BD, ∴OM⊥BC ∵PO∩OM=O, ∴BC⊥平面 POM, ∵PM?平面 POM, ∴PM⊥BC. (Ⅱ)解:∵PD=1,∠DAB=60°,AB=2AD=2PD=2, ∴△ABD 是直角三角形,BD⊥AD,

∴BD= ∵PO=

, , =

∴VP﹣ABO=

设点 D 到平面 P 取 AB 的距离为 h, 由 BD⊥AD,BD⊥PO, ∴BD⊥平面 ABD, ∴BD⊥PD, ∴△PBD 是直角三角形, ∴PB=2, 在△ PBD 中,PA=1,AB=PB=2, ∴△PBD 是等腰三角形, ∴S△ PAB= , = ,

∴由 VP﹣ABD=VD﹣PAB,可得 ∴h= , .

∴点 D 到平面 PAB 的距离为

点评: 本题考查线面垂直, 考查点 D 到平面 PAB 的距离 的计算, 正确运用线面垂直的判定, 利用等体积是关键. 19. (12 分)某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平,在全市范围内随机抽取了近千名学 生参加汉字听写考试,将所得数据进行分组,分组区间为:[50,60) ,[60,70) ,[70,80) , [80,90) ,[90,100],并绘制出频率分布直方图,如图所示. (Ⅰ)求频率分布直方图中的 a 值;从该市随机选取一名学生,试估计这名学生参加考试的成 绩低于 90 分的概率; (Ⅱ)设 A,B,C 三名学生的考试成绩在区间[80,90)内,M,N 两名学生的考试成绩在区 间[60,70)内,现从这 5 名学生中任选两人参加座谈会,求学生 M,N 至少有一人被选中的 概率; (Ⅲ)试估计样本的中位数落在哪个分组区间内(只需写出 结论) . (注:将频率视为相应的概率)

考点: 频率分布直方图;众数、中位数、平均数;列举法计算基本事件数及事件发生的概 率. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据频率分布直方图中频率和为 1,求出 a 的值,估计这名学生参加考试的成 绩低于 90(分)的概率; (Ⅱ)用列举法求出从这 5 位学生代表中任选两人的所有选法种数以及代表 M,N 至少有一 人被选中的选法种数,求出对应的概率; (Ⅲ)求出样本的中位数落在那个区间内. 解答: 解: (Ⅰ)根据频率分布直方图中频率和为 1,得; a=0.1﹣0.03﹣0.025﹣0.02﹣0.01=0.015, ∴估计这名学生参加考试的成绩低于 90(分)的概率为; 1﹣0.15=0.85; …(3 分) (Ⅱ)从这 5 位学生代表中任选两人的所有选法共 10 种,分别为: AB,AC,AM,AN,BC,BM,BN,CM,CN,MN; 代表 M,N 至少有一人被选中的选法共 7 种, 分别为:AM,AN,BM,BN,CM,CN,MN; 设“学生代表 M,N 至少有一人被选中”为事件 D, ∴P(D)= ; …(11 分) ;

∴学生代表 M,N 至少有一人被选中的概率为

(Ⅲ)∵0.01×10+0.2×10=0.3<0.5, 0.3+0.025×10=0.55>0.5, ∴样本的中位数落在区间[70,80)内.…(13 分) 点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了频率、频数与样本容量的应用问 题,是基础题目.

20. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点(1,

) ,离心率为

.过椭圆右顶

点 A 的两条斜率乘积为﹣ 的直线分别交椭圆 C 于 M,N 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

(Ⅱ)直线 MN 是否过定点 D?若过定点 D,求出点 D 的坐标;若不过,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)由椭圆 C: + =1(a>b>0)过点(1, ) ,离心率为 ,建立方程,求

出 a,b,即可求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 AM、AN 的方程,代入椭圆方程,求出 M,N 的坐标,进而可得 MN 的方程,即可 得出结论.

解答: 解: (I)由已知

,∴a=2,b=1,

∴椭圆 C 的标准方程为



(Ⅱ)直线 MN 过定点 D(0,0) . 证明如下:由题意,A(2,0) ,直线 AM 和直线 AN 的斜率存在且不为 0, 2 2 2 2 设 AM 的方程为 y=k(x﹣2) ,代入椭圆方程得(1+4k )x ﹣16k x+16k ﹣4=0 ∴2xM= ,

∴xM=



∴yM=k(xM﹣2)=



∴M(



) ,

∵椭圆右顶点 A 的两条斜率乘积为﹣ 的直线分别交椭圆 C 于 M,N 两点, ∴设直线 AN 的方程为 y=﹣ (x﹣2) ,

同理可得 N(



) ,

xM≠xN,即 k

时,kMN=



∴直线 MN 的方程为 y﹣

=

(x﹣

) ,即 y=

x,

∴直线 MN 过定点 D(0,0) . xM=xN,即 k= 时,直线 MN 过定点 D(0,0) . 综上所述,直线 MN 过定点 D(0,0) . 点评: 本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查直线过定点,考查学生分析 解决问题的能力,属于中档题. 21. (12 分)已知函数 f(x)=ax ﹣x +bx(a,b∈R,f′(x)为其导函数,且 x=3 时 f(x)有 极小值﹣9 (Ⅰ)求 f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)若不等式 f′(x)>k(xlnx﹣1)﹣6x﹣4(k 为正整数)对任意正实数 x 恒成立,求 k 的最大值. (解答过程可参考使用以下数据:ln7≈1.95,ln8≈2.08) 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先求出函数的导数,得到方程组,求出 a,b,从而求出函数表达式,进而求 出函数的单调区间; (Ⅱ)将问题转化为 x+ +4﹣klnx>0,记 g(x)=x+ +4﹣klnx,通过求导得到函数的
3 2

单调性,从而有 g(x)≥g(k+1)=k+6﹣kln(k+1) ,问题转化为 k+6﹣kln(k+1)>0,记 h (x)=1+ ﹣ln(x+1) ,通过求导得到函数 h(x)的单调性,从而得到 k 的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)由 f′(x)=3ax ﹣2x+b,因为函数在 x=3 时有极小值﹣9, 所以
3 2 2

,从而得 a= ,b=﹣3,
2

所求的 f(x)= x ﹣x ﹣3x,所以 f′(x)=x ﹣2x﹣3, 由 f′(x)<0 解得﹣1<x<3, 所以 f(x)的单调递减区间为(﹣1,3) .[来源:学科网] (Ⅱ)因为 f′(x)=x ﹣2x﹣3,所以 f′(x)>k(xlnx﹣1)﹣6x﹣4 等价于 x +4x+1>k(xlnx﹣1) ,即 x+ 记 g(x)=x+ +4﹣klnx,
2 2

+4﹣klnx>0,

则 g′(x)=



由 g′(x)=0,得 x=k+1, 所以 g (x) 在 (0, k+1) 上单调递减, 在 (k+1, +∞) 上单调递增, [来源:学&科&网 Z&X&X&K] 所以 g(x)≥g(k+1)=k+6﹣kln(k+1) , g(x)>0 对任意正实数 x 恒成立, 等价于 k+6﹣kln(k+1)>0,即 1+ ﹣ln(k+1)>0,

记 h(x)=1+ ﹣ln(x+1) , 则 h′(x)=﹣ ﹣ <0,所以 h(x)在(0,+∞)上单调递减, ﹣ln8<0,

又 h(6)=2﹣ln7>0,h(7)=

所以 k 的最大值为 6. 点评: 本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查了转化思想,考查了导数的应用, 是一道中档题. 选修 4—1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,PA 为圆 O 的切线,切点为 A,直径 BC⊥OP,连接 AB 交 OP 于点 D,证 明: (Ⅰ)PA=PD; (Ⅱ)PA?AC=AD?OC.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: (Ⅰ)连结 AC,由已知条件推导出∠BAP=∠ADP,即可证明 PA=PD. (Ⅱ)连结 OA,由已知条件推导出△ PAD∽△OCA,由此能证明 PA?AC=AD?OC. 解答: 证明: (Ⅰ)连结 AC, ∵直径 BC⊥OP,连接 AB 交 PO 于点 D,BC 是直径, ∴∠C+∠B=90°,∠ODB+∠B=90°, ∴∠C=∠ODB, ∵直线 PA 为圆 O 的切线,切点为 A, ∴∠C=∠BAP, ∵∠ADP=∠ODB,∴∠BAP=∠ADP, ∴PA=PD. (Ⅱ)连结 OA,由(Ⅰ)得∠PAD=∠PDA=∠ACO, ∵∠OAC=∠ACO,∴△PAD∽△OCA, ∴ ,

∴PA?AC=AD?OC.

点评: 本题考查线段相等的证明,考查线段乘积相等的证明,是中档题,解题时要认真审 题,注意弦切角定理的合理运用. 选修 4—4:坐标系与参数方程 23.在极坐标系中,已知三点 O(0,0) ,A(2, ) ,B(2 , ) .

(Ⅰ)求经过 O,A,B 的圆 C 的极坐标方程 (Ⅱ)以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆 C2 的参数方程 (θ 是参数) ,若圆 C1 与圆 C2 相切,求实数 a 的值.

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 选作题;坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)设(ρ,θ)是所求圆上的任意一点,则由 OP=OBcos(θ﹣ ) ,求出圆的极

坐标方程; 2 2 2 (Ⅱ)圆 C1 的普通方程是: (x﹣1) +(y﹣1) =2,圆 C2 的普通方程为: (x+1) +(y+1) 2 2 =a .圆 C1 与圆 C2 相切,分为外切的内切两种情况讨论,利用圆心距与半径之间的关系建立 方程,求实数 a 的值. 解答: 解: (Ⅰ)设(ρ,θ)是所求圆上的任意一点, 则 OP=OBcos(θ﹣ ) , cos(θ﹣ ) ;
2 2

故所求的圆的极坐标方程为 ρ=2 (Ⅱ)圆 C1 的方程为 ρ=2 圆心 C1(1,1) ,半径 r1= 圆 C2 的参数方程 圆心距 C1C2=2 ,

cos(θ﹣ ,

)的直角坐标方程为: (x﹣1) +(y﹣1) =2,

(θ 是参数)的普通方程为: (x+1) +(y+1) =a .

2

2

2

两圆外切时,C1C2=r1+r2= +|a|=2 ,a=± ; 两圆内切时,C1C2=|r1﹣r2|=| ﹣|a||=2 ,a=±3 综上,a=± 或 a=±3 .



点评: 本题主要考查求圆的极坐标方程的方法,考查参数方程化成普通方程、简单曲线的 极坐标方程、圆与圆的位置关系及其应用,属于基础题. 选修 4—5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|x+a|+|2x﹣1|,a∈R. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤2x 的解集包含[ ,1],求 a 的取值范围.

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)问题转化为解不等式|x+1|+|2x﹣1|≥3,通过讨论 x 的范围,从而求出不等式的 解集; (Ⅱ)问题转化为解不等式|x+a|≤1,得到不等式组 解答: 解: (Ⅰ)a=1 时,不等式 f(x)≥3 可化为: |x+1|+|2x﹣1|≥3, x≥ 时,3x≥3,解得:x≥1, ﹣1≤x< 时,2﹣x≥3,解得:x=﹣1, x<﹣1 时,﹣3x≥3,解得:x<﹣1, 综上:原不等式的解集是{x|x≤﹣1 或 x≥1}; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤2x 的解集包含[ ,1], ∴不等式可化为|x+a|≤1, 解得:﹣a﹣1≤x≤﹣a+1, 由已知得: ∴a 的范围是[﹣ ,0]. 点评: 本题考查了绝对值不等式的解法,考查转化思想,分类讨论思想,是一道中档题. ,解得:﹣ ≤a≤0, ,解出 a 的范围即可.


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