2014届高考数学大一轮复习(Word版题库含解析)2.1 函数及其表示

2.1 函数及其表示
一、选择题 1.已知 a、b 为实数,集合 M={ ,1},N={a,0},f:x→x 表示把 M 中的元素 x 映射到集 合 N 中仍为 x,则 a+b 等于( A.-1 C.1 解析:a=1,b=0,∴a+b=1. 答案:C ) B.0 D.±1

b a

2. 若函数 y=f(x)的定义域为 M={x|-2≤x≤2}, 值域为 N={y|0≤y≤2}, 则函数 y=f(x) 的图象可能是( ).

解析 (筛选法)根据函数的定义,观察得出选项 B. 答案 B 【点评】 本题解题利用的是筛选法,即根据题设条件筛选出正确选项,这种方法在选择题 中经常应用.
?2x+1,x≤0, ? 3.已知函数 f(x)=? ? ?f?x-3?,x>0,

则 f(2012)等于( B.1 D.3

)

A.-1 C.-3

解析: f(2012)=f(2009)=f(2006)=??=f(2)=f(-1)=2×(-1)+1=-1. 答案: A 1 1 4.若函数 y=f(x)的值域是[ ,3],则函数 F(x)=f(x)+ 的值域是( 2 f?x? 1 A.[ ,3] 2 5 10 C.[ , ] 2 3 10 B.[2, ] 3 10 D.[3, ] 3 )

1 1 1 解析: 令 t=f(x),则 ≤t≤3,由函数 g(t)=t+ 在区间[ ,1]上是减函数,在[1,3] 2 t 2

1 5 10 10 上是增函数,且 g( )= ,g(1)=2,g(3)= ,可得值域为[2, ],选 B. 2 2 3 3 答案: B 5.对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=?
? ?a,a-b≤1, ?b,a-b>1. ?

设函数 f(x)=(x -2)?(x-x ), ).

2

2

x∈R.若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是(
3? ? A.(-∞,-2]∪?-1, ? 2? ? 3? ? B.(-∞,-2]∪?-1,- ? 4? ? 1? ?1 ? ? C.?-1, ?∪? ,+∞? 4? ?4 ? ? 3? ?1 ? ? D.?-1,- ?∪? ,+∞? 4? ?4 ? ? 3 2 2 2 解析 当(x -2)-(x-x )≤1,即-1≤x≤ 时,f(x)=x -2; 2 3 2 2 2 当 x -2-(x-x )>1,即 x<-1 或 x> 时,f(x)=x-x , 2

? ?x -2 ∴f(x)=? ? ?x-x
2 2

?-1≤x≤3?, ? 2? ? ? ?x<-1或x>3?, ? ? 2? ?
3 4

f(x)的图象如图所示,c≤-2 或-1<c<- .

答案 B 6.如下图,是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若 用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( ).

解析 据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加, 在第二段时间内, 张 大爷离家的距离不变,第三段时间内,张大爷离家的距离随时间的增加而减少,最后回到始 点位置,对比各选项,只有 D 选项符合条件. 答案 D 7 . 根 据 统 计 , 一 名 工 人 组 装 第 x 件 某 产 品 所 用 的 时 间 ( 单 位 : 分 钟 ) 为 f(x) =

c ? ? x,x<A, ?c ? ? A,x≥A

(A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产

品用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是( A.75,25 C.60,25 解析 (回顾检验法)∵

). B.75,16 D.60,16

c c =15,故 A>4,则有 =30,解得 c=60,A=16,将 c=60,A= 2 A

16 代入解析式检验知正确.故选 D. 答案 D 【点评】 解决分段函数的关键在于“对号入座”,解出结果后代入对应解析式检验是否正 确.

二、填空题 1 1 2 8.已知 f(x- )=x + 2,则函数 f(3)=________.

x

x

1 1 1 2 2 解析:∵f(x- )=x + 2=(x- ) +2,

x

x

x

∴f(x)=x +2,∴f(3)=3 +2=11. 答案:11 9.已知函数 f(x)、g(x)分别由下表给出:

2

2

x f(x)

1 1

2 3

3 1

x g(x)

1 3

2 2

3 1

则 f[g(1)]的值为________;满足 f[g(x)]>g[f(x)]的 x 的值是________. 解析 g(1)=3

f[g(1)]=1 f[g(2)]=3 f[g(3)]=1

g[f(1)]=3 g[f(2)]=1 g[f(3)]=3

g(2)=2 g(3)=1

因此满足 f(g(x))>g(f(x))的 x=2. 答案 1 2 的定义域为 R,则 a 的取值范围为________. 的定义域为 R,
2

10.若函数 f(x)= 解析 ∵y=

∴对一切 x∈R 都有 2x +2ax-a≥1 恒成立, 即 x +2ax-a≥0 恒成立.∴Δ ≤0 成立,即 4a +4a≤0, ∴-1≤a≤0. 答案 [-1,0] 11.函数 y= log2?4-x?的定义域是________. 解析: 要使函数有意义,应有 log2(4-x)≥0, ∵4-x≥1,∴x≤3. 答案:(-∞,3]
? ?lgx,x>0, 12.设 f(x)=? x ?10 ,x≤0, ?
2 2

则 f(f(-2))=________.

? ?lgx,x>0, 解析:因为 f(x)=? x ?10 ,x≤0, ?

又-2<0,
-2

∴f(-2)=10 答案:-2 三、解答题

-2,

10 >0,f(10 )=lg10 =-2.

-2

-2

1+x ?x? ?1? 13.设函数 f(x)=ln ,求函数 g(x)=f? ?+f? ?的定义域. 1-x ?2? ?x? 1+x 解析: 由 >0 知-1<x<1, 1-x

x -1< <1 ? ? 2 ∴? 1 -1< <1 ? ? x

① ,由①得-2<x<2,由②得 x>1 或 x<-1,因此-2<x<-1 或 1<x<2. ②

?x? ?1? 所以函数 g(x)=f? ?+f? ?的定义域是(-2,-1)∪(1,2). ?2? ?x?
14.记 f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合 M,函数 g(x)= 求: (1)集合 M、N; (2)集合 M∩N,M∪N.
? ? ? 3 解 (1)M={x|2x-3>0}=?x?x> ? ? 2 ? ? ? ?, ? ?

1-

2 的定义域为集合 N, x-1

N=?x?1- x-1 ? ? ?

? ?

?

2

≥0?=?x?
? ? ? ?

? ?

? ?

?x-3 ?x-1

≥0?={x|x≥3,或 x<1};
? ? ? ? ?. ? ?

? ?

? ? 3 ? (2)M∩N={x|x≥3},M∪N=?x?x<1或x> 2 ? ? ?
2

15.已知 g(x)=-x -3,f(x)是二次函数,当 x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为 1,且 f(x) +g(x)为奇函数,求函数 f(x)的表达式. 解 设 f(x)=ax +bx+c(a≠0), 则 f(x)+g(x)=(a-1)x +bx+c-3, 又 f(x)+g(x)为奇函数,∴a=1,c=3. ∴f(x)=x +bx+3,对称轴 x=- . 2 当- ≥2,即 b≤-4 时,f(x)在[-1,2]上为减函数, 2 ∴f(x)的最小值为 f(2)=4+2b+3=1. ∴b=-3.∴此时无解. 当-1<- <2,即-4<b<2 时, 2
2 2 2

b

b

b

b ? b? f(x)min=f?- ?=3- =1,∴b=±2 2. 4 ? 2?
∴b=-2 2,此时 f(x)=x -2 2x+3, 当- ≤-1,即 b≥2 时,f(x)在[-1,2]上为增函数, 2 ∴f(x)的最小值为 f(-1)=4-b=1. ∴b=3.∴f(x)=x +3x+3. 综上所述,f(x)=x -2 2x+3,或 f(x)=x +3x+3. 16.我国是水资源相对匮乏的国家,为鼓励节约用水,某市打算制定一项水费措施,规定每 季度每人用水不超过 5 吨时, 每吨水费的价格(基本消费价)为 1.3 元, 若超过 5 吨而不超过
2 2 2 2

2

b

6 吨时, 超过部分的水费加收 200%, 若超过 6 吨而不超过 7 吨时, 超过部分的水费加收 400%, 如果某人本季度实际用水量为 x(x≤7)吨,试计算本季度他应缴纳的水费. 解:设 y 表示本季度应缴纳的水费(元), 当 0<x≤5 时,y=1.3x; 当 5<x≤6 时,应将 x 分成两部分: 5 与(x-5)分别计算,第一部分为基本 消费 1.3×5,第二部分由基本消费与加价消费组成,即 1.3×(x-5)+1.3(x-5)×200% =3.9x-19.5, 此时 y=1.3×5+3.9x-19.5 =3.9x-13, 当 6<x≤7 时,同理 y=6.5x-28.6 综上可知: 1.3x, 0<x≤5 ? ? y=?3.9x-13, 5<x≤6 ? ?6.5x-28.6, 6<x≤7


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