2.3.1直线与平面垂直的判定(第二课时)优质课


复习旧知
1.直线与平面垂直的定义: 如果一条直线 l 垂直于平面α 内的任意一条 直线,我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直。 记作:l ? ?

线面垂直
垂足

线线垂直
平面? 的垂线

l α
P

直线 l 的垂面

2.直线和平面垂直的判定定理:
文字语言:一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直,则该直线与此平面垂直。
符号语言: 垂直



相交

? ? ? a ?? ?? l ?? ? ? b ?? ? a ?b ? A ?

l?a l ?b

图形语言:

l

b
A

a

B 垂线 C
垂足

直线与平面所成的角
斜线

?

A

C

一条直线和一个平 面相交,但不和这个平 面垂直,这条直线叫做 这个平面的斜线,斜线 和平面的交点叫做斜足。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线, 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上 的射影;

?

?

平面的一条斜线和 它在平面上的射影所成 的锐角,叫做这条直线 和这个平面所成的角。

一条直线垂直与平面,它们所成的角是直角; 一条直线和平面平行,或在平面内,它们所 成的角是0 ?的角。

直线和平面所成角的范围是[0?,90?]。

例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,
(1)求直线A1B和平面 A1B1CD所成的角. 关键就是如何作出平 面A1B1CD的垂线
A1

D1 B1

C1

O D C B

A

分析:找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影, 就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角

解:连结BC1交B1C于点O, B1 一作 A1 连结A1O,设正方体的棱长为a, O ∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B, D C ∴A1B1 ⊥平面BCC1B1 ∴A1B1A ⊥BC1 B 又∵ BC1⊥B1C,∴BC1⊥平面A1B1CD 二证 ∴ A1O为斜线A1B在平面A 1B1CD内的射影, ∠B A1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.
2 2

D1

C1

a 在Rt△A1BO中,A1B= 2 a BO= 三计 1 所以 BO= A1B ∠BAO=30° 算 2 因此,直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°

P 为△ABC 所在平面外一点,O 为 P 在平面 ABC 上的射影. 外心 ; (1)若 PA =PB=PC,则 O 是△ABC 的_____ 垂心; (2)若 PA ⊥BC,PB⊥AC,则 O 是△ABC 的_____ (3)若 P 到△ABC 三边的距离相等,且 O 在△ABC 内部,则 内心 ; O 是△ABC 的______ 垂心 . (4)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直,则 O 是△ABC 的_____

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1

D A B

C

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

线段B1O

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1

D
O

C B

A

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1
E

线段B1E
D1 B1 C1

D A B

C

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1

线段C1D
C1 B1

D A B

C

归纳小结
1.直线与平面垂直的概念
2. 线面角的概念及范围 3.直线与平面垂直的判定 (1)利用定义;垂直于平面内任意一条直线
? ? ? ? 范围: 0 , 90 ? ?

(2)利用判定定理.
线线垂直 线面垂直

3.数学思想方法:转化的思想 空间问题

平面问题

? 如图,直四棱柱 ABCD- A1B1C1D1(侧棱与底面垂直的 棱柱称为直棱柱)中,底面四边 形ABCD满足什么条 件时, A1C⊥B1D1?
A1 B1 C1 D1


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