江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(二)数学试题(WORD解析版)

江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(二) 数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸 的指定位置上. 1. (5 分) (2013?镇江二模)已知 i 是虚数单位,复数 对应的点在第 四 象限.

考点:复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:熟练掌握复数的运算法则和几何意义是解题的关键. 解答: 解:∵ = 所对应的点为(2,﹣1)位于第四象限. 故答案为四. 点评:熟练掌握复数的运算法则和几何意义是解题的关键. 2. (5 分) (2013?镇江二模) 设全集 U=R, 集合 A={x|﹣1≤x≤3}, B={x|x>1}, 则 A∩ ?UB 考点:交、并、补集的混合运算. 分析:本题考查集合的运算,由于两个集合已经化简,故直接运算得出答案即可. 解答:解:∵ 全集 U=R,集合 A={x|﹣1≤x≤3},B={x|x>1}, ∴ ?UB)={x|x≤1} ∴ A∩ (?UB)={x|﹣1≤x≤1} 故答案为{x|﹣1≤x≤1} 点评:本题考查集合的交、 并、 补的混合运算, 熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键. 本 题考查了推理判断的能力. 3. (5 分) (2013?镇江二模)已知数列{an}的通项公式为 an=2n﹣1,则数据 a1,a2,a3,a4,a5 的方 差为 8 . 考点:极差、方差与标准差. 专题:概率与统计. 分析:先根据数列{an}的通项公式得出此数列的前 5 项,再计算出平均数,再根据方差的公式计算. 解答:解:数列{an}的通项公式为 an=2n﹣1,则数据 a1,a2,a3,a4,a5 即数据 1,3,5,7,9,它 们的平均数= (1+3+5+7+9)=5; 则其方差= (16+4+0+4+16)=8. 故答案为:8. 点评:本题考查数列的通项公式及方差的定义,属于基础题. 4. (5 分) (2013?镇江二模)“x>3”是“x>5”的 必要不充分 条件(请在“充要、充分不必要、必 要不充分、既不充分也不必要”中选择一个合适的填空) . {x|﹣1≤x≤1} .

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:不等式的解法及应用. 分析:由题意,由前者不能推出后者,由后者可以推出前者,故可得答案. 解答:解:若“x>3”,则“x>5”不成立,如当 x=4. 反之,“x>5”时“x>3”,一定成立, 则“x>3”是“x>5”的 必要不充分条件. 故答案为:必要不充分. 点评:本题主要考查四种条件的判断,属于基础题.

5. (5 分) (2013?镇江二模) 若双曲线

的一个焦点到一条渐近线的距离等于



则此双曲线方程为



考点:双曲线的标准方程. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 不妨取双曲线 x ﹣ 的距离为 解答: 解:∵ 双曲线方程为 x ﹣ ∴ 其右焦点 F( ∵ 点 F 到渐近线 y= ∴ ∴ a=3. ∴ 则此双曲线方程为:x ﹣
2 2 2

=1(a>0)的右焦点 F(

,0) ,利用点 F 到其一条渐近线 y=

x

可求得 a 的值,从而可得答案. =1(a>0) ,

,0) ,y= x 为它的一条渐近线, x 的距离为 , ,

=

=

=1.

故答案为:x ﹣

2

=1.

点评:本题考查双曲线的标准方程,考查点到直线间的距离,求得 a 的值是关键,属于中档题. 6. (5 分) (2013?镇江二模)根据如图所示的流程图,输出的结果 T 为 .

考点:程序框图. 专题:图表型. 分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算 不满足循环条件 n≤4 时,变量 T 的值,模拟程序的运行,用表格对程序运行过程中各变量的 值进行分析,不难得到输出结果. 解答:解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 是否继续循环 T n 循环前/1 2 第一圈 第二圈 第四圈 第五圈 是 是 是 否 3 4 5

故最后输出的 T 值为: 故答案为: .

点评:求一个程序的运行结果我们常用模拟运行的方法,但在模拟过程中要注意对变量值的管理、 计算及循环条件的判断.必要时可以用表格管理数据. 7. (5 分) (2013?镇江二模)在 1 和 9 之间插入三个正数,使这五个数成等比数列,则插入的三个 数的和为 . 考点:等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:设出插入的三个正数,输出构成等比数列公比,由等比数列的通项公式求出公比,然后分别 求出插入的三个数,则答案可求.

解答:解:设插入的 3 个正数分别为 a,b,c,构成的等比数列的公比为 q, 则,9=1×q ,所以 则 a= b= ,
4

, ,

c= . 所以插入的三个数的和为 . 故答案为 . 点评:本题考查了等比数列的通项公式,是基础的运算题.

8. (5 分) (2013?镇江二模)在不等式组

所表示的平面区域内所有的格点(横、纵坐标均

为整数的点称为格点)中任取 3 个点,则该 3 点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为



考点:古典概型及其概率计算公式;简单线性规划. 专题:计算题;作图题. 分析:根据约束条件作出可行域,找到可行域内的格点,然后求出从所有格点中任取三点的取法种 数,排除共线的取法种数,然后利用古典概型概率计算公式求解. 解答: 解:由 ,得到可行域如图中阴影部分,

则阴影部分中的格点有(2,1) , (2,2) , (3,1) , (3,2) , (3,3)共 5 个点, 从中任取 3 个点,所有的取法种数为 种,

其中只有 1 种情况共线,即取(3,1) , (3,2) , (3,3)三点时共线,不能构成三角形, 则 3 点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为 p= 故答案为 . .

点评:本题考查了简单的线性规划,考查了古典概型及其概率计算公式,解答的关键是正确画出图 形,找到可行域,并求出格点的个数,是基础题.

9. (5 分) (2013?镇江二模)在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与相邻两边所成的角为 α,β,则 cos α+cos β=1.类比到空间中一个正确命题是:在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,对角线 AC1 与相 2 2 2 邻三个面所成的角为 α,β,γ,则有 cos α+cos β+cos γ=2 . 考点:类比推理. 专题:规律型. 分析:本题考查的知识点是类比推理,由在长方形中,设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成 的角分别是 α,β,则有 cos α+cos β=1,根据长方体性质可以类比推断出空间性质,从而得 出答案. 解答:解:我们将平面中的两维性质,类比推断到空间中的三维性质. 由在长方形中,设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是 α,β, 则有 cos α+cos β=1, 我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质, ∵ 长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 对角线 AC1 与过 A 点的三个面 ABCD,AA1B1B、AA1D1D 所成的角分别为 α,β,γ, ∴ cosα=
2 2 2 2 2 2 2

,cosβ=
2 2

,cosγ=



∴ cos α+cos β+cos γ =
2

=
2 2

=2.

故答案为:cos α+cos β+cos γ=2.

点评:本题考查的知识点是类比推理,在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时,常用的 思路有:由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质,由平面图形中线的性质类比 推理出空间中面的性质,由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质,或是将平面中 的两维性质,类比推断到空间中的三维性质. 10. (5 分) (2013?镇江二模)已知圆 C: (x﹣a) +(y﹣a) =1(a>0)与直线 y=3x 相交于 P,Q 两点,若∠ PCQ=90°,则实数 a= .
2 2

考点:直线与圆的位置关系. 专题:直线与圆. 分析: 利用∠ PCQ=90°? (d 为圆心 C 到直线 y=3x 的距离)即可得出.

解答:解:设圆心 C 到直线 y=3x 的距离为 d, ∵ ∠ PCQ=90°,∴ ∴ = .

,又 a>0,解得 a=



故答案为 点评:

. (d 为圆心 C 到直线 y=3x 的距离)是解题的关键.
x

正确得出∠ PCQ=90°?

11. (5 分) (2013?镇江二模)分别在曲线 y=e 与直线 y=ex﹣1 上各取一点 M 与 N,则 MN 的最小 值为 .

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;点到直线的距离公式. 专题:导数的综合应用. x 分析:欲求 MN 的最小值,我们先平移直线 y=ex﹣1 与曲线 y=e 相切,如图,则切线与直线 y=ex ﹣1 间的距离即可所求的 MN 的最小值.利用直线平行斜率相等求出切线的斜率,再利用导 数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率,列出方程解得切线的方程后利用平行线的 距离公式求解即可. 解答:解:∵ 切线与直线 y=ex﹣1 平行,斜率为 e, 设切点 M(a,b) , 又切线在点 a 的斜率为 y′ |x=a=e , a ∴ e =e,∴ a=1, ∴ 切点的坐标 M(1,e) , ∴ 切线方程为 y﹣e=e(x﹣1) ,即 ex﹣y=0; 又直线 y=ex﹣1,即 ex﹣y﹣1=0 ∴ d= = .
a

则 MN 的最小值为



故答案为:



点评:本题考查导数的几何意义:导数在切点处的值是切线的斜率.属于基础题.

12. (5 分) (2013?镇江二模)已知向量 , 满足 恒成立,则 与 的夹角大小为

, .

,且对一切实数 x,

考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:平面向量及应用. 分析: 由已知 利用模的计算公式得 化为 ,即 , 由于对一切实数 x, +4 解答: 解:由 得 , ∵ ∴ ∵ 对一切实数 x, ∴ +4 (即上式)恒成立, ≤0,化为 , . , (即上式)恒成立,必须满足 ≤0,解出即可. ,化为



, 得 ∵ 故答案为 . , ,∴ .

点评:熟练掌握向量模的计算公式、数量积运算、恒成立问题的等价转化是解题的关键.

13. (5 分) (2013?镇江二模)已知 x,y 均为正数,

,且满足



,则 的值为



考点:函数与方程的综合运用. 专题:转化思想;三角函数的图像与性质. 分析: 2 2 由 , 两边同乘以 x +y 得到





代入上式得
6 6 2

,可化为
2



利用立方和公式可以把 cos θ+sin θ 化为 1﹣3sin θcos θ,可化为

,与

sin θ+cos θ=1 联立

2

2

,即可解得 sin θ 与 cos θ.再根据

2

2

得 解答: 解:∵ ,∴

, 即可得出 sinθ 与 cosθ, 即可求出答案.

,化



, (*)









,代人(*)得



化为
6 6 2 2


4 4 2 2 2 2 2 2 2

∵ cos θ+sin θ=(cos θ+sin θ) (cos θ+sin θ﹣sin θcos θ)=1×[(cos θ+sin θ) ﹣3sin θcos θ]=1 2 2 ﹣3sin θcos θ, ∴ ,

化为

, 与 sin θ+cos θ=1 联立

2

2

, 解得









.故取

.解得

,∴



故答案为 . 点评:本题综合考查了三角函数的恒等变形、单调性、平方关系、立方和公式、配方法、方程思想 等基础知识与基本方法,需要较强的推理能力和变形能力、计算能力.

14. (5 分) (2013?镇江二模)已知 a 为正的常数,若不等式 成立,则 a 的最大值为 8 . 考点:函数恒成立问题. 专题:综合题;函数的性质及应用. 分析: 依题意,可将 a 分离出来,构造函数,f(x)=4(1+ + 增的性质求其最小值,即可求得 a 的最大值. 解答: 解:∵ a>0,x≥0, ∴ ≥1+ ﹣ ≥1+ ﹣ ,

对一切非负实数 x 恒

) (x≥0) ,利用该函数的单调递

=

=

=



∴ 0<a≤4(1+ + 令 f(x)=4(1+ + ∵ f′ (x)=4( + ∴ f(x)=4(1+ +

)对一切非负实数 x 恒成立. ) (x≥0) ,则 0<a≤f(x)min. )>0, ) (x≥0)在[0,+∞)上单调递增,

∴ f(x)min=f(0)=8. ∴ 0<a≤8. 故 a 的最大值为 8. 故答案为:8. 点评: 本题考查函数恒成立问题,分离参数 a,构造函数 f(x)=4(1+ + 也是难点,考查创新思维与转化思想,属于难题. 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把 答案写在答题纸的指定区域内. 15. (14 分) (2013?镇江二模) 如图, 在△ ABC 中, . (1)求 sin∠ BAC 和 sinC; (2)若 ,求 AC 的长. , 角 A 的平分线 AD 交 BC 于点 D, 设∠ BAD=α, ) (x>0)是关键,

考点:正弦定理;同角三角函数间的基本关系. 专题:解三角形. 分析:(1)利用三角函数平方关系、倍角公式、诱导公式、两角和的正弦公式即可得出; (2)利用正弦定理、向量的数量积即可得出. 解答: 解: (1)∵ , ,

∴ 则 sin∠ BAC=sin2α=

. = .
2

∴ cos∠ BAC=cos2α=2cos α﹣1= sinC= = (2)由正弦定理得 = ,∴



=

. ,∴ BC,



,∴ . ,得



由上两式解得 又由

,解得 AC=5.

点评:本题综合考查了三角函数平方关系、倍角公式、诱导公式、两角和的正弦公式、正弦定理、 向量的数量积等知识与方法.需要较强的推理能力和计算能力. 16. (14 分) (2013?镇江二模) 已知四棱锥 S﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 侧面 SAB 是等边三角形,侧面 SCD 是以 CD 为斜边的直角三角形,E 为 CD 的中点,M 为 SB 的中点. (1)求证:CM∥ 平面 SAE; (2)求证:SE⊥ 平面 SAB; (3)求三棱锥 S﹣AED 的体积.

考点:直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题:计算题;证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)取 SA 的中点 N,连接 MN.△ ASB 中利用中位线定理,证出 MN∥ AB 且 MN= AB,而 正方形 ABCD 中 E 为 CD 中点,可得 CE∥ AB 且 CE= AB,从而得到 CENM 为平行四边形, 得 CM∥ EN.最后用线面平行的判定定理,即可证出 CM∥ 平面 SAE; (2)Rt△ SCD 中,E 为斜边中点,可得 SE= CD=1.△ ESA 中算出 SA +SB =5=AB ,从而得
2 2 2

到 ES⊥ SA,同理△ ESB 中证出 ES⊥ SB,结合 SA、SB 是平面 SAB 内的相交直线,可证出 SE⊥ 平面 SAB. (3)根据正方形的性质可得 S△AED= S△ABE,从而得到 VS﹣AED= VS﹣AEB= VE﹣SAB,由(2) 得 SE 是三棱锥 E﹣SAB 的高, 从而算出 VE﹣SAB= 解答:解: (1)取 SA 的中点 N,连接 MN, ∵ M 为 SB 的中点,N 为 SA 的中点,∴ MN∥ AB,且 MN= AB, 又 E 是 CD 的中点,∴ CE∥ AB,且 CE= AB, ∴ MN∥ CE,且 MN=CE,∴ 四边形 CENM 为平行四边形, ∴ CM∥ EN,又 EN?平面 SAE,CM?平面 SAE, ∴ CM∥ 平面 SAE. (2)∵ 侧面 SCD 为直角三角形,∠ CSD=90°,E 为 CD 的中点, ∴ SE= CD=1, 又∵ SA=AB=2,AE= , 2 2 2 ∴ SA +SB =5=AB ,可得 ES⊥ SA,同理可证 ES⊥ SB, ∵ SA∩ SB=S,SA、SB?平面 SAB,∴ SE⊥ 平面 SAB. (3)根据题意,得 VS﹣AED= VS﹣AEB= VE﹣SAB, ∵ SE⊥ 平面 SAB,可得 SE 是三棱锥 E﹣SAB 的高 ∴ VE﹣SAB= S△SAB×SE= = = . , 由此即可得到 VS﹣AED= VE﹣SAB= .

因此,三棱锥 S﹣AED 的体积为 VS﹣AED= VE﹣SAB= ×

点评:本题在四棱锥中证明线面平行、线面垂直,并求三棱锥的体积.着重考查了空间直线与平面 平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识,属于中档题. 17. (14 分) (2013?镇江二模)已知等差数列{an}的公差 d 不为零,且 ,a2=a4+a6.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求满足 Sn﹣2an﹣20>0 的所有正整数 n 的集合. 考点:等差数列的通项公式;数列的函数特性;等差数列的前 n 项和. 专题:计算题;等差数列与等比数列.

分析:(1)由

,a2=a4+a6.利用等差数列的通项公式建立关于 d,a1,的方程,解方程可求

a1,d,进而可求 an (2)由等差数列的求和公式可求 sn,代入已知不等式 Sn﹣2an﹣20>0 可求 n 的范围,进而 可求 解答:解(1)由 ,a2=a4+a6.

可得 联立可得,d +5d=0 ∵ d≠0 ∴ d=﹣5,a1=35 ∴ an=35+(n﹣1)×(﹣5)=﹣5n+40 (2) ∵ Sn﹣2an﹣20>0 ∴ 整理可得,n ﹣19n+40<0 则 即 ∵ n∈N ∴ 所求的 n 的集合{3,4,5…16} 点评:本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题
* 2 2

18. (16 分) (2013?镇江二模)如图,设 A,B 分别为椭圆

的右顶点和

上顶点,过原点 O 作直线交线段 AB 于点 M(异于点 A,B) ,交椭圆于 C,D 两点(点 C 在第一象 限内) ,△ ABC 和△ ABD 的面积分别为 S1 与 S2. (1)若 M 是线段 AB 的中点,直线 OM 的方程为 ,求椭圆的离心率;

(2)当点 M 在线段 AB 上运动时,求

的最大值.

考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由中点坐标公式求出 A,B 的中点 M,把 M 坐标代入直线 y= 得到 a 与 b 的关系,结 合 a =b +c 可求椭圆的离心率; (2)设出 C 和 D 点的坐标,求出直线 AB 的方程,由点到直线的距离公式求出 C 和 D 到直 线 AB 的距离,因为△ ABC 和△ ABD 同底,所以把两个三角形的面积比转化为 C,D 到直线 AB 的距离比,然后借助于基本不等式求最小值. 解答: 解: (1)由题设,得 A(a,0) ,B(0,b) ,则点 M( ) .
2 2 2

因为点 M 在直线 y= 上,所以

,则 b= .

从而



故椭圆的离心率 e=



(2)设 C(x0,y0) (x0>0,y0>0) ,则 由题设,直线 AB 的方程为 因为点 C 在直线 AB 的上方, 所以点 C 到直线 AB 的距离 同理可得点 D 到直线 AB 的距离 = =

,D(﹣x0,﹣y0) .

,即 ax+by﹣ab=0.





因为

,即

,且 bx0>0,ay0>0.

所以 当且仅当 bx0=ay0 时等号成立.

=





,得



因此,



所以,当

时,

取得最大值,最大值为 3﹣2



点评:本题考查了椭圆的简单几何性质,考查了直线与圆锥曲线的关系,突出考查了数形结合和等 价转化等数学思想方法,解答此题的关键是运用线性规划的知识去掉点到直线的距离中的绝 对值.属难题. 19. (16 分) (2013?镇江二模)如图所示,有两条道路 OM 与 ON,∠ MON=60°,现要铺设三条下水 管道 OA,OB,AB(其中 A,B 分别在 OM,ON 上) ,若下水管道的总长度为 3km,设 OA=a(km) , OB=b(km) . (1)求 b 关于 a 的函数表达式,并指出 a 的取值范围; (2) 已知点 P 处有一个污水总管的接口, 点 P 到 OM 的距离 PH 为 , 到点 O 的距离 PO 为 ,

问下水管道 AB 能否经过污水总管的接口点 P?若能,求出 a 的值,若不能,请说明理由.

考点:根据实际问题选择函数类型;余弦定理. 专题:应用题. 分析:(1)把 AB 的长度用含有 a,b 的代数式表示,在三角形 AOB 中利用余弦定理得到 b 和 a 的 关系,即得到 b 关于 a 的函数表达式,利用三角形两边之和大于第三边得到 a 的取值范围; (2)利用解析法,以 O 为原点,OM 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,求出 P 点的坐标, 假设 AB 过点 P,设出 A,B 的坐标,写出 A,B 所在直线方程,把 P 点坐标代入直线方程求 出 a 的值,在定义域当中,则假设成立,否则,不成立. 解答:解: (1)∵ OA+OB+AB=3,∴ AB=3﹣a﹣b. 2 2 2 ∵ ∠ MON=60°,由余弦定理,得 AB =a +b ﹣2abcos60°.

∴ (3﹣a﹣b) =a +b +ab. 整理,得 .

2

2

2

由 a>0,b>0,3﹣a﹣b>0,及 a+b>3﹣a﹣b,a+3﹣a﹣b>b,b+3﹣a﹣b>a,得 0<a< . 综上, .

(2)以 O 为原点,OM 所在直线为 x 轴,建立如图所示直角坐标系.

∵ 假设 AB 过点 P. ∵ A(a,0) ,

,∴ 点 P(

) .

,即 B



∴ 直线 AP 方程为

,即



将点 B 代入,得 化简,得 6a ﹣10a+3=0. ∴ . . 答:下水管道 AB 能经过污水总管的接口点 P,
2



(km) .

点评:本题考查了根据实际问题选择函数模型,考查了余弦定理在解三角形中的应用,注意实际问 题要有实际意义,是中档题. 20. (16 分) (2013?镇江二模)已知 a 为正的常数,函数 f(x)=|ax﹣x |+lnx. (1)若 a=2,求函数 f(x)的单调增区间; (2)设 ,求函数 g(x)在区间[1,e]上的最小值.
2

考点:变化的快慢与变化率;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:导数的综合应用. 分析:(1)把 a=2 代入函数解析式,由绝对值内的代数式等于 0 求得 x 的值,由解得的 x 的值把定 义域分段,去绝对值后求导,利用导函数求每一段内的函数的增区间,则 a=2 时的函数的增 区间可求; (2)把 f(x)的解析式代入 ,利用 a 与 1 和 e 的大小比较去绝对值,然后

求出去绝对值后的函数的导函数,利用函数的单调性求出函数在区间[1,e]上的最小值.最后 把求得的函数的最小值写成分段函数的形式即可. 2 解答:解: (1)由 a=2,得 f(x)=|2x﹣x |+lnx(x>0) . 当 0<x<2 时,
′ 2



由 f (x)=0,得﹣2x +2x+1=0,解得 当 时,f (x)>0;


,或


(舍去) .

时,f (x)<0. ) , (2,+∞) .

∴ 函数 f(x)的单调增区间为(0,

当 x>2 时, 由 f (x)=0,得 2x ﹣2x+1=0. f(x)在(2,+∞)上为增函数. ∴ 函数 f(x)的单调增区间为( (2) ) , (2,+∞) . .
′ 2



① 若 a≤1,则

.则
2 ′



∵ x∈[1,e],∴ 0≤lnx≤1,1﹣lnx≥0,x +1﹣lnx≥0,∴ g (x)>0. ∴ g(x)在[1,e]上为增函数,∴ g(x)的最小值为 g(1)=1﹣a. ② a≥e,则 g(x)=a﹣x+ 令 h(x)﹣x +1﹣lnx,则
2

,则





所以 h(x)在[1,e]上为减函数,则 h(x)≤h(1)=0. 所以 g(x)在[1,e]上为减函数,所以 g(x)的最小值为 g(e)=a﹣e+ .

③ 当 1<a<e,



由① ,② 知 g(x)在[1,a]上为减函数,在[a,e]上为增函数, ∴ g(x)的最小值为 g(a)= .

综上得 g(x)的最小值为 g(a)=

点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数求函数在闭区间上的最值,考查了 分类讨论得数学思想方法,考查了去绝对值的方法,正确的分类是解决该题的关键,属难题. 三. 【选做题】本题包括 21、22、23、24 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答, 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21. (10 分) (2013?镇江二模) (选修 4﹣1 几何证明选讲) 如图,ABCD 为圆内接四边形,延长两组对边分别交于点 E,F,∠ AFB 的平分线分别交 AB,CD 于 点 H,K.求证:EH=EK.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:直线与圆. 分析:由 HF 为∠ AFB 的平分线,可得∠ 1=∠ 2.由 ABCD 为圆内接四边形,可得∠ FCK=∠ A.因此 ∠ EHK=∠ EKH,即可证明. 解答:解:∵ HF 为∠ AFB 的平分线,∴ ∠ 1=∠ 2. ∵ ABCD 为圆内接四边形,∴ ∠ FCK=∠ A. ∴ ∠ 1+∠ A=∠ 2+∠ FCK, ∴ ∠ EHK=∠ EKH. ∴ EH=EK. 点评:熟练掌握角平分线的性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定定理是解题的关键. 22. (10 分) (2013?镇江二模) (选修 4﹣2:矩阵与变换)

已知 A(0,0) ,B(2,0) ,C(2,2)在矩阵 为 A'(0,0) , ,C'(0,2) ,求矩阵 M.

对应变换的作用下,得到的对应点分别

考点:几种特殊的矩阵变换. 专题:计算题. 分析:先设出所求矩阵,利用待定系数法建立一个四元一次方程组,解方程组即可. 解答: 解:根据题意,则有 = , 所以 ,



又有 所以

= ,





所以 M=



点评:本题主要考查来了几种特殊的矩阵变换,以及直线的一般式方程等基础知识,属于基础题. 23. (2013?镇江二模) (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) 已知曲线 C 的参数方程 (θ 为参数) , 直线 l 的极坐标方程: . 直

线 l 与曲线 C 交于 M,N 两点,求 MN 的长. 考点:参数方程化成普通方程;两点间的距离公式;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题:计算题. 分析:把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程, 把曲线 M 的参数方程化为普通方程, 联立方程组, 化为关于 x 的一元二次方程,利用弦长公式求出 MN 的值. 解答: 解:直线 l 的极坐标方程 ,即 x﹣y+ =0,

曲线 M 的参数方程

(其中 θ 为参数) ,即





可得 3x +2

2

x﹣2=0,

∴ x1=﹣ ∴ MN=

,x2=

, ×|﹣ ﹣ |= .

?|x1﹣x2|=

点评:本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,弦 长公式的应用,属于中档题. 24. (2013?镇江二模) (选修 4﹣5:不等式选讲) 已知常数 a 满足﹣1<a<1,解关于 x 的不等式:ax+|x+1|≤1. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:计算题;分类讨论;不等式的解法及应用. 分析:通过 x≥﹣1 与 x<﹣1,去掉绝对值符号,分别求解不等式,推出不等式的解集即可. 解答:解:① 当 x≥﹣1,ax+|x+1|≤1 转化为:ax+x+1≤1, 即 ax+x≤0,∴ x(a+1)≤0 ∵ ﹣1<a<1,∴ x≤0, 又 x≥﹣1,∴ ﹣1≤x≤0. ② 当 x<﹣1 时,不等式化为 ax﹣x﹣1≤1,即 ax﹣x≤2. ∴ x(a﹣1)≤2 ∵ ﹣1<a<1,﹣2<a﹣1<0, ∴ x≥ ∴ 由① ② 可知 不等式的解集为:{x| , , . }.

点评:本题考查绝对值不等式的解法,去掉绝对值符号是解题的关键,考查分类讨论数学思想的应 用. 四、[必做题]第 25、26 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 25. (10 分) (2013?镇江二模)已知抛物线 条切线互相垂直,求实数 a 的值. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析:联立抛物线方程即可得到交点坐标,再利用导数即可得到切线的斜率,利用相互垂直即可得 到斜率乘积等于﹣1 即可得出 a. 和抛物线 在交点处的两

解答: 解:联立 解得 ,取交点 P .

取 C1 在 x 上方的部分:

,则

,在点 P 处的切线斜率 k1=



取 C2 在 x 上方的部分:

,则

,在点 P 处的切线斜率

k2=



∵ 两条抛物线在交点处的两条切线互相垂直, ∴ k1k2=﹣1,即 ,解得 .

点评:熟练解出方程组的解、利用导数的几何意义得出切线的斜率是解题的关键. 26. (10 分) (2013?镇江二模)已知数列{bn}满足 , .

(1)求 b2,b3,猜想数列{bn}的通项公式,并用数学归纳法证明; (2)设 , ,比较 x 与 y 的大小.
x y

考点:数学归纳法;数列的函数特性;归纳推理. 专题:证明题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析:(1)由 b = , +b =2(n≥2,n∈N*)可求 b ,b ,从而可猜想数列{b }的通项公式,用 1 n﹣1 2 3 n 数学归纳法证明即可; x y (2)利用指数幂的运算性质可求得 x 与 y ,比较可知,二者相等. 解答:解: (1)∵ b1= , +bn﹣1=2(n≥2,n∈N ) ,
*

∴ =2﹣b1=2﹣ = , ∴ b2= ; 同理可求,b3= ,于是猜想:bn= 下面用数学归纳法证明: ① 当 n=1 时,b1= ,结论成立; ② 假设 n=k 时,bk= 则 n=k+1 时,∵ , +bk=2, .

∴ ∴ bk+1=

=2﹣

= ,



即 n=k+1 时结论也成立; 综上所述,对任意 n∈N ,bn= (2)∵ x= = ,y=
*

均成立. = ,

∴ x=

x

=



y=
x y

y

=



∴ x =y . x y 点评:本题考查归纳推理与数学归纳法, 考查推理论证与综合运算能力, 比较 x 与 y 的大小是难点, 属于难题.


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