高中数学培优练习之导数及其应用.板块三.导数的应用2-极值.学生版

板块三.导数的应用

典例分析
题型三:函数的极值
【例1】 设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 1 ,若当 x ? 1 时,有极值为 1 ,则函数 g ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的单调递

减区间为

. )

【例2】 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a ? ( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【例3】 设 a ? R ,若函数 y ? ex ? ax , x ? R 有大于零的极值点,则( A. a ? ?1 B. ?1 ? a ? 0



1 C. ? ? a ? 0 e

D. a ? ?

1 e

【例4】 函数 f ( x) ? x2 ( x ? 1) 的极大值与极小值分别是___________.

1 【例5】 函数 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 的极大值是 3

;极小值是



【例6】 函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 4 在 x1 ? ?2 有极大值

28 4 , 在 x2 ? 2 有极小值是 ? , 则a? 3 3

b? ;



【例7】 曲线 y ? 2 x3 ? 3x2 共有____个极值.

【例8】 求函数 f ( x) ? x4 ? 4 x3 的单调区间与极值点.

1 【例9】 函数 f ( x) ? x3 ? ax ? 4 有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是 3

. .

【例10】 函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) 的极大值为 6 ,极小值为 2 ,则 f ( x) 的单调递减区间是

【例11】 若函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3?(a ? 2) x ? 1? 有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是______.

-1-

1 【例12】 若函数 y ? x3 ? 2 x2 ? mx ,当 x ? 时,函数取得极大值,则 m 的值为( 3 2 A. 3 B. 2 C. 1 D. 3
1) 内有极小值,则实数 b 的取值范围是( 【例13】 若函数 f ( x) ? x3 ? 6bx ? 3b 在 (0 , 1) A. (0 ,
1) B. (?? , ? ?) C. (0 ,





? 1? D. ? 0 , ? ? 2?

【例14】 有下列命题: ① x ? 0 是函数 y ? x3 的极值点; ②三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 有极值点的充要条件是 b 2 ? 3ac ? 0 ; ③奇函数 f ( x) ? mx3 ? (m ? 1) x2 ? 48(m ? 2) x ? n 在区间 (?4, 4) 上是单调减函数. 其中假命题的序号是 . 【例15】 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? px2 ? qx 的 图 象 与 x 轴 切 于 非 原 点 的 一 点 , 且 f ( x )极小 ? ? 4 , 那 么

p?

,q?



【例16】 求函数 f ( x) ? 3x ? x3 的单调区间与极值.

【例17】 求函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 的单调区间与极值.

【例18】 求函数 f ( x) ? x4 ? 2 x2 ? 3 的单调区间与极值.

b 【例19】 用导数法求函数 f ( x) ? x ? (b ? 0) 的单调区间与极值. x
【例20】 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? 3 ,

⑴求 f ( x) 的单调递减区间与极小值;
8) 的切线方程. ⑵求 f ( x) 过点 (1 ,

【例21】 求函数 f ( x) ?

a2 b2 ? (0 ? x ? 1, a ? 0, b ? 0) 的单调区间与极小值. x 1? x

【例22】 已知函数 f ( x) ?

2ax ? a2 ? 1 ( x ? R) ,其中 a ? R . x2 ? 1 ⑴当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2 ,f (2)) 处的切线方程; ⑵当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值.

-2-

【例23】 已知函数 f ? x ? ? x2 ? ax ? 2a2 ? 3a ex ( x ? R ) ,其中 a ? R .

?

?

⑴当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1,f ?1? ? 处的切线的斜率; ⑵当 a ?
2 时,求函数 f ? x ? 的单调区间与极值. 3

【例24】 设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3(a ? 1) x2 ? 1,其中 a ≥ 1 .

⑴求 f ( x) 的单调区间;⑵讨论 f ( x) 的极值.

【例25】 设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) .
b 的值; ⑴ 若曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 2 ,f ? 2?? 处与直线 y ? 8 相切,求 a ,

⑵ 求函数 f ? x ? 的单调区间与极值点.
【例26】 已知函数 f ( x) ? kx3 ? 3x2 ? 1(k ≥ 0) .

⑴求函数 f ( x) 的单调区间;⑵若函数 f ( x) 的极小值大于 0 ,求 k 的取值范围.
【例27】 已知函数 f ( x) ? 6ln x( x ? 0) 和 g ( x) ? ax2 ? 8x ( a 为常数)的图象在 x ? 3 处有平行切线.

⑴求 a 的值; ⑵求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的极大值和极小值.

0) , 【例28】 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极大值 5 , 其导函数 y ? f ?( x) 的图象经过点 (1 ,
(2 , 0) ,如图所示,求⑴ x0 的值;⑵ a , b, c 的值.
y

O

1

2 x

1 【例29】 已知函数 f ( x) ? x3 ? 2ax2 ? 3a2 x ? b(a ? 0) , 3 ⑴当 y ? f ( x) 的极小值为 1 时,求 b 的值;
2] 上是减函数,求 a 的范围. ⑵若 f ( x) 在区间 [1 ,

-3-

【例30】 设函数 y ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,且与 y ? 0 在原点相切,若函数的极小值为 ?4 ,
b, c 的值;⑵求函数的递减区间. ⑴求 a ,
y

O x

f (? 1)) 处的切线方程为 2) ,且在点 M (? 1, 【例31】 已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P (0 ,

6x ? y ? 7 ? 0 .

⑴求函数 y ? f ( x) 的解析式.⑵求 f ( x) 的单调递减区间与极小值.

【例32】 设 x ? 1 和 x ? 2 是函数 f ( x) ? x5 ? ax3 ? bx ? 1 的两个极值点.

⑴求 a、b 的值;⑵求 f ( x) 的单调区间.

【例33】 已知 a ? 2 ,函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? a)e x .

⑴当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调递增区间; ⑵若 f ( x) 的极大值是 6 ? e ?2 ,求 a 的值.

【例34】 设函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3a2 x ? 1(a , b ? R) 在 x ? x1 , x ? x2 处取得极值,且 x1 ? x2 ? 2 .

⑴若 a ? 1 ,求 b 的值,并求 f ( x) 的单调区间;⑵若 a ? 0 ,求 b 的取值范围.

【例35】 已知函数 f ( x) ?

ax ,在 x ? 1 处取得极值 2 . x ?b ⑴求函数 f ( x) 的解析式;
2

2m ? 1) 上为增函数,求实数 m 的取值范围; ⑵若函数 f ( x) 在区间 (m ,

ax ax 图象上的任意一点,直线 l 与 f ( x) ? 2 的图象相切于点 P , x ?b x ?b 求直线 l 的斜率的取值范围.
y0 ) 为 f ( x) ? ⑶若 P( x0 ,
2

【例36】 已知函数 f ( x) ? x3 ? 2bx2 ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5 x ? 10 .
-4-

⑴ 求函数 f ( x) 的解析式; 1 ⑵ 设函数 g ( x) ? f ( x) ? mx , 若 g ( x) 的极值存在, 求实数 m 的取值范围以及函数 g ( x) 取得极 3 值时对应的自变量 x 的值.

【例37】 设函数 f ( x) ? ax2 ? b ln x ,其中 ab ? 0 .

⑴求证:当 ab ? 0 时,函数 f ( x) 没有极值点;
b ? ?2 时,求 f ( x) 的极值. ⑵当 a ? 1,

⑶求证:当 ab ? 0 时,函数 f ( x) 有且只有一个极值点,并求出极值.

【例38】 设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x2 ,

⑴若当 x ? ?1 时, f ( x) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x) 的单调性; ⑵证明:当 a ≤ 2 时, f ( x) 没有极值.
e ⑶若 f ( x) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln . 2

1 【例39】 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 . 3 ⑴当 a , b 满足什么条件时, f ( x) 取得极值?
1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围. ⑵已知 a ? 0 ,且 f ( x) 在区间 (0 ,

【例40】 已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx 的导函数的图象关于直线 x ? 2 对称.

⑴ 求 b 的值; ⑵ 若 f ( x) 在 x ? t 处取得极小值,记此极小值为 g ( t ) ,求 g ( t ) 的定义域和值域.

【例41】 已知函数 f ( x) 在 R 上有定义,对任何实数 a ? 0 和任何实数 x ,都有 f ? ax ? ? af ? x ?

⑴证明 f ? 0? ? 0 ; ⑵证明 f ? x ? ? ?
x≥0 ?kx , ,其中 k 和 h 均为常数; x?0 ? hx ,
1 ? f ? x ? ( x ? 0) , ? ? ? 内的单调性并求极值. 讨论 g ? x ? 在 ? 0 , f ? x?

⑶当⑵中的 k ? 0 时, 设 g ? x? ?

【例42】 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 2 ex , ( x , a ? R) .

?

?

⑴ 当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的图象在点 A?1 , f ?1? ? 处的切线方程;
-5-

⑵ 若 f ? x ? 在 R 上单调,求 a 的取值范围;
5 ⑶ 当 a ? ? 时,求函数 f ? x ? 的极小值. 2

【例43】 已知函数 f ( x) ? (2ax ? x2 )eax ,其中 a 为常数,且 a ≥ 0 .

⑴若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值点; ⑵若函数 f ( x) 在区间 ( 2 , 2) 上单调递减,求实数 a 的取值范围.

【例44】 设函数 f ( x) ? (a ? 2)ln(? x) ?

1 . ? 2ax ( a ? R ) x ⑴当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值;

⑵当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间.

【例45】 已知函数 f ( x) ? (ax ? 1)e x , a ? R ,

⑴当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; ⑵若函数 f ( x) 在区间 (0 , 1) 上是单调增函数,求实数 a 的取值范围.

【例46】 已知函数 f ? x ? ?

⑴若 a ? ?2 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程; ⑵若 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极值,试讨论 f ? x ? 的单调性.

x ?1 ? ln ? x ? 1? ,其中实数 a ? 1 . x?a

【例47】 设 f ( x) ? x3 ?

3 ? a ? 1? x2 ? 3ax ? 1. 2 f ( x ) ⑴若函数 在区间 ?1 , 4 ? 内单调递减,求 a 的取值范围;

⑵若函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极小值是 1 ,求 a 的值,并说明在区间 ?1 , 4 ? 内函数 f ( x) 的单调 性.

【例48】 已知函数 f ( x) ? x2 ? 1 与函数 g ( x) ? a ln x(a ? 0) .

⑴若 f ( x) , g ( x) 的图象在点 ?1 , 0 ? 处有公共的切线,求实数 a 的值; ⑵设 F ( x) ? f ( x) ? 2 g ( x) ,求函数 F ( x) 的极值.

-6-


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