内蒙古巴彦淖尔市临河区2018届高三数学9月月考试题理2017110601130

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内蒙古巴彦淖尔市临河区 2018 届高三数学 9 月月考试题 理
第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(5 分×12=60 分)在每小题给出的四个选项只有一项正确. 1.设集合 A={x|1<x<4},B={x|x -2x-3≤0},则 A∩(?RB)=( A.(1,2) B.(1,3) C.(1,4)
2

)

D.(3,4) )

2.“a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 3.设 f ( x) ? ? A. ?1 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

? ?1 ? x , x ? 0 ,则 f ( f ( ?2)) ? ( x ? ? 2 ,x ?0
B.

1 1 3 C. D. 4 2 2 4.下列函数中,既是偶函数又在区间 ?0,??? 上单调递增的是(
1 A.y=

)

x

B.y=|x|-1

C.y=lg x

?1? D. y ? ? ? ?2?

ln x

5.若函数 f ( x) 是周期为 2 的偶函数,当 0 ? x ? 1 时 f ( x) ? 2 x(1 ? x) ,则 f (? ) =( A. ?

5 2

)

1 2

B.

1 2

C.

?

1 4
)

D.

1 4

6.函数 f ?x? ? x ? 2 ?x ? 4? 的单调减区间是( A.[1,2] B.[-1,0] C.[0,2]

D.[2,3]

?1? 7.函数 y ? log2 x ? ? ? 的零点个数是( ?2?
A.0 B.1
? 1 2

x

) D.4

C.2 ,则 ( )

8.设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5 A. a ? b ? c C. c ? a ? b

B. b ? c ? a D. c ? b ? a

.

1

9.函数 f ?x? ? x 2 ?1 sin x 的图像大致是(

?

?

)

10.已知函数 f(x)=ln x-a x +ax 在(1,+∞)上是减函数,则正实数 a 的 取值范围是( A.(0,1) C.(1,+∞)
x

2 2

) B.(0,1] D.[1,+∞)

11. 已知函数 f ( x) ? e ? mx ? 1 的图像为曲线 C ,若曲线 C 存在与直线 y ? 直的切线,则实数 m 的取值范围是 ( ) A. m ? 2 B. m ? 2 C.

1 x 2



m??

1 2

D. m ? ?

1 2
x ? 1时,


12. 已知函数 f ? x ? 是定义在 ? 0, ?? ? 的可导函数,f ' ? x ? 为其导函数, 当 x?0且

2 f ? x ? ? xf ' ? x ? x ?1
A.0

3 ? 0 ,若曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 1处的切线的斜率为 ? ,则 f ?1? ? ( 4 3 1 B.1 C. D. 8 5

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(5 分×4=20 分) 13. 由曲线 x ? ?

?
3

,x ?

?
3

, y ? o与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为

.
2

14.已知 f ( x) ? x2 ? 2 xf ?(1) ,则 f ?(0) ? _________.

? ? x 2 ? 2 x, ? 15. 已知函数 f ( x ) ? ?0, ? x 2 ? mx, ?

x?0 x?0 x?0
是奇函数,若函数 f ( x) 在区间 [?1, a ? 2] 上单

调递增,则实数 a 的取值范围是_________.

16.对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点,且有如下零 点存在定理:如果函数 y = f(x) 在区间 [a , b] 上的图像是连续不断的一条曲线,并且有

f(a)·f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点.给出下列命题:
①若函数 y=f(x)在[a,b]上是单调函数,则 f(x)在[a,b]上有且仅有一个零点; ②函数 f(x)=2x -3x+1 有 3 个零点; ③函数 y= 和 y=|log2x|的图像的交点有且只有一个; 6 ④设函数 f(x)对 x∈R 都满足 f(3+x)=f(3-x),且函数 f(x)恰有 6 个不同的零点, 则这 6 个零点的和为 18; 其中所有正确命题的序号为________.(把所有正确命题的序号都填上) 三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.已知函数 f (x) ? a ?
2 , x ?1
3

x2

(1)若函数 g(x) ? f (2x ) 是奇函数,求 a 的值; (2)若不等式 f ( x ) ? x 在 [0, 的取值范围. ? ? ) 上恒成立,求实数 a
x 18.设函数 f( x )? x e ? x ( x ? 1 )? 2

a 2

(1)若 a ? 1 ,求 f ( x ) 的单调区间,

x )?x ?x? 2 (2)当 x ? 0 时, f ( ,求 a 的取值范围.
2

19.设函数 f( x )? a l n x ? 线垂直于 y 轴 (1)求 a 的值;

1 3 ,其中在 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切 ? x ? 1 2 x 2

(2)求函数 f ?x ?的 极值.

3

20.已知函数 f ( x) ? 2 x ?

2 ? a ln x, a ? R . x

(1)若函数 f ( x) 在 [1,??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围. (2)记函数 g ( x) ? x 2 [ f ?( x) ? 2x ? 2] ,若 g ( x) 的最小值是 ? 6 ,求函数 f ( x) 的解析式.

1 2 21.已知函数 f(x)= ax -(2a+1)x+2lnx(a∈R). 2 (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行,求 a 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)设 g(x)=x -2x,若对任意 x1∈(0,2],均存在 x2∈(0,2],使得 f(x1)<g(x2),求 a 的 取值范围. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
2

22. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 2?t (t 为参数),曲线 C 的极坐标方程为 ? y ? ? 3t

1 ? 3 sin 2 ? ?

2

?2

(1)求直线 l 的倾斜角和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AB|.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 已知函数 f(x)=|a-3x|-|2+x|. (1)若 a=2,解不等式 f(x)≤3; (2)若存在实数 a,使得不等式 f(x)≥1-a+2|2+x|成立,求实数 a 的取值范围.

4

高三理科数学答案 一、选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 B 6 D 7 C 8 C 9 A 10 D 11 A 12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 3 三、解答题 17. (本小题满分 12 分)
2 x 解:(1) gx ( )?f( 2) ? a ? x ,∵ g ( x ) 是奇函数 2? 1

14.-4

15.(1, 3 ]

16. ②④

∴ g 恒成立 ( ? x )? gx ( )? 0

x 2 2 2 2 2 2 2 2 a ? ? ? ? ? 2 ∴ a ,即 ∴ a ?1 ?? ? a ? ? 0 x ? x x x x 2 ? 12 ? 12 ? 12 ? 1 2x ? 1 2 ? 1

2 (2) f() 上恒成立 ? 上恒成立 x? x 在 x ? [ 0 , ? ? ) a ? x ? 在 x ? [ 0 , ? ? ) x ? 1

设 h( x) ? x ? ∵ x?0

2 ,则只需 a ?h(x)min x ?1

∴ x ?1 ? 1

2 2 ∴ h ( x ) ? x ? ? x ? 1 ? ? 1 ? 2 2 ? 1 x ? 1 x ? 1

2 当且仅当 x ? 1 ? , 即 x ? 2 ? 1 时 , h ( x ) ? 2 2 ? 1 m i n x ? 1

的取值范围是 (?? ,2 2? 1 ) 故 a ? 2 2 ?1 ,∴ a 18. (本小题满分 12 分)
x x 2 解: (1)∵ a ? 1 ,∴ fx , ( ) ? x e ? xx ( ? 1 )2 ? ? x e ? x ? x ? 2

1 2

1 2

1 ?x?0时 , f ( x ) ? 0 ; 当 x ? ?1 或 x ? 0 时 , ∴ f( x )? ( e? 1 ) ( x ? 1 ), 所 以 当 ?
' x '

f ' ( x ) ? 0 ,∴ f ( x ) 在 ( ? 1, 0 ) 上单调递减,在 (??, ?1) , (0, ?? ) 上单调递增. x )?x ?x? 2 (2)由 f ( ,得 x(ex ?
2

a?2 a?2 x) ?0,即要满足 e x ? x, 2 2

当 x ? 0 时,显然成立;当 x ? 0 时,

ex ex a ? 2 ex (x ?1) ' ? ,记 g ( x ) ? , g ( x) ? , x x 2 x2
a?2 ? e ,得 a ?2 (e?1 ). 2

所以易知 g ( x ) 的最小值为 g (1) ? e ,所以

5

19. (本小题满分 12 分)

1 3 a 1 3 故 f ?(x 由于曲线 y ? f ( x) 在 ? x ? 1, )? ? 2 ? 2 x 2 x 2x 2 1 3 点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴,故该切线斜率为 0,即 f ?(1) ? 0 ,从而 a ? ? ? 0 , 2 2
解: (1) 因 f( x )? a l n x ? 解得 a ? ?1 (2)由(Ⅰ)知 f , f ?(x () x? ? l n x ? ?x ? 1 ( x ? 0 ) )?? ?

1 3 1 1 3 ? 2 2 x2 x 2 x 2 2 3 x? 2 x ? 1 ( 3 x ? 1 ) ( x ? 1 ) 1 1 ? ? x1 ? 1, x2 ? ? x2 ? ? 2 2 2 x 2 x 3 (因 3 不 令 f ?(x) ? 0 ,解得
时, f ?(x) ? 0 故 f ( x ) 在 ( 0 , 1 ) 上为减函数;当

在定义域内,舍去)当 x ? (0,1)

x?(1 , ?? ) 时, f ?(x) ? 0 故 f ( x ) 在 (1, ? ? ) 上为增函数,故 f ( x ) 在 x ? 1 处取
得极小值 f (1) ? 3 20. (本小题满分 12 分)

2 a 2 ? ?0 ∴ a ? ? 2 x 在 [1,??) 上恒成立 2 x x x 2 2 ' 令 h( x ) ? ? 2 x, x ? [1,?? ) ∵ h ( x) ? ? 2 ? 2 ? 0 恒成立 ∴ h( x)在[1,??)单调递减 x x
解:20【答案】⑴ f ' ( x) ? 2 ?

h( x) max ? h(1) ? 0 ∴ a ? 0
(2) g ( x) ? 2x 3 ? ax ? 2, x ? 0 ∵ g ' ( x) ? 6 x 2 ? a

, 无最小值,不合题意 易知 a ? 0 时, g ' ( x) ? 0 恒成立∴ g ( x)在(0,??)单调递增
∴a ? 0 令 g ' ( x) ? 0 ,则 x ?

?a (舍负) 6

列表如下,(略)可得,

g ?x ? 在 ( (0,

?a ?a ?a ) 上单调递减,在 ( , ? ?) 上单调递增,则 x ? 是函数的极小 6 6 6 ?a ) ? ?6 解得 a ? ?6 6
f ( x) ? 2 x ? 2 ? 6 ln x x

值点。

g ( x) min ? g ( x) 极小 ? g (

21. (本小题满分 12 分) 2 2 解析 f′(x)=ax-(2a+1)+ (x>0).(1)由 f′(1)=f′(3),解得 a= . x 3

6

(2)f′(x)=

ax- x

x-

(x>0).

①当 a≤0 时,x>0,ax-1<0, 在区间(0,2)上 f′(x)>0;在区间(2,+∞)上 f′(x)<0. 故 f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞). 1 1 ②当 0<a< 时, >2, 2 a

?1 ? ? 1? 在区间(0,2)和? ,+∞?上 f′(x)>0;在区间?2, ?上 f′(x)<0,故 f(x)的单调递增 ?a ? ?
a?
1 ? 1? 区间是(0,2)和( ,+∞),单调递减区间是?2, ?.

a

?

a?

1 x- ③当 a= 时,f′(x)= 2 2x

2



故 f(x)的单调递增区间是(0,+∞). 1 1 ④当 a> 时,0< <2, 2 a

? 1? ?1 ? 在区间?0, ?和(2,+∞)上 f′(x)>0;在区间? ,2?上 f′(x)<0,故 f(x)的单调递增 ?
a?

?a

?

? 1? ?1 ? 区间是?0, ?和(2,+∞),单调递减区间是? ,2?. ?
a?

?a

?

(3)由已知,在(0,2]上有 f(x)max<g(x)max. 由已知,g(x)max=0,由(2)可知, 1 ①当 a≤ 时,f(x)在(0,2]上单调递增, 2 故 f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2=-2a-2+2ln2. 所以-2a-2+2ln2<0,解得 a>ln2-1. 1 故 ln2-1<a≤ . 2 1 1 ? 1? ?1 ? ②当 a> 时,f(x)在?0, ?上单调递增,在? ,2?上单调递减,故 f(x)max=f( )=-2 2 a ? a? ?a ? 1 - -2lna. 2a 1 1 1 由 a> 可知 lna>ln >ln =-1,2lna>-2,-2lna<2. 2 2 e 所以-2-2lna<0,f(x)max<0. 综上所述,a>ln2-1.

7

22. (本小题满分 12 分) 解:(1)直线 l 的普通方程为 3x-y-2 3=0, ∴其斜率为 3, π ∴直线 l 的倾斜角为 . 3 2 2 2 2 2 ∵曲线 C 的极坐标方程为 1-3sin θ = 2,即 ρ -3ρ sin θ =2, ρ ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x -2y =2. 1 ? ?x=2+2t′, (2)可得直线 l 的参数方程的标准形式为? (t′为参数),代入曲线 C 的 3 ? ?y= 2 t′ 直角坐标方程 x -2y =2 得 5t′ -8t′-8=0, ∴|AB|=|t′1-t′2|= (t′1+t′2) -4t′1t′2=
2 2 2 2 2 2

4 14 . 5

23.解:(1)不等式 f(x)≤3 即为|2-3x|-|2+x|≤3,则有

? ? ?-2<x≤ , ?x≤-2, 3 ? 或? ?2-3x+2+x≤3 ? ?
2 2 ? ?x> , 或? 3 ? ?3x-2-2-x≤3, 3 7 解得- ≤x≤ , 4 2

?2-3x-2-x≤3

? 所以不等式 f(x)≤3 的解集为?x?-
?

? 3 7 ≤x≤?. 4 2 ? ? ?

(2)不等式 f(x)≥1-a+2|2+x|等价于|a-3x|-3|2+x|≥1-a,即|3x-a|-|3x+ 6|≥1-a, 因为|3x-a|-|3x+6|≤|(3x-a)-(3x+6)|=|a+6|, 所以若存在实数 a,使得不等式 f(x)≥1-a+2|2+x|成立,则|a+6|≥1-a, 5 解得 a≥- , 2

? 5 ? 所以实数 a 的取值范围是?- ,+∞?. ? 2 ?

8


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