高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨三平面与圆锥面的截线教材梳理素材新人教A版选修41

三 平面与圆锥面的截线 庖丁巧解牛 知识·巧学 在空间中,取直线 l 为轴,直线 l′与 l 相交于 O 点,其夹角为 α ,l′围绕 l 旋转得到 以 O 为顶点,l′为母线的圆锥面,任取平面 π ,若它与轴 l 交角为 β (π 与 l 平行,记 β =0) ,则: (1)β = ? ,平面 π 与圆锥的交线为圆; 2 (2)β >α ,平面 π 与圆锥的交线为椭圆; (3)β =α ,平面 π 与圆锥的交线为抛物线; (4)β <α ,平面 π 与圆锥的交线为双曲线. 图 3-3-2 问题·探究 问题 椭圆为封闭图形,双曲线、抛物线为不封闭图形,其图形不一样,但它们都可以用平 面截对顶圆锥面得到, 它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数, 即 离心率 e,定义上的统一,必然也蕴含着图形统一,应该如何解释这种现象呢? 思路:三条圆锥曲线都为封闭图形,其形状都为椭圆,所以,圆锥曲线在图形上依然存在着 统一.探究:我们知道,椭圆时离心率 e 越大,椭圆越扁;双曲线时离心率 e 越大,双曲线开 口越大.随着 e 的增大,椭圆越变越扁,但左半部分开口越来越大,左顶点离 l 越来越近, 而右顶点离 F 点越来越远;当 e 趋近于 1 时,左顶点趋近于 F 与 l 间的中点,而右顶点趋向 无穷远处;当 e=1 时,我们可以大胆地认为右顶点在无穷远处,此时曲线变为抛物线;当 e >1 时,开口越来越大,右顶点超过无穷远处并开始返回,此时曲线变为双曲线两支,或认 为双曲线两支无限延伸交于无穷远处,如图 3-3-3. 图 3-3-3 于是我们可以猜想:三条圆锥曲线都为封闭图形,其形状都为椭圆,所以,圆锥曲线在图形 上依然存在着统一,这是一种无限的思想. 因为顶点 (曲线与两个坐标轴的交点) 如 A1 是圆锥曲线上的点, 所以满足 | A1 F | =e, 当 e→1 | A1 N | 时,A1 向中点靠近;当 e=1 时,A1 位于中点;当 e→+∞时,A1 向 N 靠近.这里 A1 只是 FN 的 1 内分点,其实满足 | AF | FA2 =e 还有一个外分点,即另一顶点 A2,满足 =-e.当 e<1 时, | AN | A2 N 圆锥曲线为椭圆,所以它的外分点 A2 位于 NF 的延长线上;当 e→1 时,A2 离 F 点越远;当 e=1 时, 外分点不存在, 或者我们就可以理解为 A2 位于无穷远处, 所以抛物线只有一个顶点; 当 e>1 时,圆锥曲线为双曲线,外分点 A2 位于 NF 的反向延长线上;e→+∞时,A2 从左侧向 N 靠近. 这也揭示了为什么椭圆有两个顶点,抛物线只有一个顶点,双曲线有两个顶点,及它们 之间的区别,你可以由此进一步理解圆锥曲线的内在统一性. 典题·热题 例利用 Dandelin 双球(这两个球位于圆锥的内部,一个位于平面 π 的上方,一个位于平面 的下方,并且与平面 π 及圆锥均相切),证明 β >α ,平面 π 与圆锥的交线为椭圆. 图 3-3-4 思路分析:点 A 到点 F 的距离与点 A 到直线 m 的距离比小于 1. 证法一:利用椭圆第一定义,证明 FA+AE=BA+AC=定值,详见课本. 证法二:①上面一个 Dandelin 球与圆锥面的交线为一个圆,并与圆锥的底面平行, 记这个圆所在平面为 π ′;②如果平面 π 与平面 π ′的交线为 m,在图中椭圆上任取一点 A,该 Dandelin 球与平面 π 的切点为 F,则点 A 到点 F 的距离与点 A 到直线 m 的距离比是 cos ? cos ? (小于 1).(称点 F 为这个椭圆的焦点,直线 m 为椭圆的准线,常数 为离心 cos ? cos ? 率 e) 深化升华 利用②可以证明截线为抛物线、双曲线的情况,以离心率的范围为准. 2

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