2014高三文科数学第二轮专题四立体几何

高三文科数学第二轮复习资料 专题四立体几何 基础知识点
条件 结论 线线平行 线面平行 面面平行 如果α ∥ β , α ∩ γ =a,β ∩γ =b, 那么 a∥b 如果 α ∥ β , a ? α ,那么α ∥β 如果α ∥ β , β ∥ γ ,那么α ∥γ 垂直关系 如果 a⊥α , b ⊥α ,那么 a ∥b —— 如果 a⊥α , a ⊥β ,那么α ∥β

线线平行

如果 a∥b,b∥c,那么 a∥c 如果 a∥b,a ? α ,b ? α ,那么 a∥α 如果 a ? α , b?α , c?

如果 a∥α ,a ? β ,β ∩α =b,那么 a∥b

线面平行

—— 如果 a ? α ,b ? α ,a∩ α ∥β

面面平行

β , d?β , a∥c, b∥d, b=P,a∥β ,b∥β , 那么 a∩b=P,那么α ∥β

条件 结论

线线垂直

线面垂直

面面垂直 如果三个平面两 两垂直,那么它 们交线两两垂直 如果α ⊥β ,α

平行关系

线线垂直

二垂线定理及逆定理

如果 a⊥α ,b ? α ,那 么 a⊥b

如果 a∥b,a⊥ c,那么 b⊥c

如果 a⊥b, a⊥c, b?α , 线面垂直 c ? α ,b∩c=P,那么 a ⊥α 面面垂直 定义(二面角等于 90 )
0

——

∩β =b, a ? α ,a ⊥b,那么 a⊥β

如果 a⊥α ,b∥ a,那么 b⊥α

如果 a⊥α ,a ? β ,那 么β ⊥α

——

——

一、平行与垂直
例 1、 如图, 已知三棱锥 A ? BPC 中, AP ? PC , AC ? BC , M 为 AB 中点,D 为 PB 中点,且△ PMB 为正三角形。 (Ⅰ)求证: DM ∥平面 APC ; (Ⅱ)求证:平面 ABC ? 平面 APC ; (Ⅲ)若 BC ? 4 , AB ? 20 ,求三棱锥 D ? BCM 的体积。
P D B M A

C

1

例 2. 如图,已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC , AC ? BC ? 2 , AA 1 ?4,

AB ? 2 2 , M , N 分别是棱 CC1 , AB 中点.
(Ⅰ)求证: CN ? 平面 ABB1 A 1; (Ⅱ)求证: CN // 平面 AMB1 ; (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? AMN 的体积. A A1 M

C1

B1

C

N

B

变式 1. 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1 C 1 中,侧棱 AA1
?

? 平面 ABC , ?ABC 为等腰直角
C1 A1 E D B1

三 角 形 , ?BAC ? 90 , 且 AB ? AA1 , D, E , F 分 别 是

B1 A, CC 1 , BC 的中点。 (1)求证: DE / / 平面 ABC ; (2)求证: B1 F ? 平面 AEF ; (3)设 AB ? a ,求三棱锥 D ? AEF 的体积。

F C A

B

变式2.如图是以正方形 ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体, 四边形 EFGH
为截面,且 AB ? BC ?

2 , AE ? 1, BF ? DH ? 2, CG ? 3

(Ⅰ)证明:截面四边形 EFGH 是菱形; (Ⅱ)求几何体 C ? EFGH 的体积.

2

二、线面平行与垂直的性质
例3.如图4,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC ,

△PAD 是等边三角形,已知 BD ? 2 AD ? 4 , AB ? 2DC ? 2 5 .
(1)求证: BD ? 平面 PAD ; (2)求三棱锥 A ? PCD 的体积.

例 4、如图,四棱锥 P—ABCD 中, PD ? 平面 ABCD,底面 ABCD 为 正方形,BC=PD=2,E 为 PC 的中点, CG ?

1 CB. 3

(I)求证: PC ? BC ; (II)求三棱锥 C—DEG 的体积; (III)AD 边上是否存在一点 M,使得 PA // 平面 MEG。若存在,求 AM 的长;否则,说 明理由。

3

变式 3.

直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是直角梯形,∠ BAD=∠ ADC=90° ,AB

=2AD=2CD=2. (Ⅰ )求证: AC ? 平面 BB1C1C; (Ⅱ ) A1B1 上是否存一点 P, 使得 DP 与平面 BCB1 与平面 ACB1 都平行?证明你的结论.

三、三视图与折叠问题
例 5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。 P 4 2 E A 4 C D 4 俯视图 (1) 若 F 为 PD 的中点,求证: AF ? 面 PCD ; (2) 证明: BD ∥面 PEC ; (3) 求三棱锥 E ? PBC 的体积。 4 正视图 B 4 侧视图 2

AB ? 3, DC ? 1, ?BAD ? 45?, DE ? AB 例 6.已知四边形 ABCD 是等腰梯形, (如图 1) 。
现将 ? ADE 沿 DE 折起,使得 AE ? EB (如图 2) ,连结 AC , AB 。 (I)求证:平面 ADE ? 平面 ACD ; ( II ) 试 在 棱 AB 上 确 定 一 点 M , 使 截 面 E M C 把 几 何 体 分 成 两 部 分 的 体 积 比

VA D C M E: VM E C B? 2 : 1 ;
(III)在点 M 满足(II)的情况下,判断直线 AD 是否平行于平面 EMC ,并说明理由。

A

A D

E

B

M
E

B

C
图1

D

C
图2

4

变式 4.一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示,E 为 PD 中点.
(I)求证:PB//平面 AEC; (II)求四棱锥 C ? PAB 的体积; (Ⅲ)若 F 为侧棱 PA 上一点,且

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PF ? ? ,则 ? 为何值时, PA ? 平面 BDF. FA
P

E

D C A

B

变式 5. 如图 1 所示,正 ?ABC 的边长为 2a,CD 是 AB 边上的高,E,F 分别是 AC,BC 的中点。现将 ?ABC 沿 CD 翻折,使翻折后平面 ACD ? 平面 BCD(如图 2) (1)试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; A A (2)求三棱锥 C-DEF 的体积。
E C E D B F 图( 2) C

D F B 图( 1)

四、立体几何中的最值问题 例 7.图 4,A1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于 A,B 的任 意一点,A1A= AB=2. (1)求证: BC⊥ 平面 A1AC; (2)求三棱锥 A1-ABC 的体积的最大值.

A1

A C 图4

B

5

例 8. 如图,在 ?ABC中,?B =

?
2

,AB ? BC ? 2, P为AB边上一动点,PD//BC 交

AC 于 点 D,现将 ?PDA沿PD翻折至?PDA' , 使平面PDA' ? 平面PBCD. (1)当棱锥 A' ? PBCD 的体积最大时,求 PA 的 长; ( 2 ) 若 点

P

为 AB

的 中 点 , E



' AC 的中点,求证:A' B ? DE.

变式 6. 如图 3,已知在 ? 中,? ,P 平面 ABC, A 于 E, A A B C C ?? 9 0 A ? E ? P B FP ? C ? A E F ? ? ? 于 F, A , ,当 变化时,求三棱锥 PA 体积的最大值。 P ? A B ? 2 ?E F

图3

6

专题升级训练

立体几何(1)
).

(时间:60 分钟 满分:100 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.下列四个几何体中,每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是(

A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原 来的图形是( ).

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为(

3.在一个几 何体的三视图中,正(主)视图和俯视图如图所示,则相应的侧(左)视图可以 ).

4.(2012· 北京丰台区三月模拟,5)若正四棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示,则该几 何体的表面积是( ).

A.4 B.4+4 10 C.8 D.4+4 11 5.(2012· 浙江宁波十校联考,12)已知某几何体的三视图如图所示,其中侧 (左)视图是 等腰直角三角形,正视图是直角三角形,俯视图 ABCD 是直角梯形,则此几何体的体积为 ( ).
7

A.1 B.2 C.3 D.4 6.(2012· 山东济南三月模拟,8)若一个螺栓的底面是正六边形,它的正(主)视图和俯视 图如图所示,则它的体积是( ).

A.27 3+12π B.9 3+12π C.27 3+3π D.54 3+3π 7.(2012· 浙江宁波模拟,13)已知一个正三棱锥的正(主)视图为等腰直角三角形,其尺 寸如图所示,则其侧(左)视图的周长为( ).

A.5 3+ 21 B.5 3+6 C.6 3+6 D.3 3+12 8. 长方体的三条棱长分别为 1, 2, 6, 则此长方体外接球的体积与面积之比为( ). 4 1 A. B.1 C.2 D. 3 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 9.(2012· 浙江宁波十校联考,15)已知两个圆锥有公共底面,且两圆 锥的顶点和底面圆 周都在半径为 3 的同一个球面上.若两圆锥的高的比为 1∶2 ,则两圆锥的体积之和为 __________. 10.(2012· 江苏南京二模,11)一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁 下,然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面,以它们的公共顶点 P 为顶点,加工成一 个如图所示的正四棱锥容器,当 x =6 cm 时,该容器的容积为__________cm3.

8

11.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,BC=2,AC= 5,AA1=3,M 为线段 BB1 上的一动点,则当 AM+MC1 最小时,△AMC1 的面积为__________.

12. (2012· 浙江湖州中学模拟, 16)底面边长为 1, 侧棱长为 2 的正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上,E 是侧棱 AA1 的中点,F 是正方形 ABCD 的中心,则直线 EF 被球 O 所截得的线段长为__________. 三、解答题(本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 13.(本小题满分 10 分)如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm). (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积及体积.

14.(本小题满分 10 分)斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 a 的正三角形,侧棱长 等于 b,一条侧棱 AA1 与底面相邻两边 AB,AC 都成 45° 角. (1)求这个三棱柱的侧面积; (2)求这个三棱柱的体积. 15.(本小题满分 12 分)(20 12· 安徽安庆二模,18)如图,几何体 ABC-EFD 是由直三棱 柱截得的,EF∥AB,∠ABC=90° ,AC=2AB=2,CD=2AE= 6.

(1)求三棱锥 D-BCE 的体积; (2)求证: CE⊥DB. 16.(本小题满分 12 分)(2012· 河北邯郸一模,19)已知四棱锥 E-ABCD 的 底面为菱形, 且∠ABC=60° ,AB=EC=2,AE=BE= 2,O 为 AB 的中 点.

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(1)求证:EO⊥平面 ABCD; (2)求点 D 到平面 AEC 的距离.

1.下图是一个几何 体的直观图及它的三视图(其中正(主)视图为直角梯形,俯视图为正 方形,侧(左)视图为直角三角形,尺寸如图所示).

(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)若 G 为 BC 的中点,求证:AE⊥PG. 2. 有一根长为 3π cm, 底面半径为 2 cm 的圆柱形铁管, 用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈, 并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度 为多少? 3.如图,AA1,BB1 为圆柱 OO1 的母线,BC 是底面圆 O 的直径,D,E 分别是 AA1, CB1 的中点,DE⊥平面 CBB1.

(1)证明:DE∥平面 ABC; (2)求四棱锥 C-ABB1A1 与圆柱 OO1 的体积比.
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4. 如图所示, 平面 ABCD ⊥平面 ABEF, ABCD 是正方形, ABEF 是矩形, 且 AF= G 是 EF 的中点.

1 AD=2, 2

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(1)求证:平面 AGC⊥平面 BGC; (2)求三棱锥 A-GBC 的体积. 5.已知正四面体 ABCD(图 1),沿 AB,AC,AD 剪开,展成的平面图形正好是(图 2)所 示的直角梯形 A1A2A3D(梯形的顶点 A1,A2,A3 重合于四面体的顶点 A). (1)证明:AB⊥CD; (2)当 A1D=10,A 1A2=8 时,求四面体 ABCD 的体积.

6.如图,已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥AC,PA=AC= 上一点,AB=4AN,M,D,S 分别为 PB,AB,BC 的中点.

1 AB,N 为 AB 2

(1)求证:PA∥平面 CDM; (2)求证:SN⊥平面 CDM. 7.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=BC=BB1=2, M,N 分别是 AB,A1C 的中点.

(1)求证:MN∥平面 BCC1B1; (2)求证:MN⊥平面 A1B1C; (3)求三棱锥 M-A1B1C 的体积. 8.一个多面体的直观图和三视图如图所 示,其中 M,G 分别是 AB,DF 的中点. (1)求证:CM⊥平面 FDM; (2)在线段 AD 上(含 A,D 端点)确定一点 P,使得 GP∥平面 FMC,并给出证明.
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参考答案
1.解:(1)由几何体的三视图可知,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,PA⊥面 ABCD, 1 PA∥EB,且 PA=4 2,BE=2 2,AB=AD=CD=CB=4,所以 VP-ABCD= PA· S 正方形 ABCD= 3 1 64 2 ×4 2×4×4= . 3 3 (2)证明:连接 BP. EB BA 1 因为 = = ,∠EBA=∠BAP=90° , AB PA 2 所以△EBA∽△BAP,所以∠PBA=∠AEB, 所以∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90° , 所以 PB⊥AE. 由题易证 BC⊥平面 APEB, 所以 BC⊥AE. 又因为 PB∩BC =B, 所以 AE⊥平面 PBC, 因为 PG?平面 PBC,所以 AE⊥PG. 2.解:把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形 ABCD(如图),由题意知 BC=3π cm,AB=4π cm,点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置,故线段 AC 的长度即为铁 丝的最短长度.AC= AB2+BC2=5π(cm),
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故铁丝的最短长度为 5π cm. 3.(1)证明:连接 EO,OA. ∵E,O 分别为 B1C,BC 的中点, ∴EO∥BB1.

又 DA∥BB1,且 DA=EO=

1 BB1. 2

∴四边形 AOED 是平行四边形, 即 DE∥OA.又 DE ? 平面 ABC,AO?平 面 ABC,∴DE∥平面 ABC. (2)解:由题意知 DE⊥平面 CBB1,且由(1)知 DE∥OA, ∴AO⊥平面 CBB1,∴AO⊥BC, ∴AC=AB.因 BC 是底面圆 O 的直径,得 CA⊥AB.而 AA1⊥CA,AA1∩AB=A,∴CA⊥平 面 AA1B1B,即 CA 为四棱锥的高.
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设圆柱高为 h,底面半径为 r, 则 V 柱=πr2h,V 锥= ∴V 锥∶V 柱=

1 2 h( 2r)〃( 2r)= hr2, 3 3

2 . 3π

4.(1)证明:∵G 是矩形 ABEF 的边 EF 的中点, ∴AG=BG= 22+22=2 2, 从而得:AG2+BG2=AB2,∴AG⊥BG. 又 ∵平面 ABCD⊥平面 ABEF, 平面 ABCD∩平面 ABEF=AB,且 BC⊥AB, ∴BC⊥平面 ABEF.∵AG?平面 ABEF,∴BC⊥AG. ∵BC∩BG=B,∴AG⊥平面 BGC, ∵AG?平面 AGC, ∴平面 AGC⊥平面 BGC. (2)解:由(1)得:BC⊥平面 ABEF, ∴CB 是三棱锥 A-GBC 的高, 1 而 S△ABG= ×2 2×2 2=4, 2 1 16 ∴VA-GBC=VC-ABG= ×4×4= . 3 3 5.(1)证明:在四面体 ABCD 中, AB⊥AC ∵

? ? AB⊥AD ??AB⊥平面 ACD?AB⊥CD. AC∩AD=A? ?

(2)解:在题图 2 中作 DE⊥A2A3 于 E. ∵A1A2=8, ∴DE=8. 又∵A1D=A3D=10, ∴EA3=6,A2A3=10+6=16. 又 A2C=A3C,∴A2C=8. 即图 1 中 AC=8,AD=10, 由 A1A2=8,A1B=A2B 得题图 1 中 AB=4. 1 1 ∴S△ACD= S?A3CD = DE· A3C= ×8×8=32. 2 2 又∵AB⊥面 ACD, 1 128 ∴VB-ACD= ×32×4= . 3 3 6.证明:(1)在三棱锥 P-ABC 中,因为 M,D 分别为 PB,AB 的中点,所以 MD∥PA. 因为 MD?平面 CMD,PA ? 平面 CMD,所以 PA∥平面 CMD. (2)因为 M,D 分别为 PB,AB 的中点,所以 MD∥PA. 因为 PA⊥平面 ABC,所以 MD⊥平面 ABC, 又 SN?平面 ABC,所以 MD⊥SN. 在△ABC 中,连接 DS,因为 D,S 分别为 AB,BC 的中点, 1 所以 DS∥AC 且 DS= AC. 2 又 AB⊥AC,所以∠ADS=∠BAC=90° .
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1 因为 AC= AB,所以 AC=AD, 2 所以∠ADC=45° ,因此∠CDS=45° . 1 1 又 AB=4AN,所以 DN = AD= AC, 2 2 即 DN=DS,故 SN⊥CD. 又 MD∩CD=D,所以 SN⊥平面 CMD. 7.(1)证明:连接 BC1,AC1.由题知点 N 在 AC1 上且为 AC1 的中点.∵M 是 AB 的中点,
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∴ MN∥ BC1. 又∵ MN ? 平 面 BCC1B1,∴ MN∥ 平面 BCC1B1. (2)证明:∵ 三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱与底面垂直, ∴ 四边形 BCC1B1 是正方形, ∴ BC1⊥ B1C,∴ MN⊥ B1C. 连接 A1M,由∠ ABC=∠ MAA1=90° ,BM=AM,BC=AA1 得△ AMA1≌ △ BMC.∴ A1M=CM.又 N 是 A1C 的中点,∴ MN⊥ A1C. ∵ B1C 与 A1C 相交于点 C,∴ MN⊥ 平面 A1B1C. (3)解: 由(2)知 MN 是三棱锥 M-A1B1C 的高. 在直角△ MNC 中, MC ? 5 ,NC ? 3 , ∴MN ?

2.
1 4 MN· S?A1B1C = . 3 3

又 S?A B C ? 2 2 ,∴VM-A1B1C = 1 1

8.证明:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面 ADF 中 AD⊥DF,DF=AD=a.

(1)∵FD⊥平面 ABCD,CM?平面 ABCD, ∴FD⊥CM. 在矩形 ABCD 中,CD=2a,AD=a,M 为 AB 中点,DM=CM= 2 a,∴CM⊥DM. ∵FD?平面 FDM,DM?平面 FDM,FD∩DM=D,∴CM⊥平面 FDM. (2)点 P 在 A 点处. 证明:取 DC 中点 S,连接 AS,GS,GA, ∵G 是 DF 的中点,∴GS∥FC. 又 AS∥CM,AS∩AG=A, ∴平面 GSA∥平面 FMC.而 GA?平面 GSA, ∴GP∥平面 FMC.
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参考答案
一、选择题 1.D 解析:图①的三种视图均相同;图②的正(主)视图与侧(左)视图相同;图③的三 种视图均不相同;图④的正(主)视图与侧(左)视图相同. 2.A 解析:由直观图可知,在直观图中多边形为正方 形,对角线长为 2,所以原图 形为平行四边形,位于 y 轴上的对角线长为 2 2,故选 A. 3.D 解析:由题目所给的几何体的正(主)视图和俯视图,可知该几何体为半圆锥和三 棱锥的组合体,如图所示:

可知侧(左)视图为等腰三角形,且轮廓线为实线,故选 D. 4.B 5. D 解析: 由三视图可得该几何体是四 棱锥, 记为棱锥 P-ABCD, 且 PD⊥底面 ABCD. 1 2+4 从而此几何体的体积为 × ×2×2=4. 3 2 6.C 解析:该螺栓是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的, 3 V 总=V 正六棱柱+V 圆柱= ×32×6×2+π×12×3=27 3+3π. 4 7. A 解析: 由正(主)视图可知正三棱 锥的底边长为 6, 高为 3, 从而可得侧棱长为 21. 而侧(左)视图是一个三角形,三条边分别是底面正三角形的高、侧棱和侧面等腰三角形底边 上的高,其长度依次为 3 3, 21和 2 3,故侧(左)视图的周长为 5 3+ 21. 8.D 二、填空题 9.16π 解析:设两圆锥的高分别为 h,2h,圆锥的底面圆半径为 r,则 r2=2h2. 3h 又球的半径 R= =3,则 h=2. 2 1 故两圆锥的体积之和为 V= πr2(2h+h)=πr2h=2πh3=16π. 3 10.48 11. 3 解析: 将直三棱柱沿侧棱 A1A 剪开, 得平面图形如图所示, A′C1 为定长, 当 A, M,C1 共线时 AM+MC1 最短,此时 AM= 2,MC1=2 2.
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又在原图形中 AC1= 14,易知∠AMC1=120° , 1 ∴ S?AMC1 = × 2×2 2×sin 120° = 3. 2

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12. 个大圆.

42 3

解析:O,E,F 三点在平面 ACC1A1 内,且矩形 ACC1A1 的外接圆是球的一

d 2 2 又 EF∥A1C,设 A 到直线 A1C 的距离为 d,则 = ,得 d= ,故圆心 O 到直线 EF 2 6 3 1 的距离为 . 3 1 6 42 6 又球的半径为 ,故直线 EF 被球 O 所截得的线段长为 2 ? ?2-? ?2= . 2 3 ? 2 ? ? 3? 三、解答题 13.解:(1)这个几何体的直观图如图所示.

(2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q-A1D1P 的组合体. 由 PA1=PD1= 2,A1D1=AD=2,可得 PA1⊥PD1. 1 故所求几何体的表面积 S=5×22+2×2× 2+2× ×( 2)2=22+4 2(cm2). 2 1 所求几何体的体积 V=23+ ×( 2)2×2=10(cm3). 2 14.解:(1)由题可知 AA1⊥BC,S 侧=SBCC1B1+2SABB1A1=(1+ 2)ab. (2)设 O 为 A1 在平面 ABC 内的射影,则由题可知 O 在∠BAC 的平分线上,可得 AO= 6 3 3a2 3b (b· c os 45° )÷cos 30° = b,则斜三棱柱的高 A1O= b,所以三棱柱的体积 V= · = 3 3 4 3 2 ab . 4 15.(1)解:BC2=AC2-AB2=3?BC= 3. 几何体 ABC-EFD 是由直三棱柱截得,由图可知 DC⊥平面 ABC, ∴DC⊥AB. 又∵∠ABC=90° ,∴AB⊥BC.∴AB⊥平面 BDC. 又 EF∥AB,∴EF⊥平面 BCD. 1 1 1 2 故 VD-BCE=VE-BCD= S△BCD· EF= × × 3× 6×1= . 3 3 2 2 (2)证明:连接 CF.

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AB⊥BF 依题意

? ? ? ? AB⊥平面BFD ? AB⊥BD? ?? ??EF⊥BD.① AB⊥BC ?? BD?平面BFD? EF∥AB ? ? ? ? BF∩BC=B?

又在 Rt△BCF 和 Rt△CDB 中, 6 2 BF 2 BC 3 2 BF BC = = , = = ? = BC 3 2 CD 6 2 BC CD ? Rt△BCF∽Rt△CDB ?∠BDC =∠BCF? ∠BDC+ ∠DCF = ∠BCF + ∠DCF = 90° ? CF⊥BD.② 由①②?BD⊥平面 CEF. 又 CE?平面 CEF,∴BD⊥CE. 16.(1)证明:连接 CO.
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∵AE=EB= 2,AB=2,∴△AEB 为等腰直角三角形. ∵O 为 AB 的中点,∴EO⊥AB,EO=1. 又∵四边形 ABCD 是菱形,∠ABC=60° , ∴△ACB 是等边三角形,∴CO= 3. 又 EC=2,∴EC2=EO2+CO2,∴EO⊥CO. 又 CO?平面 ABCD,EO ? 平面 ABCD,∴EO⊥平面 ABCD. (2)解:设点 D 到平面 AEC 的距离为 h. 7 ∵AE= 2,AC =EC=2,∴S△AEC= . 2 ∵S△ADC= 3,E 到平面 ACB 的距离 EO=1,VD-AEC=VE-ADC, 2 21 ∴S△AEC· h=S△ADC· EO,∴h= , 7 2 21 ∴点 D 到平面 AEC 的距离为 . 7
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