2015届高三数学理第一轮总复习周周练素材十三

2015 届高三数学(理)第一轮总复习周周练素材: (十三) 班级:__________ 姓名:__________ 学号:__________

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一、选择题 1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如下图所示,则相应的侧视图可以为 )

2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45° ,腰和上底均为 1 的等 腰梯形,则原平面图形的面积是( ) 1+ 2 2+ 2 A. B. 2 2 C.1+ 2 D.2+ 2 3.已知四棱锥 VABCD,底面 ABCD 是边长为 3 的正方形,VA⊥平面 ABCD,且 VA =4,则此四棱锥的侧面中,所有直角三角形的面积的和是( ) A.12 B.24 C.27 D.36 4.对于平面 α 和直线 m,n,下列命题是真命题的是( ) A.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n B.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m,n 与 α 所成的角相等,则 m∥n 5.如图所示是一几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为( )

A.3π B.4π C.8π D.9π 二、填空题 6.正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点,则 BD1 与平面 ACE 的位置关系为 ________. 7.如图,已知四面体 ABCD,AD⊥平面 BDC,M 是棱 AB 的中点,AD=CM=2,则 异面直线 AD 与 CM 所成的角等于________.

8.已知四棱锥 PABCD 的三视图如图所示, 则四棱锥 PABCD 的四个侧面中面积最大 的是________.

9.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB∥CD,则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.

10.已知集合 A,B,C,A={直线},B={平面},C=A∪B. 若 a∈A,b∈B,c∈C,给出下列四个命题: ? ? ?a∥b ?a⊥b ①? ?a∥c; ②? ?a∥c; ?c∥b ?c⊥b ? ?
?a∥b ?a⊥b ? ? ③? ?a⊥c; ④? ?a⊥c. ?c⊥b ?c∥b ? ? 其中所有正确命题的序号是________. 三、解答题 11.如图,在多面体 ABCDEFG 中,平面 ABC∥平面 DEFG,AD⊥平面 DEFG,AB= 1 DE,EF∥DG,EF= DG. 2 (1)求证:BE⊥平面 DEFG; (2)求证:BF∥平面 ACGD.

12.如图,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=BC=2,AD=CD= 7,PA= 3,∠ABC=120° ,G 为线段 PC 上的点. (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若 G 是 PC 的中点,求 DG 与平面 APC 所成的角的正切值; PG (3)若 G 满足 PC⊥平面 BGD,求 的值. GC

参考答案 1.D 由几何体的正视图和俯视图可知,该几何体的底面为半圆和等腰三角形,其侧 视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形.故选 D. 1+1+ 2 2 2 2+2 2.D 直观图的面积 S 直= × = , 2 2 4 所以原平面图形的面积 S直 2 2+2 4 S 原= = × =2+ 2. 4 2 2 4 1 1 3.C 可证四个面都是直角三角形,其面积 S=2× ×3×4+2× ×3×5=27,故选 2 2 C. 4.A 5.D 由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形,一侧棱垂直于底面的三棱锥, 把该三棱锥补形为棱长分别为 2,2,1 的长方体,则长方体的外接球即为三棱锥的外接球. 22+22+12 3 所以球的半径 R= = , 2 2 9 2 故 S=4πR =4π× =9π. 4 6.平行 如图,连接 BD 交 AC 于 O,连接 EO,

则 EO∥BD1, 又 EO?平面 ACE,故 BD1∥平面 ACE. π 7. 取 BD 的中点 E,连接 ME,CE,则 ME∥AD,所以 ME⊥平面 BDC,∠CME 为 3 π AD 与 CM 所成的角.在 Rt△CEM 中,ME=1,CM=2,所以∠CME= . 3

8.6 三棱锥如图所示,N 为 DC 的中点,且 PN⊥平面 ABCD,M 为 AB 的中点.

1 PM=3,S△PDC= ×4× 5=2 5, 2 1 1 S△PBC=S△PAD= ×2×3=3,S△PAB= ×4×3=6. 2 2 9.4 设 CD 的中点为 M,连接 EM,FM,易证平面 EFM⊥平面 α,由平面的延展性 可知 EF 必与正方体的上下前后 4 个面所在的平面相交,所以填 4. 10.④ 由题意知:C 可以是直线,也可以是平面,当 C 表示平面时,①②③都不对,

故选④正确. 11.证明:(1)因为平面 ABC∥平面 DEFG,平面 ABC∩平面 ADEB=AB, 平面 DEFG∩平面 ADEB=DE,所以 AB∥DE. 因为 AB=DE,所以四边形 ADEB 为平行四边形,所以 BE∥AD. 因为 AD⊥平面 DEFG,所以 BE⊥平面 DEFG. (2)设 DG 的中点为 M,连接 AM,MF, 1 则 DM= DG, 2 1 又 EF= DG,所以 EF 綊 DG, 2 所以四边形 DEFM 是平行四边形, 所以 MF=DE 且 MF∥DE, 由(1)知,四边形 ADEB 为平行四边形, 所以 AB=DE 且 AB∥DE, 所以 AB=MF 且 AB∥MF, 所以四边形 ABFM 是平行四边形,即 BF∥AM, 又 BF?平面 ACGD,故 BF∥平面 ACGD. 12.(1)由已知得三角形 ABC 是等腰三角形,且底角等于 30° , 则{AB=CB AD=CD BD=DB ?△ABD≌△CBD?∠ABD=∠CBD=60° ,且∠BAC =30° , 所以 BD⊥AC. 又因为{PA⊥平面ABCD?BD⊥PA BD⊥AC ?BD⊥平面 PAC. (2)设 AC∩BD=O, 由(1)知 DO⊥PAC,连接 GO, 所以 DG 与平面 APC 所成的角是∠DGO, 由已知及(1)知:BO=1,AO=CO= 3, 所以 DO= 7-3=2, 1 3 OD 2 4 GO= PA= ?tan∠DGO= = = 3, 2 2 GO 3 3 2 4 所以 DG 与平面 APC 所成的角的正切值是 3. 3 (3)由已知得到:PC= PA2+AC2= 3+12= 15, 因为 PC⊥平面 BGD,所以 PC⊥GD. 在△PDC 中,PD= PA2+AD2= 3+7= 10, CD= 7,PC= 15, 设 PG=x,则 CG= 15-x, 所以 10-x2=7-( 15-x)2, 3 2 PG 3 所以 PG=x= 15,GC= 15,所以 = . 5 5 GC 2


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