鞍山市2011-2012学年度第二学期期末高二数学(理)

鞍山市 2011——2012 年度第二学期期末考试 高二数学理科试卷
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题,60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知 x 与 y 之间的一组数据如右表所示,则 y 与 x 的线性回归方程 y =bx+a 必过点( ) X y 0 1 1 3 2 5 3 7
^

A. (2,2) B. (1.5,0) C. (1,2) D. (10.5,4) 2.设某种职务由出生算起到 1m 的概率为 08,长到 2m 的概率为 0.4,现有一个 1m 的这种 职务,它能长到 2m 的概率是( ) A.0.32 B.0.4 C.0.5 D.0.8 3.阅读下列推理过程:因为直线 a ? 平面 ? ,直线 b ? 平面 ? ,所以 a//b……①又因为 b// 直线 c,所以 a//c……②,①②两个推理步骤分别遵循哪个推理规则( ) A.三段论推理,传递性关系推理 B.三段论推理,三段论推理 C.传递性关系推理,三段论推理, D.三段论推理,完全归纳推理 4.6 本不同的书平均分成三堆,每堆两本,不同的分法种数是( )
2 2 A. C 6 C4

B.

2 2 2 C6 C4 C2 3 A3

3 C.6 A3

3 D. C6

5.事件 A 和 B 的 2×2 列联表如右,下列说法正确的是( ) A A n11 n21 n+1

B
n12 n22 n+2

合计 n1+ n2+ n

A
合计

A.n11 n22- n12 n21 越小,说明 A 与 B 关系越弱 B.n11 n22- n12 n21 越小,说明 A 与 B 关系越强 C. (n11 n22- n12 n21)2 越大,说明 A 与 B 关系越强 D. (n11 n22- n12 n21)2 越接近于 0,说明 A 与 B 关系越强 6.不共面的四个定点到平面 ? 的距离都想到,这样的平面 ? 共有( ) A.3 个 B.4 个 C.6 个 D.7 个 7.从不同号码的 5 双鞋中任取 4 只,其中恰好有 1 双的取法数为( ) A.120 B.240 C.280 D.60 8.锅中煮有芝麻陷汤圆 6 个,花生陷汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特征 完全相同,从中任意舀出 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为( )

A.

8 91

B.

25 91

C.

48 91

D.

60 91

9.设(1+x+x2)n=a0+a1x+……+a2nx2n,则 a2+a4+……+a2n 的值为( ) A

3n ? 1 . 2

B.

3n ? 1 C.3n-2 2

D.3n

10.位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动;质点每次移动一个单位;移动的方向为 向上或向右, 并且向上、 向右移动的概率都是 的概率为( ) A.1 B.

1 , 质点 P 移动 5 次后位于点 (x,y) , 则 x2+y2<25 2

15 16

C.

7 8

D.

13 16

11.由曲线 y=x2-6x+13 与直线 y=x+3 所围城的封闭区域的面积为( ) A.2.5 B.3.5 C.4.5 D.5.5 12.已知函数 f(x)的定义域为(-2,2) ,其导函数 f ’(x)=x2+2cosx 且 f(0)=0,则关于实数 x 的 不等式 f(x-2)+f(x2-2x)>0 的解集为 A. (0,1+ 3 ) B. (2,4) C. (- ? ,-1) ? (2,+ ? ) D. (2,1+ 3 )

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
2 13.若随机变量 x~N( ? , ? ), ? =8 且 P(x<4)=a,则 P(x<12)=____(用 a 表示)

14.已知函数 f(x)= 值分别为________

1 3 x -x2+ax+b 的图像在点 P(0f(0))处的切线方程为 y=3x-2,则 a、b 的 3

15.马老师从课本上抄录一个随机变量 ? 的概率分布律如下表:

x

1

2

3

P(ξ =x)







请小牛同学计算ξ 的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但 能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 Eξ =______. 16.下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据 父亲身高 x(cm) 儿子身高 y(cm) 173 170 170 176 176 182

因为儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 ____

参考公式: 回归直线的方程是:



其中

;其中

是与

对应的回归估计值.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 某班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如 下表所示:
积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计

学习积极性高

18

7

25

学习积极性一般

6

19

25

合计

24

26

50

(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多 少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)试运用独立性检验的思想方法点拨:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有 关系?并说明理由.(参考下表)

18. (本小题满分 12 分) 如图:A,B 两点之间有 6 条网线并联,他们能通过的最大信息量分别 1,1,2,2,3,4,现行 中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量

(1) 设选取的三条网线由 A 到 B 可通过的信息量为 x, 当 x≥6 时, 才能保证信息畅通, 求信息畅通的概率. (2)求选取的三条网线可通过信息总量 ξ 的数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆从和尚游漂流而下的一只巨大汽油罐,已知只
有 5 发子弹备用,且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功.每次射击命中的概率都是

2 , 3

每次命中与否互相独立。
(1)求恰好射击 5 次引爆油罐的概率; (2)如果引爆或子弹打光停止射击,设射击次数为 ? ,求 ? 的分布列及 ? 的数学期望.

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ln(x+a)-x2-x 在点 x=9 处取得极值。 (1)求实数 a 的值

5 x+b 在区间[0,2]上有两个不等实根,求 b 的取值范围 2 n ? 1 n 2 n ?1 ( ) < e 都成立。 (3)证明:对于任意的正整数 n,不等式 n
(2)若关于 x 的方程 f(x)=A 选修 4-1:几何证明选讲 21. (本小题满分 12 分) 如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,,⊙O 交直线 OB 于 E,D,
连接 EC,CD. (1)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (2)若 tan∠CED=

1 , ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

22. (本小题满分 12 分) 如图 ? ABC 内接圆 O,AB=AC,直线 MN 切圆 O 于点 C,弦 BD//MN,AC 与 BD 相交于点 E (1)求证 ? ABE ? ? ACD (2)若 AB=6,BC=4,求 AE

B 选修 4-4:极坐标与参数方程 21. (本小题满分 12 分) 在极坐标系中,曲线 C: ? = 行于 ? =

? ( ? ? R)的直线 l ,且 l 与曲线 C 分别交于 B、C 两点 4

4 cos ? 3 ,过点 A(5, ? ) ( ? 为锐角且 tan ? = )作平 2 4 sin ?

(1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角 坐标系,写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的一个参数方程 (2)||AB|-|AC||的值。 22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? 2 =

12 ,点 F1,F2 为其左右焦点,直线 l 3 cos ? ? 4 sin 2 ?
2

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (t 为参数,t ? R) 的参数方程为 ? ?y ? 2 t ? 2 ?
(1) 求直线 l 和曲线 C 的普通方程 (2) 求点 F1,F2 到直线 l 的距离之和 C 选修 4-5:不等式选讲 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=|x-1|,g(x)=|x-2| (1)解不等式 f(x)+g(x)<2 (2)对于实数 s,t 若 f(s) ? 2,g(x) ? 1,求证|s-2t+3| ? 4 22. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=|x-a|+3x,a>0 (1) 当 a=1 时,求不等式 f(x) ? 3x+2 的解集 (2) 若如果不等式 f(x) ? 0 的解集为{x|x ? -1},求 a 的值

高二数学理科参考答案及评分标准
一、选择题: DCABC DACBB CD 二、填空题: ?2 13.1-a 14. 3, 三、解答题:

1 5.2

16.185

17.解:(1)积极参加班级工作的学生有 24 人,总人数为 50 人,概率 为 不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有 19 人,概率为 (2) K ?
2

24 12 ? ; 50 25

19 .………5 分 50

∵ K2>6.635, ∴ 有 99 %的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系. ……………10 分 18.解: (I)?1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6,? P( x ? 6) ?
1 1 1 ? C2 ? C2 1 ? 3 4 C6

50 ? (18 ? 19 ? 6 ? 7) 2 150 ? ? 11.5 , 24 ? 25 ? 24 ? 26 13

5 1 ? 20 4 3 ?1 ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 8,? P( x ? 8) ? 20 2 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 9,? P( x ? 9) ? ? 20 10 1 1 3 1 3 ? P ( x ? 6) ? ? ? ? ? ……………………………6 分 4 4 20 10 4 1 3 ,?1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 5, P( x ? 5) ? (II)?1 ? 1 ? 2 ? 4, P( x ? 4) ? 10 20 ?1 ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 7,? P( x ? 7) ?
∴ 线路通过信息量的数学期望

1 3 1 1 3 1 ? 5? ? 6? ? 7 ? ? 8? ? 9 ? ? 6.5 10 20 4 4 20 10 3 答: (I)线路信息畅通的概率是 4 (II)线路通过信息量的数学期望是 6.5 ……………………………12 分 2 19. 解: (Ⅰ )∵ 每次命中与否互相独立.且每次射击命中的概率都是 , 3 ? 4?
∴ 是一个独立重复试验, 记“恰好射击 5 次引爆油罐”的 事件为事件 A,表示前四次有一次射中且第五次一定击中,

2 ? 1 ? 2 16 ∴P( A) ? C ? ? ? ? ? ? .……………………………6 分 3 ? 3 ? 3 243
1 4

3

(Ⅱ )射击次数 ξ 的可能取值为 2,3,4,5. 当 ξ=2 时, 表示两枪都击中, 当 ξ=3 时,表示前两枪中有一枪击中且第三枪一定击中, 当 ξ=4 时,表示前三枪中有一枪击中且第四枪一定击中, — 1 — 当 ξ=5 时,表示前四枪中有一枪击中且第五枪一定击中, ∴P(? ? 2) ? ( 2 3) ?
2

4 1 8 1 2 ? ; P(? ? 3) ? C 2 ? ( 2 ; 3) ? 9 3 27 1 2 4 4 8 4 1 1 2 P(? ? 4) ? C 3 ?(2 ? ? ……………9 分 ; . P(? ? 5) ? 1 ? ? 3) ? ( ) ? 3 27 9 27 27 9
ξ 2 3 4 5

∴ ξ 的分布列为

4 8 4 1 P 9 27 27 9 4 8 4 1 79 E (? ) ? 2 ? ? 3 ? ? 4? ? 5? ? 9 27 27 9 27 79 ∴ 所求 ξ 的数学期望为 .……………………………12 分 m 27 2 20.解: (Ⅰ )∵ f ( x) ? ln( x ? a) ? x ? x , 1 ' ? 2x ?1 ∴ f ( x) ? x?a 2 ∵ 函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x ? x 在点 x ? 0 处取得极值, 1 ? 2x ? 1 ? 0 , ∴ f ' (0) ? 0 ,即当 x ? 0 时 x?a

∴ ? 1 ? 0 ,则得 a ? 1 .……………………………4 分 (Ⅱ )∵ f ( x ) ? ?

1 a

5 5 x ? b ,∴ln( x ? 1) ? x 2 ? x ? ? x ? b , 2 2 3 2 ∴ln( x ? 1) ? x ? x ? b . 2 3 2 令 h( x) ? ln( x ? 1) ? x ? x ( x ? ?1) , 2 1 3 (4 x ? 5)( x ? 1) 则 h '( x) ? . ? 2x ? ? ? x ?1 2 2( x ? 1) ∵x ? ? 1 , ∴ 令 h '( x) ? 0 , 解得 ?1 ? x ? 1 ;令 h '( x) ? 0 , 解得 x ? 1 , ∴ 可得如下当 x ? ?0,2? 时, h' ( x), h( x) 随 x 的变化情况表:

x
h' ( x )

0

(0,1) + ↗

1 0

(1,2) -

2

5 2
0

?

13 6

h( x )

ln 2 ?

1 2



ln 3 ? 1

5 x ? b 在区间 [0, 2]上有两个不等实根 ” 等价于 “ 在 2 3 x ? [0, 2] 内,函数 h( x) ? ln( x ? 1) ? x 2 ? x 的图像和直线 y ? b 有两个交点”, 2 1 ∴ 由上表可知, b ? [ln 3 ? 1, ln 2 ? ) .……………………………8 分 2 2 (Ⅲ )由(Ⅰ )知 f ( x) ? ln(x ? 1) ? x ? x ( x ? ?1) , 1 x(2 x ? 3) ? 2x ?1 ? ? 则 f '( x) ? . x ?1 x ?1 ∵ 解 f '( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 0 ,解 f '( x) ? 0 得 x ? 0 ,
∵ “ 关于 x 的方程 f ( x ) ? ? ∴ f ( x ) 在 ? ?1,0? 递增,在 (0, ??) 递减, ∴ 当 x ? ?? 1,??? 时, f ( x) ? f (0) ? 0 . ∵

1 1 ? ?1 且 ? 0 , n n 1 1 1 2 1 ∴ f ( ) ? 0 ,即 ln( ? 1) ? ( ) ? ? 0 , n n n n n ?1 n ?1 n ?1 n ? 1 n2 ) ? 2 , n 2 ln( ) ? n ? 1 , ln( ) ? n ? 1 ? ln en ?1 ,[来源:学科网] ∴ln( n n n n
? n ?1? n ?1 ∴? ? ? e .……………………………12 分 ? n ?
A 选修 4-1:几何证明选讲 21.(Ⅰ )连接 OC , OA ? OB, CA ? CB ? OC ? AB O 的切线 ? 直线 AB 是⊙ (Ⅱ )由(Ⅰ )可得 ?BCD ? ?E ,又 ?B ? ?B ,故 ?BCD ∽?BEC 所以
n2

……4 分

BD CD 1 ? ? tan ?CED ? BC CE 2

设 BD ? x ,则 BC ? 2 x ,又 BC ? BD ? BE 故 BD ? 4 所以 OA ? OB ? OD ? BD ? 6 ? 4 ? 10 22 解: (Ⅰ ) ?ABE ? ?ACD, ?BAE ? ?EDC BD // MN ??EDC ? ?DCN
2

……10 分 ……12 分

又直线 MN 为圆的切线,??DCN ? ?CAD ??BAE ? ?CAD 故 ?ABE ≌?ACD ……6 分 (Ⅱ )设 AE ? x ,易证 BC ? CD ? BE ? 4 , ?ABE ∽?DEC , DE ? 2 x ,又 AE ? EC ? BE ?ED , 3 10 所以 x ? ………………………………………………………………………12 分
3

B 选修 4-4:坐标系与参数方程

21.(Ⅰ )由题意得,点 A 的直角坐标为 ?4,3?

曲线 C 的普通方程为: y 2 ? 4 x …2 分

? 2 t ?x ? 4 ? ? 2 直线 l 的普通方程为: ? ? t为参数? 2 ?y ? 3? t ? ? — 23 — ? 2 t ?x ? 4 ? — 3 —2 ? 2 (Ⅱ )将 ? 代入 y 2 ? 4 x 中,得 t ? 2 2t ? 14 ? 0 ?y ? 3? 2 t ? ? 2 故 AB ? AC ? t1 ? t2 ? 2 2
22.解:(Ⅰ ) 直线 l 普通方程为
2

……6 分

……10 分

……12 分

y ? x?2;
2

………………………………………3 分 ………………………………………6 分
2

曲线 C 的普通方程为

x y ? ?1. 4 3

?1 ? 0 ? 2 3 2 l (Ⅱ ) ∵F1 (?1,0) , F2 (1,0) ,∴ 点F ? , 1 到直线 的距离 d1 ? 2

……8 分

点 F2 到直线 l 的距离 d2 ? 1 ? 0 ? 2 ? 2 , 2 2 ∴d1 ? d2 ? 2 2. C 选修 4-5:不等式选讲学科网

……………………………10 分 ………………………………12 分

? 1 ? 2 x, x ? 1 ? 21.解: (Ⅰ )令 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? 2 ? ? ?1,1 ? x ? 2 ?2 x ? 5, x ? 2 ?
1 5 2 2 (Ⅱ )因为 s ? 2t ? 3 ? ? s ? 1? ? 2 ? t ? 2 ? ? s ? 1 ? 2 t ? 2 ? 4
所以 f ( x) ? g ( x) ? 2 的解集为 ( , ) . 22.解: (Ⅰ ) f ? x? ? ? ,令 ? x ? 4 ? 4 或 3 x ? 4 ,得 x ? 0 , x ? ?? x ? 4,( ? 2 ? x ? 1)
?3x , ? ( x ? 1) ??3x , ( x ? ?2)

……6 分 ……12 分

4 ,所以,不 3

等式 f ( x) ? 4 的解集是 {x | x ? 0或x ? 4} .………………………………6 分 (Ⅱ ) f ( x) 在 (?? ,1] 上递减, [1, ? ?) 递增,所以, f ? x ? ? f (1) ? 3 , 故 m ? ?1 或 m ? 5 ,即实数 m 的取值范围是 (?? , ? 1)
3

由于不等式 f ? x ? ? m ? 2 的解集是非空的集合,所以 | m ? 2 |? 3 ,

(5, ? ?) .……12 分


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