鞍山市2011-2012学年度第二学期期末高二数学(理)

鞍山市 2011——2012 年度第二学期期末考试

高二数学理科试卷

本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题,60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
^
1.已知 x 与 y 之间的一组数据如右表所示,则 y 与 x 的线性回归方程 y =bx+a 必过点( )

X

0

1

2

3

y

1

3

5

7

A.(2,2) B.(1.5,0) C.(1,2) D.(10.5,4)

2.设某种职务由出生算起到 1m 的概率为 08,长到 2m 的概率为 0.4,现有一个 1m 的这种 职务,它能长到 2m 的概率是( )

A.0.32 B.0.4 C.0.5 D.0.8

3.阅读下列推理过程:因为直线 a ? 平面? ,直线 b ? 平面? ,所以 a//b……①又因为 b//
直线 c,所以 a//c……②,①②两个推理步骤分别遵循哪个推理规则( ) A.三段论推理,传递性关系推理 B.三段论推理,三段论推理 C.传递性关系推理,三段论推理, D.三段论推理,完全归纳推理

4.6 本不同的书平均分成三堆,每堆两本,不同的分法种数是( )

A.

C

2 6

C

2 4

B. C62C42C22 A33

C.6 A33

D.

C

3 6

5.事件 A 和 B 的 2×2 列联表如右,下列说法正确的是( )

A
B

合计

A

n11

n12

n1+

n21

n22

n2+

A

合计

n+1

n+2

n

A.n11 n22- n12 n21 越小,说明 A 与 B 关系越弱 B.n11 n22- n12 n21 越小,说明 A 与 B 关系越强 C.(n11 n22- n12 n21)2 越大,说明 A 与 B 关系越强 D.(n11 n22- n12 n21)2 越接近于 0,说明 A 与 B 关系越强
6.不共面的四个定点到平面? 的距离都想到,这样的平面? 共有( )
A.3 个 B.4 个 C.6 个 D.7 个 7.从不同号码的 5 双鞋中任取 4 只,其中恰好有 1 双的取法数为( )
A.120 B.240 C.280 D.60 8.锅中煮有芝麻陷汤圆 6 个,花生陷汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特征 完全相同,从中任意舀出 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为( )

A. 8 B. 25 C. 48

91

91

91

D. 60 91

9.设(1+x+x2)n=a0+a1x+……+a2nx2n,则 a2+a4+……+a2n 的值为( )

A 3n ? 1 . B. 3n ? 1 C.3n-2

2

2

D.3n

10.位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动;质点每次移动一个单位;移动的方向为

向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是 1 ,质点 P 移动 5 次后位于点(x,y),则 x2+y2<25 2
的概率为( )

A.1 B. 15 C. 7

16

8

D. 13 16

11.由曲线 y=x2-6x+13 与直线 y=x+3 所围城的封闭区域的面积为( )

A.2.5 B.3.5 C.4.5 D.5.5 12.已知函数 f(x)的定义域为(-2,2),其导函数 f’(x)=x2+2cosx 且 f(0)=0,则关于实数 x 的 不等式 f(x-2)+f(x2-2x)>0 的解集为

A.(0,1+ 3 ) B.(2,4) C.(- ? ,-1) ? (2,+ ? ) D.(2,1+ 3 )

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.若随机变量 x~N( ? ,? 2 ), ? =8 且 P(x<4)=a,则 P(x<12)=____(用 a 表示) 14.已知函数 f(x)= 1 x3-x2+ax+b 的图像在点 P(0f(0))处的切线方程为 y=3x-2,则 a、b 的
3
值分别为________
15.马老师从课本上抄录一个随机变量? 的概率分布律如下表:

x

1

2

3

P(ξ=x)







请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但

能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 Eξ=______. 16.下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据

父亲身高 x(cm) 173

170

176

儿子身高 y(cm) 170

176

182

因为儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 ____

参考公式: 回归直线的方程是:



其中

;其中 是与 对应的回归估计值.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分)
某班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如 下表所示:

积极参加班级工作

不太主动参加班级工作 合计

学习积极性高

18

7

25

学习积极性一般

6

19

25

合计

24

26

50

(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多 少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)试运用独立性检验的思想方法点拨:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有 关系?并说明理由.(参考下表)

18.(本小题满分 12 分) 如图:A,B 两点之间有 6 条网线并联,他们能通过的最大信息量分别 1,1,2,2,3,4,现行
中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量

(1)设选取的三条网线由 A 到 B 可通过的信息量为 x,当 x≥6 时,才能保证信息畅通,

求信息畅通的概率.

(2)求选取的三条网线可通过信息总量 ξ 的数学期望.

19.(本小题满分 12 分)

在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆从和尚游漂流而下的一只巨大汽油罐,已知只

2
有 5 发子弹备用,且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功.每次射击命中的概率都是



3

每次命中与否互相独立。

(1)求恰好射击 5 次引爆油罐的概率;

(2)如果引爆或子弹打光停止射击,设射击次数为 ? ,求 ? 的分布列及 ? 的数学期望.

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ln(x+a)-x2-x 在点 x=9 处取得极值。 (1)求实数 a 的值
(2)若关于 x 的方程 f(x)=- 5 x+b 在区间[0,2]上有两个不等实根,求 b 的取值范围 2
(3)证明:对于任意的正整数 n,不等式( n ? 1)n2 < e n?1 都成立。 n
A 选修 4-1:几何证明选讲 21.(本小题满分 12 分)
如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,,⊙O 交直线 OB 于 E,D,
连接 EC,CD.
(1)求证:直线 AB 是⊙O 的切线;
(2)若 tan∠CED= 1 , ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长. 2
22.(本小题满分 12 分)
如图 ? ABC 内接圆 O,AB=AC,直线 MN 切圆 O 于点 C,弦
BD//MN,AC 与 BD 相交于点 E
(1)求证 ? ABE ? ? ACD
(2)若 AB=6,BC=4,求 AE

B 选修 4-4:极坐标与参数方程

21.(本小题满分 12 分)

在极坐标系中,曲线 C: ? = 4 cos? ,过点 A(5,? )(? 为锐角且 tan? = 3 )作平

sin 2 ?

4

行于? = ? ( ? ? R)的直线 l ,且 l 与曲线 C 分别交于 B、C 两点 4

(1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角

坐标系,写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的一个参数方程

(2)||AB|-|AC||的值。

22.(本小题满分 12 分)

已知椭圆

C

的极坐标方程为

?

2

=

3 c os2

12 ? ? 4sin 2

?

,点

F1,F2

为其左右焦点,直线 l

?

的参数方程为

??x ?

?

2

?

2t 2 (t 为参数,t? R)

? ??

y

?

2t 2

(1) 求直线 l 和曲线 C 的普通方程 (2) 求点 F1,F2 到直线 l 的距离之和
C 选修 4-5:不等式选讲 21.(本小题满分 12 分)
设函数 f(x)=|x-1|,g(x)=|x-2| (1)解不等式 f(x)+g(x)<2
(2)对于实数 s,t 若 f(s) ? 2,g(x) ? 1,求证|s-2t+3| ? 4
22.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=|x-a|+3x,a>0
(1) 当 a=1 时,求不等式 f(x) ? 3x+2 的解集 (2) 若如果不等式 f(x) ? 0 的解集为{x|x ? -1},求 a 的值

高二数学理科参考答案及评分标准

一、选择题:

DCABC DACBB CD 二、填空题:
13.1-a 14. 3,? 2
三、解答题:

1 5.2

16.185

17.解:(1)积极参加班级工作的学生有 24 人,总人数为 50 人,概率 为 24 ? 12 ; 50 25

不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有 19 人,概率为 19 .………5 分 50

(2) K 2 ? 50 ? (18 ?19 ? 6 ? 7)2 ? 150 ? 11.5 , 24 ? 25 ? 24 ? 26 13
∵K2>6.635,

∴有 99 %的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系. ……………10 分

18.解:(I)?1?1? 4 ? 1? 2 ? 3 ? 6,? P(x ? 6) ? 1? C21 ? C21 ? 1

C63

4

?1 ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 7,? P(x ? 7) ? 5 ? 1 20 4

?1 ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 8,? P(x ? 8) ? 3 20

? 2 ? 3 ? 4 ? 9,? P(x ? 9) ? 2 ? 1 20 10

? P(x ? 6) ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3-……………………………6 分 4 4 20 10 4

(II)?1?1? 2 ? 4, P(x ? 4) ? 1 ,?1?1? 3 ? 1? 2 ? 2 ? 5, P(x ? 5) ? 3

10

20

∴线路通过信息量的数学期望

? 4 ? 1 ? 5? 3 ? 6 ? 1 ? 7 ? 1 ? 8? 3 ? 9 ? 1 ? 6.5 10 20 4 4 20 10
答:(I)线路信息畅通的概率是 3 4
(II)线路通过信息量的数学期望是 6.5 ……………………………12 分
19. 解:(Ⅰ)∵每次命中与否互相独立.且每次射击命中的概率都是 2 , 3
∴是一个独立重复试验, 记“恰好射击 5 次引爆油罐”的 事件为事件 A,表示前四次有一次射中且第五次一定击中,



P( A)

?

C41

?

2 3

? ?? ?

1 ?3 ?
3?

?

2 3

?

16 243

.……………………………6



(Ⅱ)射击次数 ξ 的可能取值为 2,3,4,5.

当 ξ=2 时, 表示两枪都击中,

当 ξ=3 时,表示前两枪中有一枪击中且第三枪一定击中,

当 ξ=4 时,表示前三枪中有一枪击中且第—四枪1 一—定击中, 当 ξ=5 时,表示前四枪中有一枪击中且第五枪一定击中,

∴ P(?

?

2)

?

(

2 3

)

2

?

4 ; P(? 9

?

3)

?

C21

?

(

2 3

)

2

?

1 3

?

8 27



P(?

?

4)

?

C31

?

(

2 3

)

2

? (1)2 3

?

4 27

;. P(?

?

5)

?1?

4 9

?

8 27

?

4 27

?

1
……………9
9



∴ξ 的分布列为

ξ2

3

4

5

48

41

P

9 27 27 9

E(? ) ? 2 ? 4 ? 3? 8 ? 4 ? 4 ? 5? 1 ? 79 9 27 27 9 27
∴所求 ξ 的数学期望为 79 .……………………………12 分 m 27
20.解:(Ⅰ)∵ f (x) ? ln(x ? a) ? x2 ? x ,

∴ f '(x) ? 1 ? 2x ?1 x?a
∵函数 f (x) ? ln(x ? a) ? x2 ? x 在点 x ? 0 处取得极值,

∴ f '(0) ? 0 ,即当 x ? 0时 1 ? 2x ?1 ? 0 , x?a

∴ 1 ?1 ? 0 ,则得 a ? 1 .……………………………4 分 a

(Ⅱ)∵ f (x) ? ? 5 x ? b ,∴ ln( x ? 1) ? x2 ? x ? ? 5 x ? b ,

2

2

∴ ln(x ?1) ? x2 ? 3 x ? b . 2

令 h(x) ? ln(x ?1) ? x2 ? 3 x (x ? ?1) , 2

则 h '(x) ? 1 ? 2x ? 3 ? ? (4x ? 5)(x ?1) .

x ?1

2

2(x ?1)

∵ x ? ?1 , ∴ 令 h '(x) ? 0 , 解得 ?1? x ?1;令 h '(x) ? 0 , 解得 x ?1,
∴可得如下当 x ? ?0,2? 时, h'(x),h(x) 随 x 的变化情况表:

x

0 (0,1)

1

(1,2) 2

h'(x) 5

+

0

2

-

? 13

6

h(x) 0 ↗ ln 2 ? 1



ln 3 ?1

2

∵“关于 x 的方程 f (x) ? ? 5 x ? b 在区间 [0, 2]上有两个不等实根”等价于“在 2

x ?[0, 2]内,函数 h(x) ? ln(x ?1) ? x2 ? 3 x 的图像和直线 y ? b 有两个交点”, 2

∴由上表可知, b ?[ln 3 ?1, ln 2 ? 1) .……………………………8 分 2
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 f (x) ? ln( x ? 1) ? x2 ? x (x ? ?1) ,

则 f '(x) ? 1 ? 2x ?1 ? ? x(2x ? 3) .

x ?1

x ?1

∵解 f '(x) ? 0 得 ?1? x ? 0 ,解 f '(x) ? 0 得 x ? 0 ,

∴ f (x) 在 ??1,0? 递增,在 (0, ??) 递减,

∴当 x ? ??1,???时, f (x) ? f (0) ? 0 .

∵ 1 ? ?1且 1 ? 0 ,

n

n

∴ f ( 1 ) ? 0 ,即 ln( 1 ?1) ? (1 )2 ? 1 ? 0 ,

n

n

nn

∴ ln( n ?1)

?

n ?1
,

n2

ln( n

? 1)

?

n

? 1, ln( n ?1)n2

?

n ?1 ?

ln en?1 ,[来源:学科网]

n

n2

n

n



? ??

n

? n

1

n2
? ??

? en?1 .……………………………12 分

A 选修 4-1:几何证明选讲

21.(Ⅰ)连接 OC , OA ? OB,CA ? CB ?OC ? AB

?直线 AB 是⊙O 的切线

……4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ?BCD ? ?E ,又 ?B ? ?B ,故 ?BCD ∽ ?BEC

所以 BD ? CD ? tan ?CED ? 1

BC CE

2

设 BD ? x ,则 BC ? 2x ,又 BC2 ? BD ? BE 故 BD ? 4

……10 分

所以 OA ? OB ? OD ? BD ? 6 ? 4 ?10

……12 分

22 解:(Ⅰ) ?ABE ? ?ACD,?BAE ? ?EDC BD // MN ??EDC ? ?DCN

又直线 MN 为圆的切线,??DCN ? ?CAD??BAE ? ?CAD

故 ?ABE ≌ ?ACD ……6 分

(Ⅱ)设 AE ?x ,易证 BC ? CD ? BE ? 4 ,?ABE ∽ ?DEC ,DE ? 2 x ,又 AE ?EC ?BE E? D ,
3

所以 x ? 10 ………………………………………………………………………12 分
3

B 选修 4-4:坐标系与参数方程

21.(Ⅰ)由题意得,点 A 的直角坐标为 ?4,3? 曲线 C 的普通方程为: y2 ? 4x …2 分

?

直线

l

的普通方程为:

?? ?

x

?

4

?

2t
2 ?t为参数?

? ??

y

?

3

?2 — 23

t


……6 分

(Ⅱ)将

? ??x ? 4 ? ?

2t 2

代入 y2 ? 4x 中 —,3得—t2 ? 2

2t ?14 ? 0

? ??

y

?

3?

2t 2

……10 分

故 AB ? AC ? t1 ? t2 ? 2 2

……12 分

22.解:(Ⅰ) 直线 l 普通方程为 y ? x ? 2 ; ………………………………………3 分

曲线 C 的普通方程为 x2 ? y2 ? 1 . 43

………………………………………6 分

(Ⅱ)



F1(?1, 0) ,

F2 (1, 0)

,∴点 F1 到直线 l

的距离 d1

?

?1? 0 ? 2 2

?

32 2

,

……8 分

点 F2 到直线 l 的距离 d2

?

1? 0 ? 2 2

?

2, 2

∴ d1 ? d2 ? 2 2. C 选修 4-5:不等式选讲学科网

……………………………10 分 ………………………………12 分

?1? 2x, x ?1
21.解: (Ⅰ)令 h ? x? ? f ? x? ? g ? x? ? 2 ? ???1,1 ? x ? 2
??2x ? 5, x ? 2

所以 f (x) ? g(x) ? 2 的解集为 (1 , 5) . 22

……6 分

(Ⅱ)因为 s ? 2t ? 3 ? ?s ?1? ? 2?t ? 2? ? s ?1 ? 2 t ? 2 ? 4

……12 分

22.解:(Ⅰ)

f

?x?

?

??3x , ???x ? ??3x ,

(x ? ?2) 4,( ? 2 ? x ?1) (x ?1)

,令

?x

?

4

?

4



3x

?

4

,得

x

?

0



x

?

4 3

,所以,不

等式 f (x) ? 4 的解集是{x | x ? 0或x ? 4} .………………………………6 分
3

(Ⅱ) f (x) 在 (??,1] 上递减,[1,? ?) 递增,所以, f ? x? ? f (1) ? 3 ,

由于不等式 f ? x? ? m ? 2 的解集是非空的集合,所以| m ? 2 |? 3 ,

故 m ? ?1或 m ? 5 ,即实数 m 的取值范围是 (??, ?1) (5, ? ?) .……12 分


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