河北省安平中学2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题理(普通班)

安平中学 2018-2019 年度第一学期期末考试 高二普通班数学(理科)试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的). 1. 设命题 p : ?x ? R , 2 ? 2012 ,则 ?p 为
x

A. ?x ? R, 2 ≤ 2012
x

B. ?x ? R, 2 ? 2012
x

C. ?x ? R, 2 ≤ 2012
x

D. ?x ? R, 2 ? 2012
x
2

2. 已知 a, b, c ? R ,命题“若 a ? b ? c ? 3 ,则 a 2 ? b ? c 2 ? 3 ”的否命题是 A.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3
2 2 2

B.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3
2 2 2

C.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3
2 2 2

D.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3
2 2 2

3. 用 a 、 b 、 c 表示三条不同的直线,

? 表示平面,给出下列命题:

①若 a / / b , b / / c ,则 a / / c ;②若 a ? b , b ? c ,则 a ? c ; ③若 a / /? , b / /? ,则 a / / b ;④若 a ? ? , b ? ? ,则 a / / b ;则其中正确的是 A.①② 4. B.②③ C.①④ D.③④

设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是 B. y 2 ? ?4 x C. y ? 8 x
2

A. y 2 ? ?8 x 5.

D. y 2 ? 4 x

“ a ? 0 ”是“函数 y ? ln x ? a 为偶函数”的 B. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件

A. 充要条件 C. 必要不充分条件
2

6. 设抛物线 y ? 12 x 的焦点为 F ,点 P 在此抛物线上且横坐标为 5 ,则 PF 等于 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

1

7. 椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点 4
)

为 P ,则 PF2 等于(

A.

3 2
2 3

B.

3

C.

7 2
2 3

D. 4

8.已知正四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于 A. B. 3 3 C. D. 1 3

9. 设 p : 2 x 2 ? 3 x ? 1 ≤ 0 , ,若 ?p 是 ?q 的必要不充分 q : x 2 ? ? 2a ? 1? x ? a ? a ? 1? ≤ 0 条件,则实数 a 的取值范围是 A. ? 0, ? 2

? 1? ? ?

B. ? 0,

? ?

1? ? 2?

C. ? ??, 0? ? ? , ?? ?

?1 ?2

? ?

D. ? ??, 0 ? ? ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?

10. 若双曲线过点 3, 2 ,且渐近线方程为 y ? ? A. y ?
2

?

?

1 x ,则该双曲线的方程是 3
C. x ?
2

x2 ?1 9

B.

y2 ? x2 ? 1 9

y2 ?1 9

D.

x2 ? y2 ? 1 9

11. 设 F1 , F2 分别为双曲线 得 PF1 ? PF2 A. 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使 a 2 b2

?

?

2

? b 2 ? 3ab ,则该双曲线的离心率为
B.

15

C. 4

D.

17

12. 设椭圆

x2 y 2 a ? 2 ?1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c, 0),F2 (c, 0) ,点 N (c, ) 在 2 a b 2
3 F1 F2 恒成立,则椭圆离心 2

椭圆的外部,点 M 是椭圆上的动点,满足 MF1 ? MN ? 率 e 的取值范围是 A. (0, )

2 2

B. (

2 , 1) 2

C. (

2 5 ,) 2 6

D. ( ,1)

5 6

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分).

2

13. 设 F1、F2 分别是椭圆

x2 y 2 右焦点, P 为椭圆上一点, M 是 F1 P 的中点, ? ? 1 的左、 25 16

OM ? 3 ,则 P 点到椭圆左焦点的距离为________.
14. 若 f′(x0)=4,则Δ lim x→0

f?x0+2Δx?-f?x0? =________. Δx

15.如 图 是 函 数 f(x)及 f(x)在 点 P 处 切 线 的 图 象 ,则

f(2)+f'(2)=     .
16.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,所有棱长均为 1,则点 B1 到平面 ABC1 的 距离为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出相应的文字说明, 证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分 10 分) (1)已知函数 y=f(x)=13-8x+ 2x2,且 f′(x0)=4,求 x0 的值. (2)已知函数 y=f(x)=x2+2xf′(0),求 f′(0)的值.

18.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC= 的中点,且 AB=BC=BB1=2. (1)求证:AB1∥平面 BC1D; (2)求异面直线 AB1 与 BC1 所成的角. π , D 是棱 AC 2

19.(本小题满分 12 分) 已知 m ? R ,命题 p :对任意 x ? ?? 1,1? ,不等式 2 x ? 1 ? m ? 4m 恒成立;命题 q :
2

存在 x ? ?? 1,1? ,使得 ax ? m 成立。 (1)若 p 为真命题,求 m 的取值范围。 (2)当 a ? 2 ,若 p ? q 为假, p ? q 为真,求 m 的取值范围。

3

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 4 x ? y ? 1 及直线 l : y ? x ? m
2 2

(1)当 m 为何值时,直线 l 与椭圆有公共点; (2)求直线 l 被椭圆截得的弦长最长时直线的方程.

21.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的 正方形.平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5. (1)求证:AA1⊥平面 ABC; (2)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (3)证明:在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求 的值.
BD BC 1

22.(本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ?1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率为 . 2 a b 2

(1)求椭圆的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m 与椭圆有且只有一个交点 P ,且与直线 x ? 4 交于点 Q ,设

???? ???? ? M (t , 0) (t ? R ) ,且满足 MP ? MQ ? 0 恒成立,求 t 的值.

4

高二普通班理科数学答案 1. A 2. A3. C 4. C5.A 6.C7. C8. A 9. A 10. A 11. D12.D 13. 4 21 7

14. 8

15

16.

17. (1)f′(x0)=Δ lim x→0 =Δ lim x→0 =Δ lim x→0

Δy Δx Δx

0 [13-8?x0+Δx?+ 2?x0+Δx?2]-?13-8x0+ 2x2 ?

-8Δx+2 2x0Δx+ 2?Δx?2

Δx

=Δ lim x→0 (-8+2 2x0+ 2Δx) =-8+2 2x0 =4, ∴x0=3 2. (2)f′(0)=Δ lim x→0 =Δ lim x→0

Δy f?0+Δx?-f?0? =Δ lim x→0 Δx Δx Δx

?Δx?2+2Δxf′?0?

=Δ lim x→0[Δx+2f′(0)]=2f′(0), ∴f′(0)=0.

18.(1)如图,连接 B1C 交 BC1 于点 O,连接 OD.

∵O 为 B1C 的中点,D 为 AC 的中点,∴OD∥AB1. ∵AB1?平面 BC1D,OD?平面 BC1D, ∴AB1∥平面 BC1D. (2)建立如图所示的空间直角坐标系 B-xyz.

5

则 B(0,0,0)、A(0,2,0)、C1(2,0,2)、B1(0,0,2). → → ∴AB1=(0,-2,2)、BC1=(2,0,2).

→ →1 cos〈AB1, BC 〉=

AB1·BC1
→ → |AB1|·|BC1|







1 = , 2 2 × 2 2 2 0+0+4

1 设异面直线 AB1 与 BC1 所成的角为 θ,则 cosθ= , 2 ∵θ∈(0, π π ),∴θ= . 2 3

19. (1) 1 ? m ? 3 20. (Ⅰ) ?

(2) m ? 1 或 2 ? m ? 3

?y ? x ? m
2 2

消去y,得 5 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 1 ? 0 , ?4 x ? y ? 1
5 5 , ] 2 2

? ? 4m 2 ? 4 ? 5( m 2 ? 1) ? 0 解得 [?

(Ⅱ)设直线与椭圆交点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

2m m2 ? 1 , x1 x2 ? 5 5

| AB |? 2(

4m 2 4( m 2 ? 1) 20 ? 16m 2 ? ) ? 2? 25 5 25

? m ? [?

5 5 2 10 , ] ?当m ? 0时, | AB |max ? . 此时, l 的方程为 y ? x . 2 2 5

21. (1)

因为A1 ACC1 是正方形, 所以AA1 ? AC 。

又 因为平面ABC ? 平面A1 ACC1 , 交线AC , 所以AA1 ? 平面ABC 。 (2) 因为AC ? 4, BC ? 5, AB ? 3 , 所以AC ? AB 。

6

分别以 AC , AB, AA1 为 x轴, y轴,z轴 建立如图所示的空间直线坐标系。 则

????? ???? A1 (0, 0, 4), B(0,3, 0), C1 (4, 0, 4), B1 (0,3, 4) , A1C1 ? (4, 0, 0) , A1 B ? (0,3, ?4) , ????? ???? B1C1 ? (4, ?3, 0), BB1 ? (0, 0, 4) , ?? ?? ? 设平面 A1 BC1 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,平面 B1 BC1 的法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , ????? ?? ? ?? ?4 x1 ? 0 ? A1C1 ? n1 ? 0 所以 ? ???? ?? , 所以 ? , 所以可取n1 ? (0, 4,3) 。 ?3 y1 ? 4 z1 ? 0 ? ? A1 B ? n1 ? 0

????? ?? ? ? ?? ? ?4 x2 ? 3 y2 ? 0 ? B1C1 ? n2 ? 0 由 ? ???? ?? 可得 ? 可取 n2 ? (3, 4, 0) 。 ? ? 4 z2 ? 0 ? ? BB1 ? n2 ? 0 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 16 16 ? ? 所以 cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? 。 | n1 || n2 | 5 ? 5 25
16 。 25

由图可知二面角 A1-BC1-B1 为锐角,所以余弦值为

(3)点 D 的竖轴坐标为 t(0<t<4),在平面 BCC1 B1 中作 DE ? BC 于 E,根据比例关系可知

???? ???? 3 3 D(t , (4 ? t ), t )(0 ? t ? 4) , 所以 AD ? (t , (4 ? t ), t ), A1 B ? (0,3, ?4) , 4 4
又 因为 AD ? A1 B , 所以 (4 ? t ) ? 4t ? 0, 所以t ?

????

????

9 4

BD DE 9 36 ? ? , 所以 。 BC1 CC1 25 25
c 1 ? ,又 由 a 2 ? b 2 ? c 2 , 得 a 2

22. 解 : ( Ⅰ) 设 椭 圆 的 焦 距 为 2c , 由 已 知 有 c ? 1,

a ? 2, b ? 3, c ? 1 ,

x2 y 2 故椭圆 C 的标准方程为 ? ? 1. 4 3
? y ? kx ? m ? (Ⅱ)由 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 3 ?4
消去 y 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 ,
2 2 2

所以 ? ? 64k m ? 4(3 ? 4k )(4m ? 12) ? 0 ,
2 2 2 2

即 m 2 ? 3 ? 4k 2 .

设 P ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? ? 即 P(?

4km 4k , ?? 2 3 ? 4k m
因为 Q (4, 4k ? m) ,所以

y0 ? kx0 ? m ? ?

4k 2 3 ?m? , m m

4k 3 , ). m m

7

???? ???? ? 4k 3 MP ? (? ? t , ) MQ ? (4 ? t , 4k ? m) m m
即 (?

由 MP ? MQ ? 0 恒成立可得,

???? ???? ?

?t ? 1, 4k 3 4k ? t , ) ? (4 ? t , 4k ? m) ? t 2 ? 4t ? 3 ? (t ? 1) ? 0 恒成立, 故 ? 2 m m m ?t ? 4t ? 3 ? 0.

     

所以 t ? 1 .          

8


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