万卷三年高考模拟卷文数打印_图文

9.设 F1 , F2 是椭圆 E:

x2 y 2 3a + = 1( a > b > 0 ) 的左、右焦点,P 为直线 x = 上一点, ΔF2 PF1 是底角为 2 a 2 b2
( )

三年高考模拟卷(一)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A = { x x > 1} , B = { x ?1 < x < 2} , 则A ∩ B= ( (A) { x -1<x<2} (C) { x ?1<x<1} (B) { x x> ? 1} (D) { x 1<x<2} )

30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为 A. 1 2 B. 2 3


C.

3 4


D.

4 5

10.已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在 ΔABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是 A. 1 ? 3, 2 C.

(

)

B. ( 0, 2 )

(

3 ? 1, 2

)

D. 0,1 + 3

(

)
( )

准考证号

2.复数 z =

?3 + i 的共轭复数是 2+i B. 2 ? i C. ?1 + i

(

)

11.当 0 < x ? 2? A. ? 0, ? ? ? ? 2 ?
(C)–2i (D)4i

1 时, 4 x < log a x ,则 a 的取值范围是 2
? 2 ? ,1? B. ? ? ? ? 2 ? D.
n

A. 2 + i

D. ?1 ? i


1 1 1 1 3. i 为虚数单位, + 3 + 5 + 7 = ( i i i i
(A)0

(B)2i

C. 1, 2

(

)
B.3660 D.1830

(

2, 2

)
( )

座位号

4. (2010 辽宁文数 9 题)设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐
近线垂直,那么此双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C.

12.数列 {an } 满足 an +1 ( ?1) an = 2n ? 1 ,则 {an } 的前 60 项和为

3 +1 2
) 3 (C)

D.

5 +1 2
(D) 2

A.3690 C.1845

5. 执行右面的程序框图,如果输入的 n 是 4,则输出 P 的是( (A) 8 (B) 5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
x 天, 8

姓名

6.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元。若每批生产 x 件,则平均仓储时间为

13. 已知函数 f ( x ) = e x ? 2 x + a 有另零点,则 a 的取值范围是___________。
14.(2010 浙江理数 14 题) 设 n ≥ 2, n ∈ N, (2 x + ) n ? (3 x + ) n = a0 + a1 x + a2 x 2 + ??? + an x n , 将 ak (0 ≤ k ≤ n)

且每件产品每天的仓储费用为 1 元。为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每 批应生产产品( A.60 件 ) B.80 件 C.100 件 D.120 件

1 2

1 3

7. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 ,它的三视图中的俯视图如下图所示,左视图是
一个矩形,则这个矩形的面积是( A.4 C.2 B. 2 D. )

1 1 1 1 的最小值记为 Tn ,则 T2 = 0, T3 = 3 ? 3 , T4 = 0, T5 = 5 ? 5 , ???, Tn , ??? 其中 Tn =__________________ . 2 3 2 3 15. (2010 浙江文数 17 题)在平行四边形 ABCD 中, O 是 AC 与 BD 的交点, P, Q, M , N 分别
是线段 OA, OB, OC , OD 的中点,在 A, P, M , C 中任取一点记为 A B

E,
在 B, Q, N , D 中 任 取 一 点 记 为 F , 设 G 为 满 足 向 量

3 3
俯视图 第 7 题图

· P · N
D O M

· Q ·
C

OG = OE + OF
的点,则在上述的点 G 组成的集合中的点,落在平行四边形

学校

密……………………………………………………封……………………………………………………线

ABCD 外
( )
(不含边界)的概率为 .

第 15 题图

球心 O 到平面 α 的距离为 2 , 则此球的体积是 8.平面 α 截面 O 的球面所得圆的半径为 1,

A. 6π

B. 4 3π

C. 4 6π

D. 6 3π

16.设函数 f ( x ) =

( x + 1)

2

+ sin x

x2 + 1

的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=



文数

1

文数 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分 .解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (2010 山东文数 17 题)已知函数 f ( x) = sin(π ? ω x) cos ω x + cos 2 ω x (ω > 0) 的最小正周期为 π .(本小题
满分 12 分) (I)求 ω 的值; (II)将函数 y = f ( x ) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 函数 g ( x) 在区间 ?0,

1 ,纵坐标不变,得到函数 y = g ( x) 的图像,求 2

? π? ? 上的最小值. ? 16 ?

三棱柱 ABC —A1 B1C1 中, 侧棱垂直底面,∠ACB = 90° ,AC = BC = 19. (本小题满分 12 分)如图,

1 AA1 ,D 2

是棱 AA1 的中点。 (Ⅰ)证明:平面 BDC1 ⊥ 平面 BDC; (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。

题 19 图

18. (本小题满分 12 分)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,
对方再连续发球 2 次,依次轮换,每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分,设在甲、乙的比赛中,每 次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中,甲先 发球。 (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ)求开始第 5 次发球时,甲得分领先的概率。

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

文数

3

文数 4

1 20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C : y = ( x + 1)2 与圆 M : ( x ? 1) 2 + ( y ? ) 2 = r 2 (r > 0) 有一个公共点 A,且 2

在 A 处两曲线的切线为同一直线 l . (Ⅰ)求 r ; (Ⅱ)设 m, n 是异于 l 且与 C 及 M 相切的两条直线, m, n 的交点为 D,求 D 到 l 的距离.

准考证号

请考生在第 22,23,24 题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

座位号

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲
如图,D,E 分别为 ΔABC 边 AB、AC 的中点,直线 DE 交 ΔABC 的外接圆于 F、G 两点。若 CF//AB, 证明: (I)CD=BC; (II) ΔBCD ∽ ΔGBD 题 22 图

姓名

21. (本小题满分 12 分)已知 a,b 是实数,函数 f ( x ) = x + ax, g ( x ) = x + bx,
3 2

f ′( x) 和 g ′( x) 分
上单调

别是 f ( x)和g ( x) 的导函数,若 f ′( x) g ′( x) ≥ 0 在区间 I 上恒成立,则称 性一致 (1)设 a (2)设 a 最大值。

f ( x) 和 g ( x) 在区间 I

> 0 ,若 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [?1,+∞ ) 上单调性一致,求 b 的取值范围; < 0, 且 a ≠ b ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在以 a, b 为端点的开区间上单调性一致,求 a ? b


学校

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

文数

5

文数 6

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
已知曲线 C1 的参数方程是 y=3sin ? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ =2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序 排列,点 A 的极坐标为(2,

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2| (Ⅰ)当 a=–3 时,求不等式 f(x) . 3 的解集; (Ⅱ)若 f(x) - |x-4|的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围。

{

x=2cos ?

π
3

) 。

(Ⅰ)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求 |PA|2 +|PB|2 + | PC |2 + | PD |2 的取值范围。

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

文数

7

文数 8

三年高考模拟卷(二)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知全集 U = R ,集合 P = x ?x 2 ≤1 ,那么 ?U P = ( A. (?∞, ?1) C. (?1,1)
2 正(主)视图 侧(左)视图 第 7 题图 4 4 俯视图

{

}

) A.32 C.48
1 x

B. 16 + 16 2 D. 16 + 32 2

B. (1, +∞) D. ( ?∞, ?1) ∪ (1, +∞ )

10i 2.在复平面内,复数 对应的点的坐标为 3+i A. (1,3) B. ( 3,1) C. ( ?1,3) D. ( 3, ?1)





?1? 8.函数 y = x 2 ? ? ? 的零点个数为 ?2? B.1 C.2 A.0





D.3
( )

准考证号

9.已知 {an } 为等比数列,下面结论正确的是 A. a1 + a3 . 2a2 C.若 a1 = a3 ,则 a1 = a2
2 2 B. a12 + a3 . 2 a2

3. (2010 全国卷 2 文数 12 题)已知椭圆 C:
k (k > 0) 的直线与 C 相交于 A 、 B
A.1 B. 2

3 x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 2 a2 b2
) D.2

D.若 a3 > a1 ,则

a4 > a2

两点,若 AF = 3FB 。则 k = ( C. 3

10.设 a > b > 1, c < 0 ,给出下列三个结论:


c c > ; a b

② a c < bc ;

③ log b ( a ? c ) > log a ( b ? c ) ( )

座位号

其中所有的正确结论的序号是

π? ? 4. 已知函数 f ( x ) = A tan ( ω x + ? ) ? ω > 0, ω < ? , y = f ( x ) 2? ?
的部分图像如下图,则 f ? (A)2+ 3 (C)

A.① 11.椭圆

B.①②

C.②③

D.①②③

?π ? ? =_________. ? 24 ?
(B) 3 (D) 2 ? 3 第 4 题图
开始 输入 A

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的左、 右顶点分别是 A, B, 左、 右焦点分别是 F1 , F2 ,若 AF1 、 F1 F2 , F1 B a 2 b2
( )

成等比数列,则此椭圆的离心率为

姓名

3 3

A.

1 4

B.

5 5

C.

1 2

D. 5 ? 2

5. 执行如图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2, 则输出的 P 值为( A.2 B.3 ) C.4 D.5

12.如右图, OA = 2 (单位:m) , OB = 1 (单位:m) ,OA 与 OB 的
夹角为

P = 1, S = 1

S≤A




π ,以 A 为圆心。AB 为半径作圆弧 BDC 与线段 OA 延长线 6

交于点 C.甲、乙两质点同时从 O 点出发,甲先以速率 1(单位:m/s)
输出 P 结束

题 12 图

?x + 2 y ? 5 ≤ 0 ? 6. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ≤ 0 ,则目标函数 ? ?x ≥ 0
z = 2 x + 3 y + 1 的最大值为(
A. 11 B. 10 ) C. 9 D. 8.5 )

P = P +1

沿线段 OB 行至点 B,再以速率 3(单位:m/s)沿圆弧 BDC 行至点

1 S=S+ P

C 后停止;乙以速率 2(单位:m/s)沿线段 OA 行至点 A 后停止。设 t 时刻甲、乙所到达的两点连
线 与 它 们 经 过 的 路 径 所 围 成 图 形 的 面 积 为 S ( t ) ( S ( 0 ) = 0 ) , 则 函 数 y=S ( t ) 的 图 象 大 致 是 ( )

第 5 题图

学校

密……………………………………………………封……………………………………………………线

7.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是(

文数

9

文数 10

(i)设 q1 ≠ 1 ,证明 ?

? 1 ? ? 是等差数列; ? qk ? 1 ?
n 3 k2 < 2n ? ∑ ≤ 2(n ≥ 2). 2 k = 2 ak

(ii)若 a2 = 2 ,证明

本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
?2 x≥ 2 ? , 13.已知函数 f ( x) = ? x 若关于 x 的方程 f ( x) = k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围 3 ? ?( x ? 1) , x < 2
是 .
.

查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.

AD = 14. (2010 天津理数 15 题)如图,在 ΔABC 中, AD ⊥ AB , BC = 3 BD , AD = 1 ,则 A C·
A

B

第 14 题图 D

C

15. (2010 湖南理数 15 题)若数列 {an } 满足:对任意的 n ∈ N? ,只有有限个正整数 m 使得 am<n 成立,记这
样的 m 的个数为 (an )? , 则得到一个新数列 (an )? . 例如, 若数列 {an } 是 1, 2,3…,n, … , 则数列 (an )? 是

{

}

{

}

0,1, 2, …,n ? 1, … .已知对任意的 n ∈ N? , an = n 2 ,则 (a5 )? = 16.对于 n ∈ N ? ,将 n 表示为 n = ak × 2k + ak ?1 × 2k ?1 +

. ((an )? )? =

.

18. (本小题满分 12 分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了
在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示。 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人)

+ a1 × 21 + a0 × 20 , 当 i=k 时, ai = 1 , 当 0 - i - k ?1

1至4件 X 1

5至8件 30 1.5

9 至 12 件 25 2

13 至 16 件 Y 2.5

17 件及以上 10 3

时, ai 为 0 或 1, 定义 bn 如下: 在 n 的上述表示中, 当 a0 , a1 , a2 , 否则 bn = 0 。 (1) b2 + b4 + b6 + b8 = ;

, ak 中等于 1 的个数为奇数时, bn = 1;

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%。 (Ⅰ)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; 。 (Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率。 (将频率视为概率)

(2) 记 cm 为数列 {bn } 中第 m 个为 0 的项与第 m + 1 个为 0 的项之间的项数, 则 cm 的最大值是

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分 .解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分) (2010 天津理数 22 题)在数列 {an } 中,a1 = 0 ,且对任意 k ∈ N , a2 k ?1 , a2 k , a2 k +1 成
*

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

等差数列,其公差为 d k . (I)若 d k = 2k ,证明 a2 k , a2 k +1 , a2 k + 2 成等比数列( k ∈ N )
*

(II)若对任意 k ∈ N* , a2 k , a2 k +1 , a2 k + 2 成等比数列,其公比为 qk .

文数

11

文数 12

19. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, PA ⊥ 平面 ABCD, AC = 2 2, PA = 2 ,E 是 PC 上的一点,PE=2EC
(Ⅰ)证明: PC ⊥ 平面 BED; (Ⅱ)设二面角 A—PB—C 为 90° ,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小。

准考证号

题 19 图
21. (本小题满分 12 分)
设函数 f ( x ) = x + ax 2 + b ln x, 曲线 y = f ( x ) 过 P (1, 0 ) ,且在 P 点处的切线斜率为 2. (I)求 a, b 的值; (II)证明: f ( x ) ≤ 2 x ? 2 。

学校

姓名

座位号

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

2 x2 y 2 ,直线 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 的一个顶点为 A(2,0),离心率为 2 a b y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当 ΔAMN 的面积为

10 ,求 k 的值。 3

文数

13

文数 14

请考生在第 22,23,24 题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲
如图, O 和 O ' 相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连接 DB 并延 长交 O 于点 E。证明: (Ⅰ) AC i BD = ADi AB (Ⅱ) AC = AE

题 22 图

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
已知 f ( x ) = ax + 1 ( a ∈ R ) ,不等式 f ( x ) - 3 的解集为 { x | ?2 - x - 1} (Ⅰ)求 a 的值

x (Ⅱ)若 | f ( x) ? 2 f ( ) |≤ k 恒成立,求 k 的取值范围。 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中,圆 C1 : x 2 + y 2 = 4 ,圆 C2 : ( x ? 2) 2 + y 2 = 4 (I)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 , C2 的极坐标方程,并求出圆

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

C1 , C2 的交点坐标(用极坐标表示) ;
(II)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程。

文数

15

文数 16

三年高考模拟卷(三)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.设全集 U = M ∪ N = {1, 2,3, 4,5} , M ∩ ?U N = {2, 4} 则 N = ( A. {1, 2,3} C. {1, 4,5} B. {1,3,5} D. {2,3, 4} ) )

个数为





A.2

B.4

C.5

D.8
( )

π ? ? ? 1? 9.已知 f ( x ) = sin 2 ? x + ? 。若 a = f ( lg 5 ) , b = f ? lg ? ,则 4? ? ? 5?
A. a + b = 0 B. a ? b = 0 C. a + b = 1 D. a ? b = 1

10.数列 {an } 的通项公式 an = n cos A.1006 11.已知双曲线
B. x < y < 1 D. 1 < y < x

nπ ,其前 n 项和为 Sn 则 S2012 等于 2 C503 D.0





2.复数 z = i(i + 1) (i 为虚数单位)的共轭复数是( A.–1–i
1 2

准考证号

B.–1+i
1 2

C.1–i

D.1+i )

B.2012

3.如果 log x < log y < 0 ,那么( A. y < x < 1 C. 1 < x < y

x2 y2 ? = 1 的右焦点为(3,0) ,则该双曲线的离心率等于 a2 5 B. 3 2 4 C. 3 2 D. 4 3





座位号

4. (2010 浙江文数 10 题)设 O 为坐标原点, F1 , F1 是双曲线
存在点 P ,满足 ∠F1 PF2 = 60° , OP = A. x ± 3 y = 0

x2 y 2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的焦点,若在双曲线上 a 2 b2
) D. 2 x ± y = 0

A.

3 14 14

7 a ,则该双曲线的渐近线方程为(
C. x ± 2y=0

12.已知 f ( x ) = x 3 ? 6 x 2 + 9 x ? abc, a < b < c ,且 f ( a ) = f ( b ) = f ( c ) = 0 。现给出如下结论:其中正确
结论的序号是 ( )

B. 3 x ± y = 0

5. 右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( 9 A. π + 12 2 9 B. π + 18 2
C. 9π + 42


3 2 3 正视图 俯视图

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

姓名

D. 36π + 18

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 设 A(0, 0), B (4, 0), C (t + 4,3), D (t ,3)(t ∈ R ) . 记 N (t ) 为平行四边形 ABCD 内部(不含边界)的整点的个
数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则 N (0) = 为 .
侧视图 第 5 题图

6. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表
广告费用 x (万元) 4 销售额 y (万元) 49 2 26 3 39 5 54

; N (t ) 的所有可能取值

14.(2010 天津文数 15 题) 设 {an } 是等比数列, 公比 q = 2 , Sn 为 {an } 的前 n 项和.记 Tn =
设 Tno 为数列 {Tn } 的最大项,则 n0 = .

17 Sn ? S 2 n , n ∈ N* . an +1

? 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 ? +a ? = bx ? 中的 b 根据上表可得回归方程 y
A. 63.6 万元 B. 65.5 万元 C. 67.7 万元 D. 72.0 万元 )

7. 从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是(
1 A. 10 3 B. 10 3 C. 5 9 D. 10

15. (2010 浙江理数 16 题) 已知平面向量 α , β (α ≠ 0, α ≠ β ) 满足 β = 1 , 且 α 与 β ? α 的夹角为 120°, 则α
的取值范围是___________ .

学校

密……………………………………………………封……………………………………………………线

16.已知关于 x 的不等式 x 2 ? ax + 2a > 0 在 R 上恒成立,则实数 a 取值范围是

.

8.设定义在 R 上的函数 f ( x ) 是最小正周期为 2π 的偶函数, f ' ( x ) 是 f ( x ) 的导函数。当 x ∈ [ 0, π ] 时, 0 < f ( x) < 1 ;当 x ∈ ( 0, π ) 且 x ≠

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分 .解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分) ( 2010 辽宁理数 17 题)在 ΔABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 2asin A = (2b + c)sin B + (2c + b) sin C.
(I)求 A 的大小; 文数 18

π π? ? 时, ? x ? ? f ' ( x ) > 0 则函数 y = f ( x ) ? sin x 在 [ ?2π , 2π ] 上的零点 2? ?
2
文数 17

(II)求 sin B + sin C 的最大值.

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 长 方 体 ABCD — A1 B1C1 D1 中 , AB = AD = 1, AA1 = 2 ,M 为棱 DD1 上的一点。
(Ⅰ)求三棱锥 A—MCC1 的体积; (Ⅱ)当 A1 M + MC 取得最小值时,求: B1 M ⊥ 平面 MAC

题 19 图

18. (本小题满分 12 分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格
进行试销,得到如下数据: 单价 x(元) 销量 y(件)

8 90

8.2 84

8.4 83

8.6 80

8.8 75

9 68

(Ⅰ)求回归直线方程

y = bx + a ,其中 b = ?20, a = y ? bx ;

(Ⅱ)预计在今年后的销售中,销量与单价仍然服从(Ⅰ)中的关系,且该产品的成本是 4 元/件, 为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

文数

19

文数 20

20. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 : F1 (?1, 0), ,且点 P ( 0,1) 在 C1 上。
(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程;

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左焦点为 a 2 b2

(Ⅱ)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 = 4 x 相切,求直线 l 的方程。

准考证号

请考生在第 22,23,24 题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
如图,圆 O1 与圆 O2 内切于点 A ,其半径分别为 r1 与 r2 (r1 > r2 ) , , 圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C ( O1 不在 AB 上) 求证: AB : AC 为定值。 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) = ( x ? k )e x . (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)求 f ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值. 第 22 题图

学校

姓名

座位号

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

文数

21

文数 22

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
已知 a ∈ R ,设关于 x 的不等式 2 x ? a + x + 3 . 2 x + 4 的解集为 A. (Ⅰ)若 a = 1 ,求 A; (Ⅱ)若 A=R,求 a 的取值范围。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。 ? ? x = 2 cos θ ? x = 2 + t cos α 在直角坐标系 xOy 中, 设倾斜角为 α 的直线 l :? 与曲线 C : ? (θ (t 为参数) ? ? y = sin θ ? y = 3 + t sin α
为参数)相交于不同两点 A,B. (Ⅰ)若 α =

π
3

,求线段 AB 中点 M 的坐标;
2

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

(Ⅱ)若 PA i PB = OP ,其中 P 2, 3 ,求直线 l 的斜率。

(

)

文数

23

文数 24

三年高考模拟卷(四)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1. 若集合 M = {?1, 0,1} , N = {0,1, 2} ,则 M ∩ N 等于( A. {0,1} B. {?1, 0,1} C. )

D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

6. 下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱 柱,其正(主)视图、
俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;③存在圆柱,其正(主)视图、 俯视图如下图. 其中真命题的个数是( A. 3 B. 2 D. 正 ( 主 ) 视 图 C. 1 D. 0 )

{0,1, 2}


{?1, 0,1, 2}

2.设 i 为虚数单位,则复数 A.-4-3i

3 + 4i = i C4+3i



7. 设 A1 , A2 , A3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,
若 A1 A3 = λ A1 A2 ( λ ∈ R ) . A1 A4 = μ A1 A2 ( μ ∈ R ) 且


俯 视 图 第 6 题图

B-4+3i

D4-3i

1

准考证号

3. (2010 湖北理数 9 题)若直线 y = x + b 与曲线 y = 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是(
A. ?1 ? 2 2,1 + 2 2 ?

λ

+

1

μ

= 2 ,则称

A3 , A4

调 和 分 割 A1 , A2 , 已 知 点 )

C ( c, 0 ) , D ( d , 0 )( c, d ∈ R ) 调和分割点 A(0, 0), B (1, 0) ,则下面说法正确的是(
A. C 可能是线段 AB 的中点

?

?

B. ?1 ? 2,3?

?

? ?


C. ? ?1,1 + 2 2 ?

?

?

D. ?1 ? 2 2,3?

?

B. D 可能是线段 AB 的中点 C. C , D 可能同时在线段 AB 上 D.

座位号

C , D 不可能同时在线段 AB 的延长线上

4. 若 a ∈ ? 0,

? π? 1 2 ? ,且 sin α + cos 2α = 4 ,则 tan α 的值等于( ? 2?
B.

8.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3 x + 4 y ? 5 = 0 与圆 x 2 + y 2 = 4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长等
D.

A.

2 2

3 3


C.

2

3







5.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 女 20 30 50 总计 60 50 110 爱好 不爱好 总计 由 K2 = 40 20 60

A. 3 3 9.设函数 f ( x ) = Ax=

B. 2 3 2 + ln x ,则 x

C. 3

D.

3 2

姓名

1 为 f ( x ) 的极大值 2

B. x =

1 为 f ( x ) 的极小值点 2

n(ad ? bc)2 算得, (a + b)(c + d )(a + c )(b + d )

C x = 2为

f ( x ) 的极大值点

D. x = 2 为 f ( x ) 的极小值点
( )

110 × (40 × 30 ? 20 × 20) 2 K2 = ≈ 7.8 . 60 × 50 × 60 × 50
附表:

10.已知圆 C : x 2 + y 2 ? 4 x = 0, l 是过点 P ( 3, 0 ) 的直线,则 A. l 与 C 相交 C. l 与 C 相离
0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

B l 与 C 相切 D.以上三个选项均有可能
( )

P( K 2 ≥ k ) k
参照附表,得到的正确结论是( )

11.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆,
则此点取自阴影部分的概率是 在扇形 OAB 内随机取一点,

学校

密……………………………………………………封……………………………………………………线

A.

A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

1 1 ? 2 π 2

B.

1

π
2

C. 1 ?

π

D.

π

题 11 图

文数

25

文数 26

12.在 ΔABC 中, ∠A = 90°, AB = 1, AC = 2 .设点 P,Q 满足 AP = λ AB, AQ = (1 ? λ ) AC , λ ∈ R .
若 BQiCP = ?2 ,则 λ = ( )

18. (本小题满分 12 分)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使
用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试,结果统计如下:
D E A F B C

A.

1 3

B.

2 3

C.

4 3

D.2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB = 2 ,点 E 为 AD 的中点,点 F 在
CD 上,若 EF∥平面 AB1C ,则线段 EF 的长度等于_____________.

14. ( 2010 广东理数 10 题)若向量 a = (1,1, x), b = (1, 2,1), c = (1,1,1) , 满足条件 (c ? a )i(2b) = ?2 ,则 x =
.

D1 A1
第 13 题图

C1 B1
(Ⅰ)估计家甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率; (Ⅱ)这两种品牌产品中,某个产品已使用了 200 小时,试估计该产品是甲产品的概率。

15. (2010 辽宁理数 16 题)已知数列 {an } 满足 a1 = 33, an +1 ? an = 2n, 则
小值为__________.

an 的最 n

16.已知函数 y =

x2 ? 1 x ?1

的图象与函数 y = kx 的图象恰有两个交点, 则实数 k 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分 .解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分) (2010 四川理数 21 题)已知数列 {an } 满足 a1 = 0, a2 = 2 ,且对任意 m, n ∈ N * 都有 a2 m ?1 + a2 n ?1 = 2am + n ?1 + 2(m ? n) 2 .
(I)求 a3 , a5 ; (II)设 bn = a2 n +1 ? a2 n ?1 (n ∈ N*) ,证明数列: {an } 是等差数列; (III)设 cn ? (an +1 ? an )q n ?1 (a ≠ 0, n ∈ N*) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n . 本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决问题的能力.

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

文数

27

文数 28

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P — ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 矩 形 , AD ⊥ PD, BC = 1, PC = 2 3, PD = CD = 2
(Ⅰ)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (Ⅱ)证明平面 PDC ⊥ 平面 ABCD; (III)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值。

题 19 图

1 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) = x ? ? a ln x(a ∈ R ) . x
(1)讨论函数 f ( x) 的单调性。 (2)若 f ( x) 有两个极值点 x1 和 x2 ,记过点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 的直线斜率为 k . 问:是否存 在 a ,使得 k = 2 ? a ?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

姓名

座位号

准考证号

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 :
率。 (Ⅰ)求椭圆 C2 的方程;

x2 + y 2 = 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心 4

学校

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

(Ⅱ)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB = 2OA ,求直线 AB 的方程。

文数

29

文数 30

π

π

请考生在第 22,23,24 题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 A, B, C , D 四点在同一圆上, AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC = ED . (I)证明: CD

(Ⅱ)设当 a = 时, l与C1 , C2 的交点分别为 A1 , B1 ,当 a = ? 时, l与C1 , C2 的交点为 A2 , B2 ,求四边形 4 4 A1 A2 B2 B1 的面积。

AB ;

(II)延长 CD 到 F ,延长 DC 到 G ,使得 EF = EG ,证明: A, B, G, F 四点共圆。

第 22 题图

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) = x ? 2 ? x ? 5 。 (I)证明: ?3 ≤ f ( x ) ≤ 3 ; (II)求不等式 f ( x ) ≥ x 2 ? 8 x + 15 的解集。

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

? x = cos ? 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (?为参数 ) 曲线 C2 的参数方程为 ? y = sin ? ? x = a cos ? ( a > b > 0,?为参数 ) 在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l : θ = a与C1 , C2 ? ? y = b sin ?
各有一个交点。当 a = 0 时,这两个交点间的距离为 2,当 a = (I)分别说明 C1 , C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值;

π
2

时,这两个交点重合。

文数

31

文数 32

三年高考模拟卷(五)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1. 设集合 M = { x ( x + 3)( x ? 2) < 0} , N = { x 1 ≤ x ≤ 3} , 则 M ∩ N = ( A.[1,2) B. [1,2] C. ( 2,3] ) D.[2,3]

9.将函数 f ( x ) = sin ω x (其中 ω > 0 )的图象向右平移
的最小值是

π ? 3π ? 个单位长度,所得图象经过点 ? , 0 ? ,则 ω ? 4 ?
4
( )

A.

1 3

B.1

C.

5 3


D.2

x 10. 函数 y = ? 2sin x 的图像大致是( 2 y y
4 O 4 O

y
4 O 4

y
O

2.i 是虚数单位,复数 A.1–i

5 + 3i = 4?i C.1+i





B.–1+i

D.–1–i
) A



x



x
第 10 题图

3. 已知 a, b, c ∈ R, 命题“若 a + b + c = 3 ,则 a 2 + b 2 + c 2 . 3 ”,的否命题是(
A.若 a + b + c ≠ 3, B.若 a + b + c = 3, C.若 a + b + c ≠ 3, 则 a 2 + b2 + c 2 < 3 则a
2



x



x

准考证号

B

C

D

+ b2 + c2 < 3

11.方程 ay = bx 2 + c 中的 a, b, c ∈ {?2, 0,1, 2,3} ,且 a, b, c 互不相同。在所有这些方程
所表示的曲线中,不同的抛物线共有 ( )
正 ( 主 ) 视 图

则 a 2 + b2 + c2 . 3

D.若 a 2 + b 2 + c 2 . 3 ,则 a + b + c = 3
4.(2010 山东文数 9 题)已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( A. x = 1 B. x = ?1 C. x = 2 ) D. x = ?2

A.28 条

B.32 条
3
n

C.36 条

D.48 条
俯 视 图 第 11 题图

座位号

A 、 B 两点,

12.设函数 f ( x ) = ( x ? 3) + x ? 1, {a } 是公差不为 0 的等差数列, f ( a1 ) + f ( a2 ) + A.0
+ f ( a7 ) = 14 ,则 a1 + a2 + + a7 =





B.7

C.14

D.21

?x + y ≤ 1, ? 5. 设变量 x, y 满足 ?x ? y ≤ 1 ,则 x + 2 y 的最大值和最小值分别为 ? ?x ≥ 0
(A) 1, ? 1 (B) 2, ? 2 (C )





二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 已 知 函 数 f ( x) = log a x + x ? b(a > 0, 且a ≠ 1). 当 2 < a < 3 < b < 4 时 , 函 数 f ( x) 零 点
(D)2, ? 1 )

姓名

1, ? 2

x0 ∈ (n, n + 1), n ∈ N * ,则 n =

.

6. 从正六边形的 6 个顶点中随机选 择 4 个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于(
(B) (D)

14. (2010 福建理数 11 题)在等比数列 {an } 中,若公比 q = 4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 an =
. .

1 (A) 10 1 6
(C)

15. (2010 陕西文数 12 题) 已知向量 a= (2, -1) , b= (-1, m) , c= (-1, 2) 若 (a+b) ∥c, 则 m= 16.设 a, b 为正实数。现有下列命题:
n

1 8 1 5

7. 函数

f ( x) = ax n i(1? x) 2 在区间 [ 0,1] 上的图像如图所示,则
) (B) (D) 4 2

①若 a 2 ? b 2 = 1 ,则 a ? b < 1 ;

可能是( (A)1 (C) 3

1 1 ②若 ? = 1 ,则 a ? b < 1 ; b a
③若

a ? b = 1 ,则 a ? b < 1 ;

学校

密……………………………………………………封……………………………………………………线

8.设 x ∈ R ,则“ x >

1 ”是“ 2 x 2 + x ? 1 > 0 ”的 2





第 7 题图

④若 a 3 ? b3 = 1 ,则 a ? b < 1 ; 其中的真命题有 。 (写出所有真命题的编号)

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

文数

33

文数 34

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分 .解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分) (2010 江西理数 17 题)已知函数。

π π? ? ? ? f ( x) = (1 + cot x) sin 2 x + m sin ? x + ? sin ? x ? ? . 4? ? 4? ?
(I)当 m = 0 时,求 f ( x) 在区间 ? (II)当 tan a = 2 , f (a) =

? π 3π ? , ? 上的取值范围; ?8 4 ?

3 ,求 m 的值. 5

19. (本小题满分 12 分) 如图, 几何体 E—ABCD 是四棱锥,ΔABD 为
正三角形,CB=CD, EC ⊥ BD . (Ⅰ)求证:BE=DE; (Ⅱ)若 ∠BCD = 120° ,M 为线段 AE 的中点,求证:DM//平面

BEC

题 19 图

18. (本小题满分 12 分)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片两张,
标号分别为 1,2。 (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率; (Ⅱ)向袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且 标号之和小于 4 的概率.

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

文数

35

文数 36

20. (本小题满分 12 分)如图,椭圆 M:
所围成的矩形 ABCD 的面积为 8. (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程;

3 x2 y 2 + = 1( a > b > 0 ) 的离心率为 ,直线 x = ± a 和 y = ±b 2 a 2 b2

(Ⅱ)设直线 l : y = x + m ( m ∈ R ) 与椭圆 M 有两个不同的交点

P,Q, l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 S,T.求
值及取得最大值时 m 的值。

PQ ST

的最大

题 20 图

准考证号

请考生在第 22,23,24 题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22. (本小题满分 10 分)(2010 辽宁理数 22 题)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ΔABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (Ⅰ)证明: ΔABE ? ΔADC (Ⅱ)若 ΔABC 的面积 S

座位号

=

1 AD ? AE ,求 ∠BAC 的大小。 2

第 22 题

姓名

21.(本小题满分 12 分)设函数 f (θ ) = 3 sin θ + cos θ , 其中,角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非
负半轴重合,终边经过点 P( x, y ), 且 0 ≤ θ ≤ π . (1)若点 P 的坐标为 ( ,

学校

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

1 3 ) ,求 f (θ ) 的值; 2 2

? x +y ≥ 1. ? (II)若点 P( x, y ), 为平面区域 Ω : ? x ≤ 1, 上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围,并求函数 f (θ ) 的最 ? ?y ≤1
小值和最大值.

文数

37

文数 38

23. (本小题满分 10 分)(2010 辽宁理数 23 题)选修 4-4:坐标系与参数方程
已知 P 为半圆 C : ?

24. (本小题满分 10 分)(2010 辽宁理数 24 题)选修 4-5:不等式选讲
已知 a, b, c 均为正数,证明: a 2 + b 2 + c 2 + ( +

? x = cos θ ? y = sin θ

(θ 为参数,0 - θ - π ) 上的点,点 A 的坐标为(1,0) , O 为坐标原点,点 M 在
π . 3

1 a

1 1 2 + ) ≥ 6 3 ,并确定 a, b, c 为何值时,等号成立. b c

射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为

(Ⅰ)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (Ⅱ)求直线 AM 的参数方程。

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

文数

39

文数 40

三年高考模拟卷(六)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1. 若 P = {x x < 1}, Q{x x > ?1} ,则( A. P ? Q B. Q ? P ) C. ?R P ? Q D. Q ? ?R P

A.3

B.4

C.3 2

D.4 2

?πx π ? ? ? ( 0 - x - 9 ) 的最大值与最小值之和为 8.函数 y = 2sin ? ? 6 3? A. 2 ? 3 C. ?1 9. 函 数 y = B.0 D. ?1 ? 3 cos 6 x 的图象大致为 2 x ? 2? x









2.若复数 z 满足 z ( 2 ? i ) = 11 + 7i ( i 为虚数单位) ,则 z 为 A. 3 + 5i B. 3 ? 5i C. ?3 + 5i D. ?3 ? 5i





准考证号

3. (2010 四川理数 9 题)椭圆

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的右焦点为 F ,其右准线 a 2 b2

? 2 ?1,1) C. ? 1 ? D. ? ? ,1? ?2 ?

在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F , 与 x 轴的交点为 A , 则椭圆离心率的取值范围是( A. ? 0,
? ? 2? ? 2 ?

10.已知 P,Q 为抛物线 x 2 = 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,–2,过 P,Q 分别作抛物线的切
线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为
第 3 题图

? ? B. ? 0, ? ? 2? 1





A.1

B.3

C.-4 2π + 7 + sin C.86

D.-8 nπ ( n ∈ N ? ) ,则在 S1 , S2 , 7 D.100 , S100 中,正数的个数是
( )

座位号

4. 若点 ( a, b ) 在 y = lg x 图像上, a ≠ 1 ,则下列点也在此图像上的是(

) (D)

11.若 Sn = sin

π
7

+ sin

1 (A) ( ,b ) a
角线的条数共有( A. 20 形,则该几何体体积为( )

(B )

(10a,1 ?

b)

10 (C) ( , b +1) a

( a , 2b )
2

A.16

B.72

5. 正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对 B. 15 ) C. 12 D. 10

12. 设 函 数 f ( x ) = x 2 ? 4 x + 3, g ( x ) = 3x ? 2 , 集 合 M = x ∈ R | f ( g ( x ) ) , N = { x ∈ R | g ( x ) < 2} 则
M ∩N 为

{

}





姓名

6. 如图,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱

A. (1, +∞ )

B(0,1)

C.(–1,1)

D. ( ?∞,1)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天 打篮球时间 x(单 位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

小李这 5 天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法,预测小李每月 6 号打篮球 6 小时 的投篮命中率为________. A. 第 6 题图

4 3

B. 4

C.

2 3

D. 2

14. (2010 江西理数 13 题)已知向量 a, b 满足 a = 1, b = 2, a 与 b 的夹角为 60°,则

a ?b =

.

15. (2010 浙江文数 14 题)在如下数表中,已知每行、每列中的树都成等差数列,那么,位于下表中的第 n 行
第 n + 1 列的数是 . 第1列 第1行 第2行 1 2 第2列 2 4 第3列 3 6 … … …

学校

密……………………………………………………封……………………………………………………线

?0 ≤ x ≤ 2 ? 7. 已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? x ≤ 2 给定,苦 M ( x, y ) 为 D 上的动点,点 A ? ?x ≤ 2 y
的坐标为 ( 2,1) ,则 z = OM iOA 的最大值为( )

文数

41

文数 42

第3行 …

3 …

6 …

9 …

… …

16.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x 2 + y 2 ? 8 x + 15 = 0 ,若直线 y = kx ? 2 上至少存在一点,
使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 。

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分 .解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (2010 全国卷 1 理数 22 题)已知数列 {an } 中, a1 = 1, an +1 = c ?
(I)设 c =

1 . an

5 1 ,求数列 {bn } 的通项公式; , bn = an ? 2 2

(II)求使不等式 an < an +1 < 3 成立的 c 的取值范围 .

19.如图在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD —A1 B1C1 D1 中,AD//BC, AD ⊥ AB , AB = 2, AD = 2, BC = 4, AA1 = 2 ,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1 E 与直线 AA1 的交点。
(Ⅰ)证明: (i) EF / / A1 D1 ; (ii) BA1 ⊥ 平面 B1C1 EF ; (Ⅱ)求 BC1 与平面 B1C1 EF 所成角的正弦值。

题 19 图

18.甲、乙两轮轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已
投球 3 次时投篮结束。设甲每次投篮投中的概率为 不影响。 (Ⅰ)求乙获胜的概率; (Ⅱ)求投篮结束时乙只投了 2 个球的概率。

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

1 1 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各次投篮互 2 3

文数

43

文数 44

请考生在第 22,23,24 题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

? 1? 20.如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P ? 1, ? 到抛物线 C : y 2 = 2 px ( p > 0 ) 的准 ? 2?
线的距离为

22. (本小题满分 10 分)(2010 江苏卷理数 21 题)
A. 选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是圆 O 的直径, D 为圆 O 上一点, 过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C ,若

5 。点 M ( t ,1) 是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 4

AB 被直线 OM 平分。
(Ⅰ)求 p,t 的值。 (Ⅱ)求 ΔABP 面积的最大值。 题 20 图

DA = DC ,求证: AB = 2 BC .
B. 选修 4-2:矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点

22 题图

?k 0? ?0 1 ? A(0, 0), B (?2,0), C (?2,1) ,设 k 为非零实数,矩阵 M = ? ? , N = ?1 0? , 点 A, B, C 在矩阵 MN 对 ?0 1 ? ? ?
应的变换下得到的点分别为 A1 , B1 , C1 , ΔA1 B1C1 的面积是 ΔABC 面积的 2 倍,求 k 的值. C. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知圆 ρ = 2 cos θ 与直线 3ρ cos θ + 4 ρ cos θ + a = 0 相切,求实数 a 的值. D. 选修 4-5:不等式选讲 设 a, b 是非负实数,求证: a 3 + b 3 ≥

准考证号

ab (a 2 + b 2 ).

座位号

21. (本小题满分 15 分)设函数 f ( x) = a 2 ln x ? x 2 + ax, a > 0. (I)求 f ( x) 的单调区间; (II)求所有的实数 a ,使 e ? 1 ≤ f ( x) ≤ e 2 对 x ∈ [1, e ] 恒成立.( e 为自然对数的底数)

学校

姓名

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

文数

45

文数 46

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
已知函数 f ( x) =| x ? a | . (Ⅰ)若不等式 f ( x) ≤ 3 的解集为 { x | ?1 - x - 5} ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x) + f ( x + 5) . m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? 2 t, ?x = 3 ? ? 2 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) .在极坐标系 (与直角坐标系 xOy 2 ? ?y = 5 + 2 t ?
取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ = 2 5 sin θ . (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B ,若点 P 的坐标为 (3, 5) ,求 PA + PB .

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

文数

47

文数 48

答案
三年高考模拟卷(一)
1. 答案:D 命题动向:本题主要考查了集合交集的运算,考查了数形结合的数学思想.
解析:借助数轴得 A ∩ B = { x 1 < x < 2} ,故选 D.

【解析】设直线 x =

3 a 与 x 轴的交点为 M。根据题意,一定有 PF2 = F1 F2 , ∠PF1 F2 = 30° ,所以 2
FM
2

∠PF2 M = 60° . 则 由 cos ∠PF2 M =

PF2

=

1 , 得 PF2 = 2 F2 M . 又 PF2 = F1 F2 , 所 以 2

c 3 ?3 ? F1 F2 = 2 F2 M 。所以 2c = 2 ? a ? c ? ,即 4c = 3a ,故 e = = 。故选 C。 a 4 ?2 ?
【失分警示】易出现计算上的错误。

2. 答案 D 命题立意:本题主要考查复数的基本运算和共轭复数的求法.

?3 + i (?3 + i)(2 ? i) = = ?1 + i ,所以 z = ?1 ? i ,故选 D. 解析:因为 z = 2+i (2 + i)(2 ? i) 3. 答案:A 命题动向:本题主要考查了复数代数形式的四则运算.
第一解析: +

10.【答案】A【命题立意】本题主要考查利用线性规划知识求解问题的能力。
【解析】由正三角形的性质可求得点 C 1 + 3, 2 ,作出 ΔABC 内部表示的可行域(如下图所示, 不含 ΔABC 的三边) 假设可行域含 ΔABC 的三边,则可知 当直线 z = ? x + y 经过点

(

)

1 1 1 1 1 1 1 1 + + = ? + ? = 0, 故选 A. i i3 i 5 i 7 i i i i

准考证号

第二解析:原式= ?i + i + ( ?i ) + i = 0 ,答案为 A. 4. 答案:D
解析:由已知 B(0, b), F (c, 0), k BF = ? . 由已知, ? i

C 1 + 3, 2 时, z = ? x + y 取得最小值,且 z

(

)

min

= 1 ? 3 ;当直

线 z = ? x + y 经过点 B (1,3) 时, z = ? x + y 取得最大值,且

C (1 + 3, 2)

b c

b b = ?1 ,即 b 2 = ac = c 2 ? a 2 ,两侧同时除以 a 2 有 c a

zmax = 2 。因为可行域不含 ΔABC 的三边,故 z = ? x + y 的取
值范围是 1 ? 3, 2 。故选 A.

座位号

1± 5 e 2 ? e ? 1 = 0. 解得 e = (舍负). 2
5. 答案:C 命题动向:本题主要考查了程序框图,正确理解框图语言是解题关键. 第一解析:因为 n = 4 ,由判断框 k < 4 ,得,循环 3 次,第一次循环 p = 1, s = 1, t = 1, 第二次循环

(

)

第 10 题答图

【失分警示】区域边界直线斜率求解错误导致解题失误。

p = 2, s = 1, t = 2, 第三次循环 p = 3, s = 2, t = 3, 则输出 p = 3 ,故选 C.

11.【答案】B 【命题立意】本题主要考查利用指数函数、对数函数图象与性质求解问题的能力。
【解析】当 a > 1 时,因为 0 < x 因为 0 < x -

n = 4, s = 0, t = 1, k = 1, p = 1,1 < 4, p = 0 + 1 = 1, s = 1, t = 1; k = 2, 2 < 4, p = 1 + 1 = 2, s = 1, t = 2; 第二解析: k = 3,3 < 4, p = 1 + 2 = 3, s = 2, t = 3; k = 4, 4 < 4 不成立,输出 p = 3 .
6. 【解析】设每件产品的平均费用为 y 元,由题意得

1 ,所以 log a x < 0 。不满足 4 x < log a x ,故舍去;当 0 < a < 1 时, 2

姓名

1 2 1 1 1 1 ,数形结合易得,需满足 4 2 < log a ,得 2 < log a ,则 a 2 > ,解得 a > 或 2 2 2 2 2

y=
答案:B.

800 x 800 x 800 x i = 20 . 当且仅当 = ( x > 0) ,即 x = 80 时“ = ”成立,故选 B. + ≥2 x 8 x 8 x 8
【命题立意】本题考查用均值不等式解决实际问题,考查考生分析问题、解决问题的能力.

a<?

? 2 ? 2 2 ,结合前提条件得 < a < 1 。综上, a ∈ ? ,1? ,故选 B. ? ? 2 2 ? 2 ?

7. 答案:B 命题动向:本题主要考查了三视图,考查了空间想象能力,考查了柱体体积计算公式. 1 3 = a3 = 2 3 ,故 a 3 = 8, a = 2 ,则左视 解析:设正三棱柱底面连长和侧棱长均为 a ,则有 V = × 2 2
图矩形边长为侧棱长和底面的高,所以面积为 2 3 ,故选 B.

【失分警示】找不到解题方法而失分。

12.【答案】D【命题立意】本题主要考查利用数列知识求和的能力。
【解析】由 an +1 + ( ?1) an = 2n ? 1 得,
n

8.【答案】B【命题立意】本题主要考查利用球的性质、勾股定理、球体积公式求解问题的能力。
【解析】由题意,球的半径为 R = 12 +
2

n n n ?1 n an + 2 = ( ?1) an +1 + 2n + 1 = ( ?1) ?( ?1) an + 2n ? 1? + 2n + 1 = ? an + ( ?1) ( 2n ? 1) + 2n + 1 ? ?

( 2)

4 = 3 ,所以球的体积 V = π R 3 = 4 3π ,故选 B. 3

即 an + 2 + an = ( ?1) ( 2n ? 1) + 2n + 1 , 也 有 an + 3 + an +1 = ? ( ?1) ( 2n + 1) + 2n + 3 , 两 式 相 加 得
n n

学校

密……………………………………………………封……………………………………………………线

【失分警示】对球的性质掌握不好而解题失误。.

9.【答案】C【命题立意】本题主要考查利用解析几何知识、解三角形知识求解问题的能力。
文数 49

an + an +1 + an + 2 + an + 3 = ?2 ( ?1) + 4n + 4 ,设 k 为整数,
n

文数 50

则 a4 k +1 + a4 k + 2 + a4 k + 3 + a4 k + 4 = ?2 ( ?1)
14

4 k +1

+ 4 ( 4k + 1) + 4 = 16k + 10 ,

16.答案:2 命题立意:本题考查利用函数性质求解问题的能力.
解 析 : 因 为 f ( x) =

于是 S60 = ∑ ( a4 k +1 + a4 k + 2 + a4 k + 3 + a4 k + 4 ) =
K =0

K =0

∑ (16k + 10 ) = 1830

14

( x + 1) 2 + sin x 2 x + sin x 2 x + sin x = 1+ , 令 g ( x) = , 则 f ( x) = g ( x) + 1 . 由 x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1

【失分警示】找不到求和方法而失分。 13. 答案: a ≤ ?2 + 2 ln 2
命题动向:本题考查了导数知识,考查了方程零点问题,数形结合意识,属于难题.
x 第一解析: f ′ ( x ) = e ? 2, 令f ′ ( x ) = 0, 得x = ln 2,当x ∈ ( ?∞, ln 2 ) 时,f ′ ( x ) < 0, 函数 y = f ( x ) 单调递

?2 x ? sin x g (? x ) = = ? g ( x) 及函数 g ( x) 的定义域为 R,得函数 g ( x) 是奇函数,故 g ( x) max 与 x2 + 1 g ( x) min 互 为 相 反 数 . 故 g ( x) max + g ( x) min =0. 易 知 M = g ( x) max + 1 , m = g ( x) min + 1 , 所 以 M + m = g ( x) max + 1 + g ( x) min + 1 = 0 + 2 = 2 .
失分警示:不能所 f ( x) 化简为常数与奇函数之和而解题失误.
2 (I)因为 f ( x) = sin(π ? ω x) cos ω x + cos ω x, 所以f ( x) = sin ω x cos ω x + 17. 解:

当x ∈ ( ln 2, +∞ ) 时,f ′ ( x ) > 0,函数y = f ( x ) 单调递增,
x 故 f ( x )极小值 = f ( ln 2 ) = 2 ? 2 ln 2 + a ,因为 f ( x ) = e ? 2 x ? a, 有零点,

1 + cos 2ω x 2

=

1 1 1 2 π 1 2π = π , 所以ω = 1. sin 2ω x + cos 2ω x + = sin(2ω x + ) + . 由于 ω > 0 ,依题意得 2 2 2 2 4 2 2ω 2 π 1 2 π 1 sin(2 x + ) + , 所以g ( x) = f (2 x) = sin(4 x + ) + . 2 4 2 2 4 2

所以 f ( x )极小值 = 2 ? 2 ln 2 + a ≤ 0, 即a ≤ ?2 + 2 ln 2 .
x x 即方程 e x ? 2 x + a = 0 有实根, 即函数 g ( x ) = 2 x ? e , y = a 第二解析: 函数 f ( x ) = e ? 2 x + a, 有零点,

(II)由(I)知 f ( x) = 当0≤ x≤ 区间 ?0,

π
16

时,

π
4

≤ 4x +

π
4



π
2

, 所以

2 π 1+ 2 ≤ sin(4 x + ) ≤ 1. 因此 1 ≤ g ( x ) ≤ . 故 g ( x) 在 2 2 4


x x 交点,而 g ′ ( x ) = 2 ? e ,易知函数 g ( x ) = 2 x ? e , 在 ( ?∞, ln 2 ) 上递增,在 ( ln 2, +∞ ) 上递

? π? ? 上的最小值为 1。 ? 16 ?

18.【命题立意】本题主要考查概率知识求解问题的能力。考查学生的计算能力。

【思路分析】 利用互斥事件至少有一个发生的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式求解。 【解题过程】记 Ai 表示事件:第 1 次和第 2 次这两次发球,甲共得 i 分, i = 0,1, 2;

x x 减,因而 g ( x ) = 2 x ? e , 的值域为 ( ?∞, 2 ln 2 ? 2] ,所以要使函数 g ( x ) = 2 x ? e , y = a 有

交点,只需 a ≤ 2ln 2 ? 2 即可.答案 ( ?∞, 2 ln 2 ? 2] .

Bi 表示事件:第 3 次和第 4 次这两次发球,甲共得 i 分, i = 0,1, 2;
A 表示事件:第 3 次发球,甲得 1 分; B 表示事件:开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2; C 表示事件:开始第 5 次发球时,甲得分领先。

当n为偶数时 当n为奇数时

?0 ? 14. 答案: ? 1 1 ? ? ? 2n 3n

解析:由特殊到一般据已知归纳可得当 n 为偶数时, Tn = 0 ,当 n 为奇数时, Tn =

1 1 ? ,即 Tn 应是一 2n 33

(Ⅰ) B = A0 i A + A1 i A , P( A) = 0.4, P ( A0 ) = 0.42 = 0.16, P ( A1 ) = 2 × 0.6 × 0.4 = 0.48
P ( B ) = P A0 i A + A1 i A

个关于 n 的分段函数表达式,此外本题也可直接推理,当 n 为偶数时,据二项式定理可得
n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 1 C (2 x) 2 ( ) 2 ? Cn2 (3x) 2 ( ) 2 = x 2 (Cn2 2 2 ( ) 2 ? Cn2 3 2 ( ) 2 ) = 0 ,即展开式中 x 2 项的系数为 0,故 2 3 2 3 n 2 n

(

)

= P ( A0 i A ) + P A1 i A

(

)

= P( A0 ) P ( A ) + P ( A1 ) P A

( )

1 1 当 n 为偶数时, Tn = 0 ,当 n 为奇数时,展开式中常数项之差的绝对值最小,即 Tn = n ? n . 2 3 3 15. 答案: 4
解析:落在平行四边形内部及边界上的和向量只有 OM + ON , OM + OQ, OP + ON , OP + OQ ,四个. 故落在平行四 边形外部的概率为: 1 ?
4 3 = . 1 1 C4 C4 4

= 0.16 × 0.4 + 0.48 × (1 ? 0.4 ) = 0.352

(Ⅱ) P ( B0 ) = 0.62 = 0.36, P ( B1 ) = 2 × 0.4 × 0.6 = 0.48 ,
P ( B2 ) = 0.42 = 0.16 , P ( A2 ) = 0.62 = 0.36 C = A1 i B2 + A2 i B1 + A2 i B2 P ( C ) = P ( A1 i B2 + A2 i B1 + A2 i B2 ) = P ( A1 i B2 ) + P ( A2 i B1 ) + P ( A2 i B2 )

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

文数

51

文数 52

= P ( A1 ) P ( B2 ) + P ( A2 ) P ( B1 ) + P ( A2 ) P ( B2 ) = 0.48 × 0.16 + 0.36 × 0.48 + 0.36 × 0.16 = 0.3072

2 ( t + 1) ×1 ?

1 2 ? t +1 2
2

5 若该直线与圆 M 相切,则圆心 M 到该切线的距离为 ,即 2

【失分警示】本题易出现计算上的问题。
19.【命题立意】本题考查空间平行和垂直及体积的基本求法。

? 2 ( t + 1) ? ? + ( ?1) ?
2

=

5 , 2

化简得 t 2 ( t 2 ? 4t ? 6 ) = 0 ,解得 t0 = 0, t1 = 2 + 10, t2 = 2 ? 10 抛物线 C 在点 t1 , ( t1 + 1) 其方程分别为 y = 2x + 1 ①
y = 2 ( t1 + 1) x ? t12 + 1 ②
2 y = 2 ( t2 + 1) x ? t2 +1 ③

【思路分析】利用线面垂直证明面面垂直,然后求棱柱体积。 【解题过程】 (Ⅰ)证明:由题设知 BC ⊥ CC1 , BC ⊥ AC , CC1 ∩ AC = C , 所以 BC ⊥ 平面 ACC1 A1 又 DC1 ? 平面 ACC1 A1 ,所以 DC1 ⊥ BC 由题设知 ∠A DC = ∠ADC = 45° ,所以 ∠CDC = 90° ,即 DC ⊥ DC .又 DC ∩ BC = C ,所以 DC ⊥
1 1 1 1 1

(

2

) (i = 0,1, 2) 处的切线分别为 l, m, n ,

平面 BDC.又 DC1 ? 平面 BDC1 ,故平面 BDC1 ⊥ 平面 BDC (Ⅱ)设棱锥 B —DACC1 的体积为 V1,AC = 1 .由题意得
1 1+ 2 1 V1 = × × 1× 1= 3 2 2

准考证号

又三棱柱 ABC —A1 B1C1 的体积 V=1, 所以 (V ? V1 ) : V1 = 11 :,故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的 比为 1:1 【失分警示】缺乏空间想象能力。
20.【命题立意】本题主要考查利用解析几何知识、方程的知识求解综合问题的能力,考查分析问题

②-③得 x =

t + t2 =2 2
1

将 x = 2 代入②得 y = ?1 ,故 D ( 2, ?1)
2 × 2 ? ( ?1) + 1 22 + ( ?1)
2

所以 D 到 l 的距离

座位号

与解决问题的能力。 【思路分析】 (Ⅰ)由相切条件求解; (Ⅱ)求出点 D 坐标利用点到直线的距离求解。 【解题过程】 (Ⅰ)设 A x0 , ( x0 + 1) 故 l 的斜率 k = 2 ( x0 + 1) 当 x0 = 1 时,不合题意,所以 x0 ≠ 1 。
d=

=

6 5 5

(

2

) 。对 y = ( x + 1) 求导得 y ' = 2 ( x + 1)
2

【失分警示】找不到接替途径而失分,此题也易出现计算化简上的错误。 21. 命题动向:本题主要考查了导数及其应用,结合导数的运算,利用函数的单调性一致来解决有关的参
数问题,以及处理代数式的最值等,正确通过数形结合、导数工具等来解决相关的函数 问题.

姓名

( 1 圆心为 M (1, ) ,MA 的斜率 k ' = 2

x0 + 1) ?
2

x0 ? 1

1 2

解析: (1) f ′ ( x ) = 3 x 2 + a, g ′ ( x ) = 2 x + b ,由题意知 f ′ ( x ) g ′ ( x ) ≥ 0 在区间 [ ?1,+∞ ) 上恒成立, 因为∵ a > 0,∴ 故3 x 2 + a > 0, 进而2 x + b ≥ 0,

由 l ⊥ MA 知 k ik ' = ?1, 即 2 ( x0 + 1)i

( x0 + 1)

2

?

x0 ? 1

1 2 = ?1 ,
2

即 b ≥ ?2x 在区间 [ ?1,+∞ ) 上恒成立,所以 b ≥ 2 ,因此 b 的取值范围是 [ 2, +∞ ) . (2)令 f ′ ( x ) = 0, 解得x = ± ?

a 3

学校

解得 x0 = 0 ,故 A(0,1) , r = MA = (Ⅱ)设 t , ( t + 1)
2

(1 ? 0 )

5 5 2 ?1 ? ,即 r = + ? ? 1? = 2 2 ?2 ?

若 b > 0,由a < 0得0 ∈ ( a, b ) 又因为 f ′ ( 0 ) g ′ ( 0 ) = ab < 0 所以函数 f ( x ) 和g ( x ) 在 ( a, b ) 上不 是单调性一致的,因此 b ≤ 0 . 现设 b ≤ 0.当x ∈ ( ?∞, 0 ) 时g ′ ( x ) < 0. 当 x ∈ ? ?∞, ? ?

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

(

2

) 为 C 上一点,则在该点处的切线方程为

y ? ( t + 1) = 2 ( t + 1)( x ? t ) , 即 y = 2 ( t + 1) x ? t 2 + 1

? ? ?

a? ? 时f ′ ( x ) > 0. ? 3?

文数

53

文数 54

当 x - 2 时,由 f ( x) . 3 得 ?2 x + 5 . 3 ,解得 x - 1 ; 当 2 < x < 3 时, f ( x) . 3 无解; 当 x . 3 时,由 f ( x) . 3 得 2 x ? 5 . 3, 解得 x . 4 ; 所以 f ( x) . 3 的解集为 {x | x - 1} ∪ {x | x . 4} (Ⅱ) f ( x) - |x ? 4 |?| x ? 4 | ? | x ? 2 |.| x + a | 当 x ∈ [1, 2] 时, | x ? 4 | ? | x ? 2 |.| x + a |

? ? a a a 因此,当 x ∈ ? ?∞, ? ? ? 时f ′ ( x ) g ′ ( x ) < 0. 故由题设得 a ≥ ? ? 且b ≥ ? ? ? ? 3 3 3? ?
从而 ? ≤ a < 0, 于是 ? ≤ b ≤ 0,因此 a ? b ≤ 又当

1 3

1 3

1 1 ,且当 a = ? , b = 0 时等号成立. 3 3
从而当 x ∈ ? ? , 0 ? 时f ′ ( x ) g ′ ( x ) > 0

1 1? ? a = ? , b = 0 时, f ′ ( x ) g ′ ( x ) = 6 x ? x 2 ? ? . 3 9? ?

? 1 ? 3

? ?

1 ? 1 ? 故函数 f ( x ) 和g ( x ) 在 ? ? , 0 ? 上单调性一致, 因此 a ? b 的最大值为 . 3 ? 3 ? 22.【命题立意】本题考查几何性质及有关知识。
【思路分析】利用线线平行的相关知识求解。 【解题过程】 (Ⅰ)因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点,所以 DE / / BC .又已 知 CF//AB.故四边形 BCFD 是平行四边形,所以 CF=BD=AD.而 CF//AD,连接

? 4 ? x ? (2 ? x) .| x + a | ? ?2 ? a - x - 2 ? a
由条件得 ?2 ? a - 1 且 2 ? a . 2, 即 ?3 - a - 0. 故满足条件的 a 的取值范围为 [ ?3, 0] 。 【失分警示】缺乏准确运算的能力。

AF, 所以 ADCF 是平行四边形, 故 CD=AF.因为 CF//AB,所以 BC=AF, 故 CD=BC
(Ⅱ)因为 FG//BC , 故 GB=CF. 由(Ⅰ)可知 BD=CF ,所以 GB=BD. 而 ∠DGB = ∠EFC = ∠DBC , 故 ΔBCD ∽ GBD 【失分警示】不能对几何性质进行熟练应用

第 22 题答图

三年高考模拟卷(二)
1. 【解析】∵ x 2 ≤1 ? ?1≤ x ≤1,∴ ?U P = (?∞, ?1) ∪ (1, +∞) . 答案:D. 【命题立意】本题考查集合的补集运算,属容易题.

23.【命题立意】本题考查极坐标的应用。
【思路分析】利用极坐标方程进行求解。 【解题过程】 (Ⅰ)由已知可得

2.【答案】A【命题立意】本题考查复数的运算,分子分母同乘以分母的共轭复数,将分母变成实数
的运算。

A(2 cos

π
3

, 2sin ), B(2 cos( + ), 2sin( + ))C (2 cos( + π ), 2sin( + π )) 3 3 2 3 2 3 3

π

π

π

π

π

π

π

【解析】

π 3π π 3π D (2 cos( + ), 2sin( + )) 3 2 3 2


10i ( 3 ? i ) 10i 10 + 30i = = = 1 + 3i ,故选 A. 3 + i ( 3 + i )( 3 ? i ) 10

A(1, 3), B(? 3,1), C (?1, ? 3), D( 3, ?1)

【失分警示】复数运算要注意 i 2 =-1 3. 答案:B
解析:如图过 B 作 BB1 ⊥ l 于 B1 ,过 A 作 AA1 ⊥ l 于 A1 , 过 B 作 BM ⊥ AA1 于 M ,设 BF = m , 则 AF = 3m ,利用椭圆第二定义, BB1 =

(Ⅱ)设 P(2 cos ? ,3sin ? ), 令 S =| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2 , 则 S = 16 cos 2 ? + 36sin 2 ? + 16 = 32 + 20sin 2 ? 因为 0 - sin 2 ? - 1, 所以 S 的取值范围是 [32,52] 【失分警示】不能清楚理解极坐标有关内容。

m 3m , AA1 = , e e

AM = AA1 ? BB1 =

2m , e

24.【命题立意】本题考查不等式的求法。
【思路分析】去掉绝对值求解不等式。

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

AM 2 1 1 , 设 ∠BAA1 = θ ,cos θ = = = = 4e 2e 3 AB
所以 k = tan θ =

第 3 题图

2.

? ?2 x + 5, x - 2, ? 【解题过程】 (Ⅰ)当 a = ?3 时, f ( x) = ?1, 2 < x < 3, ? ? 2 x ? 5, x . 3,
文数 55

4. 答案:B 命题动向:本题主要考查了正切函数的图象及其性质,考查了识图能力.

文数 56

解析:由图知 T =

π
2

,故 ω = 2 ,对称中心为 ? ?

? π ? ,0? , ? 8 ?

10.【答案】D【命题立意】本题考查比较两个实数大小的基本方法与技能。
【解析】①∵ a > b > 1∴ 0 <

? π ? π π ? ? ? ? 因此 tan ? 2 × ? ? ? + ? ? = 0, tan ? ? ? ? = 0, 故? = , 4? 4 ? ? ? 8? ?

1 1 c c < < 1 又 c < 0 ∴ > 故①正确; a b a b

π? π ? 所以 f ( x ) = A tan ? 2 x + ? , f ( 0 ) = A tan = A = 1 4? 4 ? π? π π? π ? ?π ? ? + ? = tan = 3 . 得 f ( x ) = tan ? 2 x + ? ,故 f ? ? = tan ? 2 × 4? 24 4 ? 3 ? ? 24 ? ?
5. 【解析】 由框图可知: P = 1, S = 1 → P = 2, S = 答案:C. 6. 答案:B

②∵ a > b > 1 可设 f ( x ) = a x , g ( x ) = b x ,当 x=c 时,根据指数函数的性质:当 x < 0 时,底越大图 象越靠近 x 轴。故 ②正确;③∵ a ? c > b ? c > 1 ,根据对数函数的性质 ∴ log b ( b ? c ) > log a ( b ? c )

而∴ log b ( a ? c ) > log b ( b ? c ) ,故 ∴ log b ( a ? c ) > log a ( b ? c ) 正确。所以选 D. 【失分警示】对指数函数和对数函数的图象与性质掌握不熟导致失分。

3 11 25 → P = 3, S = → P = 4, S = , 循环终止. 输出 P = 4 . 2 6 12

【命题立意】本题考查框图的运算,考查用递推思想解决问题的能力,难度适中. 【命题立意】本题主要考查线性规划的相关知识. y 3 2 1 O -1 -2 2 第 6 题答图

11.【答案】B【命题立意】本题主要考查利用解析几何知识、数列知识,求解问题的能力。
【解析】设 F1 F2 = 2c ,则由已知得 4c 2 = ( a + c )( a ? c ) ∴ 5c 2 = a 2 ,

第一解析:画出可行域,可得目标函数在点 (5,0) 处取 最大值,可得最大值为 11,故选 A. 第二解析:作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示.

c 5 = ,故选 B。 a 5

准考证号

z = 2x + 3y +1 x? y?2= 0

【失分警示】对椭圆知识不熟导致失分。

1 12.【答案】A【命题立意】当 0 - t - 1 时 S ( t ) = t 2 ,当甲在 BDC 上时 S ( t ) 为一次式,所以选 A. 2
【失分警示】找不到解题思路而失误。

2 z 1 又 z = 2x + 3y +1 可 化 为 y = ? x + ? , 结 合 图 形 可 知 3 3 3
z = 2 x + 3 y + 1 在点 A 处取和最大值.

13. 【解析】画出分段函数 f ( x) 的图象如图所示,结合图象可以看出,
5 x x + 2y ? 5 = 0 若 f ( x) = k 有两个不同的实根,也即函数 y = f ( x ) 的图象 与 y = k 有两个不同的交点, k 的取值范围为(0,1). 答案: (0,1) 【命题立意】本题考查函数的零点问题,考查考生作图的能力,
2 4 4 第 7 题答案图

座位号

? x + 2 y ? 5 = 0, 由? ? x ? y ? 2 = 0,

? x = 3, 得? 故 A(3,1) ? y = 1,

y 2 (2,1) 1 1 2 3 4 x

此时 z = 2 × 3 + 3 × 1 + 1 = 10.

[命题立意]本小题考查线性规划的是优解问题,主要运用数形结合的思想方法求解.

7. 【解析】由三视图还原几何体的直观图如图所示. ?1 ? S ? × 4 × 2 2 ? × 4 + 4 × 4 = 16 + 16 2 . ?2 ?


考查数形结合的思想方法,难度中等. 14. 答案: 3

-2 -1 O -1 -2 -3

第 13 题答案图

姓名

答案:B.【命题立意】本题考查三视图及几何体表面积的计算,考查空间想象能力 和运算求解能力,难度较小.

解析: AC ? AD =| AC | ? | AD | cos∠DAC =| AC | ? cos∠DAC =| AC | sin ∠BAC = BC sin B =

3

8.【答案】B【命题立意】本题考查根据图象求解函数零点个数问题。
x

?1? 【解析】 在同一坐标系内分别做出 y = x , y = ? ? 的图象, 根据图象可看出交点的个数只有一个, ?2?
故选 B. 【失分警示】函数零点的个数有时可以划归为两个函数图象的交点个数。

15. 答案: 2, n 2
解析: 因为 an = n 2 , 所以 an 依次为 1, 4,9,16, 25,36 ,….满足 an < 5 的只有前两项, 所以 (a5 )* = 2; 又 (an ) * 依次为 0,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,….其中 1 个 0,4-1 个 1,9-4 个 2, 16-9 个 3,25-16 个 4, …所以 ((an )*) * 的值依次是 1,1+(4-1),1+(4-1)+(9-4) ,1+(4-1)+(9-4)+(16-9)+…,即 1,4,9,16,….所以

9.【答案】B【命题立意】本题考查等比数列的基本性质和基本运算及均值不等式的简单应用。
【解析】A 错在于 ( a1 + a3 ) ? 2a2 = a1 (1 + q 2 ? 2q ) = a1 ( q ? 1) ,因为 a1 的正负未知,故 A 不选;B 选
2 2 2 . 2a1 × a3 = 2a2 故正确;C 选项若数列 {an } 为摆动数列不正确;D 选项同 项利用均值不等式 a12 + a3

学校

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

((an )*)* = n 2 .
16.答案: (1)3 (2)2 命题立意:本小题主要考查逻辑推理和归纳推理知识. 解析: (1) 2 = 21 , 4 = 22 , 6 = 2 2 + 21 , 8 = 23 所以 b2 = b4 = b8 = 1 , b6 = 0 所以 b2 + b4 + b6 + b8 = 3 (2)bn = 1 , 当 n 为奇数时,a0 = 1 ; 若 bn +1 = 0 ,n + 1 为偶数 a0 = 0 ;n + 2 为奇数时 bn + 2 = 1 , 此时 cm = 1 ;
文数 58

C, 故选 B.
【失分警示】等比数列中的项相乘可以运用性质,而等差数列中的项相加可以运用性质。

文数

57

bn = 1 ,当 n 为偶数时 bn + 2 = 0 , n + 3 为奇数, bn + 3 = 1 此时 cm = 2 .
失分警示:此题难度系数较大,需要较强耐心审题才能分析清条理.

估计,其估计值为

17. 解: (I)证明:由题设,可得 a

2 k +1

?a

2 k ?1

= 4k , k ∈ N * .

1× 15 + 1.5 × 30 + 2 × 25 + 2.5 × 20 + 3 × 10 = 1.9 ( 分钟 ) 100
(Ⅱ)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” , A1 , A2 , A3 分别表示事件“该顾 , “该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟” , , “该顾客一次购物 客一次购物的结算时间为 1 分钟” 的结算时间为 2 分钟” 。将频率视为概率得

所以 a2 k +1 ? a1 = (a2 k +1 ? a2 k ?1 ) + (a2 k ?1 ? a2 k ? 3 ) + ??? + (a3 ? a1 ) = 4k + 4(k ? 1) + ... + 4 × 1 = 2k (k + 1) 由 a1 = 0 ,得 a2 k +1 = 2k (k + 1) . 从而 a2 k = a2 k +1 ? 2k = 2k 2 , a2 k + 2 = 2(k + 1)2 . 于是

P ( A1 ) =

15 3 30 3 25 1 , P ( A2 ) = = = , P ( A3 ) = = . 100 20 100 10 100 4

a2 k +1 k + 1 a2 k + 2 k + 1 a2 k + 2 a2 k +1 = , = , 所以 = . a2 k k a2 k +1 k a2 k +1 a2 k

因为 A = A1 ∪ A2 ∪ A3, ,且 A1 , A2 , A3 是互斥事件,所以

所以 d k = 2k时,对任意k ∈ N* , a2 k , a2 k +1 , a2 k + 2 成等比数列. (II)证法一: (i)由 a2 k ?1 , a2 k , a2 k +1 成等差数列,及 a2 k , a2 k +1 , a2 k + 2 成等比数列,得

P ( A ) = P ( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) =

3 3 1 7 + + = 20 10 4 10 7 10

故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 【失分警示】不能正确分析事件是概率失分的关键。

2 a2 k

a a 1 = a2 k ?1 + a2 k +1 , 2 = 2 k ?1 + 2 k +1 = + qk . a2 k a2 k qk ?1

当 q1 ≠ 1 时,可知 q1 ≠ 1, k ∈ N * .

19.命题立意:本题考查利用几何知识、向量证明线面垂直和求线面所成角的能力,考查空间想象能力.
思路分析:利用几何法或空间向量法求解. 解题过程:解法一:

1 1 1 1 1 从而 ? = 1(k ≥ 2) = = + 1, 即 qk ?1 qk ?1 ? 1 qk ?1 2 ? 1 ? 1 qk ?1 ? 1 qk ?1
? 所以 ? 1 ? ? ? ? 是等差数列,公差为 1. ? qk ? 1 ? ? ?

(Ⅰ)因为底面 ABCD 为菱形,所以 BD ⊥ AC ,又 PA ⊥ 底面 ABCD ,所以 PC ⊥ BD . 设 AC ∩ BD = F , 连 接 EF, 因 为 AC = 2 2 , PA = 2 , PE = 2 EC ,故 PC = 2 3 , EC = 2 3 PC , FC = 2 ,从而 = 6, 3 FC

(ii)由 a1 = 0, a2 = 2, 可得 a3 = 4

4 1 = 1. 从而 q1 = = 2, 2 q1 ? 1
由(i)有 所以

PC AC AC = = 6 . 因为 , ∠FCE = ∠PCA ,所以 ΔFCE ∽ ΔPCA , FC EC EC ∠FEC = ∠PAC = 90° ,由此知 PC ⊥ EF . PC 与平面 BED 内两条相交
直线 BD , EF 都垂直,所以 PC ⊥ 平面 BED .

第 19 题图

1 k +1 ,k ∈N* . = 1 + k ? 1 = k , 得 qk = q ?1 k
k

(Ⅱ)在平面 PAB 内过点 A 作 AG ⊥ PB , G 垂足.因为二面角 A ? PB ? C 为 90°, 所以平面 PAB ⊥ 平面

a2 k + 2 a2 k +1 k + 1 a (k + 1) 2 = = . 从而 2 k + 2 = ,k ∈N* . a a k a k2
2 k +1 2k
2k 2k 2 2 a a a k ( k ? 1) 22 = 2 k i 2 k ? 2 i ??? i 4 i a2 = i i ??? i 2 i2 = 2k 2 . a2 k ? 2 a2 k ? 4 a2 (k ? 1)2 (k ? 2) 2 1

PBC .又平面 PAB ∩ 平面 PBC = PB ,故 AG ⊥ 平面 PBC , AG ⊥ BC . BC 与平面 PAB 内两条相
交直线 PA , AG 都垂直, 故 BC ⊥ 平面 PAB , 于是 BC ⊥ AB , 所以底面 ABCD 为正方形, AD =2,

因此 a

PD = PA2 + AD 2 = 2 2 .设 D 到平面 PBC 的距离为 d .因为 AD ∥ BC , 且 AD ? 平面 PBC , BC ?
平面 PBC ,故 AD ∥平面 PBC ,A,D 两点到平面 PBC 的距离相等,即 d = AG = 2 .设 PD 与平 面 PBC 所成的角为 α ,则 sin α =

a2 k +1 = a2 k i

k +1 = 2k (k + 1), k ∈ N *. k

18.【命题立意】本题考查统计基础及概率一般加法。
【思路分析】 (Ⅰ)利用条件求 x,y 的值,再求平均值。 (Ⅱ)利用互斥事件及概率一般加法公式即可求出。 【解题过程】 (Ⅰ)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,所以 x=15,y=20 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可 视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

1 d = .所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°. PD 2

解法二: (Ⅰ)以 A 为坐标原点,射线 AC 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz .

文数

59

文数 60

设 C (2 2, 0, 0), D ( 2, b, 0) , 其中 b > 0 , 则 p(0, 0, 2), E (

4 2 2 , 0, ) ,B( 2 ? b, 0) .于是 PC = (2 2, 0, ?2) , 3 3

所以 MN =

( x2 ? x1 )
2

2

+ ( y2 ? y1 )
2 1 2

2

BE = (

2 2 2 2 , b, ) , DE = ( , ?b, ) , 从 而 PC ? BE = 0 , 3 3 3 3 PC ⊥

=

?( x + x ) (1 + k ) ?

? 4 x1 x2 ? ?

PC ? DE = 0 ,故 PC ⊥ BE , PC ⊥ DE .又 BE ∩ DE = E ,所以
平面 BDE .
(Ⅱ) AP(0, 0, 2) , AB = ( 2, ?b, 0) .设 m = ( x, y , z ) 为平面 PAB 的 法向量,则 m ? AP = 0 , m ? AB = 0 ,即 2 z = 0 且 2 x ? by = 0 , 令 x = b ,则 m = (b, 2, 0) .设 n = ( p, q, r ) 为平面 PBC 的法

=

2 (1 + k 2 )( 4 + 6k 2 ) 1 + 2k 2 k 1+ k 2


又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d =

第 19 题图
所以 ΔAMN 的面积为 S =

准考证号

k 4 + 6k 2 k 4 + 6k 2 1 10 由 ,解得 k= ± 1 MN i d = = 2 1 + 2k 2 1 + 2k 2 3

向量,则 n ? PC = 0 , n ? BE = 0 ,即 2 2 p ? 2r = 0 且

2p 2 + bq + r = 0 ,令 p = 1 ,则 r = 2 , 3 3

【失分警示】对椭圆的方程及性质掌握不熟,对直线与椭圆的位置关系掌握不熟易导致失分。 21. 命题动向:本题主要考查导数的运算、利用导数求切线方程、求参数的问题,考查学生运用函数思想
解决数学问题的能力. 解: (Ⅰ) f ′ ( x ) = 1 + 2ax +

q =—

2 2 2 , 2) .因为面 PAB ⊥ 面 PBC ,故 m ? n = 0 ,即 b ? =0,故 b = 2 ,于是 , n = (1, ? b b b n ? DP | n || DP | = 1 , < n ? DP >= 60° .因为 PD 与平 2

座位号

n = (1, ?1, 2) , DP = (? 2, ? 2, 2) , cos < n ? DP >=

? f (1) = 0 ?1 + a = 0 b ? ,由已知条件得 ? ∴? ∴ a = ?1, b = 3 x ? f ′ (1) = 2 ?1 + 2a + b = 2 ?

面 PBC 所成角和 < n ? DP > 互余,故 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°. 20.【命题立意】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆位置关系的问题。 【思路分析】先利用椭圆的性质求出椭圆的标准方程,再利用直线与椭圆的位置关系求解三角形面 积问题。

(Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 ( 0, +∞ ) ,由(Ⅰ)知 f ( x ) = x ? x 2 + 3ln x. 设 g ( x ) = f ( x ) ? ( 2 x ? 2 ) = 2 ? x ? x 2 + 3ln x ,则 g ′ ( x ) = ?1 ? 2 x +

( x ? 1)( 2 x + 3) 3 , =? x x

姓名

当 0 < x < 1 时, g ′ ( x ) > 0;当x > 1时,g ′ ( x ) < 0 .所以 g ( x ) 在 ( 0,1) 上单调增加, 在 (1, +∞ ) 上 单 调 减 少 . 而 g (1) = 0, 故 当 x > 0 时 ,

解得 b = 2

?a = 2 ? 2 ?c 【解题过程】 (Ⅰ)由题意得 ? = 2 ?a 2 2 ? 2 ?a = b + c x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1 4 2

g ( x ) ≤ 0, 即 f ( x ) ≤ 2 x ? 2 . 22.证明: (Ⅰ)易于证明等式中线段所在的三角形 ACB
和 DAB 相似,则此问可证; (Ⅱ)可通过证明 ΔEAD ∽ ΔABD 来得到 AE i BD = AD i AB ,从而由上问则可 得到 AC=AE. 【解题过程】 (Ⅰ)由 AC 与

学校

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

? y = k ( x ? 1) , ? 2 (Ⅱ)由 ? 2 得 (1 + 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x + 2k 2 ? 4 = 0 x y = 1, ? + ?4 2
设点 M,N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,则

O ' 相切于 A ,得

∠CAB = ∠ADB ,同理 ∠ACB = ∠DAB ,所以 ΔACB ∽ ΔDAB .从而
即 AC i BD = ADi AB (Ⅱ)由 AC 与

答 22 题图

AC AB , = AD BD

y1 = k ( x1 ? 1) , y2 = k ( x2 ? 1) , x1 + x2 =

4k 2 2k 2 ? 4 , x1 x2 = 1 + 2k 2 1 + 2k 2

O 相切于 A ,得 ∠AED = ∠BAD 又 ∠ADE = ∠BDA , 得 ΔEAD ∽ ΔABD . 从而

文数

61

文数 62

AE AD = ,即 AE i BD = AD i AB 结合(Ⅰ)的结论,AC=AE AB BD 23.
【解题过程】 (Ⅰ)圆 C1 的极坐标方程为 ρ = 2 ,圆 C2 的极坐标方程 ρ = 4 cos θ

?log x < log y 1 1 ? 2 2 3. 【解析】不等式转化为 ? ?1< y < x . ?log 1 y < 0 ? 2
答案:D. 4. 答案:D
解析:本题将解析几何与三角知识相结合,主要考察了双曲线的定义、标准方程,几何图形、几何性质、 渐近线方程,以及斜三角形的解法,属中档题

?ρ = 2 π 解? 得 ρ = 2,θ = ± , 3 ? ρ = 4 cos θ

【命题立意】本题考查对数不等式的求解,考查考生的运算求解能力,难度较小.

(

)(

)

4 ?3? 9 5. 【解析】由三视图可得几何体为长方体与球的组合体,故体积为 V = 32 × 2 + π ? ? = 18 + π . 3 ?2? 2
答案:B. 【命题立意】本题考查由三视图还原几何体的直观图,并求几何体的体积,主要考查学生的 空间想象能力,难度较小.

3

6. 答案:B 【命题立意】本题主要考查回归直线方程的相关知识.
解析:由表可得 x = 3.5, y = 42. 把 x, y

( )

? +a ?得a ? = 9.1∴ y = 9.4 x + 9.1, 当x = 6时,y = 65.5. 故选 B. 代入 y = bx 7. 答案:D 命题立意:本题主要考查古典概型的概率运算.
第一解析:记“至少有一个白球”为事件 A,则事件 A 的对立事件为事件 B“三个球都为红球” ,事件 B 发生的概率为 P =
3 C3 1 9 = , ∴ 事件 A 发生的概率为 ,故选 D. 3 10 10 C5

π? ? π? ? 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 ? 2, ? , ? 2, ? ? 3? ? 3? ? ? x = ρ cos θ (Ⅱ) (解法一)由 ? 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为 1, 3 , 1, ? 3 ? y = ρ sin θ ?x = 1 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为 ? ? 3-t- 3 ?y = t ?x = 1 (或参数方程写成 ? ? 3- y- 3) ?y = y ? x = ρ cos θ 1 (解法二)将 x=1 代入 ? 得 ρ cos θ = 1 ,从而 ρ = cos θ ? y = ρ sin θ ?x = 1 π π 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为 ? ? -θ 3 ? y = tan θ 3

24.【解题过程】 (1) 由 ax + 1 - 3 得 ?4 - ax - 2 。 又 f ( x ) - 3 的解集为 { x | ?2 - x - 1} , 所以当 a - 0
时,不合题意。

4 2 当 a > 0 时, ? - x - ,得 a=2 a a ? x? (Ⅱ)记 h ( x ) = f ( x ) ? 2 f ? ? , ?2?

解二解析: “所取的 3 个球中至少有 1 个白球”的对立事件是“所取的 3 个球都不是白球” ,因而所求 的概率 P = 1 ?

C3 1 9 3 = 1? = . 3 10 10 C5

8.【答案】B【命题立意】本题考查利用函数的奇偶性、周期性、及导数与单调性的关系来解决函数
零点的问题。 所以 h ( x ) - 1 ,因此 k . 1

π? ? ? π? ?π ? 【解析】 由 ? x ? ? f ' ( x ) > 0 知, 当 x ∈ ? 0, ? 时,f ' ( x ) < 0 , 当 x ∈ ? , π ? 时,f ' ( x ) > 0 , 又 x ∈ (0, π ) 2? ? ? 2? ?2 ?
时, 0 < f ( x ) < 1 ,画函数图象可得有 4 个交点,故选 B。 【失分警示】不能正确利用不等式关系得到函数单调性。

? ?1, x - ?1, ? 1 ? 则 h ( x ) = ??4 x ? 3, ?1 < x < ? 2 ? 1 ? x.? ??1, ? 2

三年高考模拟卷(三)
1. 【解析】由 M ∩ ?U N = {2, 4} 可得集合 N 中不含有元素 2,4,集合 M 中含有元素 2,4,故 N = {1,3,5} . 答案:B. 【命题立意】本题考查集合的基本运算,属容易题.

9.【答案】C【命题立意】本题主要考查利用三角函数公式求解问题的能力。

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

π? ? 1 π? π ? 【解析】由于 ? ln 5 + ? + ? lg + ? = 4? ? 5 4? 2 ? π? π? π? ? ? 1 π? ? ? ∴ sin 2 ? lg 5 + ? + sin 2 ? lg + ? = sin 2 ? lg 5 + ? + cos 2 ? lg 5 + ? = 1 。故选 C. 4? 4? 4? ? ? 5 4? ? ?
【失分警示】三角函数公式不熟导致失误。

2.【答案】A【命题立意】本题考查复数的运算以及共轭复数的定义。
【解析】z=-1+i,所以 z = ?1 ? i ,故选 A。

10.【答案】A【命题立意】本题考查数列的周期性。
【解析】 a1 + a2 + a3 + a4 = 0 + ( ?2 ) + 0 + 4 = 2, a5 + a6 + a7 + a8 = 0 + ( ?6 ) + 0 + 8 = 2
文数 63 文数 64

∴ S2012 = 503 × 2 = 1006
【失分警示】不能正确总结规律而无法求解。

据题意可得 ∠OBA = 60° ,在三角形 OAB 中由正弦定理可 得

a
sin A

11.【答案】C【命题立意】考查双曲线离心率求法。 c 3 【解析】由题意 a=2,c=3,所以 e = = a 2
【失分警示】a,b,c 关系和椭圆混淆。

=

1 sin A 2 3 = sin A , ,故 α = sin 60° sin 60° 3 ? 2 3? 2π 2 3 , 故 0 < sin A ≤ 1 ,从而 α = ,sin A ∈ ? 0, ?. ? 3 3 3 ? ?

由于 0 < A <

12.【答案】C【命题立意】本题考查导数研究函数值的分布。
【解析】 f ' ( x ) = 3 ( x ? 1)( x ? 3) 。由题意 f (1) = 4 ? abc > 0,f ( O ) = f ( 3) = ? abc < 0 故选 C。 【失分警示】没有求 f ( 3) 的值导致 f ( 0 ) 无法判断。

16.【答案】 (0,8) 【命题立意】本题考查恒成立问题。
【解析】 Δ = a 2 ? 8a < 0,∴ a ∈ ( 0,8) , 【失分警示】没能找到判别式小于 0 这一隐含条件。
(I)由已知,根据正弦定理得 2a 2 = (2b + c)b + (2c + b)c ,即 a 2 = b 2 + c 2 + bc. 17. 解: 由余弦定理得 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A ,故 cos A = ?

13. 【解析】 N (0) 表示当 t = 0 时,平行四边形 ABCD 内部整点的个数,由图(1)可知, N (0) = 6 . 在结
合图(2)和图(3)知 N (t ) 的所有可能取值为 6,7,8. 答案:6 6,7,8 的能力,难度中等. 【命题立意】本题考查学生作图的能力和空间想象的能力,考查数形结合的思想,考查考生知识迁移

准考证号

1 , A = 120° . 2

(II)由(I)得:

3 1 sin B + sin C = sin B + sin(60° ? B) = cos B + sin B 2 2 = sin(60° + B )

座位号

故当 B = 30° 时, sin B + sin C 取得最大值 1。

C

D

C

D

C

18.【命题立意】本题考查回归直线方程的求法一元二次函数等基础知识。
【思路分析】求回归直线方程,根据回归直线方程即可确定单价。

y 5 4 3 D 2 1

y 5 4 3 2 1 x

y 5 4 3 2 1 x

B

B

?1 A 1 2 3 4 5 ?1
(1)

?1 A 1 2 3 4 5 6 7 ?1
(2) 第 13 题答案图

?1 A 1 2 3 4 5 6 7 ?1
(3)

B

x

【解题过程】 (Ⅰ)由于 x =

1 ( x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ) = 8.5, 6

y=

姓名

1 ( y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 ) = 80 6

14. 答案:4
n

所以 a = y ? bx = 80 + 20 × 8.5 = 250 ,从而回归直线方程为 y = ?20 x + 250 (Ⅱ)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得

a (1 ? q n ) a (1 ? 2 ) 解析:等比数列 {a } 中, S = 1 = 1 , S 2 n = Sn + an +1 + an + 2 + ??? + a2 n = (1 + q n ) Sn , 1? q 1? 2
n
n

L = x ( ?20 x + 250 ) ? 4 ( ?20 x + 250 )
= ?20 x 2 + 330 x ? 1000
2

则 Tn =

17 Sn ? S2 n (16 ? q n ) S n (16 ? q n ) Sn (16 ? q n ) 1 ? q n = = = . .令q n = t (t > 0), an +1 an +1 1? q a1 iq n qn ? 16 ? ? t + ? 17 ? . t ? ?

1 (16 ? t )(1 ? t ) 1 t 2 ? 17t + 16 1 i i T = . = = 1? q t 1? q t 1? q
n

y
A

33 ? ? = ?20 ? x ? ? + 361.25 4? ? 当且仅当 x=8.25 时,L 取得最大值。故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润。
【失分警示】计算不准及回归系数关系记错(y=a+bx)

学校

密……………………………………………………封……………………………………………………线

? 2 3? 15. 答案: ? 0, ? ? 3 ? ?
解析:如图: 设 OA = β , OB = a, 其中点 A 在单位圆上,则 β ? α = BA ,

O

x
B
第 15 题图

19.【命题立意】本题考查体积求法及垂直的基本证明,考查空间基本想象能力。 【思路分析】将侧面展开即可得到 A1 M + MC 的最小值,确定 M 点位置,然后利用线线垂直证明
线面垂直 【解题过程】 (Ⅰ)由长方体 ABCD —A1 B1C1 D1 知,

文数

65

文数 66

AD ⊥ 平面 CDD1C1 ∴ 点 A 到平面 CDD1C1 的距离等于 AD=1,
又 SΔMCC1 =

1 1 CC1 × CD = × 2 × 1 = 1 , 2 2 1 1 AD i SΔMCC1 = 3 3

? ? 2 2 ?m = ?m = ? 由①、②得 ? 2 或? 2 ? ? ?n = 2 ?n = ? 2 2 2 故直线 l 的方程为 y = x + 2或y = ? x? 2 2 2 【失分警示】计算能力不足。
(1) f ′( x) = ( x ? k + 1)e x . 令 f ′( x) = 0 ,得 x = k ? 1 . f ( x) 与 f ′( x) 的变化情况如下: 21. 【解析】解: x

∴ VA —MCC1 =

(Ⅱ)将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转 90° 展开,与侧面 ADD1 A1 共面(如图) , 当 A1 , M , C ' 共线时, A1 M + MC 取得最小值。 由 AD=CD=1, AA1 = 2 ,得 M 为 DD1 中点。 连接 C1 M ,在 ΔC1 MC 中, MC1 = 2 , MC = 2, CC1 = 2 ,

(?∞, k ? 1)
?


k ?1
0

(k ? 1, +∞)
+


f ′( x) f ( x)

∴ CC12 = MC12 + MC 2 , 得 ∠CMC1 = 90° , 即 CM ⊥ MC1 , 又 由 长 方 体 ABCD —A1 B1C1 D1 知 , B1C1 ⊥ 平面CDD1C1 ,∴ B1C1 ⊥ CM
又B1C1 ∩ C1 M = C1 ,∴ CM ⊥ 平面B1C1 M ,得CM ⊥ B1 M ; 同理可证, B1 M ⊥ AM , 又 AM ∩ MC = M , ∴ B1 M ⊥ 平面MAC 【失分警示】不会确定 M 点位置导致此题无法证明。

?e k ?1

所以, f ( x) 的单调递减区间是 (?∞, k ? 1) ;单调递增区间是 (k ? 1, +∞) . ( 2 )当 k ? 1≤ 0 ,即 k ≤1 时,函数 f ( x) 在 [0,1] 上单调递增,所以 f ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为

f (0) = ? k ;
当 0 < k ? 1 < 1 ,即 1 < k < 2 时,由(1)知 f ( x) 在 [0, k ? 1) 上单调递减,在 (k ? 1,1] 上单调递增, 所以 f ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f (k ? 1) = ?e k ?1 ;当 k ? 1≥ 1 ,即 k ≥ 2 时, 函数 f ( x) 在 [0,1] 上单调递减,所以 f ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f (1) = (1 ? k )e 【命题立意】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题,考查分类讨论思想,考查考生 转化与化归的能力,难度适中.

20.【命题立意】本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆和抛物线的位置关系问题,同时考查了
方程思想的应用和运算能力。 【思路分析】 (Ⅰ)通过解方程求解; (Ⅱ)分别满足直线与椭圆和抛物线相切,则判别式为 0, 从而可得关于 mn 的方程解之即可。

22. 命题动向:本小题主要考查两圆内切、相似比等基础知识,考查推理论证能力.
并延长分别交两圆于点 E和点D, 连结BD, CE.因为圆O1与圆O2内切于点A, 所以点 O2 证明: 连结 AO1 , 在 AD 上。故 AD , AE 分别为圆 O1 ,圆 O2 的直径。 从而 ∠ABD = ∠ACE =

?a 2 ? b2 = 1 ?a 2 = 2 ? ? ?? 2 【解题过程】 (Ⅰ)由题意得 ? 1 ?b = 1 ? =1 ? ? b2
故所求的椭圆方程为

π
2

x2 + y2 = 1 2

所以 BD

CE ,于是

(Ⅱ)由题意可知切线的斜率一定是存在的,设直线 l 的方程为 y=mx+n

AB AD 2r1 r1 = = = 所以 AB : AC 为定值. AC AE 2r2 r2 23.坐标系与参数方程
第 22 题答案图

? y = mx + n y ?n ? y 2 = 4i ? my 2 ? 4 y + 4n = 0 由? 2 m ? y = 4x
由题意得 ( -4 )
2

【命题立意】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化以及利用参数特征求解问题的能力。 【思路分析】 (Ⅰ)利用代入求解; (Ⅱ)利用直线参数方程 中参数 f 的几何意义求解 【解题过程】设直线 l 上的点 A,B 对应参数分别为 t1 , t2 。 将曲线 C 的参数方程化为普通方程 (Ⅰ)当 α =
x2 + y2 = 1 4

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

-4m i4n =0 ? mn =1

c 又由

? y =mx +n 2 ? 2 2 2 2 ? x2 2 ? x +2 (mx+n ) =2 ? (1+2m ) x +4mnx+2 (n -1) =0 ? +y =1 ?2
由题意得 ( 4mn ) ? 4 × (1 + 2m 2 ) ? 2 ( n 2 ? 1) = 0 ? n 2 = 2m 2 + 1
2

π
3

时,设点 M 对应参数为 t0 。



答 23 题图
文数 68

文数

67

1. 答案:A 【命题立意】本题主要考查集合运算基本知识. 第一解析:由交集定义得 M ∩ N = {0,1} ,故选 A. 第二解析: M ∩ N = {?1, 0,1} ∩ {0,1, 2} = {0,1} . 【命题立意】本题考查了集合的运算,考查学生简单的运算能力和基础知识.

1 ? ?x = 2 + 2 t ? 直线 l 方程为 ? ( t为参数 ) ?y = 3 + 3 t ? 2 ?

代入曲线 C 的普通方程

t +t 28 x2 + y 2 = 1 ,得 13t 2 + 56t + 48 = 0则t0 = 1 2 = ? 4 2 13

2.【答案】D【命题立意】本题主要考查复数的基本运算。

? 12 3? 所以,点 M 的坐标为 ? , ? ? ? ? ? 13 13 ?
2 ? x = 2 + t cos α x ? (Ⅱ)将 ? 代入曲线 C 的普通方程 + y 2 = 1 , 4 ? ? y = 3 + t sin α

【解析】

3 + 4i ( 3 + 4i ) i = = 4 ? 3i i i2

【失分警示】忽略“ i 2 = ?1 ” ,致使计算错误。 3. 答案:D
解析:曲线方程可化简为 ( x ? 2) 2 + ( y ? 3) 2 = 4(1 ≤ y ≤ 3) ,即表示圆心为(2,3)半径为 2 的半圆,依据 数形结合,当直线 y = x + b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线 y = x + b 距离等于 2,解得

准考证号

得 ( cos 2 α + 4 sin 2 α ) t 2 + 8 3 sin α + 4 cos α t + 12 = 0 因为 PA i PB = t1t2 =
12 12 5 2 , OP = 7, 所以 = 7, 得 tan 2 α = 。 cos 2 α + 4 sin 2 α cos 2 α + 4sin 2 α 16

(

)

b = 1 + 2 2或b = 1 ? 2 2 , 因为是下半圆故可得 b = 1 + 2 2 (舍) , 当直线过 (0, 3) 时, 解得 b = 3 ,
故 1 ? 2 2 ≤ b ≤ 3. 所以 D 正确.

由于 Δ = 32 cos α 2 3 sin α ? cos α > 0, 故 tan α =

(

)

5 4
解析:

座位号

5 所以直线 l 的斜率为 。 4 【失分警示】对此部分不熟导致解题错误。 24..不等式

4. 答案:D 【命题立意】本题主要考查利用三角函数公式求三角函数值的能力.

sin 2 α + cos 2α = 1 ? sin 2 α = cos 2 α , ∴ cos 2 α =

1 1 π ? π? , ∵ α ∈ ? 0, ? , ∴ cos α = , α = , ∴ tan α = 3, ∴ 选 D. 4 2 3 ? 2?

【命题立意】本题主要考查含绝对值不等式的解法和利用解集求解一些数学问题。 【思路分析】 (Ⅰ)利用零点分类法求解。 (Ⅱ)利用不等式特征进行讨论。 【解题过程】 (Ⅰ)当 x - ?3 时,原不等式化为 ?3x ? 2 . 2 x + 4, 得x - ?3 当 ?3 < x 当x>
1 时,原不等式化为 4 ? x . 2 x + 4, 得-3 < x - 0, 2

5. 【解析】根据独立性检验的定义,由 K 2 ≈ 7.8 > 6.635 可知我们有 99%以上的把握认为“爱好该项运动 与性别有关” ,故选 C. 答案:C. 【命题立意】本题考查独立性检验的定义. 主要考查学生分析数据的能力,属容易题.

姓名

6. 答案:A 【命题立意】本题主要考查三视图相关知识和空间想象能力.
解析:以下三个几何体的三视图可满足题意,故选 A.

1 时,原不等式化为 3x + 2 . 2 x + 4, 得x . 2 2

综上, A = { x | x - 0或x . 2} (Ⅱ)当 x - ?2时, 2 x ? a + x + 3 . 0 . 2 x + 4成立。 当 x > ?2时, 2x ? a + x + 3 = 2x ? a + x + 3 . 2x + 4 得 x . a + 1或x 第 6 题答案图

7.答案:D 【命题立意】本题主要考查向量共线的相关知识.
解析:当 C 是 AB 中点时,易得 λ = 时在 AB 上时,λ ∈ ( 0,1) , 时, λ > 1, μ > 1 可得

1 1 1 1 代入 + = 2 得 = 0 无解,排除 A,同理排除 B.当 C、D 同 2 μ λ μ 1

学校

密……………………………………………………封……………………………………………………线

1

a ?1 a-1 得a - ?2 , 所以a +1 - -2或a +1 3 3

λ

> 1 同理

μ
1

> 1, ∴ +

1

λ

+

1

μ

> 2 ,排除 C.当 C、D 同时不在 AB 延长线上

综上,a 的取值范围为 a - ?2

1

三年高考模拟卷(四)
文数 69

λ

< 1,

1

μ

< 1, ∴

1

λ

μ

< 2. 故选 D.

文数 70

8.【答案】B【命题立意】本题主要考查直线与圆的位置关系,同时考查了求解圆的弦长问题。

第二解析:由于在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB = 2,∴ AC = 2 2. 又 E 为 AD 中点,

【解析】圆心到直线的距离: d =

?5

EF
= 1 ,所以弦 AB 的长为 2 4 ? 12 = 2 3 。

平面 AB1C , EF ? 平面 ADC ,平面 ADC ∩ 平面 AB1C = AC , ∴ EF

AC , ∴ F 为 DC 中点,

32 + 42

∴ EF =

1 AC = 2 . 2

【失分警示】圆的弦长公式不熟练。
9.【答案】D【命题立意】本题主要考查应用导数法求解函数的极值问题。

【命题立意】本题主要考查了立体几何中线面平行的性质定理、三角形中位线定理.

14. 答案:2 15. 答案:
21 2

解析: c ? a = (0, 0,1 ? x), 2b = (2, 4, 2), ∴ (c ? a )i2b = 2(1 ? x) = ?2 ,故 x = 2.

【解析】 f '( x) = ?

2 1 x?2 + = 2 ,令 f '( x) = 0 解得 x=2,当 0 < x < 2 时, f '( x) < 0 ,当 x > 2 时, x2 x x

f '( x) > 0 ,所以 x=2 是函数 f(x)的极小值点。

解 析 : 观 察 已 知条 件 , 可 以利 用 累 加 法 求 数列 的 通 项 公式 : a2 ? a1 = 2, a3 ? a2 = 4, a4 ? a3 = 6 , … …

【失分警示】极值的定义应用不熟练。
10.【答案】A【命题立意】本章主要考查直线与圆的位置关系判断。

an ? an ?1 = 2(n ? 1). 把以上各式相加即得 an = n 2 ? n + 33, 所以
知,当 n =

an 33 = n + ? 1 ,根据基本不等式 n n

【解析】因为 32 + 0 2 ? 4 × 3 = ?3 < 0 ,所以点 P 在圆内,故直线 l 必与圆相交。 【失分警示】忽略点圆位置关系决定直线与圆的位置关系。
11.【答案】C【命题立意】本题考查扇形的面积,古典概型的应用以及观察推理的能力。 【解析】 如图, 不妨设扇形的半径为 2a, 记两块白色区域的面积分别为 S2 , S 4 , 1 2 则 S1 + S 2 + S3 + S4 = S扇形OAB = π ( 2a ) = π a 2 ① 4

33 ≈ 5.7 时取得最小值,但是由于 n 是整数,所以需要验证 5.7 附近整数的值的大小, a a a n = 10.6 ,当 n = 6 时, n = 10.5 ,显然当 n = 6 时, n 取 n n n

故需要验证 n = 5 或 6,当 n = 5 时, 得最小值.最小值为

21 . 2

而 S1 + S2与S2 + S3 的和恰好为一个半径为 a 的圆,即 S1 + S 2 + S2 + S3 = π a 2 ② ①-②得 S = S ,由图可知
2 4

16.【答案】 ( 0,1) ∪ (1, 2 ) 【命题立意】本题考查了分段函数的基本知

答 11 题图

识,同时也考查对函数图象、性质的应用。 【 解 析 】 法 一 : 数 形 结 合 图 像 法 , 函 数
y=

1 S2 = ( S扇形EOD + S扇形COD ) ? S正方形OEDC = π a 2 ? a 2 所以S阴影 =π a 2 ? 2a 2 2

由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率
P= S阴影 S扇形OAB
=

π a 2 ? 2a 2 π a2

= 1?

2

π

x2 ? 1 ? ? x + 1( x < ?1或x > 1) 与函数 y=kx 恰好有两个交点, =? ? ?? x ? 1( ?1 - x < 1) x ?1

如图,因为 y=kx 过定点 O(0,0) 所以 0 < k < 1或1 < k < kOA = 2 故 k 的取值范围为 ( 0,1) ∪ (1, 2 )

【失分警示】本题失分误区在于阴影部分的面积许多学生不会求,要学会如何巧妙地将不规则图 形的面积化为规则图形的面积来求解。 12.【答案】B【命题立意】本题考查了在平面图形中向量性质、运算的深刻理解及应用。 【解析】 BQiCP = BA + AQ i CA + AP = ?λ BA + ( λ ? 1) CA = 3λ ? 4 = ?2得λ = 【失分警示】平面向量的线性运算不熟练。 13. 答案: 2 【命题立意】本题主要考查线面平行性质的运用能力.
第一解析:∵ EE 平面 AB1C ,∴ 由线面平行性质定理知 EF
2 2

答 16 题图

(

)(

)

2 答案 B. 3

法二:直接法:函数 y =

x2 ? 1 ? ? x + 1( x < ?1或x > 1) 与函数 y=kx =? ? ?? x ? 1( ?1 - x < 1) x ?1

1 -1) 与 (1, 恰好有两个交点, ①当 x ∈ ( ?∞, ?1) ∪ (1, +∞ ) 时, 方程 x + 1 = k1 x得k1 = 1 + 在 ( -∞, + ∞ ) 单调 x

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

递减,故 k1 ∈ ( 0,1) ∪ (1, 2 ) ;②当 x ∈ [ ?1,1) ,由 ? x ? 1 = k2 x ( k2 ≠ ?1) , 有x=
?1 ?1 ∴ ?1 < 1, 解得,k2 . 0或k2 < ?2 , k2 + 1 k2 + 1

AC , ∵ AC = 22 + 22 = 2 2 又 EF 为

ΔDAC 中位线,∴ EF = 2.

文数

71

文数 72

【思路分析】 (Ⅰ)先通过频率分布直方图得到 100 个甲产品中寿命小于 200 的产品频率,即为概 率, 从而估计总体也满足相同的概率; 先由频率分布直方图分别得到甲乙两种产品中寿命大于 200 的频率,然后再求出 200 个产品中的频数和甲产品中的频数,然后利用古典概型求解即可。 【解题过程】 (Ⅰ)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为
1 。 4 5 + 20 1 = ,用频率估计概率,所以, 100 4

x2 ? 1 ? ? x + 1( x < ?1或x > 1) 则 y=kx 与 y = 每一段函数有且只有一个交点, 那么 k 同时满足①②, =? ? ?? x ? 1( ?1 - x < 1) x ?1

故 k ∈ ( 0,1) ∪ (1, 2 ) 【失分警示】函数的基本性质应用不熟练;缺少推理论证能力和知识的综合应用能力。 17. 解: (I)由题意,令 m = 2, n ? 1 ,可得 a3 = 2a2 ? a1 + 2 = 6
再令 m = 3, n = 1 ,可得 a5 = 2a3 ? a1 + 8 = 20 (II)当 n ∈ N * 时,由已知(以 n + 2 代替 m )可得 a2 n + 3 + a2 n ?1 = 2a2 n +1 + 8.

(Ⅱ)根据抽样结果,寿命大于 200 小时的产品有 75+70=145 个, 其中甲品牌产品是 75 个,所以在样本中,寿命大于 200 小时的产品是频率是 估计概率,所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为
75 15 = ,用频率 145 29

? a2( n +1) +1 ? a2( n +1) ?1 ? ? ? (a2 n +1 ? a2 n ?1 ) = 8 于是 ?
即b
n +1

?b = 8
n

15 。 29

准考证号

所以,数列 {bn } 是公差为 8 的等差数列. (III)由(I) (II)解答可知 {bn } 是首项为 b1 = a3 ? a1 = 6 ,公差为 8 的等差数列 则 bn = 8n ? 2 ,即 a2 n +1 ? a2 n ?1 = 8n ? 2. 另由已知(令 m = 1 )可得 an =

【失分警示】缺少分析问题、理解问题的能力;频率分布直方图应用不熟练。
19.【命题立意】本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、直

线与平面所成的角基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力和 推理论证能力。 【思路分析】 (Ⅰ)易于判断 ∠PAD 即是异面直线 PA 与 BC 所成的 角, 则其正切值易求; (Ⅱ) 证明面面垂直即需证明 AD ⊥ 平面ABCD , 有条件易于证明。 (III)过点 P 作 PE ⊥ CD 交直线 CD 于点 E,连 接 EB.则 ∠PBE 即为所求的线面角,然后再选择直角三角形进行求 解即可。 【解题过程】如图,在四棱锥 P—ABCD 中,因为底面 ABCD 是矩形,所以 AD=BC 且 AD//BC, 又因为 AD ⊥ PD, 故∠PAD 为异面直线 PA 与 BC 所成角。 在 Rt ΔPDA中, tan ∠PAD =
PD =2 AD

座位号

a

2 n +1

+ a1 ? (n ? 1)2 . 2

a +a 8n ? 2 2 n ? 1 ? 2n + 1 = ? 2n + 1 = 2n. 那么 , an +1 ? an = 2 n +1 2 2
于是 cn = 2nq n ?1 , 当 q = 1 时, S = 2 + 4 + 6 + ??? + 2n = n(n + 1)
n

答 19 题图

姓名

当 q ≠ 1 时, S n = 2iq 0 + 4iq1 + 6iq 2 + ??? + 2niq n ?1 . 两边同乘以 q 可得 qS n = 2iq1 + 4i q 2 + 6iq 3 + ??? + 2(n ? 1)iq n ?1 + 2ni q n . 上述两式相减得 (1 ? q ) S n = 2(1 + q1 + q 2 + ??? + q n ?1 ) ? 2nq n = 2i

所以,异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2. (Ⅱ)证明:由于底面 ABCD 是矩形,故 AD ⊥ CD 又由于 AD ⊥ PD , CD ∩ PD = D CD ∩ PD = D CD ∩ PD = D CD ∩ PD = D , 因此 AD ⊥ 平面 PDC, 而 AD ? 平面 ABCD,所以平面 PDC ⊥ 平面 ABCD.
(III)在平面 PDC 内,过点 P 作 PE ⊥ CD 交直线 CD 于点 E,连接 EB.

1 ? qn ? 2nq n 1? q

1 ? (n + 1)q n + nq n +1 nq n +1 ? (n + 1)q n + 1 = 2i ,所以 S n = 2i . 1? q (q ? 1) 2

由于平面 PDC ⊥ 平面 ABCD.,而直线 CD 是平面 PDC 与平面 ABCD 的交线,故 PE ⊥ 平面 ABCD 由此得 ∠PBE 为直线 PB 与平面 ABCD 所成角。 在 ΔPDC 中,由于 PD=CD=2, PC = 2 3 ,可得 ∠PCD = 30° ∠PCD = 30° 在 Rt ΔPEC 中, PE = PC sin 30° = 3 。 由 AD//BC, AD ⊥ 平面 PDC,得 BC ⊥ 平面 PDC,因此 BC ⊥ PC. 在 Rt ΔPCB 中, PB = PC 2 + BC 2 = 13

学校

密……………………………………………………封……………………………………………………线

? n(n + 1), (q = 1), ? 综上所述, S = ? nq n +1 ? ( n + 1) q n + 1 , (q ≠ 1). ? 2i (q ? 1) 2 ?
n

18.【命题立意】本题主要考查样本估计总体的相关问题,涉及考查了频率分布直方图的应用以及概

率的基本知识的应用。同时考查了应用数学知识解决实际问题的能力。

在 Rt ΔPEB 中, sin ∠PBE =

39 PE = 13 PB

文数

73

文数 74

39 所以直线 PB 平面 ABCD 所成角的正弦值为 。 13 【失分警示】角的定义掌握不熟练;空间想象能力缺乏。 20.【命题立意】本题主要考查椭圆的方程、离心率等基本知识,考查椭圆与向量和直线的综合应用

①当 a ≤ 2 时, Δ ≤ 0, f ′( x) ≥ 0 . 故 f ( x) 在 (0, +∞) 上单调递增. ②当 a < ?2 时, Δ > 0, g ( x) = 0 的两根都小于 0. 在 (0, +∞) 上, f ′( x) > 0 . 故 f ( x) 在 (0, +∞) 上 单调递增. ③当 a > 2 时, Δ > 0, g ( x) = 0 的两根为 x1 =

问题。同时考查了逻辑思维能力和运算能力。 【思路分析】 (Ⅰ)由曲线 C1和C2 的关系易于求解 C2 的方程; (Ⅱ)可先设出直线方程,将直线与 椭圆方程联立。因为涉及了向量,故采用代入坐标的方法应用向量或椭圆的方程而得到关于直 线斜率的方程。从而 k 可确定,则直线方程确定。 【 解 题 过 程 】( Ⅰ ) 由 已 知 可 设 椭 圆 C2 的 方 程 为
y2 x2 + = 1( a > 2 ) 其 离 心 率 为 a2 4

a ? a2 ? 4 a + a2 ? 4 , x2 = . 2 2

当 0 < x < x1 时, f ′( x) > 0 ;当 x1 < x < x2 时, f ′( x) < 0 ;当 x > x2 时, f ′( x) > 0 . 故 f ( x) 分别在 (0, x1 ), ( x2 , +∞) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减. (2)由(1)知, a > 2 . 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = ( x1 ? x2 ) + 所 以 k=

x1 ? x2 ? a(ln x1 ? ln x2 ) , x1 x2

3 a2 ? 4 3 y2 x2 ,故 ,则 a=4,故椭圆 C2 的方程为 + =1 = 2 a 2 16 4

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 1 1 i . 又 由 ( 1 ) 知 , x1 x2 = 1 . 于 是 a = + ? x1 ? x2 x1 x2 x1 ? x2 ln x1 ? ln x2 . x1 ? x2 ln x1 ? ln x2 = 1 , 即 ln x1 ? ln x2 = x1 ? x2 , 亦 即 x1 ? x2

(Ⅱ)解题一:A,B 两点的坐标分别记为 ( x A , y A ) , ( xB , yB ) , 由 OB = 2OA 及(Ⅰ)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx 将 y=kx 代入 将 y=kx 代入
4 x2 2 + y 2 = 1 中,得 (1 + 4k 2 ) x 2 = 4, 所以x A = 4 1 + 4k 2

k = 2?a i

若 存 在 a , 使 得 k = 2?a , 则

x2 ?

1 ? 2 ln x2 = 0( x2 > 1).(?) x2 1 t

16 y2 x2 2 + = 1 中,得 ( 4 + k 2 ) x 2 = 16, 所以xB = , 4 + 4k 2 16 4 16 16 = , 4 + k 2 1 + 4k 2

再由(1)知,函数 h(t ) = t ? ? 2 ln t 在 (0, +∞) 上单调递增,而 x2 > 1 , 所以 x2 ?

2 2 又由 OB = 2OA 得 xB = 4 xA ,即

1 1 ? 2 ln x2 > 1 ? ? 2 ln1 = 0 . 这与 (?) 式矛盾. 故不存在 a ,使得 k = 2 ? a . x2 1

解得 k = ±1 ,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x 解法二:A,B 两点的坐标分别记为 ( x A , y A ) , ( xB , yB ) 由 OB = 2OA 及(Ⅰ)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx 将 y=kx 代入
4 x2 2 + y 2 = 1 中,得 (1 + 4k 2 ) x 2 = 4, 所以x A = 4 1 + 4k 2 16 16k 2 2 = , yB 1 + 4k 2 1 + 4k 2

【命题立意】本题考查导数的应用,考查利用导数研究函数的单调性和极值,体现了分类讨论思想及 转化与化归思想,难度较大 22. 命题动向:本题主要考查平面几何知识,考查了平面几何中线线平行的证明策略,以及四点共圆的证 明方法. 因为 A, B, C , D 四点在同一圆上, 所以 ∠EDC = ∠EBA . 解: (Ⅰ) 因为 EC = ED ,所以 ∠EDC = ∠ECD , 故 ∠ECD = ∠EBA ,所以 CD / / AB . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, AE = BE ,因为 EF = EG ,故 ∠EFD = ∠EGC ,从而 ∠FED = ∠GEC . 连结 AF , BG , ΔEFA ≌ ΔEGB ,故 ∠FAE = ∠GBE , 又 CD / / AB , ∠EDC = ∠ECD ,所以 ∠FAB = ∠GBA ,所以 ∠AFG + ∠GBA =180° . 故 A, B, G, F 四点共圆. 23. 命题动向:本题考查了极坐标与参数方程问题. 解: (Ⅰ) C1 是圆, C2 是椭圆,当 α = 0 时,射线 l 与 C1 , C2 交点的直角坐标分别为 (1, 0), (α , 0) ,因为 这两点间的距离为 2,所以 α = 3 . 当a =

2 由 OB = 2OA 得 xB =

2 2 将 xB , yB 代入

4 + k2 y2 x2 =1 + = 1 中,得 1 + 4k 2 16 4

即 4 + k 2 = 1 + 4k 2 ,

解得 k = ±1 ,

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x 【失分警示】求解圆锥曲线的常规方法应用不熟练;运算能力差。
1 a x 2 ? ax + 1 21. 【解析】解: (1) f ( x) 的定义域为 (0, +∞) . f ′( x) = 1 + 2 ? = . x x x2
令 g ( x) = x 2 ? ax + 1 ,其判别式 Δ = a 2 ? 4 .

π 时,射线 l 与 C , C 交点的直角坐标分别为 0,1 , 0, b ,因为这两点重合,所以 ( )( ) 1 2
2

文数

75

文数 76

b = 1.
(Ⅱ) C1 , C2 的普通方程为 x + y = 1 和
2 2

4. 答案:B

x2 + y2 = 1. 9
3 10 2 , 与 C2 交点 B1 的横坐标为 x ′ = . 10 2

2 = 2 px2 .相减有 ( y1 ? y2 )( y1 + y2 ) = 2 p ( x1 ? x2 ) . 解析:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 y12 = 2 px1 与 y2

当α =

π
4

时, 射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x =

整理

y ?y y ?y 1 2 = 1 ,所以 p = 2 .故准线方程为 x = ?1. × 4 = 2 p. 又∵ 1 x1 ? x2 x1 ? x2

当α = ?

π
4

时,射线 l 与 C1 , C2 的两个交点 A2 , B2 分别与 A1 , B1 关于 x 轴对称,因此四边形

5. 答案:B 【命题意图】本题考查了简单的线性规划问题以及
目标函数的最值等. 第一解析:作出不等式组 x + y ≤ 1, x ? y ≤ 1, x ≥ 0 的可 行域,如图中的阴影部分所示,根据图形结 合目标函数 z = x + 2 y 可知,当取点 A ( 0.1) 时,

y x + 2y = 0
-1 1 A

( 2 x′ + 2 x )( x′ ? x ) 2 A1 A2 B2 B1 为梯形,故四边形 A1 A2 B2 B1 的面积为 = . 5
2
24. 命题动向:本题考查了绝对值的几何意义,考查了绝对值不等式的解法.

x + y =1
1 2

z

的 最 大 值 为 0 + 2 ×1 = 2 , 当 取 点

O

x

准考证号

? ?3 ? x ≤ 2, ? ? 解: (Ⅰ) f ( x ) = x ? 2 ? x ? 5 = ? 2 x ? 7, ∴ ? 2 < x < 5, ? ? ?3, ? x ≥ 5,
当 2 < x < 5 时, ?3 < 2 x ? 7 < 3 ,所以 ?3 ≤ f ( x ) ≤ 3 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 x ≤ 2 时, f ( x ) ≥ x 2 ? 8 x + 15 的解集为空集; 当 2 < x < 5 时, f ( x ) ≥ x 2 ? 8 x + 15 的解集为 x 5 ? 3 ≤ x < 5 ; 当 x ≥ 5 时, f ( x ) ≥ x 2 ? 8 x + 15 的解集为 { x 5 ≤ x ≤ 6} . 综上,不等式 f ( x ) ≥ x 2 ? 8 x + 15 的解集为 x 5 ? 3 ≤ x ≤ 6 .

B ( 0, ?1) 时, z 的最小值为 0 + 2 × ( ?1) = ?2 .
第二解析: (高考试题全解里的 106 页)作出可行域(如 阴 影 部 分 所 示 ), 设 z = x + 2 y , 作

-1

x ? y =1
B

第 5 题答案图

l0 : x + 2 y = 0 ,把 l0 向左下方平移到点 ( 0, ? 1) 时, z 有最小值, zmin = 0 + 2 × ( ?1) = ?2 ,
把 l0 向右上方平移到点 ( 0,1) 时, z 有最大值, zm a n = 0 + 2 × 1 = ?2 .

座位号

{

}

6. 答案:D 【命题意图】本题考查了平面几何的性质以及古典概型的概率计算问题.
第一解析:从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点的基本事件即为从正六边形的 6 个顶点中随

{

}







2



















AB, AC , AD, AE , AF , BC , BD, BE , BF , CD, CE , CF , DE , DF , EF , 共有 15 种情况; 而以它
们作为顶点的四形为矩形的基本事件 AD, BE , CF ,共有 3 种情况;那么由古典的概率计 E F D C

姓名

三年高考模拟卷(五)
1. 答案:A 【命题立意】本题主要考查集合交集的基本运算及一元二次不等式的解法. 解析: M = { x ?3 < x < 2} N = { x 1 ≤ x ≤ 3} ,可得 M ∩ N = { x 1 ≤ x < 2} 故选 A.

3 1 算公式可得所求的概率为 P = = . 15 5
第二解析: (高考试题全解里的 106 页)如图所示,从正六边形 ABCDEF 的
4 = 15 (种)选法, 6 个顶点中随机选 4 个顶点,共有 C6

2.【答案】C【命题立意】本题主要考查复数的四则运算,考查学生对基础知识的掌握能力。

A B 第 6 题答案图

其中能够构成矩形的有 FECB, AFDC , ABDE 三种选法, 三季度春概率为

5 + 3i ( 5 + 3i )( 4 + i ) 【解析】因为 = = 1 + i.答案C . 4?i ( 4 ? i )( 4 + i )

3 1 = . 15 5

【失分警示】复数的除法运算应用不熟练。 3. 答案 A 【命题立意】本题主要考查四种命题的否命题相关知识.
第一解析:若 p 则 q 的否命题是“若 ?p ,则 ?q ”,故选 A. 第二解析:由于一个命题的否命题既否定结论,因此原命题的否命题为 “ 若a + b + c ≠ 3, 则a 2 + b 2 + c 2 < 3 ”. 【命题立意】本小题考查命题的否命题,求解时应明确否命题与命题的否定的区别.

7. 答案:A 【命题意图】本题考查导数的运算法则,函数的图象与导函数的图象关系,关键是合理的推 理与分析能力. 第一解析:根据函数 f ( x ) 在区间 [ 0,1] 上的图象知 f ( x ) ≥ 0 ,可得 a > 0 , 由于 f ( x ) = ax n (1 ? x ) = ax n 1 ? 2 x + x 2
2

学校

密……………………………………………………封……………………………………………………线

(

)

文数

77

文数 78

那么 f ′ ( x ) = nax n ?1 1 ? 2 x + x 2 + ax n ( ?2 + 2 x ) = ax n ?1 (1 ? x )( n ? nx ? 2 x ) 由函数 f ( x ) 图象知当 x = 则有 f ′ ? ? < 0,即n ? n × 第二解析: (十年高考里的 52 页)
2 2 ′ 2 f ′ ( x ) = a ( x n )′ (1 ? x ) + ax n ?(1 ? x ) ? = anx n ?1 i(1 ? x ) ? 2ax n (1 ? x ) , ? ?

(

)

(a1 ? 3)3 + (a2 ? 3)3 +

+ (a7 ? 3)3 = (a4 ? 3d ? 3)3 + (a4 ? 2d ? 3)3 +
3

(a4 + 3d ? 3)3 = (a4 ? 3)3

1 时函数 f ( x ) 是减函数, 2

所以 (a1 ? 3)3 + ( a2 ? 3) + 解得: a4 = 3 ,∴ a1 + a2 +
13.答案:2

(a7 ? 3)3 ? 7 + a1 + a2 + a7 = 21

a7 = (a4 ? 3)3 ? 7 + 7a4 = 14 .

?1? ?2?

1 1 ? 2 × < 0, 则n < 2, 结合各选项知n = 1 . 2 2

失分警示:不能正确利用等差数列中项性质构造方程来解题.
【命题立意】本题主要考查函数零点和函数图象的相关知识. 解析: f ( x) = 0 ? log a x = b ? x 由图像可得零点 x0 ∈ (1, b),
2 + 2 ? b < 0, f (3) = log 3 又因为 f (2) = log a a+3?b > 0 ,

y
b

当 n = 1 时, f ′ ( x ) = a 3 x 2 ? 4 x + 1 ,令 f ′ ( x ) = 0 得 x = 1 或 x =

(

)

1 ,可满足题意. 3

y = log a x
O

∴ x0 ∈ (2,3). ∴ n = 2

8.【答案】A.【命题立意】本题考查简易逻辑、一元二次不等式的求解等基础知识。 1 1 【解析】解不等式 2 x 2 + x ? 1 > 0得x > 或x<-1 ,因此“ x > ”是“ 2 x 2 + x ? 1 > 0 ”的充分不必要 2 2

x0 b y =b?x
第 13 题答案图

条件。 【失分警示】充分条件和必要条件的定义应用不熟练。
9.【答案】D【命题立意】本题主要考查了三角函数的图象平移以及求解函数解析式问题。同时考查

14. 答案: 4 n ?1 15. 答案:-1

解析:由题意得 S3 = 解析: a + b

a1 (1 ? 43 ) = 21,∴ a1 = 1, an = 1× 4n ?1 = 4n ?1 1? 4

了数形结合思想。

= (1, m ? 1),由(a + b) // c得1 × 2 ? (m ? 1) × (?1) = 0 ,所以 m=-1.

π π? ? 【解析】函数 f ( x ) = sin ω x 的图象向右平移 个单位得到函数 f ( x ) = sin ω ? x ? ? 的图象,且函 4 4? ? π? ? ? 3π ? ? 3π π ? 数 f ( x ) = sin ω ? x ? ? 的图象过点 ? , 0 ? ,所以 ω ? ? ? = kπ 从而 ω = 2k ( k ∈ Z , ω > 0 ) , ω 的 4? ? ? 4 ? ? 4 4?
最小值为 2.,答案 D 【失分警示】正弦型函数图象的性质掌握不熟练。
10. 答案:C 【命题立意】本题主要考查函数图象变化趋势的一种判断能力. 解析:首先由 f (0) = 0 可排除 A.当 x → +∞ 时,因为 2 sin x ∈ [ ?2, 2] 有界,而 在

16. 答案:①④【命题立意】本题考查真假命题的判断.

解析:① a 2 ? b 2 = 1 可得 a > 1 且 a ? b = ②取 a = 2 , b =
1 可知②错误. 3

1 < 1 故①正确. a+b

③取 a = 4 , b = 1 可知③错误.
x → +∞. 所以 y 的值主要 2

④由 | a 3 ? b3 |= 1 可得 | a |> 1 或 | b |> 1 , | a ? b |=

1 < 1 ,故④正确. a 2 + ab + b 2 1 1 2 π? 1 ? 2x ? ? + , ( sin 2 x ? cos 2 x ) + = sin ? 2 2 2 4? 2 ?

x 的值上波动,故选 C. 2

17. 解: (I)当 m = 0 时, f ( x) = sin 2 x + sin x cos x =

11.答案:B 命题立意:本小题主要考查计数原理及抛物线定义等知识 . 解析:由题意要想表示不同的抛物线,则 a, b 不能为 0,考虑到 c 可以等于 0,因此可以分为两类:
1 1 (1)当 c=o时,共有C4 iC3 -2 = 10 种

又由 x ∈ [

π 3π π 5π π? ? 2 ? ? ] ,得 2 x ? ∈ [0, ] ,所以 sin ? 2 x ? ? ∈ ? ? ,1? , 4 4 4 4? ? 2 ? ?
8 , 2 π ? 1 ? 1+ 2 ? ? sin ? 2 x ? ? + ∈ ? 0, ?. 2 4? 2 ? 2 ? ?

从而: f ( x ) =

1 1 1 ? C3 ? C2 ? 2 = 22 种,所以共有 32 种,故选 B. (2)当 c ≠ 0 时,共有 C4

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

失分警示:对分类计数原理掌握不熟,情况讨论不清易失分.
12.答案:D 命题立意:本题考查等差数列中项性质及函数与方程思想。

(II) f ( x) = sin x + sin x cos x ?
2

m cos 2 x 2

=

解析:由题意 (a0 ? 3)3 + (a2 ? 3)3 +

+ (a7 ? 3)3 ? 7 + a1 + a2 +

+ a7 = 14 .

1 ? cos 2 x 1 m + sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2

文数

79

文数 80

=

又 DN ? 平面 BEC, BC ? 平面 BEC, 所以 DN//平面 BEC,
=

1 1 [sin 2 x ? (1 + m) cos 2 x ] + . 2 2 2 sin α cos α sin 2 α + cos 2 = 2 tan α 1 + tan 2 α 4 cos 2 α ? sin 2 α 1 ? tan 2 α 3 , cos 2α = = =? , 5 sin 2 α + cos 2 α 1 + tan 2 α 5

由 tan α = 2得 sin 2α = 所以

又 MN ∩ DN = N ,故平面 DMN ⊥ / / 平面 BEC, 又 DM ? 平面 DMN, 所以 DM//平面 BEC 证法二: 延长 AD,BC 交于点 F,连接 EF. 因为 CB=CD, ∠BCD = 120° 所以 ∠CBD = 30° 因为 ΔABD 为正三角形, 所以 ∠BAD = 60°, ∠ABC = 90°, 因此 ∠AFB = 30° , 所以 AB =
1 AF . 2

3 1 ?4 3? 1 = ? + (1 + m) ? + , 得 m = ?2 。 5 2? 5 5? 2

18.【命题立意】本大题主要考查的是古典概型的解题方法。

【思路分析】根据题意需把基本事件一一列举出来。 【解题过程】 (Ⅰ)标号为 1,2,3 的三张红色卡片分别记为 A,B,C,标号为 1,2 的两张蓝色卡片 分别记为 D,E,从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (B,C) , (B,D) , (B,E) , (C,D) , (C,E) , (D,E), 共 10 种。 由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的。 从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的结果为: (A,D) , (A,
E) , (B,D) ,共 3 种。

准考证号

又 AB=AD,
3 10

所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的概率为

所以 D 为 AF 的中点。 连接 DM,由点 M 是线段 AE 的中点, 因此 DM//EF. 又 DM ? 平面 BEC, EF ? 平面 BEC, 所以 DM//平面 BEC
20.【命题立意】本大题主要考查椭圆的性质、直线与椭圆的关系等方面的知识。

(Ⅱ)记 F 为标号为 0 的绿色卡片,从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (A,F) , (B,C) , (B,D) , (B,E) , (B,F) , (C,D) , (C,E) , (C,F) , (D,E), (D,F) , (E,F) ,共 15 种。 由于每一张卡片被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的。从六张卡片中任取两 张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的结果为: (A,D) , (A,E) , (B,D) , (A,
F) , (B,F) , (C,F) , (D,F) , (E,F) ,共 8 种。 19.【命题立意】本大题主要考查立体几何中的线线关系、线面关系的判定、性质。

座位号

答 19 题图

姓名

【解题过程】证明: (Ⅰ)取 BD 的中点 O, 连接 CO,EO.由于 CB=CD,所以 CO ⊥ BO , 又 EC ⊥ BD, EC ∩ CO = C , CO, EC ? 平面 EOC, 所以 BD ⊥ 平面 EOC,因 BD ⊥ EO 又 O 为 BD 的中点,所以 BE=DE. (Ⅱ)证法一: 取 AB 的中点 N,连接 DM,DN,MN, 因为 M 是 AE 的中点, 所以 MN//BE. 又 MN ? 平面 BEC, BE ? 平面 BEC, 所以 MN//平面 BEC 又因为 ΔABD 为正三角形, 所以 ∠BDN = 30° 又 CB = CD, ∠BCD = 120° , 因此 ∠CBD = 30° 所以 DN//BC.

?a 2 = b2 + c 2 ? 3 ?c 【解题过程】 (Ⅰ)设椭圆 M 的半焦距为 c,由题意知 ? = 所以 a=2,b=1. 2 ?a ? 4ab = 8 ?

因此椭圆 M 的方程为

x2 + y2 = 1 4

? x2 ? + y2 = 1 (Ⅱ)由 ? 4 整理得 ? ?y = x + m 5 x 2 + 8mx + 4m 2 ? 4 = 0,

由 Δ = 64m 2 ? 80 ( m 2 ? 1) = 80 ? 16m 2 > 0 ,

得? 5 < m< 5 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) 所以 PQ = 则 x1 + x2 = ?
+ ( y1 ? y2 )
2

学校

密……………………………………………………封……………………………………………………线

4 m 2 ? 1) ( 8m , x1 x2 = , 5 5

( x1 ? x2 )

2

2 = 2 ?( x1 + x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? ?

文数

81

文数 82

4 = 2 ( 5 ? m2 ) ? 5 < m < 5 5

(

)
5, S ( ?2, m ? 2 ) , D ( ?2,1) ,

【思路分析】 (I)利用三角函数定义求解; (II)由区域特征求范围,再利用三角函数图象与性质求解. C

y B P

线段 CD 的方程为 y = 1( ?2 - x - 2 ) ,线段 AD 的方程为 x = ?2 ( ?1 - y - 1)

(1) 不妨设点 S 在 AD 边上,T 在 CD 边上,可知 1 - m <
所以 ST = 2 SD = 2 ? ?1 ? ( m ? 2 ) ? ? = 2 (3 ? m) ,
5 ? m2

θ
O A 第 21 题答图

? ?sin θ = ? 【解题过程】 (I)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得 ? ?cos θ = ? ?
于是 f (θ ) = 3 sin θ + cos θ = 3 ×

3 , 2 1 . 2

x

3 1 + = 2. 2 2

(II)作出平面区域 Ω (即三角形区域 ABC )如图所示,其中 A(1, 0), B (1,1), C (0,1).
2

PQ 4 = 因此 5 ST

(3 ? m )

于是 0 ≤ θ ≤ 故当 θ +

π π? π π 2π ? . 又 f (θ ) = 3 sin θ + cos θ = 2sin ? θ + ? , 且 ≤ θ + ≤ , 6? 6 6 3 ?
2

令 t=3-m 1 - m - 5 , 则 m = 3 ? t , t ∈ 3 ? 5, 2 ,
PQ ST
2 2

(

)

π
6

=

π
2

, 即θ =

π
3

时, f (θ ) 取得最大值,且最大值等于 2;当 θ +

π
6

=

π
6

,即θ = 0 时,

(

)

f (θ ) 取得最小值,且最小值等于 1.

答 20 题图

22. 解:证明: (Ⅰ)由已知条件,可得 ∠BAE = ∠CAD
因为 ∠AEB与∠ACB 是同弧上的圆周角,所以 ∠AEB =∠ACD , 故 ΔABE ? ΔADC . (Ⅱ)因为 ΔABE ? ΔADC ,所以

所以

=

4 5 ? (3 ? t ) 4 4 6 4 ?1 3 ? 5 = ? 2 + ?1 = ?4 ? ? ? + 5 t2 5 t t 5 ?t 4? 4

1 ?1 3+ 5 ? 由于 t ∈ 3 ? 5, 2 , 所以 ∈ ? , ? t ?2 4 ?

(

)

AB AD = ,即 AB ? AC = AD ? AE. AE AC

又S =

1 1 AB ? AC sin ∠BAC , ,且 S = AD ? AE ,故 AB ? AC sin ∠BAC = AD ? AE. 2 2

则 sin ∠BAC = 1 又 ∠BAC 为三角形内角,所以 ∠BAC = 90° 23. 解: (Ⅰ)由已知, M 点的极角为

PQ 1 3 4 2 5 5 因此当 = 即 t = 时, 取得最大值 ,此时 m = 。 t 4 3 5 3 ST

π
3

,且 M 点的极径等于

π
3

,故点 M 的极坐标为(

π
3



π
3

).

( 2 ) 不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 CD 边上,此时 ?1 - m - 1,
因此 ST = 2 AD = 2 2 ,此时
PQ ST = PQ 2 5 2 取得最大值 5 ? m 2 ,所以当 m=0 时, 5 5 ST PQ ST

π ? ? x = 1 + ( 6 ? 1)t , π 3π ? ) , A(1, 0) ,故直线 AM 的参数方程为 ? (t 为参数) (Ⅱ) M 点的直角坐标为 ( , 6 6 ? y = 3π t , ? 6 ?
24. 解:证明: (证法一)因为 a, b, c 均为正数,由平均值不等式得
2

T 在 BC 边上, ? ( 3) 不妨设点 S 在 AB 边上,

5 < m - ?1 , 由椭圆的对称性知

的最大值为

2 5 , 5

a2 + b2 + c2 ≥ 3(abc)3 ,
1 ? 1 1 1 + + ≥ 3(abc) 3 , a b c


2 2

所以 ?

此时 m = ?

5 3

? ?1 1 1? + + ? ≥ 9(abc) 3 . ?a b c?



故 a 2 + b2 + c2 + ( +

1 a

2 2 ? 1 1 2 + ) ≥ 3(abc) 3 + 9(abc) 3 . b c 2 3

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

综上所述 m = ±

PQ 5 2 5 或 m=0 时, 取得最大值 。 3 5 ST

2

又 3( abc) 3 + 9( abc) 所以原不等式成立.

?

≥ 2 27 = 6 3



21. 【命题立意】本题主要考查三角函数、不等式等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查
函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.

2

当且仅当 a = b = c 时,①式和②式等号成立.当且仅当 3( abc) 3 = 9( abc) 文数 84

?

2 3

时,③式等号成立.

文数

83

即当且仅当 a = b = c = 3 4 时,原式等号成立. (证法二)因为 a, b, c 均为正数,由基本不等式得 a + b ≥ 2ab, b + c ≥ 2bc, c + a ≥ 2ac.
2 2 2 2 2 2

1

不在图象上.对于 B 点 (10a,1 ? b ) 当 x = 10a时,y = lg (10a ) = lg10 + lg a = 1 + b ≠ ?b , 所 以 不 在 图 象 上 . 对 于 C 点

所以 a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ac. ①同理

1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + a 2 b 2 c 2 ab bc ac

② ③

1 1 1 1 1 1 +3 +3 ≥ 6 3 故 a 2 + b 2 + c 2 + ( + + ) 2 ≥ ab + bc + ac + 3 a b c ab bc ac
所以原不等式成立.

10 10 ? 10 ? 时, y = lg = 1 ? lg a = 1 ? b ≠ b + 1 ,所以不在图象上.对于 D 点 ? , b + 1? ,当 x = a a ?a ?

( a , 2b ) ,
2

当且仅当 a = b = c 时,①式和②式等号成立,当且仅当 a = b = c , ( ab) 2 = (bc) 2 = ( ac) 2 = 3 时,③式
1

当 x = a 2 时, y = lg a 2 = 2 lg a = 2b ,所以该点在此图象上.

准考证号

等号成立. 即当且仅当 a = b = c = 3 4 时,原式等号成立.

【失分警示】并集、补集定义应用不熟练。 .命题动向:本题主要考查了空间几何体的特征及分步计数原理,属中档题. 5. (D)
解析: 从正五棱柱上底面任一个顶点出发的对角线有 2 条, 所以所有的对角线条数为 5 × 2 = 10 条. .命题动向:本题主要考查了空间几何体的三视图及体积公式,考查学生的空间想象力与计算化 6. (C) 简能力. 解析:由三视图知几何体为正四棱锥, 如图, VA = 2 3, AB = 2, AO = 3, 由勾股定理得 VO = 3 ,

万卷三年高考模拟卷(六)
1. 答案:C 命题立意:本题主要考查集合的子集的定义和补集运算. 解析:∵ ?R P = { x x ≥ 1} , ∴ ?R P ? Q ,故选 C.

座位号

2.【答案】A【命题立意】本题考查复数的运算以及复数相等的定义。

【解析】设 z =a+bi,( a+bi )( 2-i ) = ( 2a+b ) + ( 2b-a ) i,∵ ?
3. 答案:D
解析:如图所示,由题意在椭圆上存在点 P 满足线段 AP

?2a+b=11, ?b=5 ∴? ?2b-a=7, ?a=3.

1 1 1 V = Sh = × × 2 3 × 1× 2 × 3 = 2 3 3 3 2

第 6 题答案图

.命题动向:本题主要考查了不等式中的线性规划与平面向量的知识,考查学生的转化和数形结 7. (B) 合思想的运用,属中档题. 第一解析:画出平面区域如图所示,可知当直线 z = OM iOA = 标函数 z =

姓名

的垂直平分线过点 F ,即得在椭圆上存在点 P 满足 PF = AF ,

a2 取椭圆的左端点 B ,则只需 BF ≥ AF ,即得 a + c ≥ ?c , c
整理可得 2e 2 + e ? 1 ≥ 0 .解得 e ≥

2 x + y 平移到点 ( 2, 2) 时,目

1 或 e < ?1 (舍去) ,则椭圆 2

2 x + y 取得最大值 4.

?1 ? 的离心率 e 的取值范围为 ? ,1? ,故应选 D. ?2 ? 4. 答案:D 【命题意图】本题考查对数函数的图象以及对数的运算等,关键是推理与分析能力的应用.
第一解析:由于点 ( a, b ) 在 y = lg x 图像上,则有 b = lg a ,结合各选项可知 2b = 2 lg a = lg a 2 ,故 点 a 2 , 2b 也在此图像上. 第二解析: (高考试题全解里的 105 页)对于 A 点 ? , b ? ,当 x =

?0 ≤ x ≤ 2 ? 画出可行域如图阴影 第二解析:由线性约束条件 ? y ≤ 2 ? ?x ≤ 2 y
部分所示,目标函数 z = OM iOA = 化为 z =

2 x + y ,将其

第 7 题答案图

学校

密……………………………………………………封……………………………………………………线

(

)

2 x + y ,结合图形可知,目标函数的图象过点 ( 2, 2) 时, z 最大,将点
的坐标代入 z =

?1 ?a

? ?

1 1 时, y = lg = ? lg a = ?b ≠ b ∴ a a

( 2, 2)

2 x + y 得 z 的最大值为 4.

文数

85

文数 86

8.【答案】A【命题立意】本题考查正弦函数的值域问题。

解析根据数表信息,第 1 行的第 1 个数为 1,以后各个数成公差为 1 的等差数列。第 2 行的第 1 个数为 2, 以后名数成公差为 2 的等差数列。第 3 行的第 1 个数为 3,以后各九成公差为 3 的等差数列,……,第 n 行的第 1 个数为 n,以后各数成公差为 n 的等差数列。那么第 n 行第 n + 1 的数为: n + n × n = n 2 + n

【解析】∵ 0 - x - 9,∴ 0 ?πx π ? ? ? ∴ 2 sin ? ? ? ∈ ? 3, 2 ? ? 6 3? ?

πx
6

-

3π π π x π 7π ,∴ ? , ? 2 3 6 3 6

16.【答案】

4 【命题立意】本题主要考查直线与圆的位置关系的运用能力。 3

所以结果为 A. 【失分警示】对正弦函数最值的求解不熟练。
9.【答案】D【命题立意】本题考查函数的相关知识,如奇偶性,单调性。 cos ( ?6 x ) 2? x ? 2 x

【解题过程】由已知条件知若满足条件只需
4k ? 2 1 + 4k 2
- 2,即 ( 2k ? 1) - 1 + k 2 解得0 - k 2

4 3

∴ k 的最大值为

4 3

【解析】∵ f ( ? x ) =

= ? f ( x ) ,∴ f ( x ) 为奇函数。

【失分警示】找不到解题方法而失误。
(I) an +1 ? 2 = 17. 解:

又 x → 0, cos 6 x → 1, 2 x ? 2? x > 0,∴ f ( x ) > 0 【失分警示】对函数的相关知识掌握不熟练。 【答案】C【命题立意】本题考查了直线与抛物线的位置关系与导数的几何意义综合应用,同时考 10. 查了基本运算能力. 【解析】可确定点 P,Q 的坐标为 P (4,8),Q(-2,2),又因为 y ' = x ,所以过点 P,Q 的切线的斜率分别为
k P = 4 , kQ = ?2 ,所以两条切线方程为 y = 4 x ? 8 , y = ?2 x ? 2 ,联立方程可得 A(1, ?4) ,故点 A 的纵坐标

a ?2 2 an 5 1 1 4 , ? ?2= n = = + 2, 即 bn +1 = 4bn + 2. 2 an 2an an +1 ? 2 an ? 2 an ? 2

bn +1 + ? ?

2 2 1 = 4(bn + ), 又a1 = 1, 故b1 = = ?1, 3 3 a1 ? 2 2? 3? 1 2 1 4n ?1 2 ,公比为 4 的等比数列, bn + = ? × 4 n ?1 , bn = ? ? . 3 3 3 3 3

所以 ?bn + ? 是首项为 ?

(II) a1 = 1, a2 = c ? 1,由a2 > a1得c > 2. 用数学归纳法证明:当 c > 2时, an < an +1 . (i)当 n = 1 时, a2 = c ?

为-4. 【失分警示】导数的几何意义应用不熟练.
11.【答案】C【命题立意】考查三角函数周期角的三角函数值的正负等知识。 【解析】 S1到S12 大于 0, S13 , S14 = 0,S15到S 26 大于 0, S27 , S28 = 0, 依此类推 S1到S98 中有 84 个大于 0, S99 , S100 大于 0, ∴ 共有 86 个大于 0.

1 > a1 , 命题成立; a1 1 1 > c? = ak +1 . ak +1 ak

(ii)设当 n = k 时, ak < ak +1 ,则当 n = k + 1 时, ak + 2 = c ? 故由(i) , (ii)知当 c > 2 时, an < an +1 . 当 c > 2 时,令 a =

【失分警示】分析问题解决问题能力不强易失分。
12.【答案】D【命题立意】本题主要考查利用函数知识、不等式知识、集合运算求解问题的能力。

【解题】由 f ( g ( x ) ) > 0 得 g ( x ) < 1或g ( x) > 3又g ( x ) < 2,∴ g ( x ) < 1,即3x ? 2 < 1.3x < 3, x < 1, 所以选
D.
当2<c ≤ 当c >

c + c2 ? 4 1 1 , 由 an + < an +1 + = c得an < a. 2 an an

10 时, an < α ≤ 3. 3

【失分警示】弄不清题意导致解题失误。
13.答案 0.5 ; 0.53 命题动向:本题主要考查了最小二乘法及线性回归方程,考查了计算能力. 解析: y =

10 1 1 时, a > 3 ,且 1 ≤ an < α ,于是 α ? an +1 = (α ? an ) ≤ (α ? an ), anα 3 3 1 a ?1 (a ? 1). 当 n > log 3 时, α ? an +1 < α ? 3, an +1 > 3. 3n a ?3

1 (0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.6 + 0.4) = 0.5 由最小二乘法得: 5 0.2 + 0 + 0 + 0.1 + (?0.2) = 0.01 , a = y ? bx = 0.47 , (?2)2 + (?1)2 + 0 + 12 + 22

α ? an +1 ≤
因此 c >

b=

10 ? 10 ? 不符合要求. 所以 c 的取值范围是 ? 2, ? . 3 ? 3?

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

∴线性回归方程 y = 0.01x + 0.47 ,所以当 x = 6 时, y = 0.01× 6 + 0.47 = 0.53 . 14. 答案:

18.【命题立意】本题主要考查利用互斥事件有一个发生的概率公式和相互独立事件同时发生的概率

公式求解实际应用问题的能力,考查运算能力。 【思路分析】由题意恰当运用概率公式求解。 【解题过程】设 Ak , Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中,则

3

解析:由已知条件可得

a ? b = a 2 ? 2aib + b 2 = 1 ? 2 × 1× 2 × cos 60° + 4 = 3.

15. 答案: n 2 + n

文数

87

文数 88

1 1 P ( Ak ) = , P ( Bk ) = ( k = 1, 2,3) 3 2

在矩形 AA1 B1 B中,AB = 2, AA1 = 2,得BH =
4 6

4 6 BH 30 = . BC1 15

(Ⅰ)记“乙获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计 算公式知
P ( C ) = P A1 B1 + P A1 B1 A2 B2 + P A1 B1 A2 B2 A3 B3

在直角 ΔBHC1中,BC1 = 2 5, BH =

,得 sin ∠BC1 H =

(

) (
2

) (
3

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= P A1 P ( B1 ) + P A1 P B1 P A2 P ( B2 ) + P A1 P B1 P A2 P B2 P A3 P ( B3 )
2 3

( )

( ) ( ) ( )

所以 BC1与平面B1C1 EF 所成角的正弦值是

30 15

【失分警示】由于线面平行与线面垂直判定定理条件掌握不好导致推理论证的失误。
20.【命题立意】本题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线的位置关系,同时考查解析几何的基

2 1 ?2? ?1? ?2? = × +? ? ? ? +? ? 3 2 ?3? ?2? ?3? (Ⅱ)记“投篮结束时乙只投了

13 ?1? ? ? = 27 ?2? 2 个球”为事件 D,则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立

本思想方法和运算求解能力。 【思路分析】 (Ⅰ)由所给条件列出关于 P,t 的方程组求解。 (Ⅱ)设出求 AB 的直线方程与抛物 线联立再运用面积公式求解。
1 ? 2 pt = 1, ? ? ?p = 【解题过程】由题意知 ? p 5 得 ? 2 ?1 + 2 = 4 , ? ?t = 1 ?
(Ⅱ)设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,线段 AB 的中点为 Q(m,m) 由题意知,设直线 AB 的斜率为 k ( k ≠ 0 )

准考证号

事件同时发生的概率计算公式知
P ( D ) = P A1 B1 A2 B2 + P A1 B1 A2 B2 A3

(

) (
2

)

= P A1 P B1 P A2 P ( B2 ) + P A1 P B1 P A2 P B2 P ( A3 ) ? 2? ? 1? ? 2? ? 1? ?1? 4 = ? ? ? ? +? ? ? ? ? ? = ? 3 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ? ? 3 ? 27 【失分警示】易出现计算上错误。 19.【命题立意】本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面所成角等基础知识,同时考查空间想
2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

座位号

答 20 题图

象力和推理论证能力。 【思路分析】 (Ⅰ)利用线面平行与线面垂直判定定理求解。 (Ⅱ)作出线面所成角利用解三角形 知识求解。 【解题过程】 (Ⅰ) (i) 因为 C1 B1 / / A1 D1 , C1 B1 ? 平面ADD1 A1 所以 C1 B1 //平面A1 D1 DA 又因为 平面B1C1 EF ∩ 平面A1 D1 DA = EF ,所以 C1 B1 //EF 所以 A1 D1 //EF (ii)因为 BB1 ⊥ 平面A1 B1C1 D1 ,所以
BB1 ⊥ B1C1

? y12 = x1 , ? 由? 2 得 ( y1 ? y2 )( y1 + y2 ) = x1 ? x2 , 故k i 2m = 1 ? ? y 2 = x2 ,

所以直线 AB 方程为 y ? m =

1 ( x ? m ) ,即x ? 2my + 2m2 ? m = 0 2m

姓名

? x ? 2my + 2m 2 ? m = 0 ? 由? 2 消去 x,整理得 y 2 ? 2my + 2m 2 ? m = 0 ?y = x ?

所以 Δ = 4m ? 4m 2 > 0, y1 + y2 = 2m , y1 i y2 = 2m 2 ? m

又因为 BB1 ⊥ B1 A1 ,所以
B1C1 ⊥ 平面ABB1 A1

所以 B1C1 ⊥ BA1 在矩形 ABB1 A1 中,F 是 AA1 的中点, tan ∠A1 B1 F = tan ∠AA1 B = 故 BA ⊥ B F
1 1

答 19 题图
2 ,即 ∠A1 B1 F = ∠AA1 B 2

从而 AB = 1 +

1 ? 2m + 2m 2 1 i y1 ? y2 = 1 + 4m 2 i 4m ? 4m 2 设点 P 到直线 AB 的距离为 d, 则d = k2 1 + 4m 2 1 AB id = 1 ? 2 ( m ? m 2 ) i m ? m 2 由 Δ = 4m ? 4m 2 > 0 ,得 0 < m < 1 2

设 ΔABP 的面积为 S,,则 S =

学校

密……………………………………………………封……………………………………………………线

所以 BA1 ⊥ B1C1 EF (Ⅱ)设 BA1与B1 F 交点为 H,连接 C1 H 由(Ⅰ)知 BA1 ⊥ 平面B1C1 EF ,所以 ∠BC1 H 是BC1与面B1C1 EF 所成的角。
文数 89

1 1 令 u = m ? m 2 , 0 < u - ,则S = u (1 ? 2u 2 ) 设 S ( u ) = u (1 ? 2u 2 ) , 0 < u - ,则S?( u ) = 1 ? 6u 2 2 2

由 S?( u ) = 0, 得u =

? 6? 6 ? 1? 6 6 ∈ ? 0, ? ,所以 S ( u )max = S ? 故 ΔABP 面积的最大值为 ?= ? ? 6 ? 2? 9 ? 6 ? 9

文数 90

【失分警示】本题综合性很强并且计算量很大,易出现思路和计算上的错误。
21. 命题立意:本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识,同时考查抽象概括、 推理论证能力. 思路分析: (I)利用求导的思想即可求出函数的单调区间; (II)由上一问的结论和最值法的思想即得求解. 解题过程: (I)因为 f ( x) = a 2 ln x ? x 2 + ax ,其中 x > 0 ,

证明:由 a, b 是非负实数,作差得

a 3 + b3 ? ab (a 2 + b 2 ) = a 2 a ( a ? b ) + b 2 b ( b ? a ) = ( a ? b )(( a )5 ? ( b )5 ).
当 a ≥ b 时, a ≥ 当 a < b 时, a < 所以 a 3 + b 3 ≥

b ,从而 ( a )5 ≥ ( b )5 ,得 ( a ? b )(( a )5 ? ( b )5 ) ≥ 0 ; b ,从而 ( a )5 < ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] > 0;

a2 ( x ? a)(2 x + a) 所以 f ′( x) = ? 2x + a = ? . x x
由于 a > 0 ,所以 f ( x) 的增区间 (0, a ) ,减区间为 (a, +∞) . (II)证明:由题意得, f (1) = a ? 1 ≥ e ? 1, 即 a ≥ e . 由(I)知 f ( x) 在 [1, e] 内单调递增,要使 e ? 1 ≤ f ( x) ≤ e 2 对 x ∈ [1, e ] 恒成立,

ab (a 2 + b 2 ) .

23. 选修 4-5:不等式选讲
本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力. 解析:(Ⅰ)由 f ( x) ≤ 3 得 | x ? a |≤ 3 ,解得 a ? 3 ≤ x ≤ a + 3. 又已知不等式 f ( x) ≤ 3 的解集为 { x | ?1 ≤ x ≤ 5} ,所以 ?

? a ? 3 = ?1, ? a + 3 = 5,

解得 a = 2 .

只要 ?

? f (1) = a ? 1 ≥ e ? 1,
2 2 2 ? f (e) = a ? e + ae ≤ e ,

解得 a = e .

22. A 解析:本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证能力.
证明:连结 OD, BD. 因为 AB 是圆 O 的直径,所以 ADB = 90°, AB = 2OB. 因为 DC 是圆 O 的切线,所以 ∠CDO = 90° . 又因为 DA = DC , 所以 ∠A = ∠C , 于是 ΔADB ? ΔCDO, 从而 AB = CO, 即 2OB = OB + BC ,得 OB = BC. 故 AB = 2 BC. 第 22 题图 A

? ?2 x ? 1,x < ? 3, ? ? 3 ≤ x ≤ 2, (Ⅱ) 当 a = 2 时,f ( x) =| x ? 2 | , 设 g (x)=f ( x) + f ( x + 5) , 于是 g (x)=|x-2|+ | x + 3 | = ?5, ? ? 2 x + 1, x >2.
所以当 x < ?3 时, g(x)>5 ;当 ?3 ≤ x ≤ 2 时, g(x)=5 ;当 x >2 时, g(x)>5 . 综上可得, g ( x) 的最小值为 5. 从而,若 f ( x) + f ( x + 5) ≥ m ,即 g ( x) ≥ m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为 ( ?∞,5] .

24. 选修 4-4:坐标系与参数方程
本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力. 解析:(Ⅰ)由 ρ = 2 5 sin θ 得 x 2 + y 2 ? 2 5 y = 0, 即 x 2 + ( y ? 5) 2 = 5. (Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (3 ?

B.本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点,考查运算求解能力.

? k 0? ? 0 1 ? ?0 k ? 解:由题设得 MN = ? ?? ?=? ? ? 0 1 ? ? 1 0 ? ?1 0 ? ?0 k ? ?0 ? ? 0? ? 0 k ? ? ?2 ? ? 0 ? ? 0 k ? ? ?2? ? k ? ? ? ? = ? ?,? ? ? ? = ? ?,? ? ? ? = ? ? , 可知 A1 (0, 0), B1 (0, ?2), C1 (k , ?2). ?1 0 ? ?0 ? ? 0? ?1 0 ? ? 0 ? ? ?2 ? ?1 0 ? ? 1 ? ? ?2?
由? 计算得 ΔABC 是 1, ΔA1 B1C1 的面积是 | k | ,则由题设知 | k |= 2 × 1 = 2. 所以 k 的值为-2 或 2. C 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识,考查转化问题的能力. 解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为 x 2 + y 2 = 2 x, 即 ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 , 直线的方程为 3 x + 4 x + a = 0. 即有 由题设知,圆心 (1, 0) 到直线的距离为 1,

2 2 2 2 t) + ( t ) = 5 ,即 t 2 ? 3 2t + 4 = 0. 2 2 ?t + t2 = 3 2, ? ? ?t1 .t2 = 4.

由于 Δ = (3 2) 2 ? 4 × 4 = 2 > 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实根,所以 ? 1

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

又直线l过点P (3, 5) ,故由上式及 t 的几何意义得: PA + PB = t1 + t2 = t1 + t2 = 3 2.

3 ×1 + 4 × 0 + a 32 + 42

= 1 ,解得 a = ?8, 或a = 2. 故 a 的值为 ?8或2.

D.本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证的能力.

文数

91

文数 92


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