高中数学教案——正弦函数、余弦函数的图象和性质 第三课时

课 题:4 8 王新敞 奎屯 新疆 正弦函数、余弦函数的图象和性质(3) 教学目的: 1 理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义; 2 会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间; 3 掌握正弦函数 y=Asin(ω x+φ )的周期及求法 教学重点:正、余弦函数的性质 教学难点:正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 一、复习引入: 1.y=sinx,x∈R 和 y=cosx,x∈R 的图象,分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 三人行,必有我师 1 -6 ? -5 ? -4 ? -3 ? -2 ? -? -1 y 0 ? 2? 3? 4? 5? 6? x f?x? = sin?x? 1 -6 ? -5 ? -4 ? -3 ? -2 ? -? -1 y 0 ? 2? 3? 4? 5? 6? x f?x? = cos?x? 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是: (0,0) ( ? 3? ,1) (?,0) ( ,-1) (2?,0) 2 2 余弦函数 y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是 (0,1) ( ? 3? ,0) (?,-1) ( ,0) (2?,1) 2 2 3.定义域: 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R[或(-∞,+∞)] , 分别记作: y=sinx,x∈R y=cosx,x∈R 4.值域 正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1] 其中正弦函数 y=sinx,x∈R 王新敞 奎屯 新疆 ? +2kπ ,k∈Z 时,取得最大值 1 2 ? ②当且仅当 x=- +2kπ ,k∈Z 时,取得最小值-1 2 ①当且仅当 x= 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 而余弦函数 y=cosx,x∈R ①当且仅当 x=2kπ ,k∈Z 时,取得最大值 1 ②当且仅当 x=(2k+1)π ,k∈Z 时,取得最小值-1 5.周期性 一般地,对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内 的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常 数 T 叫做这个函数的周期 对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那 么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 1?周期函数 x?定义域 M, 则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无上界; T<0 则定义域无下界; 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 三人行,必有我师 2?“每一个值”只要有一个反例,则 f (x)就不为周期函数(如 f (x0+t)?f (x0)) 3?T 往往是多值的(如 y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期)周期 T 中最 小的正数叫做 f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) 正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最 小正周期是 2π 6.奇偶性 y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数 正弦曲线关于原点 O 对称,余弦曲线关于 y 轴对称 7.单调性 王新敞 奎屯 新疆 ? ? +2kπ , +2kπ ] (k∈Z)上都是增函数, 2 2 ? 3? 其值从-1 增大到 1;在每一个闭区间[ +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是 2 2 正弦函数在每一个闭区间 [- 减函数,其值从 1 减小到-1 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值 从-1 增加到 1;在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函数, 其值从 1 减小到-1 二、讲解范例: 例 1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx,x∈R; (2)y=sin2x,x∈R; 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 (3)y=2sin( 1 ? x- ),x∈R 2 6 王新敞 奎屯 新疆 解:(1)∵y=cosx 的周期是 2π ∴只有 x 增到 x+2π 时,函数值才重复出现 ∴y=3cosx,x∈R 的周期是 2π (2)令 Z=2x,那么 x∈R 必须并且只需 Z∈R,且函数 y=sinZ,Z∈R 的周 期是 2π 即 Z+2π =2x+2π =2(x+π ). 只有当 x 至少增加到 x+π ,函数值才能重复出现 ∴y=sin2x 的周期是π 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 1 ? x- ,那么 x∈R 必须并且只需 Z∈R,且函数 y=2sinZ,Z 2 6 1 ? 1 ? ∈R 的周期是 2π ,由于 Z+2π =( x- )+2π = (x+4π )- ,所以 2 2 6 6 (3)令 Z= 只有自变量 x 至少要增加到 x+4π ,函数值才能重复取得,即 T=4π 是能使等 式 2sin[ 1 ? 1 ? (x+T)- ]=2sin( x- )成立的最小正数 2 2 6 6 三人行,必有我师 王新敞 奎屯 新疆 从而 y=2sin( 1 ? x- ),x∈R 的周期是 4π 2 6 王新敞 奎屯 新疆 从上述可看出,这些函数的周期仅与自变量 x 的系数有关 一般地, 函数 y=Asin(ω x+ ? ), x∈R 及函数 y=Acos(ω x+ ? ), x∈R(其 王新敞 奎屯 新疆 中 A、ω 、 ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T= 2? ? 王新敞 奎屯 新疆 根据这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期,如对 于

相关文档

高中数学教案——正弦函数、余弦函数的图象和性质 第四课时
高中数学教案——正弦函数、余弦函数的图象和性质 第二课时
高中数学教案——正弦函数、余弦函数的图象和性质 第一课时
高中数学教案——正弦、余弦函数的性质 第一课时
电脑版