高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质第四节相似三角形的性质课堂导学案新人教A版选修4_1

第四节 相似三角形的性质 课堂导学 三点剖析 一、相似三角形的性质 【例 1 】两相似三角形的面积比为 m∶n,它们的周长差为 6cm, 则它们的周长分别是 __________和__________. 思路分析:设周长分别为 xcm、ycm,它们的相似比为 k. ∵m∶n=k ,∴k= 2 m . n ? 6 mn ? x ? y ? 6, , ?x ? ? ? m n ? n 根据题意 ? x m 解得 ? ?y ? n . ? y ? 6n . ? ? mn? n ? 答案: 6 mn mn? n 6n mn? n 二、利用面积比求面积 【例 2】如图 1-4-2, ABCD 中,AE∶EB=1∶2,S△AEF=6,求 S△CDF. 图 1-4-2 2 思路分析:∵AE∥CD,可得 S△AEF∶S△CDF=(AE∶CD) , ∴需求 AE∶CD 的值. 解:∵AE∶EB=1∶2, ∴AE∶AB=1∶3. ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AE∶AB=AE∶CD=1∶3. ∵AE∥DC, ∴△AEF∽△CDF. ∴ S ?AEF AE 2 1 1 ?( ) ? ( )2 ? . S ?CDF CD 3 9 ∴S△CDF∶S△AEF=9×6=54. 三、利用面积法探讨线段关系 【例 3】如图 1-4-4,已知△ABC 的边 BC∥DE,且 S△ADE∶S 边 BC 上的高的比是 ( ) 四边形 DECB =1∶2,则梯形高与三角形的 1 图 1-4-4 A.1∶ 2 B. 1∶( 2 -1) C.1∶( 3 -1) D.( 3 -1)∶ 3 解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC. ∴ S ?ADE AD 2 AG 2 ?( ) ?( ) . S ?ABC AB AH 又∵S△ADE∶S 四边形 DECB=1∶2, ∴( AG 2 1 AG 1 GH 3 ?1 ) = .∴ = .∴ . ? 3 AH AH 3 AH 3 各个击破 类题演练 1 如图 1-4-1,在△ABC 中,EF∥BC,EF 交 AB 于 E,交 AC 于 F,AD⊥BC 于 D,交 EF 于 M,若 BC=36,AD=30,MD=10,则 EF 的长是( ) A.12 B.30 图 1-4-1 C.24 D.18 解析:∵EF∥BC,∴ ∴ EF AM ? . BC AD EF 20 ? . 36 30 ∴EF=24. 答案:C 类题演练 2 如图 1-4-3,梯形 ABCD 中,两对角线把梯形分成四部分,其面积分别为 S1、S2、S3,若已知 S1、 S3,S2. 图 1-4-3 思路分析:S2 与 S1 所在三角形同高,故 S 2 OA OA 2 S 3 ,而 ( )= . ? OC S1 OC S1 2 解:∵AD∥BC,∴△AOD∽△COB. ∴ S3 S3 OA 2 OA =( ) .∴ = . S1 OC S 1 OC 又∵△ABO 与△BCO 同高, ∴ S 2 OA = . S 1 OC S3 S2 = . S1 S1 ∴ ∴S2= S1 S 3 . 温馨提示 本题根据相似三角形的性质,由面积比求出线段比,又根据等高的三角形的面积比等于 对应底之比,求出三角形的面积. 答案: D 类题演练 3 如图 1-4-5,已知 D 是△ABC 的边 AC 上一点,AB =AD? AC,S△ABD= 2 4 S△DBC,求 AB∶AC. 5 图 1-4-5 解:∵AB =AD? AC,∴ 又∵∠A=∠A, ∴△ABC∽△ADB. ∴( 2 AB AC = . AD AB AB 2 S ?ABD )= . AC S ?ACB 又∵S△ABD= 4 S△DBC, 5 ∴S△ABD= S 4 4 S△ACB,即 ?ABD ? . 9 S ?ACB 9 ∴( AB 2 4 AB 2 ) = ,即 = . AC 9 AC 3 3

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