一元一次不等式知识点及常见例题

一元一次不等式

一元一次不等式
一、不等式的概念 1、不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。 2、 不等式的解集: 对于一个含有未知数的不等式, 任何一个适合这个不等式的未知数的值, 都叫做这个不等式的解。 3、对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这 个不等式的解集。 4、求不等式的解集的过程,叫做解不等式。 5、用数轴表示不等式的方法。 二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 4、说明: ? ? ①在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,是随着加或乘的运算改变。 ②如果不等式乘以 0,那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要 看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就不等为 0,否 则不等式不成立; 三、一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是 1,且 不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、解一元一次不等式的一般步骤: (1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5) 将 x 项的系数化为 1

知识点与典型基础例题
一 、不等式的概念: 【例】 判断下列各式是否是一元一次不等式? (2)2x-y<0 (3) 23x ?
4x 5

(1)-x≥5

? x ? ?2

(4) 2 x ?5?3

二、 不等式的解 : 【例】 判断下列说法是否正确,为什么? (1) X=2 是不等式 x+3<2 的解。 (3)不等式 3x<7 的解是 x<2。 (2)X=2 是不等式 3x<7 的解。 (4)X=3 是不等式 3x≥9 的解。

三、 一元一次不等式: 【例】 判断下列各式是否是一元一次不等式 (2)2x-y<0 (3)
1
2x 3

(1)-x<5

?x?2

(4) x

2

? 5 ≥3x

一元一次不等式

四、不等式的基本性质问题 【例】 指出下列各题中不等式的变形依据 (2) 由 3+7>0 得 a>-7 (1)由 3a>2 得 a> 2 3 (3)由-5a<1 得 a>- 1 5

(4)由 4a>3a+1 得 a>1

【变式训练】 用>”或<”填空,并说明理由:如果 a<b 则

(1)a-2(
【例】

)b-2

(2)- a ? ? - b2 2
x<a 的形式。

(3)-3a-5(

)-3b-5

把下列不等式变成 x>a

(1)X+4>7
【变式训练】 (1) X≥2

(2)5x<1+4x

4 (3)- 5 x>-1

(4)2x+5<4x-2

将下列不等式的解集在数轴上表示出来。 (2)x<1 2 3 (3)x<3 的非负整数解
1 (4)-1 1 3 ? x ? 22

【例】

已知实数 a/b/c/在数轴上的对应点如图,则下列式子正确的是(



A

cb>ab

B

ac>ab

C


cb<ab

D

c+b<a+b


【变式训练】

当 0<x<1 时 x ,x, 1 ,之间的大小关系是 x

六 在数轴上表示不等式的解集: 【例】解下列不等式并把解集在数轴上表示出来 (1)2x+3<3x+2 (2)-3x+2≤5

(3)-

1 x ≠2 3

(4)

x?5 3x ? 2 ?1 ? 2 3

【变式训练】 (1)8-2(x+2)<4x-2 (2)3x ?1 4

? 2 ? 3( x8?1)

x (3)5-x+ 3 <1- 2 x2?3 ?

x ?1 3

2

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常见题型
题型一:求不等式的特殊解 【例】(1) 求 x+3<6 的所有正整数解

(2)求 10-4(x-3)≥2(x-1)的非负整数解,并在数轴上表示出来。

【变式训练】
x (1)求不等式 3? 的非负整数解。 2 ?1 ? 0

(2)设不等式2x-a≤0只有3个正整数解,求正整数

题型二:不等式与方程的综和题 【例】 关于 x 的不等式 2x—a≤1 的解集如图,求 a 的取值范围。

x ? 9 ? 5 x ?1 【变式训练】不等式组 x ? m ?1 的解集是 x>2,则 m 的取值范围是?

【例】若关于 x、y 的二元一次方程组

5 x?3 y?31 x? y? p?0 的解是正整数,求整数P的值。

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【变式训练】已知关于x的不等式组

x?a?b a 2 x?a?2b?1 的解集为 3≤x<5,求 b 的值。

题型三:确定方程或不等式中的字母取值范围 【例】k 为何值时方程 5x—6=3(x+k)的值是非正数。

【变式训练】已知关于 x 的方程 3k-5x=-9 的解是非负数,求 k 的取值范围

【例】已知在不等式 3x—a≤0 的正整数解是 1、2、3,求 a 的取值范围。

9 x ?a?0 【变式训练】如果{ 8 x ? b ? 0 的整数解为 1、2、3,求整数 a、b 的值。

题型四:求最小值问题 【例】 x 取什么值时,代数式
7 5 x?4 6 的值不小于 8 x ? 1? 3 的值,并求出 x

的最小值。

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【变式训练】已知代数式 5a+8b—a(a2—b)—9 的值不小于 2a—a3+b(a+8)—6 的值,求 a 的最小值。

题型五:不等式解法的变式应用 【例】 根据下列数量关系,列不等式并求解
1 3



(1) X 的 与 x 的 2 倍的和是非负数。

(2) C 与 4 的和的 30﹪不大于-2。

(3) X 除以 2 的商加上 2,至多为 5。

(4) A 与 b 两数和的平方不可能大于 3。

题型六:解不定方程 【例】 求方程 4x+y—20=0d 的正整数解。

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【课后练习】
一、选择题 1、 在平面直角坐标系中,若点 P(m-3,m+1)在第二象限,则 m 的取值范围为( A.-1<m<3 B.m>3 C.m<-1 D.m>-1 )

2、 四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为 P、Q、R、S,如图 3 所示, 大小关系是( )

则他们的体重

A、

B、

C、

D、

3、 不等式

的解集是(



A. 4、 若 A.

B. ,则 B.

C. 的大小关系为( C.

D. )

D.不能确定

5、不等式 (A)1 个



的正整数解有( (B)2 个

) (C)3 个 (D)4 个

二、填空题 1、 已知 3x+4≤6+2(x-2),则 2、当 y _______时,代数式 3、 x 的 的最小值等于________.

3 ? 2y 的值至少为 1 4

3 与 12 的差不小于 6,用不等式表示为__________________ 5
__时, y ? 0 ;

4、若一次函数 y ? 2 x ? 6 ,当 x ___

三、解答题 1、x 取何值时,2(x—2)—(x—3)—6 的值是非负数?

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一元一次不等式

2、x 取哪些非负整数时,

3 x?2 2x+1 5 的值不小于 1 与1的差。

3、 如果关于 x 的方程 x+2m-3=3x+7 的解为不大于 2 的非负数,求 m 的范围。

4、 若|2a+3|>2a+3,求 a 的范围。

5、 若(a+1)x>a+1 的解是 x<1,求 a 的范围。

6、已知关于 x 的方程 x-

2 x?m 3

?

2x 3 的解是非负数,m 是正整数,求 m 的值。

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