第六讲函数的值域与最值A

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数学高考第一轮复习导学案

第六讲
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函数的值域与最值

2.函数 y= 的值域是(-∞,+∞);y= 的值域为[0,+∞); y=x-3 的值域为{Y|Y≠0}. ?1? 3.函数 y=2x 的值域是(0,+∞);y=?2?x 的值域是(0,+∞);函数 y= ? ? log2x 的值域是(-∞,+∞);函数 y= 的值域是(-∞,+∞). 1 4.函数 y=x+x,当 x>0 时的值域为[2,+∞);当 x<0 时的值域为(- ? ? ax+b a ∞,-2]. y= (ad-bc≠0)的值域是?y|y≠ c ,y∈R?. cx+d ? ?

考点陪练:
1.定义域为 R 的函数 y=f(x)的值域为[a, 则函数 y=f(x+a)的值域是 ( b], A.[2a,a+b] B.[0,b-a] C.[a,b] D.[-a,a+b] ) )

2.已知函数 f(x)=loga(x+1)的定义域和值域都是[0,1],则 a 的值等于 ( A.2 3.函数 f(x)= B. 2 C. 2 2 D. 1 3 ( D.(0,1)

1 (x∈R)的值域是 1+x2 A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1]

)

4.若函数 f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1 的定义域和值域都为 R, 则 a 的取值范围是 A.a=-1 或 3 B.a=-1 C.a>3 或 a<-1 ( D.-1<a<3 )

5.若 x为实数,则函数 y=x2+3x-5 的值域是________.

类型一

求函数值域的基本方法

解题准备:在解题中,关键是要熟悉求函数值域的几种基本方法,遇到 求值域问题,应首先考虑有哪几种基本方法,一般方法是什么,特殊方法是 什么,在多种方法中选出最优方法.求函数值域没有通用方法和固定模式, 要靠经验的积累,掌握规律.函数的值域问题常常化为求函数的最值问题, 要注意利用基本不等式、二次函数及函数的单调性在确定函数最值中的应
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用.求函数值域时,不但要重视对应法则的应用,而且要特别注意定义域的 制约作用. 【典例 1】 求下列函数的值域及最值: (1)y=4- 3+2x-x2; (2)y=2x+ 1-2x; (3)y=x+ 1-x2;

(4)y=

1-x ; 2x+5

(5)y=

3x ; x +4
2

(6)y=

2x ; 4 +1
x

(7)y=

x2+5 ; x2+4

(8)y=

4sinx+1 ; 2cosx-4

(9)y= x2+4+ x2+2x+10;

(10)y=x5-5x4+5x3+2,x∈[-1,2].
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类型二

复合函数值域的求法

解题准备:求复合函数的值域或最值时,要考虑内函数的定义域和值域 变化,同时也要考虑适合外函数解析式结构类型的求值域与最值的常用方法, 两者结合才能准确地解决复合函数的值域与最值. 【典例 2】 已知函数 f(x)=1-2ax-a2x(a>1). (1)求函数 f(x)的值域; (2)若 x∈[-2,1]时,函数 f(x)的最小值为-7,求 a 的值并求函数 f(x)的最 大值.

[点评] 在求值域时,应注意函数的类型,特别是转化到二次函数时,应注 意对称轴及 t=g(x)中 t 的取值范围.

类型三

函数值域中的综合问题

解题准备:1.最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实 数 M 满足:(1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 那么,我们称 M 是函数的最大值. 2.最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 那么,我们称 M 是函数的最小值. 说明:①对于单调函数,最大(小)值出现在定义域的边界处.
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②对于非单调函数,通常借助图象求解更方便. ③一般地,因为恒成立的问题可以用求最值的办法来解决,而利用单调性是 求最值的常用方法.有以下关系: f(x)≥a 恒成立?fmin(x)≥a; f(x)≤a 恒成立?fmax(x)≤a.

函数的单调性是研究函数的值域与最值问题的重要方法. 【典例 3】 已知函数 f(x)= x2+2x+a ,x∈[1,+∞). x

1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值. 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. (3)若对任意的 a∈[-1,1],f(x)>4 恒成立,试求 x 的范围.

快速解题:
技法: 函数 f(x)=x2+ax+5, f(x)=f(-4-x)对于任意的 x∈R 都成立, 且 当 x∈[m,0]时,f(x)max=5,f(x)min=1,求实数 m 的取值范围.
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