2018-2019学年高中数学 第三章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解练习 新人教A

3.1.2 用二分法求方程的近似解

【选题明细表】 知识点、方法 二分法的概念 二分法的步骤
二分法求方程的近似解或函数零点

题号 1,2,3 4,5,6,11 7,8,9,10

1.用二分法求如图所示函数 f(x)的零点时,不可能求出的零点是( C )

(A)x1 (B)x2 (C)x3 (D)x4 解析:观察图象可知,零点 x3 的附近两边的函数值都为负值, 所以零点 x3 不能用二分法求. 2.用二分法找函数 f(x)=2x+3x-7 在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点 2,则下一个存在 零点的区间为( B ) (A)(0,1) (B)(0,2) (C)(2,3) (D)(2,4) 解析:因为 f(0)=20+0-7=-6<0, f(4)=24+12-7>0, f(2)=22+6-7>0,所以 f(0)f(2)<0, 所以零点在区间(0,2). 3.已知函数 f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确
定了零点所在的区间为(0, ),(0, ),(0, ),则下列说法中正确的是( B )
(A)函数 f(x)在区间(0, )内一定有零点
(B)函数 f(x)在区间(0, )或( , )内有零点,或零点是
(C)函数 f(x)在( ,a)内无零点
(D)函数 f(x)在区间(0, )或( , )内有零点 解析:根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在
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(0, )或( , )中或 f( )=0.故选 B.
4.已知图象连续不断的函数 y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个 零点(精确度 0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( B ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

解析:由 <0.01,得 2n>10,
所以 n 的最小值为 4.故选 B. 5.用二分法求方程 x2-5=0 在区间(2,3)内的近似解,经过 0.01. 解析:因为初始区间的长度为 1,精确度要求是 0.01,

次二分后精确度能达到

所以 ≤0.01,化为 2n≥100,解得 n≥7. 答案:7

6.用二分法研究函数 f(x)=x3+ln(x+ )的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f( )>0,可得其

中一个零点 x0∈

,第二次应计算

.

解析:由于 f(0)<0,f( )>0,故 f(x)在(0, )上存在零点,所以 x0∈(0, ),

第二次计算应计算 0 和 在数轴上对应的中点 x1=

=.

答案:(0, ) f( )

7.(2018·安徽省江南名校高一联考)若函数 f(x)的唯一零点同时

在区间(0,15),(0,7),(0,4),(1,3)内,那么下列说法中正确的是( C )

(A)函数 f(x)在区间(1,2)内有零点

(B)函数 f(x)在区间(1,2)或(2,3)内有零点

(C)函数 f(x)在区间[3,15)内无零点

(D)函数 f(x)在区间(2,15)内无零点

解析:根据二分法的实施步骤即可判断.故选 C.

8.下面是函数 f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值.

x

1 1.25 1.375 1.406 5 1.438 1.5

1.61

f(x) -2 -0.984 0.260 -0.052 0.165 0.625 -0.315

由此可判断:方程 f(x)=0 在[1,2]上解的个数( A )

1.875 2 4.35 6

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(A)至少 5 个 (B)5 个

(C)至多 5 个 (D)4 个

解析:由所给的函数值的表格可以看出,在 x=1.25 与 x=1.375 这两个数字对应的函数值的符

号不同,

即 f(1.25)f(1.375)<0,

所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,

同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,

函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,

函数的一个零点在(1.5,1.61)上,

函数的一个零点在(1.61,1.875)上.

故函数至少有 5 个零点,即方程 f(x)=0 在[1,2]上至少有 5 个解.

9.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:

x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 …

y=2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1 …

y=x2 2.56

1.96

1.44 1 0.64

0.36

0.16

0.04 0 …

若方程 2x=x2 有一个根位于区间(a,a+0.4)(a 在表格中第一栏里的数据中取值),则 a 的值



.

解析:令 f(x)=2x-x2,

由表中的数据可得 f(-1)<0,

f(-0.6)>0;f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,

所以根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,

所以 a=-1 或 a=-0.8.

答案:-1 或-0.8

10.利用计算器,求方程 x2-6x+7=0 的近似解(精确度 0.1).

解:设 f(x)=x2-6x+7,通过观察函数的草图得,

f(1)=2>0,f(2)=-1<0, 所以方程 x2-6x+7=0 有一根在(1,2)内,设为 x1, 因为 f(1.5)=0.25>0, 所以 1.5<x1<2,

又因为 f(

)=f(1.75)=-0.437 5<0,

所以 1.5<x1<1.75,如此继续下去,得 f(1)>0,f(2)<0? x1∈(1,2), f(1.5)>0,f(2)<0? x1∈(1.5,2), f(1.5)>0,f(1.75)<0? x1∈(1.5,1.75), f(1.5)>0,f(1.625)<0? x1∈(1.5,1.625),

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f(1.562 5)>0,f(1.625)<0? x1∈(1.562 5,1.625), 由于|1.562 5-1.625|=0.062 5<0.1,所以方程 x2-6x+7=0 的一个近似解可取为 1.625,用同样
的方法,可求得方程的另一个近似解可取为 4.437 5.

11.如果在一个风雨交加的夜里查找线路,从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故 障.这是一条 10 km 长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难 很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10 km 长,大约有 200 多根电线杆子.假如你是维修线路 的工人师傅,你应该怎样工作?想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理? 解:如图.

他首先从中点 C 查.用随身带的话机向两端测试时,如果发现 AC 段正常,则断定故障在 BC 段, 再到 BC 段中点 D,这次若发现 BD 段正常,则故障在 CD 段,再到 CD 中点 E 来查,…… 每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,算一算,要把故障可能发生的范围缩小到 50 m~

100 m 左右,即两根电线杆附近,设需要排查 n 次,则有 50< 只要 7 次就够了.

<100,即 100<2n<200.因此

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