【2015--2016年高考数学学习数学必修五】高中数学必修五:2.3《等差数列的前n项和(2)》ppt课件_图文

成才之路 ·数学 人教A版 ·必修5 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第二章 数 列 第二章 2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列前n项和公式的 应用 1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课 时 作 业 课前自主预习 北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出 酒店里把酒瓶层层堆积,底层排成长方 形,以上逐层的长、宽各减少一个,共堆 n 层,堆成棱台的形状,沈括给出了一个 计算方法——“隙积术”求酒瓶总数,沈 括的这一研究,构成了其后二三百年关于垛积问题研究的开端. 等差数列{an}的前 n 项和 n?n-1? d 2 d d d Sn=na1+ 2 d=2n +(a1-2)n,令2=A,a1-2=B, 则得 Sn=________. [ 答案] An2+Bn 1.等差数列的前 n 项和公式与二次函数的关系 n?n-1?d d 2 d 将公式 Sn=na1+ 变形,得 Sn=2n +(a1-2)n,故 2 当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的一个二次函数,它的图象是抛物线 y d 2 d =2x +(a1-2)x 上横坐标为正整数的一群孤立的点. 区别 Sn 定义域为 N*(或 图象是一系列 其有限子集) 定义域为 R 孤立的点 图象是一条光 滑的抛物线 联系 (1)解析式都是 二次式; (2)Sn 的图象是 抛物线 y=f(x) 上的一系列点 f ( x) 利用上述关系可解决等差数列的前 n 项和 Sn 的最大值或最 小值的问题. 一方面, 前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数, 即 Sn=An2 +Bn(A≠0).利用二次函数的相关知识及图象可求其最值;另 一方面要注意这是数列,有它的特殊性,即 n∈N*,因此并不 B B 一定是 n=-2A时,Sn 达到最大(或最小),而是当-2A∈N*时, B B * B n=-2A;而当-2A?N 时,n 取与-2A最接近的正整数即可. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=-11, a4+a6=-6, 则当 Sn 取最小值时,n 等于( A.6 C.8 [ 答案] A ) B.7 D.9 [ 解析] 设等差数列的公差为 d, ∵a4+a6=-6,得 2a5=-6,∴a5=-3. 又∵a1=-11,∴-3=-11+4d,∴d=2. n?n-1? ∴Sn=-11n+ 2 ×2=n2-12n=(n-6)2-36, 故当 n=6 时,Sn 取得最小值,故选 A. 2.等差数列前 n 项和最值的求法 (1)通项法 ①当 a1>0,d<0 时,{an}只有前面的有限项为非负数;从 ? ?am≥0, 某项开始其余所有项均为负数,所以由? ? ?am+1≤0 可得 Sn 的最 大值为 Sm. ②当 a1<0,d>0 时,{an}只有前面的有限项为非正数,从 ? ?am≤0, 某项开始其余所有项均为正数,所以由? ? ?am+1≥0 可得 Sn 的最 小值为 Sm. (2)二次函数法 d 2 d 由于 Sn=2n +(a1-2)n(d≠0)是关于 n 的二次函数式, 因此 可利用配方法求出二次函数的最值来确定 Sn 的最值,但应注意 n∈N*. 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,试求其前 n 项和 Sn 的最大值. 17 [ 解析] 解法一:由 S17=S9,得 25×17+ 2 ×(17-1)d= 9 25×9+2×(9-1)d,解得 d=-2. 1 ∴Sn=25n+2n(n-1)· (-2)=-(n-13)2+169, ∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169. 解法二:先求出 d=-2(同解法一). ? ?an=25-2?n-1?≥0 ∵a1=25>0,由? ? ?an+1=25-2n≤0 , 1 1 得 122≤n≤132,∴当 n=13 时,Sn 有最大值. 3.裂项(拆项)相消法求和 把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项可按此法拆 成两项之差,在求和时一些正负项相抵消,于是前 n 项和变成 首尾若干项之和,这一求和方法称为裂项相消法. 1 1 1 例如,若数列{an}的通项公式 an= = - ,则 n?n+1? n n+1 1 1 1 1 1 1 n Sn=1-2+2-3+?+n- =1- = . n+1 n+1 n+1 1 1 1 常见的裂项有: = - ; n?n+1? n n+1 1 1 1 1 = ( - ); ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 2n+1 1 = n+1- n等. n+1+ n 1 若数列{an}为等差数列,且 an≠0,怎样求数列{ }的 anan+1 前 n 项和 Sn? [ 解析] 1 1 1 1 因为 = ( - ), anan+1 d an an+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 Sn =d(a - a )+d ( a -a )+ ? +d(a - )= d (a - a n 1 2 2 3 1 n+1 1 an+1 ). 课堂典例探究 ? 等差数列的最值问题 等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少 项的和最小? [ 解析] 解法一:设等差数列{an}的公差为 d,则由题意得 1 1 9a1+2×9×8· d=12a1+2×12×11· d ∴a1=-10d, ∵a1<0,∴d>0, 1 1 2 21 d? 21?2 441 ∴Sn=na1+2n(n-1)d=2dn - 2 dn=2?n- 2 ? - 8 D. ? ? ∵d>0,∴Sn 有最小值. 又∵n∈N*,∴n=10 或 n=11 时,Sn 取最小值. 解法二:同解法一,由 S9=S12 得 a1=-10d, ? ?an=a1+?n-1?d≤0 设? ? ?an+1=a1+nd≥0 ? ?-10d+?n-1?d≤0 ,∴? ? ?-10d+n

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