2019学年高二数学下学期期末考试试题 理新人教 版新版(1)

2019 高二下期期末考试

精品试卷

数 学 试 题 卷(理科)

第I卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
? ? 1.已知集合 A ?{? 2,?1,0,1, 2}, B ? x (x ?1)(x ? 2) ? 0 ,则 A B ? ( )

A.?0,1? B. ??1,0?

C.??1,0,1? D.?0,1, 2?

2. “ a ? 3 ”是“函数 f (x) ? x2 ? 2ax ? 2 在区间 (??, 2] 内单调递减”的( )

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既不充分也必要条件

3. 下列说法中正确的是 ( )

A.“ f ?0? ? 0 ” 是“函数 f ? x? 是奇函数” 的充要条件

B.若 p : ?x0 ? R, x02 ? x0 ?1 ? 0,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0

C.若 p ? q 为假命题,则 p,q 均为假命题

D.“若? ? ? ,则 sin? ? 1 ” 的否命题是“若? ? ? ,则 sin? ? 1 ”

6

2

6

2

4.函数 f ? x? ? x ? x ? 1? ? ln ??x? 的定义域为( )

A. ?x x ? 0? B. ?x x ? ?1? ?0?

C. ?x x ? ?1?

D. ?x x ? ?1?

6

? 5.二项式

? ??

ax

?

3 6

? ??

的展开式中 x5 的系数为

3 ,则 a x2dx ? ( 0



A. 1

B. 1

3

2

C.1

D.2

6.

已知

f (x) 是周期为 4 的偶函数,当 x?[0,2] 时

f

?

x

?

?

?x2, ??log2

x

?

0? x ?1 1,1 ? x ? 2

,则

f

?2014? ?

f

?2015? ? (



A.0 B.1 C.2 D.3

7. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四个面的面积中最大的是( )

A. 5

B. 3

C. 3 5 2

D. 3 5

8. PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物(也称可入肺颗粒

物),为了探究车流量与 PM2.5 的浓度是否相关,现采集到某城市周一至周



某时间段车流量与 PM2.5 浓度的数据如下表:
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时间

周一 周二 周三 周四 周五

精品试卷

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100

102

108

114

116

车流量 x (万辆)

浓度 y (微克)

78

80

84

88

90

根据上表数据,用最小二乘法求出 y 与 x 的线性回归方程是( )

A. y? ? 0.62x ? 7.24 B. y? ? 0.72x ? 6.24 C. y? ? 0.71x ? 6.14 D. y? ? 0.62x ? 6.24

n

?(xi ? x )( yi ? y)

参考公式: b ? i?1 n

, a ? y ? b ? x ;参考数据: x ?108, y ? 84 ;

?(xi ? x )2

i ?1

9.某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目,2 个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种

数是( )

A.72 B. 120 C. 144 D. 168

10.

已知椭圆

C1

:

x2 a12

? y2 b12

? 1(a1

? b1

?

0)

与双曲线

C2

:

x2 a22

? y2 b22

? 1(a2

? 0,b2

? 0) 有相同的焦点 F1, F2 ,点 P 是曲线

C1 与 C2 的一个公共点, e1 , e2 分别是 C1 和 C2 的离心率,若 PF1 ? PF2 ,则 4e12 ? e22 的最小值为( )

A. 9

B.4

2

C. 5 2

D.9

11.设函数

f

(x)

?

log 1 (x2
2

? 1)

?

8 3x2 ?1

,则不等式

f

(log2

x)

?

f

(log 1
2

x)

?

2 的解集为(



A. (0,2]

B.

? ?

1 2

,

2??

C. [2, ??)

D. (0, 1] [2, ??) 2

12.(原创)已知 f (x) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,对任意的 x1, x2 ?[?1,1] ,均有 (x2 ? x1)( f (x2 ) ? f (x1)) ? 0 .当

x ?[0,1]

时, 2

f

(

x 5

)

?

f

( x),

f

(x)

?1?

f

(1 ?

x)

,则

f

(?

2209106 )

?

f

(?

2209116) ?

?

f

(?

314 2016

)

?

f

(?

2301156 )

?





www.ziyuanku.comA.

?

11 2

B. ?6

C.

?

13 2

D.

?

25 4

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题至第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题至第 24 题 为选考题,考生根据要求作答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.

若幂函数 f (x) ? xm 的图像过点 (2,

2 2

)

,则

f

(4)

的值为

.

14.在 ?ABC 错误!未找到引用源。中, a ? 2 , b ? 7 , B ? 60 错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。

的面积等于

.

15.(原创)若关于

x

的不等式

4x

?

log2a

x(

a

? 0 ,且

a

?

1 2

)的解集是{x

|

0

?

x

?

12}

,则 a

的取值的集合是



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16.已知函数

f

?x?

?

??2x ???ex

?1? x ? ?1? ? x ? ?1?

,若

a

?

b,

f

?a?

?

f

?b?

,则实数

a

? 2b

的取值范围为

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.

三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17 .( 本 题 满 分

12

分 )( 原 创 ) 已 知 函 数 g(x )? 42x ? 5?

22x? 1?

1 6, 函 数

f (x)?

l

o

g2

x 4

?

l

o

g4

( 4x2

), 记 集 合

A ?{ x | g( x)? 0.}

(I)求集合 A; (II)当 x? A 时,求函数 f (x) 的值域.

18.(本题满分 12 分)一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个函数: f1 ? x? ? x3 , f2 ? x? ? 3x , f3 ? x? ? 2 ,

? ? f4

?x?

?

2x 2x

?1 ?1



f5

?x?

?

sin

? ?x 2

, f6 ? x? ? x cos x.

(I)从中任意拿取 2 张卡片,若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数,在此条件下,求两张卡片上写着的函数

相加得到的新函数为奇函数的概率;

(II)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进

行,求抽取次数? 的分布列和数学期望.

19.(本题满分 12 分)(原创)如图,已知长方形 ABCD 中, AB ? 2 2 , AD ? 2 , M 为 DC 的中点.将 ?ADM
沿 AM 折起,使得平面 ADM ⊥平面 ABCM . (I)求证: AD ? BM ; (II)若点 E 是线段 DB 上的一动点,当二面角 E ? AM ? D 的余弦值为 2 时,求线段 DE 的长. 2
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20.(本题满分

12

分)(原创)已知椭圆 C :

x2 4

?

y2 2

? 1的左右焦点分别为 F1, F2 ,直线 l1 经过椭圆的右焦点与椭圆

交于 A, B 两点,且| AB |? 3 .

(I)求直线 l1 的方程;

(II)已知过右焦点 F2 的动直线 l2 与椭圆 C 交于 P,Q 不同两点,是否存在 x 轴上一定点T ,使 ?OTP ? ?OTQ ? ( O 为坐标原点)若存在,求出点T 的坐标;若不存在说明理由.
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21.(本题满分 12 分)(原创)设函数 g ? x? ? ? x ?1?emx ? mx2 , f (x) ? g(x) ? (2 ? x)emx ,(其中 m?R ). (I)当 m ?1时,求函数 g ? x? 的极值;
(II)求证:存在 m?(0,1) ,使得 f (x) ? 0 在 (0, ??) 内恒成立,且方程 f (x) ? 0 在 (0, ??) 内有唯一解.

请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

已知直线 l

的方程为

y

?

x?4

,圆 C

的参数方程为

? ? ?

x y

? ?

2 cos? 2 ? 2sin?

(?

为参数),以原点为极点,

x

轴正半轴为极

轴,建立极坐标系. (I)求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标; (II)若 P 为圆 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离 d 的最大值.

2.(本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 已知函数 f (x) ? m? | x ? 3| ,不等式 f (x) ? 2 的解集为{x | 2 ? x ? 4}. (I)求实数 m 的值; (II)若关于 x 的不等式 | x ? a |? f (x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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凌源二高中 2017-2018 高二下期期末考试 理科数学答案

精品试卷

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1~5:BADCA;6~10:DCBBA;11~12:BC

12

题解:在

2

f

(

x 5

)

?

f

(x) 中,令

x

?0



f

(0)

?0

,在

f

(x)

?1?

f

(1 ?

x) 中,令

x

?1得

f

(1)

?1;

在2

f

(

x 5

)

?

f

(x)

中,令

x

?1得

f

( 15 )

?

1 2

,在

f

(x)

?1?

f

(1 ?

x)

中,令

x

?

1 5



f

(15)

?1?

f

( 54)



f

(

4 5

)

?

1 2



当 x1

?

x2

时,

f

(x1) ?

f

(

x2

)

,所以当

1 5

?

x?

4 5

时,恒有

f

(x)

?

1 2

在 2 f ( x) ? f (x) 中 , 令 x ? 1 得 2 f ( 1 ) ? f (1) ? 1 ? f ( 1 ) ? 1 , 在 2 f (x ?) f x( 中) , 令 x ? 4 得

5

5

25 5 2 25 4

5

5

2f( 4 )? 25

f (4) ? 1 ? f ( 4 ) ? 1

52

25 4

,当

x1 ? x2

时,

f (x1) ?

f (x2 )

,所以当

1 ?x? 4

25

25

时,恒有

f (x) ? 1 4



1 25

?

290 2016

?

315 2016

?

4 25

f

(? 2209106) ?

f

(?

291 2016

)

?

?

f

(?

314 2016

)

?

f

(?

2301156) ?

?[

f ( 2209106) ?

f ( 2209116) ?

?

f

(

314 2016

)

?

f

(

315 2016

)]

?

?26 ?

1 4

?

?

13 2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

? ? ? 13. 1 ;14. 3 3 ;15.

2

2

2 4

;16.

??,

?

1 e

?

2???

.

三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题满分 12 分)解:(I)g(x) ? 0 即 42x ?5? 22x?1 ?16 ? 0 ,42x ?10? 4x ?16 ? 0 ,令 t ? 4x ,即有 t2 ?10t ?16 ? 0

得 (t

? 2)(t

? 8)

?0

2?t

?8,2?

4x

?

8



4

1 2

?

4x

?

3
42

,解得

A

? {x |

1 2

?

x

?

3} ; 2

(II)

f

(x)

?

(log2 ? log2

4)(log4

4?

log4

x2 )

?

(log2

x

?

2)(log2

x

?1) ,令 u

?

log2

x ?[?1,log2

3] 2



y

?

u2

?u

?

2,u ?[?1,log2

32 ]

,二次函数的对称轴 u0

?

1 2

?[?1, log 2

32] ,?

y ?[?

9 4

, 0]

18.(本题满分 12 分)解:(Ⅰ) f1 ? x? ? x3

为奇函数;

f2

?

x?

?

3x

为偶函数;

f3

?x?

?

2

为偶函数;

f4

?x?

?

2x 2x

?1 ?1



? ? 奇函数; f5 ? x? ? sin

? 2

?

x

为偶函数; f6 ? x? ? x cos x 为奇函数,所有的基本事件包括两类:一类为两张卡片上写的

函数均为奇函数;另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数,一个为偶函数;基本事件总数为 C31C31 ? C32 ,满

足 条 件 的 基 本 事 件 为 两 张 卡 片 上 写 的 函 数 均 为 奇 函 数 , 满 足 条 件 的 基 本 事 件 个 数 为 C32 , 故 所 求 概 率 P ? C32 ? 1 .
C31 C31 ? C32 4

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?

1

2

3

4

(Ⅱ) ?

可取 1, 2, 3, 4.

P ??

? 1?

?

C31 C61

?

1 2

P

1 2

3 10

3 20

P ?? ? 2? ? C31 C31 ? 3 ;
C61 C51 10

P

?

??

?

3?

?

C31 C61

C21 C51

C31 ? 3 ; C41 20

P ??

?

4?

?

C31 C61

C21 C51

C11 C41

C31 ? 1 ; 故? 的分布列为 C31 20

E?

?

1?

1 2

?

2? 3 10

?

3?

3 20

?

4

?

1 20

?

7 4

.

??

的数学期望为

7 4

.

19.(本题满分 12 分)

(I)证明:∵长方形 ABCD 中, AB ? 4, AD ? 2 ,

?平面ADM ? 平面ABCM M 为 CD 的中点, AM ? BM ? 2 2 ,故 AM ? BM ??平面ADM 平面ABCM ? AM
??BM ? 平面ABCM
∴ BM ? 平面ADM ∵ AD ? 平面ADM ∴ AD ? BM .

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1 20

(II)建立如图所示的 O ? xyz 直角坐标系,则 A(1,0,0), B(?1,2,0), D(0,0,1), M (?1,0,0) 平面 AMD 的一个法向量 n ? (0,1,0) ,设 DE ? ? DB ME ? MD ? ? DB ? (1? ?, 2?,1? ?)

AM ? (?2,0,0) ,设平面 AME 的一个法向量为 m ? (x, y, z),

?2x ? 0 ??2? y ? (1? ?)z ? 0

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y

?

1,得

x

?

0,

y

?

1,

z

?

2? 1? ?

,



m

?

(0,1,

2? 1? ?

)

,而

n

?

(0,1,

0)

则 cos ? m, n ?? m ? n ? | m |?| n |

1

?

1 ? (12??? )2

1 2

,得1 ?

(12??? )2

?

2 ,解得 ?

?

1 3

因为| BD |?

6 ,故| DE |?

6. 3

20.(本题满分 12 分)

解:(I)设 l1 的方程为 y ? k(x ? 2) 与椭圆联立得 (2k 2 ?1)x2 ? 4 2k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0

直线经过椭圆内一点,故 ? ? 0 恒成立,设

A( x3 ,

y3 ), B(x4 , y4 ) ,则

x3

?

x4

?

4 2k 2 2k 2 ?1



x3 x4

?

4k 2 2k 2

?4 ?1

|

x3

?

x4

|2 ? (x3

?

x4 )2

? 4x3x4

?

32k 4 (2k 2 ?1)2

? 4 4(k 2 2k 2

?1) ?1

? 16 2k 4

? (k 2 ?1)(2k 2 (2k 2 ?1)2

? 1)

?

16(k 2 ?1) (2k 2 ?1)2

,|

x3

?

x4

|?

4 k2 ?1 2k 2 ?1

| AB |?

1?

k2

|

x3

?

x4

|?

4k 2 2k 2

?4 ?1

?

3

解得 k

?

?

2 2

, l1

的方程为

y

?

2 2

x

?

1



y

?

?

2 x ?1; 2

解 2:由焦半径公式有 | AB |? 2a ? e(x3 ? x4 ) ? 4 ?

2 4 2k 2 ? 4 ? 4k 2 ? 3 ,解得 k ? ?

2 2k 2 ?1

2k 2 ?1

2. 2

(II)设 l2 的方程为 my ? x ? 2 与椭圆联立: (m2 ?1) y2 ? 2 2 y ? 2 ? 0 ,由于过椭圆内一点, ? ? 0

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假设存在点 T (t,0) 符合要求,设

P(x1,

y1),Q(x2 ,

y2 )

,韦达定理:

y1

?

y2

?

?2 m2

2m +2

, y1

y2

?

?2 m2 ? 2

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?OTP

?

?OTQ

?

y1 x1 ? t

?

y2 x2 ? t

?

0

?

y1 ( x2

?t) ?

y2 (x1

?t)

?

0 ,点在直线 my

?

x?

2 上有

y1(my2 ?

2 ? t) ? y2 (my1 ?

2 ? t) ? 0 ,即 2my1 y2 ? (

2

?

t)(

y1

?

y2

)

?

0

,?

2m

?2 m2 ?

2

?

(

2 ? t) ?2 2m ? 0 , m2 ? 2

解得 t ? 2 2 .

21.(本题满分 12 分)

解:(I)当 m ?1时, g ? x? ? ? x ?1?ex ? x2 , g '? x? ? ex ? ? x ?1?ex ? 2x ? xex ? 2x ? x?ex ? 2?

令 g '? x? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2 ,当 x 变化时, g '(x), g ? x? 的变化如下表:

x

???,0? 0 ?0,ln 2?

ln 2

f ??x?

?

0

?

0

?ln 2,???
?

f ?x?

极大值

极小值

由表可知, g ? x?极小 ? g(ln 2) ? ln2 2 ? 2ln 2 ? 2 ; g ? x?极大 ? g(0) ? ?1;

(II)设 m ? 0 , f (x) ? emx ? mx2 , f (0) ?1 ? 0 ,若 f (x) ? 0 要有解,需 f (x) 有单减区间,则 f '(x) ? 0 要有解

f '(x) ? memx ? 2mx ? m(emx ? 2x) ,由 m ? 0 , f '(0) ? m ? 0 ,记 f ''(x) 为函数 f '(x) 的导数



f

''(x)

?

m(memx

? 2) ,当 m ? 0 时

f

''(x) 单增,令

f

''(x)

?

0 ,由 m ? 0 ,得

x0

?

1 ln m

2 m

,需考察

x0 与区间 (0, ??)

的关系:

①当 m ?

2 时, ln

2 m

?

0



x0

?

0 ,在 (0, ??)



f

''(x)

?

f

''(x0 )

?

0,

f

'(x) 单增,

f

'(x)

?

f

'(0)

?

m?0

故 f (x) 单增, f (x) ? f (0) ?1 , f (x) ? 0 无解;

②当

m

?

2 ,时,

ln

2 m

?

0



x0

?

1 m

ln

2 m

?

0

,因为

f

''(x)

单增,在 (0, x0 ) 上

f

''(x)

?

0 ,在 (x0 , ??)



f

''(x)

?

0



x

?

x0 时,

f

'( x)min

?

f

'(x0 )

?

m(em?

1 m

ln

2 m

?

2

1 m

ln

m2 )

?

m(

2 m

?

2 m

ln

2 m

)

? 2 ? 2ln

2 m

? 2(1 ? ln

2 m

)

(i)若1 ? ln

2 m

?0

,即

2 e

?

m

?

2

时,

f

'( x)min

?

0,

f

(x)

单增,

f

(x)

?

f

(0)

?1,

f

(x)

? 0 无解;

(ii)若1 ?nl

20? m

,即 m

?

2 e

,f

'( x)min

?

f

'(x0 ) ? 0 ,在0(,

) x0

上,f ''(x) ? 0 ,f '(x) 单减;f '(0) ? m ? 0 ,f '(x0 ) ? 0 ,

f '(x) ? 0 在区间 (0, x0 ) 上有唯一解,记为 x1 ;在 (x0 , ??) 上, f ''(x) ? 0, f '(x) 单增 , f '(x0 ) ? 0 ,当 x ? ?? 时

f '(x) ? ?? ,故 f '(x) ? 0 在区间 (x0 , ??) 上有唯一解,记为 x2 ,则在 (0, x1) 上 f '(x) ? 0 ,在 (x1, x2 ) 上 f '(x) ? 0 ,

在 (x2 , ??) 上

f

'(x)

?0

,当

x

?

x2

时,

f

(x)

取得最小值

f

(x2 ) ,此时 0

?

m

?

2 e

若要 f (x) ? 0 恒成立且 f (x) ? 0 有唯一解,当且仅当 f (x2 ) ? 0 ,即 emx2 ? mx22 ? 0 ,由 f '(x2 ) ? 0 有 emx2 ? 2x2 ? 0

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联立两式

?e ??e

mx2 mx2

? mx22 ? 0 解得 ? 2x2 ? 0

x2

?

2 m

.综上,当 0

?

m

?

2 e

时,

f

(x)

?

f

( x2 )

?0

精品试卷

请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

解:(I)直线 l : y ? x ? 4 ,圆 C : x2 ? ? y ? 2?2 ? 4

联立方程组

?? y ? x ?

? ?? x 2

?

?

y

4 ?

2?2

?

4

,解得

?x

? ?

y

? ?

?2 2



?x

? ?

y

? ?

0 4

? ? ? ? 对应的极坐标分别为 2

2, 3? 4

,

4, ? 2

.

? ? (II)设 P?2cos?,2 ? 2sin? ? ,则 d ? 2cos? ? 2sin? ? 2 ? 2 2 cos ? ? ? ?1 ,

2

4

? ? 当 cos ? ? ? 4

? 1时, d 取得最大值 2 ?

2.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲
解:(I)由已知得 x ? 3 ? m ? 2 ,得 5 ? m ? x ?1? m ,即 m ? 3 (II) x ? a ? f (x) 得 x ? 3 ? x ? a ? 3恒成立 x ?3 ? x ? a ? x ?3? (x ? a) ? a ?3 (当且仅当 (x ? 3)(x ? a) ? 0 时取到等号) ? a ? 3 ? 3解得 a ? 6 或 a ? 0 ,故 a 的取值范围为 a ? 0 或 a ? 6

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