高一数学人教A版必修4课件:第三章 三角恒等变换


第三章 三角恒等变换 内容 索引 01 理网络 明结构 探题型 提能力 02 03 理网络·明结构 04 理网络·明结构 理网络·明结构 探题型·提能力 题型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用 理网络·明结构 例1 的值. 解 4 1 已知 α、β 为锐角,cos α=5,tan(α-β)=-3,求 cos β 4 3 3 ∵α 是锐角,cos α=5,∴sin α=5,tan α=4. 13 ∴tan β=tan[ α-(α-β)] = =9. 1+tan αtan?α-β? tan α-tan?α-β? 9 10 ∵β 是锐角,故 cos β= 50 . 理网络·明结构 1 1 跟踪训练 1 已知 tan(α-β)=2,tan β=-7,且 α,β∈(0,π), 求 2α-β 的值. 解 1 tan α=tan[(α-β)+β] = =3>0. 1-tan?α-β?tan β tan?α-β?+tan β π 而 α∈(0,π),故 α∈(0,2). 1 π ∵tan β=-7,0<β<π,∴2<β<π. 1 ∴-π<α-β<0.而 tan(α-β)=2>0, 理网络·明结构 π ∴-π<α-β<-2. ∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0). ∵tan(2α-β)=tan[ α+(α-β)] 3π = =1,∴2α-β=- 4 . 1-tan αtan?α-β? tan α+tan?α-β? 理网络·明结构 题型二 整体换元的思想在三角恒等变换中的应用 在三角恒等变换中,有时可以把一个代数式整体视为一 个“元”来参与计算和推理,这个“元”可以明确地设 出来(如例2令sin x-cos x=t). 理网络·明结构 例2 求函数y=sin x+sin 2x-cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x-cos x=t, 则由 t= ? π? 2sin?x-4?知 ? ? t∈[- 2, 2], 又sin 2x=1-(sin x-cos x)2=1-t2. ∴y=(sin x-cos x)+sin 2x=t+1-t2 ? 1?2 5 =-?t-2? +4. ? ? 理网络·明结构 1 5 当 t=2时,ymax=4; 当 t=- 2时,ymin=- 2-1. ? ∴函数的值域为?- ? 5? 2-1,4?. ? 理网络·明结构 跟踪训练2 求函数f(x)=sin x+cos x+sin x· cos x,x∈R的最值及 取到最值时x的值. 解 设sin x+cos x=t, 则 t=sin x+cos x= = ? 2? ? ? 2 2 ? sin x + cos x 2 2 ? ? π? 2sin?x+4?, ∴t∈[- ? ? 2, 2], ?sin x+cos x?2-1 t2-1 ∴sin x· cos x= = 2 . 2 理网络·明结构 ∴f(x)=sin x+cos x+sin x· cos x t2-1 1 即 g(t)=t+ 2 =2(t+1)2-1,t∈[- 2, 2]. 当t=-1,即sin x+cos x=-1时,f(x)min=-1. 2 此时,由 2, π 解得 x=2kπ-π 或 x=2kπ-2,k∈Z. 1 当 t= 2,即 sin x+cos x= 2时,f(x)max= 2+2. 理网络·明结构 ? π? sin?x+4?=- ? ? 此时,由 ? π? 2sin?x+4?= ? ?

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