高一数学人教A版必修4课件:第三章 三角恒等变换

第三章 三角恒等变换 内容 索引 01 理网络 明结构 探题型 提能力 02 03 理网络·明结构 04 理网络·明结构 理网络·明结构 探题型·提能力 题型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用 理网络·明结构 例1 的值. 解 4 1 已知 α、β 为锐角,cos α=5,tan(α-β)=-3,求 cos β 4 3 3 ∵α 是锐角,cos α=5,∴sin α=5,tan α=4. 13 ∴tan β=tan[ α-(α-β)] = =9. 1+tan αtan?α-β? tan α-tan?α-β? 9 10 ∵β 是锐角,故 cos β= 50 . 理网络·明结构 1 1 跟踪训练 1 已知 tan(α-β)=2,tan β=-7,且 α,β∈(0,π), 求 2α-β 的值. 解 1 tan α=tan[(α-β)+β] = =3>0. 1-tan?α-β?tan β tan?α-β?+tan β π 而 α∈(0,π),故 α∈(0,2). 1 π ∵tan β=-7,0<β<π,∴2<β<π. 1 ∴-π<α-β<0.而 tan(α-β)=2>0, 理网络·明结构 π ∴-π<α-β<-2. ∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0). ∵tan(2α-β)=tan[ α+(α-β)] 3π = =1,∴2α-β=- 4 . 1-tan αtan?α-β? tan α+tan?α-β? 理网络·明结构 题型二 整体换元的思想在三角恒等变换中的应用 在三角恒等变换中,有时可以把一个代数式整体视为一 个“元”来参与计算和推理,这个“元”可以明确地设 出来(如例2令sin x-cos x=t). 理网络·明结构 例2 求函数y=sin x+sin 2x-cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x-cos x=t, 则由 t= ? π? 2sin?x-4?知 ? ? t∈[- 2, 2], 又sin 2x=1-(sin x-cos x)2=1-t2. ∴y=(sin x-cos x)+sin 2x=t+1-t2 ? 1?2 5 =-?t-2? +4. ? ? 理网络·明结构 1 5 当 t=2时,ymax=4; 当 t=- 2时,ymin=- 2-1. ? ∴函数的值域为?- ? 5? 2-1,4?. ? 理网络·明结构 跟踪训练2 求函数f(x)=sin x+cos x+sin x· cos x,x∈R的最值及 取到最值时x的值. 解 设sin x+cos x=t, 则 t=sin x+cos x= = ? 2? ? ? 2 2 ? sin x + cos x 2 2 ? ? π? 2sin?x+4?, ∴t∈[- ? ? 2, 2], ?sin x+cos x?2-1 t2-1 ∴sin x· cos x= = 2 . 2 理网络·明结构 ∴f(x)=sin x+cos x+sin x· cos x t2-1 1 即 g(t)=t+ 2 =2(t+1)2-1,t∈[- 2, 2]. 当t=-1,即sin x+cos x=-1时,f(x)min=-1. 2 此时,由 2, π 解得 x=2kπ-π 或 x=2kπ-2,k∈Z. 1 当 t= 2,即 sin x+cos x= 2时,f(x)max= 2+2. 理网络·明结构 ? π? sin?x+4?=- ? ? 此时,由 ? π? 2sin?x+4?= ? ? ? π? 2,sin?x+4?=1. ? ? π 综上, 当 x=2kπ-π 或 x=2kπ-2, k∈Z 时, f(x)取得最小值, f(x)min π 1 =-1;当 x=2kπ+4,k∈Z 时,f(x)取得最大值,f(x)max= 2+2. π 解得 x=2kπ+4,k∈Z. 理网络·明结构 题型三 转化与化归的思想在三角恒等变换中的应用 三角函数式的化简就是通过恒等变换化繁为简.其中切化弦、异名 化同名、异角化同角等方法均为转化与化归思想的运用;三角恒 等式的证明就是消除等式两边的差异,有目的的化繁为简,左右 归一或变更论证,也属转化与化归思想的应用. 理网络·明结构 例3 3 2sin x x 求证:tan 2x-tan 2= . cos x+cos 2x 3 sin x sin 2 3 x 证明 ∵左边=tan x-tan = - 2 2 3 cos x cos 2 3 3 x x sin 2xcos 2-sin 2cos 2x = 3 x cos 2cos 2x x 2 x 2 理网络·明结构 2sin x =1 = =右边. cos x+cos 2x ? cos 2 x + cos x ? 2 3 2sin x x ∴tan 2x-tan 2= . cos x+cos 2x sin x 理网络·明结构 2 sin 2 x + 2sin x ?π ? 3 17π 7π 跟踪训练 3 已知 cos?4+x?=5, 12 <x< 4 ,求 的值. ? ? 1-tan x 解 2sin2xcos x sin 2x+2sin2x sin 2x+ cos x = 1-tan x 1+tan x sin 2x?1+tan x? = 1-tan x =sin ?π ? 2x· tan?4+x?. ? ? 理网络·明结构 17π 7π 5π π ∵ 12 <x< 4 ,∴ 3 <x+4<2π, ?π ? 3 ?π ? 4 ? ? ? ? 又∵cos 4+x =5,∴sin 4+x =-5. ? ? ? ? ?π ? 4 ? ? ∴tan 4+x =-3. ? ? ∴cos ??π ? π? x=cos??4+x?-4? ? ?? ? ?π ? π π ? ? +x 4+sin?4 ?sin 4 ?π ? =cos

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