2019届高三数学二轮复习 冲刺提分作业 第四篇 考前冲刺 活用16个二级结论 理

2019 届高三数学二轮复习 冲刺提分作业 第四篇 考前冲刺 活用 16 个 二级结论 理
结论一 奇函数的最值性质 已知函数 f(x)是定义在区间 D 上的奇函数,则对任意的 x∈D,都有 f(x)+f(-x)=0.特别地,若
奇函数 f(x)在 D 上有最值,则 f(x)max+f(x)min=0,且若 0∈D,则 f(0)=0.

例 1 设函数 f(x)=

的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=

.

答案 2

解析 显然函数 f(x)的定义域为 R,

f(x)=

=1+

,

设 g(x)=

,

则 g(-x)=-g(x),

∴g(x)为奇函数,

由奇函数图象的对称性知 g(x)max+g(x)min=0, ∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2. 跟踪集训

1.已知函数 f(x)=ln(

A.-1

B.0

-3x)+1,则 f(lg 2)+f

C.1

D.2

=( )

2.对于函数 f(x)=asin x+bx+c(其中 a,b∈R,c∈Z),选取 a,b,c 的一组值计算 f(1)和 f(-1),所得 出的正确结果一.定.不.可.能.是.( )

A.4 和 6

B.3 和 1

C.2 和 4

D.1 和 2

结论二 函数周期性问题

已知定义在 R 上的函数 f(x),若对任意 x∈R,总存在非零常数 T,使得 f(x+T)=f(x),则称 f(x)

是周期函数,T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:

(1)如果 f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=2a.

(2)如果 f(x+a)= (a≠0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=2a. (3)如果 f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=2a. (4)如果 f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=6a.

例 2 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)+f(2 018)=( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1 答案 A

=-f(x),且 f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,则

解析 因为 f

=-f(x),所以 f(x+3)=-f

=f(x),所以 f(x)的周期为 3.

则有 f(1)=f(-2)=-1, f(2)=f(-1)=-1, f(3)=f(0)=2,所以 f(1)+f(2)+f(3)=0,

所以 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)+f(2 018)

=672×[f(1)+f(2)+f(3)]+f(1)+f(2)=-1-1=-2,故选 A.

跟踪集训

1.奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)=( )

A.-2 B.-1 C.0 D.1

2.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= A.-1 B.0 C.1 D.2 结论三 函数的对称性
已知函数 f(x)是定义在 R 上的函数.

则 f(100)=( )

(1) 若 f(a+x)=f(b-x) 恒 成 立 , 则 y=f(x) 的 图 象 关 于 直 线 x= f(a+x)=f(a-x)恒成立,则 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称;

对称,特别地,若

(2) 若 f(a+x)+f(b-x)=c, 则 y=f(x) 的 图 象 关 于 点 f(a+x)+f(a-x)=2b 恒成立,则 y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.

对称.特别地,若

例 3 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,不等式

f(ax+2)≤f(x-1)对任意 x∈ A.[-3,-1] B.[-2,0] C.[-5,-1] D.[-2,1] 答案 B

恒成立,则实数 a 的取值范围是( )

解析 由定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,可得函数图 象关于直线 x=1 对称,且函数 f(x)在(-∞,1)上递减,由此得出自变量离 1 越近,函数值越小.观察 四个选项,发现 0,1 不存在于 A,C 两个选项的集合中,B 中集合是 D 中集合的子集,故可通过验证 a 的值(取 0 与 1 时两种情况)得出正确选项.当 a=0 时,不等式 f(ax+2)≤f(x-1)变为 f(2)≤f(x-1), 由函数 f(x)的图象特征可得|2-1|≤|x-1-1|,解得 x≥3 或 x≤1,满足不等式 f(ax+2)≤f(x-1)对

任 意 x∈ 恒 成 立 , 由 此 排 除 A,C 两 个 选 项 . 当 a=1 时 , 不 等 式 f(ax+2)≤f(x-1) 变 为

f(x+2)≤f(x-1), 由函数 f(x)的 图象 特征 可得 |x+2-1|≤|x-1-1|, 解得 x≤ , 不 满足不 等式

f(ax+2)≤f(x-1)对任意 x∈ 跟踪集训

恒成立,由此排除 D 选项.综上可知,选 B.

1.若偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,f(3)=3,则 f(-1)=

.

2.函数 y=f(x)对任意 x∈R 都有 f(x+2)=f(-x)成立,且函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对

称,f(1)=4,则 f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为

.

结论四 反函数的图象与性质

若函数 y=f(x)是定义在非空数集 D 上的单调函数,则存在反函数 y=f -1(x).特别地,y=ax 与

y=logax(a>0 且 a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线 y=x 对称,即(x0, f(x0))与(f(x0),x0)分别在函数 y=f(x)与反函数 y=f -1(x)的图象上.
例 4 若 x1 满足 2x+2x=5,x2 满足 2x+2log2(x-1)=5,则 x1+x2=( )

A.

B.3

C.

D.4

答案 C

解析 因为 2x+2x=5,所以 x+2x-1= ,同理,x+log2(x-1)= ,令 t=x-1,则 x=t+1,即 t1 是 t+2t= 的 解,t2 是 t+log2t= 的解,且 t1=x1-1,t2=x2-1. 如图所示,t1 为函数 y=2t 与 y= -t 的图象交点 P 的横坐标,t2 为函数 y=log2t 与 y= -t 的图象交点 Q 的 横 坐 标 , 所 以 P(t1, ),Q(t2,log2t2), 所 以 P,Q 关 于 直 线 y=t 对 称 , 且

t1+t2=t1+ =t1+

= ,所以 x1+x2=t1+1+t2+1= +2= .故选 C.

跟踪集训

设点 P 在曲线 y= ex 上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( ) A.1-ln 2 B. (1-ln 2) C.1+ln 2 D. (1+ln 2) 结论五 两个经典不等式

(1)对数形式: ≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当 x=0 时,等号成立. (2)指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当 x=0 时,等号成立.

例 5 设函数 f(x)=1-e-x.证明:当 x>-1 时, f(x)≥ .





x>-1



,

f(x)≥

?x>-1,1-e-x≥

?1-

≥e-x(x>-1)?

≥ (x>-1)?x+1≤ex(x>-1). 当

x>-1 时,ex≥x+1 恒成立,所以当 x>-1 时, f(x)≥ . 跟踪集训

1.已知函数 f(x)=

,则 y=f(x)的图象大致为( )

2.已知函数 f(x)=ex,x∈R.证明:曲线 y=f(x)与曲线 y= x2+x+1 有唯一公共点.

结论六 三点共线的充要条件 设平面上三点 O,A,B 不共线,则平面上任意一点 P 与 A,B 共线的充要条件是存在实数 λ 与 μ ,

使得 =λ +μ ,且 λ +μ =1.特别地,当 P 为线段 AB 的中点时, = + . 例 6 已知 A,B,C 是直线 l 上不同的三个点,点 O 不在直线 l 上,则使等式 x2 +x + =0
成立的实数 x 的取值集合为( ) A.{-1} B.? C.{0} D.{0,-1} 答案 A

解析 ∵ = - ,

∴x2 +x + - =0,

即 =-x2 +(1-x) , ∴-x2+(1-x)=1, 解得 x=0 或 x=-1(x=0 舍去),∴x=-1. 跟踪集训

在梯形 ABCD 中,已知 AB∥CD,AB=2CD,M、N 分别为 CD、BC 的中点.若 =λ +μ ,则

λ +μ =

.

结论七 三角形“四心”向量形式的充要条件

设 O 为△ABC 所在平面上一点,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,则

(1)O 为△ABC 的外心?| |=| |=| |= . (2)O 为△ABC 的重心? + + =0. (3)O 为△ABC 的垂心? · = · = · .

(4)O 为△ABC 的内心?a +b +c =0. 例 7 已 知 A,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , 动 点 P 满 足
= [(1-λ ) +(1-λ ) +(1+2λ ) ],λ ∈R,则点 P 的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心 B.△ABC 的垂心 C.△ABC 的重心 D.AB 边的中点 答案 C 解析 取 AB 的中点 D,则 2 = + ,

∵ = [(1-λ ) +(1-λ ) +(1+2λ ) ],

∴ = [2(1-λ ) +(1+2λ ) ]

=

+

,



+

=1,∴P,C,D 三点共线,

∴点 P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.

跟踪集训

1.P 是△ABC 所在平面内一点,若 · = · = · ,则 P 是△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 2.O 是 平 面 上 一 定 点 ,A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

=

+λ ,λ ∈[0,+∞),则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 3.O 是 平 面 上 一 定 点 ,A,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

= +λ

,λ ∈[0,+∞),则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

结论八 等差数列

设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和. (1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+n? ap+aq=am+an(m,n,p,q∈N*). (2)ap=q,aq=p(p≠q)? ap+q=0.

(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成的数列是等差数列.

(4) = n+

是关于 n 的一次函数或常函数,数列 也是等差数列.

(5)Sn=

=

=

=….

(6)若等差数列{an}的项数为偶数 2m,公差为 d,所有奇数项之和为 S 奇,所有偶数项之和为 S 偶,

则所有项之和 S2m=m(am+am+1),S 偶-S 奇=md, =

.

(7)若等差数列{an}的项数为奇数 2m-1,所有奇数项之和为 S 奇,所有偶数项之和为 S 偶,则所有

项之和 S2m-1=(2m-1)am,S 奇=mam,S 偶=(m-1)am,S 奇-S 偶=am, =

.

(8)若 Sm=n,Sn=m(m≠n),则 Sm+n=-(m+n).

(9)Sm+n=Sm+Sn+mnd.

例 8 (1)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( )

A.3 B.4 C.5 D.6

(2)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1- =0,S2m-1=38,则 m=

.

答案 (1)C (2)10

解析

(1)∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,∴am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∴ 公 差 d=am+1-am=1, 由

Sn=na1+

·d=na1+

,



由①得 a1=

,代入②可得 m=5.

(2)由 am-1+am+1- =0 得 2am- =0,解得 am=0 或 2.

又 S2m-1=

=(2m-1)am=38,

显然可得 am≠0,所以 am=2,代入上式可得 2m-1=19,解得 m=10. 跟踪集训

1.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10=20,S20=50,则 S30=

.

2.一个等差数列的前 12 项和为 354,前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 32∶27,则数列的

公差 d=

.

结论九 等比数列

已知等比数列{an},公比为 q,前 n 项和为 Sn. (1)an=am·qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*). (2)若 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);反之,不一定成立. (3)a1a2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a3m,…成等比数列(m∈N*). (4)公比 q≠-1 时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(n∈N*).

(5)若等比数列的项数为 2n(n∈N*),公比为 q,奇数项之和为 S 奇,偶数项之和为 S 偶,则 =q.

(6){an},{bn}是等比数列,则{λ an}, ,{anbn}, 也是等比数列(λ ≠0, n∈N*).

(7)通项公式 an=a1qn-1= ·qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于 n 的指 数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.
(8)与等差中项不同,只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个, 它们互为相反数.

(9)三个数成等比数列,通常设为 ,x,xq;四个数成等比数列,通常设为 , ,xq,xq3.

例 9 (1)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 项和为( )

的前 5

A. 或 5 C.

B. 或 5 D.

(2)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 =( )

A.2

B.

C.

D.3

答案 (1)C (2)B

解析 (1)设数列{an}的公比为 q,若 q=1,则 S3=3,S6=6,9S3≠S6,与已知矛盾,故 q≠1.

所以有 解得 q=2.

=

,即 9=1+q3.

所以数列 是首项为 1,公比为 的等比数列,其前 5 项和为

= .故选 C.

(2) 由 已 知 =3, 得 S6=3S3, 因 为 S3,S6-S3,S9-S6 也 为 等 比 数 列 , 所 以 (S6-S3)2=S3(S9-S6), 则

(2S3)2=S3(S9-3S3),化简得 S9=7S3,从而 = = .故选 B.

跟踪集训

已 知 在 数 列 {an} 中 ,an=-4n+5, 等 比 数 列 {bn} 的 公 比 q 满 足 q=an-an-1(n≥2), 且 b1=a2, 则

|b1|+|b2|+…+|bn|=

.

结论十 多面体的外接球和内切球

1.长方体的体对角线长 d 与共顶点的三条棱的长 a,b,c 之间的关系为 d2=a2+b2+c2;若长方体外

接球的半径为 R,则有(2R)2=a2+b2+c2.

2.棱长为 a 的正四面体内切球半径 r= a,外接球半径 R= a. 例 10 (2017 安徽皖北协作区 3 月联考)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线(实线和虚 线)表示的是某几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为( )

A.24π B.29π C.48π D.58π 答案 B 解析 如图,在 3×2×4 的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥 A-BCD),其外接球即为长 方体的外接球,表面积为 4π R2=π (32+22+42)=29π .

跟踪集训

1.已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是 1,且其外接球的表面积是 16π ,则该三棱 柱的侧棱长为( )

A.

B.2 C.4 D.3

2.已知正三角形 ABC 的三个顶点都在半径为 2 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,点 E 是线

段 AB 的中点,过点 E 作球 O 的截面,则截面面积的最小值是( )

A.

B.2π C.

D.3π

结论十一 焦点三角形的面积公式

(1)在椭圆 + =1(a>b>0)中,F1,F2 分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,则△PF1F2 的面积 =b2·tan ,其中 θ =∠F1PF2.
(2)在双曲线 - =1(a>0,b>0)中,F1,F2 分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,则△PF1F2 的面



= ,其中 θ =∠F1PF2.

例 11 已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F1PF2= ,则椭圆和 双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )

A.

B.

答案 A

C.3 D.2

解析 设椭圆和双曲线的标准方程分别为 + =1(a>b>0)和 - =1(a1>0,b1>0,a>a1),它们

的半焦距为 c(c>0).根据焦点三角形面积公式可得:b2tan = ,∴b2=3 .又

消去

b2 和 得 a2+3 =4c2,∴ + =1,即

+

=1.设 =2cos θ , = sin θ ,则 + =2cos

θ + sin θ = sin 选 A. 跟踪集训

≤ ,因此椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ,故

如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共 点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( )

A.

B.

C. D.

结论十二 圆锥曲线的切线问题 1.过圆 C:(x-a)2+(y-b)2=R2 上一点 P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.

2.过椭圆 + =1 上一点 P(x0,y0)的切线方程为 + =1. 3.已知点 M(x0,y0),抛物线 C:y2=2px(p≠0)和直线 l:y0y=p(x+x0). (1)当点 M 在抛物线 C 上时,直线 l 与抛物线 C 相切,其中 M 为切点,l 为切线. (2)当点 M 在抛物线 C 外时,直线 l 与抛物线 C 相交,其中两交点与点 M 的连线分别是抛物线 的切线,即直线 l 为切点弦所在的直线. (3)当点 M 在抛物线 C 内时,直线 l 与抛物线 C 相离. 例 12 已知抛物线 C:x2=4y,直线 l:x-y-2=0,设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条 切线 PA,PB,其中 A,B 为切点,当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程.
解析 联立方程得

消去 y,整理得 x2-4x+8=0, Δ =(-4)2-4×8=-16<0,故直线 l 与抛物线 C 相离.
由结论知,P 在抛物线外,故切点弦 AB 所在的直线方程为 x0x=2(y+y0),即 y= x0x-y0. 跟踪集训
1.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0

2.设椭圆 C: + =1,点 P ,则椭圆 C 在点 P 处的切线方程为

.

结论十三 圆锥曲线的中点弦问题

1.在椭圆 E: + =1(a>b>0)中: (1)如图①所示,若直线 y=kx(k≠0)与椭圆 E 交于 A,B 两点,过 A,B 两点作椭圆的切线 l,l',

有 l∥l',设其斜率为 k0,则 k0·k=- . (2)如图②所示,若直线 y=kx 与椭圆 E 交于 A,B 两点,P 为椭圆上异于 A,B 的点,若直线 PA,PB

的斜率存在,且分别为 k1,k2,则 k1·k2=- . (3)如图③所示,若直线 y=kx+m(k≠0 且 m≠0)与椭圆 E 交于 A,B 两点,P 为弦 AB 的中点,设直

线 PO 的斜率为 k0,则 k0·k=- .

2.在双曲线 E: - =1(a>0,b>0)中,类比上述结论有: (1)k0·k= .

(2)k1·k2= .
(3)k0·k= .
例 13 已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点. 若 AB 的中点坐标为(1,-1),则椭圆 E 的方程为( )
A. + =1 B. + =1
C. + =1 D. + =1 答案 D 解析

如图所示,设 P(1,-1),则有 kAB·kOP=- .

即- =kFP·kOP= 跟踪集训

× =- ,即 a2=2b2,故选 D.

1.椭圆 C: + =1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P 在椭圆 C 上且直线 PA2 的斜率的取值范围是

[-2,-1],那么直线 PA1 的斜率的取值范围是

.

2.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的直线交椭圆 + =1 于 P,A 两点,其中 P 在第 一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k.对任意 k>0,求证:PA⊥PB.

结论十四 圆锥曲线中的一类定值问题

在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点 P(非顶点)与曲线上的两动点 A,B 满

足直线 PA 与 PB 的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线 AB 的斜率为定值.

图示

条件

结论

直线 AB 的斜率 kAB 为定值 已知椭圆 + =1(a>b>0),定点 P(x0,y0)(x0y0≠0)在
椭圆上,设 A,B 是椭圆上的两个动点,直线 PA,PB 的斜 .
率分别为 kPA,kPB,且满足 kPA+kPB=0.

直 线 AB 的 斜率 kAB 为定 值 已知双曲线 - =1(a,b>0),定点 P(x0,y0)(x0y0≠0)

在双曲线上,设 A,B 是双曲线上的两个动点,直线

PA,PB 的斜率分别为 kPA,kPB,且满足 kPA+kPB=0.

-.

已知抛物线 y2=2px(p>0),定点 P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛
物线上,设 A,B 是抛物线上的两个动点,直线 PA,PB 的 直线 AB 的斜率 kAB 为定值- .
斜率分别为 kPA,kPB,且满足 kPA+kPB=0.

例 14 已知抛物线 C:y2=2x,定点 P(8,4)在抛物线上,设 A,B 是抛物线上的两个动点,直线 PA,PB 的斜率分别为 kPA,kPB,且满足 kPA+kPB=0.证明:直线 AB 的斜率 kAB 为定值,并求出该定值.
解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),kPA=k, 则 kPB=-k(k≠0),又 P(8,4), 所以直线 PA 的方程为 y-4=k(x-8),

即 y=kx+4-8k, 联 立 方 程 得

消去 y 得

k2x2+(8k-16k2-2)x+(4-8k)2=0,8x1=

,得 x1=

,

同理可得 x2=

,x2-x1=

-

因为 y1=kx1+4-8k,y2=-kx2+4+8k,

= = ,x1+x2=

×2=

,

故 y2-y1=-k(x1+x2)+16k=-k× 率 kAB 为定值,且为- . 跟踪集训

+16k= ,故 kAB=

= =- ,所以直线 AB 的斜

已知椭圆 C: + =1,A 为椭圆上的定点,若其坐标为 A ,E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直 线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数.证明:直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值.

结论十五 圆锥曲线中的一类定点问题 若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.

(1)对于椭圆 + =1(a>b>0)上异于右顶点的两动点 A,B,以 AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),

则直线 lAB 过定点

.同理,当以 AB 为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线 lAB 过定点

.

(2)对于双曲线 - =1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点 A,B,以 AB 为直径的圆经过右顶点

(a,0),则直线 lAB 过定点

.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为

.

(3)对于抛物线 y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点 A,B,若 · =0,则弦 AB 所在直线过点

(2p,0).同理,抛物线 x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点 A,B,若 ⊥ ,则直线 AB 过定点(0,2p).

例 15 已知抛物线 y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点 A,B 满足以 AB 为直径的圆过顶点. 求证:AB 所在的直线过定点,并求出该定点的坐标. 解析 由题意知 lAB 的斜率不为 0(否则只有一个交点),故可设 lAB:x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),



消 去 x 得 y2-2pty-2pm=0, 从 而 Δ =(-2pt)2-4(-2pm)=4p2t2+8pm>0, 即

pt2+2m>0,



因为以 AB 直径的圆过顶点 O(0,0),所以 · =0,即 x1x2+y1y2=0,也即(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0,

把式①代入化简得 m(m-2p)=0,得 m=0 或 m=2p.

(1)当 m=0 时,x=ty,lAB 过顶点 O(0,0),与题意不符,故舍去; (2)当 m=2p 时,x=ty+2p,令 y=0,得 x=2p,所以 lAB 过定点(2p,0),此时 m=2p 满足 pt2+2m>0. 综上,lAB 过定点(2p,0). 跟踪集训

已知椭圆 + =1,直线 l:y=kx+m 与椭圆交于 A,B 两点(A,B 不是左、右顶点),且以 AB 为直径的 圆过椭圆的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.

结论十六 抛物线中的三类直线与圆相切问题
AB 是过抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F 的弦(焦点弦),过 A,B 分别作准线 l:x=- 的垂线,垂足分别 为 A1,B1,E 为 A1B1 的中点.
(1)如图①所示,以 AB 为直径的圆与准线 l 相切于点 E. (2)如图②所示,以 A1B1 为直径的圆与弦 AB 相切于点 F,且 EF2=A1A·BB1. (3)如图③所示,以 AF 为直径的圆与 y 轴相切.

例 16 过抛物线 y2=2px(p>0)的对称轴上一点 A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于 M,N 两点,
自 M,N 向直线 l:x=-a 作垂线,垂足分别为 M1,N1.当 a= 时,求证:AM1⊥AN1.
证明 证法一:如图所示,当 a= 时,点 A 为抛物线的焦点,l 为其准线 x=- ,由抛物线定 义得|MA|=|MM1|,|NA|=|NN1|,所以∠MAM1=∠MM1A,∠NAN1=∠NN1A.
因 为 MM1∥NN1, 故 ∠M1MA+∠N1NA=180°, 所 以 ∠MM1A+∠MAM1+∠NN1A+∠NAN1=180°, 所 以 ∠MAM1+∠NAN1=90°,即∠M1AN1=90°,故 AM1⊥AN1.

证法二:依题意,可设直线 MN 的方程为 x=my+a,M(x1,y1),N(x2,y2),则有 M1(-a,y1),N1(-a,y2).



消去 x,可得 y2-2mpy-2ap=0,

故 于是 x1+x2=m(y1+y2)+2a=2m2p+2a,③

x1·x2= · =

=a2.④

当 a= 时,点 A 为抛物线的焦点,l 为其准线 x=- ,此时 M1

,N1

,

由②可得 y1·y2=-p2.

因为 =(-p,y1), =(-p,y2),

故 · =0,即 AM1⊥AN1. 证法三:同证法二得 y1·y2=-p2.

因为 =- , =- ,故 · =-1,即 AM1⊥AN1. 跟踪集训
已知抛物线 C:y2=8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B 两点,若

· =0,则 k=

.

跟踪集训

答案精解精析 结论一 奇函数的最值性质

1.D ∵f(x)=ln(

-3x)+1, ①

∴f(-x)=ln(

+3x)+1, ②

①+②得 f(x)+f(-x)=ln(

-3x)+ln(

+3x)+2

=ln[(

-3x)·(

=ln(1+9x2-9x2)+2=2.

+3x)]+2

∴f(lg 2)+f

=f(lg 2)+f(-lg 2)=2.

2.D 令 g(x)=f(x)-c=asin x+bx,

则 g(x)是奇函数.

又 g(-1)+g(1)=f(-1)-c+f(1)-c=f(-1)+f(1)-2c,

而 g(-1)+g(1)=0,c 为整数,

∴f(-1)+f(1)=2c 为偶数.

1+2=3 是奇数,故不可能,选 D.

结论二 函数周期性问题

跟踪集训

1.D 由 f(x+2)是偶函数可得 f(-x+2)=f(x+2),又由 f(x)是奇函数得 f(-x+2)=-f(x-2),所以

f(x+2)=-f(x-2), f(x+4)=-f(x), f(x+8)=f(x), 故 f(x) 是 以 8 为 周 期 的 周 期 函 数 , 所 以

f(9)=f(8+1)=f(1)=1, 又 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 所 以 f(0)=0, 所 以 f(8)=f(0)=0, 故

f(8)+f(9)=1,故选 D.

2.C 当 x>0 时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),①

则 f(x+1)=f(x)-f(x-1),②

①+②得 f(x+1)=-f(x+2),即 f(x+3)=-f(x).

所以 f(x+6)=-f(x+3)=f(x),T=6.

故 f(100)=f(4)=-f(1)=f(-1)-f(0)=log22=1,故选 C.

结论三 函数的对称性 跟踪集训 1. 答案 3
解析 因为 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,所以 f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又 f(-x)=f(x),所 以 f(x)=f(4+x),则 f(-1)=f(4-1)=f(3)=3. 2. 答案 4
解析 因为函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以 f(x)是 R 上的奇函数,f(x+2)=-f(x), 所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故 f(x)的周期为 4.所以 f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以 f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f(2 014)=0,所以 f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.
结论四 反函数的图象与性质 跟踪集训
B 函数 y= ex和函数 y=ln(2x)互为反函数,它们的图象关于 y=x 对称,则只有直线 PQ 与直线 y=x

垂直 时,|PQ|才能 取得最小值 . 设 P

, 则 点 P 到直线 y=x 的距离 为 d=

,令

g(x)= ex-x(x>0),则 g'(x)= ex-1,令 g'(x)= ex-1>0,得 x>ln 2;令 g'(x)= ex-1<0,得 0<x<ln 2, 则 g(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增,所以当 x=ln 2 时 g(x)取得极小值,即

最小值,g(x)min= eln 2-ln 2=1-ln 2>0,所以 dmin=

.则|PQ|min=2dmin= (1-ln 2).故 B 正确.

结论五 两个经典不等式

跟踪集训

1.B 因为 f(x)的定义域为

即{x|x>-1 且 x≠0},所以排除选项 D.

令 g(x)=ln(x+1)x,则由经典不等式 ln(x+1)≤x 知,g(x)≤0 恒成立,故 f(x)= 排除 A,C,故选 B.

<0 恒成立,所以

2. 证明 令 g(x)=f(x)-

=ex- x2-x-1,x∈R,则 g'(x)=ex-x-1,

由经典不等式 ex≥x+1 恒成立可知,g'(x)≥0 恒成立,所以 g(x)在 R 上为单调递增函数,且 g(0)=0,

所以函数 g(x)有唯一零点,即两曲线有唯一公共点. 结论六 三点共线的充要条件
跟踪集训

答案

解 析 解 法 一 : 由 =λ +μ , 得 =λ · ( + )+μ · ( + ), 则

+

+

=0, 得

+

++

+

=0, 得

λ + μ -1 +

=0.

又因为 , 不共线,所以由平面向量基本定理得

解得
所以 λ +μ = . 解法二:如图,连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T.

由已知易得 AB= AT,

∴ = =λ +μ ,

∴ =λ +μ ,

∵T、M、N 三点共线,∴ λ + μ =1,

∴λ +μ = . 跟踪集训

结论七 三角形“四心”向量形式的充要条件

1.D 由 · = · , 可 得 ·( - )=0, 即 · =0,∴ ⊥ , 同 理 可 证

⊥ , ⊥ ,∴P 是△ABC 的垂心.

2.C 设 BC 的中点为 M,则

= ,则有 = +λ ,即 =λ ,∴P 的轨迹所在直线一

定通过△ABC 的重心.

3.B 解法一: 为 上的单位向量, 为 上的单位向量,则 + 的方向为∠BAC 的

平 分 线 的 方 向 . 又 λ ∈[0,+∞),∴λ

的方向与

+

的方向相

同. = +λ

,∴点 P 在 上移动.∴P 的轨迹一定要通过△ABC 的内心.故选 B.

解法二:由于 P 点轨迹通过△ABC 内一定点且该定点与 O 点位置和△ABC 的形状无关,故取 O 点与 A

点重合,由平行四边形法则很容易看出 P 点在∠BAC 的平分线上,故选 B.

跟踪集训 1. 答案 90
解析 S10=10a1+45d=20,① S20=20a1+190d=50,②

结论八 等差数列

由①②解得 d= ,
∴S30=S10+S20+10×20×d=20+50+200× =90. 2. 答案 5
解析 设等差数列的前 12 项中奇数项的和为 S 奇,偶数项的和为 S 偶,等差数列的公差为 d.由已

知条件,得

解得

又 S 偶-S 奇=6d,所以 d=

=5. 结论九 等比数列

跟踪集训

答案 4n-1

解析 q=a2-a1=-4,b1=-3,|bn|=|-3·(-4)n-1|=3·4n-1,

所以|b1|+|b2|+…+|bn|=3+3×4+3×42+…+3×4n-1=3×

=4n-1.

结论十 多面体的外接球和内切球

跟踪集训

1.A 因为该三棱柱外接球的表面积是 16π ,所以外接球的半径 R=2.又直三棱柱底面是等腰直角

三角形,直角边长是 1,故该三棱柱的侧棱长是

= ,故选 A.

2.C 由题意知,正三角形 ABC 的外接圆半径为

= ,则 AB=3,过点 E 的截面面积最小时,

截面是以 AB 为直径的圆面,截面面积 S=π × = .

跟踪集训

结论十一 焦点三角形的面积公式

D 设双曲线 C2 的方程为 - =1,则有 + = = =4-1=3.又四边形 AF1BF2 为矩形,所以焦点三

角形 AF1F2 的面积为 tan 45°=

,即 = =1.所以 = - =3-1=2.故双曲线的离心率

e= = = = .故选 D.

结论十二 圆锥曲线的切线问题

跟踪集训

1.A 如图,圆心坐标为 C(1,0),易知 A(1,1).

又 kAB·kPC=-1,且 kPC=

= ,∴kAB=-2.

故直线 AB 的方程为 y-1=-2(x-1),即 2x+y-3=0,故选 A.

2. 答案 x+2y-4=0

解析 由于点 P 跟踪集训

在椭圆 + =1 上,故切线方程为 + =1,即 x+2y-4=0. 结论十三 圆锥曲线的中点弦问题

1. 答案

解析 设 PA2 的斜率为 k2,PA1 的斜率为 k1,则 k1·k2=- =- ,又 k2∈[-2,-1],所以 k1∈ .

2. 证明 设 P(x0,y0),则 A(-x0,-y0),C(x0,0),kAC=

= ,又 kPA= =k,所以 kAC= ,由

kBA·kPB =- 知,kPB·kBA=kPB·kAC= ·kPB=- ,所以 kPB·k=-1,即 PA⊥PB. 结论十四 圆锥曲线中的一类定值问题
跟踪集训

解析 设直线 AE 的方程为 y=k(x-1)+ ,联立方程得

消去 y,整理得(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+4

-12=0,则 xE=

=

.①

同理,设直线 AF 的方程为 y=-k(x-1)+ ,

则 xF=

.②

所以 kEF=

=

= 跟踪集训

,将①②代入上式,化简得 kEF= . 结论十五 圆锥曲线中的一类定点问题

解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得

消去 y 得,(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,则有

Δ =(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)>0,即 m2<4k2+3,



因 为 以 AB 为 直 径 的 圆 过 椭 圆 的 右 顶 点 (2,0), 所 以 (x1-2,y1)·(x2-2,y2)=0, 即 x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,

即 x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0.把式①代入化简得 7m2+16km+4k2=0,得 m=-2k 或 m=- . (1)当 m=-2k 时,直线 l:y=kx-2k 过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;

(2)当 m=- 时,直线 l:y=kx- 过定点 ,且满足 m2<4k2+3,符合题意.所以 l:y=kx+m 过定点

.
跟踪集训 答案 2

结论十六 抛物线中的三类直线与圆相切问题

解析 如图所示,因为 · =0,所以 MA⊥MB,故点 M 在以 AB 为直径的圆上,又准线为 x=-2,

直线 AB 经过焦点 F(2,0),所以有 MF⊥AB,又 kMF=

=- ,所以 kAB=2.


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