2014届松江区高三数学一模试卷(理科含答案)

松江区 2013 学年度第一学期高三期末考试 数学(理科)试卷
一、填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若函数 f ( x) ? 2.若 4 ? 2
x x ?1

1 1 ( x ? 1) 的反函数为 f ?1 ( x) ,则 f ?1 ( ) ? x ?1 2
▲ . ▲ .





? 0 ,则 x ?

3. 某射击选手连续射击 5 枪命中的环数分别为: 9.7 ,9.9 , 10.1 ,

???? ??? ? 4. 如图, 正六边形 ABCDEF 的边长为 1 , 则 AC ? DB ?
S n ? 64 ,则 n ?
▲ .

10.2 , 10.1 ,则这组数据的方差为





5.已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 S n .若 a1 ? 1 , a3 ? 5 ,

6.将直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 绕着点 P(1, 2) 按逆时针方向 旋转 45? 后得到直线 l 2 ,则 l 2 的方程为 7.执行如图所示的程序框图,输出的 S = 8.记 a n 为(1 ? x)
n ?1

▲ ▲

. .

的展开式中含 x ▲

n ?1

项的系数,则

lim(
n ??

1 1 1 ? ?? ? ) ? a1 a2 an
2 2 2



9. 若圆 x ? y ? R ( R ? 0) 和曲线 个公共点,则 R 的值是 ▲ .

| x| | y| ? ? 1 恰有六 3 4

10.从 {1, 2,3, 4,5} 中随机选取一个数 a ,从 {1, 2,3} 中随 机选取一个数 b ,则关于 x 的方程 x ? 2ax ? b ? 0 有两个虚根的概率是
2 2





11.对于任意实数 x , x 表示不小于 x 的最小整数,如 1.2 ? 2, ?0.2 ? 0 .定义在 R 上 的函数 f ( x) ? x ? 2 x , 若集合 A ? y y ? f ( x ), ?1 ? x ? 0 , 则集合 A 中所有元素的和 为 ▲ .

?

?

x2 y 2 12.设 F1 , F2 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, P 是 C 上一点,若 a b
PF1 ? PF2 ? 6a ,且 ?PF1 F2 的最小内角为 30? ,则 C 的渐近线方程为
13.已知函数 f ( x) ? log a 1 ? x (a ? 0, a ? 1) ,若 x1 ? x2 ? x3 ? x4 , ▲ .

1

且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ,则

1 1 1 1 ? ? ? ? x1 x2 x3 x4
▲ .





14.设集合 A ? {1, 2,3,?, n} ,若 B ? ? 且 B ? A ,记 G ( B) 为 B 中元素的最大值与最小值 之和,则对所有的 B , G ( B) 的平均值=

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答 题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.某市共有 400 所学校,现要用系统抽样的方法抽取 20 所学校作为样本,调查学生课外 阅读的情况.把这 400 所学校编上 1~400 的号码,再从 1~20 中随机抽取一个号码,如果此 时抽得的号码是 6,则在编号为 21 到 40 的学校中,应抽取的学校的编号为 A .25 B.26 C.27 D.以上都不是
a b ? b a

16.已知 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1,则下列不等式中,正确的是 A. log 2 a ? 0 17.已知函数 f ( x) ? 为 B. 2
a ?b

1 ? 2
m

C. log 2 a ? log 2 b ? ?2 的图像关于直线 x ?

D. 2

?

1 2

2sin x

?
8

cos 2 x cos x

对称,则 f ( x) 的单调递增区间

3? ? ? 3? B. [k? ? , k? ? , k? ? ] ( k ? Z ) ] (k ? Z ) 8 8 8 8 3? ? ? 3? C. [2k? ? D. [2k? ? , 2k? ? , 2 k? ? ] ( k ? Z ) ] (k ? Z ) 4 4 4 4 18.已知实数 a ? 0, b ? 0 ,对于定义在 R 上的函数 f ( x) ,有下述命题:
A . [ k? ? ①“ f ( x) 是奇函数”的充要条件是“函数 f ( x ? a) 的图像关于点 A(a,0) 对称” ; ②“ f ( x) 是偶函数”的充要条件是“函数 f ( x ? a) 的图像关于直线 x ? a 对称” ; ③“ 2a 是 f ( x) 的一个周期”的充要条件是“对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? a) ? ? f ( x) ” ; ④ “函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图像关于 y 轴对称”的充要条件是“ a ? b ” 其中正确命题的序号是 A.①② B.②③ C.①④ D.③④

2

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 已知集合 A ? {x x ? 1 ? 1} , B ? {x x ? 4ax ? 3a ? 0, a ? 0}
2 2

(1)当 a ? 1 时,求集合 A ? B ; ⑵若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分

x2 ? y 2 ? 1的左焦点 F1 的直线 l 交椭圆于 A 、 B 两点. 2 ???? ???? ⑴求 AO ? AF1 的范围; ??? ? ??? ? ⑵若 OA ? OB ,求直线 l 的方程.
过椭圆

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 如图,相距 200 海里的 A、B 两地分别有救援 A 船和 B 船.在接到求救信息后,A 船能 立即出发,B 船因港口原因需 2 小时后才能出发,两船的航速都是 30 海里/小时.在同时收 到求救信息后, A 船早于 B 船到达的区域称为 A 区, 否则称为 B 区. 若在 A 地北偏东 45? 方 向,距 A 地 150 2 海里处的 M 点有一艘遇险船正以 10 海里/小时的速度向正北方向漂移. ⑴求 A 区与 B 区边界线(即 A、B 两船能同时到达的点的轨迹)方程; ⑵问: ①应派哪艘船前往救援? ②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇? (精确到 0.1 小时)

3

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小 题满分 6 分 已知函数 f ( x) ? x ? ( x ? 1) | x ? a | .
2

⑴若 a ? ?1 ,解方程 f ( x) ? 1 ; ⑵若函数 f ( x) 在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; ⑶是否存在实数 a ,使不等式 f ( x) ? 2 x ? 3 对一切实数 x ? R 恒成立?若存在,求出 a 的取 值范围,若不存在,请说明理由.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分 对于数列 { An } : A1 , A2 , A3 ,?, An ,若不改变 A1 ,仅改变 A2 , A3 ,?, An 中部分项的符号, 得到的新数列 {an } 称为数列 { An } 的一个生成数列.如仅改变数列 1, 2,3, 4,5 的第二、三项的 符号可以得到一个生成数列 1, ?2, ?3, 4,5 . 已知数列 {an } 为数列 { ⑴写出 S 3 的所有可能值; ⑵若生成数列 {an } 满足: S3n ?
?

1 }(n ? N ? ) 的生成数列, S n 为数列 {an } 的前 n 项和. n 2 1 1 (1 ? n ) ,求 {an } 的通项公式; 7 8

⑶证明:对于给定的 n ? N , S n 的所有可能值组成的集合为:

{x | x ?

2m ? 1 , m ? N ? , m ? 2n ?1} . n 2

4

松江区 2013 学年度第一学期高三期末考试 数学(理科)试卷参考答案
2014.1

一、填空题 1. 3 3.0.032 5.8 7.102 9. 3 11.-4 13.2 二、选择题 15.B 16. C
三、解答题 19.解:

2. 1 3 4. ? 2 6. y ? 2 8. 2 1 10. 5 12. y ? ? 2 x 14. n ? 1

17.A

18.A

(1)由 x ? 1 ? 1 , 得 0 ? x ? 2 ,所以 A ? [0, 2] ?? 2 分 当 a ? 1 时, B ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0} ? x 1 ? x ? 3 ,????????? 4 分
2

?

?

∴ A ? B ? [1, 2]

(2) ? a ? 0 , ∴ B ? ?a,3a ?, 若 A ? B ? B ,则 B ? A , ∴?

????????? 6 分 ?????????7 分 ????????? 8 分

?a ? 0 ?3a ? 2

即 a ? [0, ]

2 3

?????????12 分

20.

2 , b ? 1, c ? 1 ∴ F1 (?1,0) , ???? ???? 2 2 设 A( x1 , y1 ) ,则 AO ? AF1 ? x1 ? x1 ? y1
解: (1)易知 a ?
2

?????1 分 ????????? 3 分

x1 2 ? y1 ? 1 2 ???? ???? 1 2 1 1 2 2 2 ∴ AO ? AF1 ? x1 ? x1 ? y1 ? x1 ? x1 ? 1 ? ( x1 ? 1) ? ??????5 分 2 2 2 ???? ???? 1 ∵ x1 ? [? 2 , 2 ] ∴ AO ? AF1 ? [ , 2 ? 2] , ????????? 6 分 2

5

(2)设 A 、 B 两点的坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )

??? ? ??? ? 1 2 2 ) 、 B(?1, ? ) ,此时 OA ? OB ? ? 0 ??8 分 2 2 2 ②当 l 不平行于 y 轴时,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 方程为 y ? k ( x ? 1) , ? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 得 ( 1? 2 9分 k2 x )2 ? 4 k 2 x? 2 k2 ? 2 ? ??????? 0 2 ? y ? 1 ? ? 2 4k 2 2k 2 ? 2 , ??????? 11 分 x1 ? x2 ? ? x x ? 1 2 2 2 1 ? 2 k 1 ? 2 k ??? ? ??? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2
①当 l 平行于 y 轴时,点 A( ?1,

2k 2 ? 2 4k 2 2 ?k ? ? k2 ? 0 = (1 ? k ) ? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 故所求的直线方程为 y ? ? 2( x ? 1)
2



k 2 ? 2 , k ? ? 2 ???? 13 分
???? 14 分

21. 解:⑴设点 P 为边界线上的点,由题意知

PA PB ? ? 2 ,即 PA ? PB ? 60 , 30 30
??? ????? 3 分
2 2

即动点 P 到两定点 A 、 B 的距离之差为常数, ∴点 P 的轨迹是双曲线中的一支。 由 2c ? 200, 2a ? 60 得 a ? 30 , b ? 100 ? 30 ? 9100
2

x2 y2 ? ? 1( x ? 0 ) ??????? 6 分 900 9100 ⑵① M 点的坐标为 M (50,150) , A 点的坐标为 A(?100, 0) , B 点的坐标为 B(100,0) ,∴
∴方程为

MA ? 150 2 ? 212.1 , MB ? 502 ? 1502 ? 158.1 ,

MA ? MB ?? 212.1 ? 158.1 ? 54 ? 60 ,∴点 M 在 A 区,又遇险船向正北方向漂移, ,即
遇险船始终在 A 区内,∴应派 A 船前往救援 ???????8 分

②设经 t 小时后, A 救援船在点 N 处与遇险船相遇。在 ?AMN 中, AM ? 150 2 , ??????? 9 分 MN ? 10t , AN ? 30t , ?AMN ? 135? ∴ (30t ) ? (10t ) ? (150 2) ? 2 ?10t ?150 2 cos135?
2 2 2

整理得 4t ? 15t ? 225 ? 0 ,
2

15 ? 15 17 15 ? 15 17 ? 9.606 或 t ? (舍) 8 8 ∴A 救援船需 9.6 小时后才能与遇险船相遇.
解得 t ? 22. 解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ? ( x ? 1) | x ? 1| , 故有,
2

??????? 13 分 ???????14 分

? 2 x 2 ? 1, x ? ?1 f ( x) ? ? , ???????2 分 x ? ?1 ? 1, 2 当 x ? ?1 时,由 f ( x) ? 1 ,有 2 x ? 1 ? 1 ,解得 x ? 1 或 x ? ?1 ???????3 分
6

当 x ? ?1 时, f ( x) ? 1 恒成立 ∴ 方程的解集为 {x | x ? ?1或x ? 1} (2) f ( x ) ? ?

???????4 分 ???????5 分 , ???????7 分

? 2 x 2 ? (a ? 1) x ? a, x ? a ?(a ? 1) x ? a, x?a

若 f ( x) 在 R 上单调递增,则有

? a ?1 ?a 1 ? , 解得, a ? ? 4 3 ? ? a ?1 ? 0 1 ∴ 当 a ? 时, f ( x) 在 R 上单调递增 3 (3)设 g ( x) ? f ( x) ? (2 x ? 3)

???????9 分

?????10 分

?2 x 2 ? (a ? 3) x ? a ? 3, x ? a 则 g ( x) ? ? ???????11 分 x?a ? (a ? 1) x ? a ? 3, 不等式 f ( x) ? 2 x ? 3 对一切实数 x ? R 恒成立,等价于不等式 g ( x) ? 0 对一切实数 x ? R 恒成立. 2 2 ①若 a ? 1 ,则 1 ? a ? 0 ,即 ,此时 x0 ? (??, a) ? 0 ,取 x0 ? 1? a 1? a 2 2 g ( x0 ) ? g ( ) ? (a ? 1) ? ? a ? 3 ? 1? a ? 0 , 1? a 1? a 2 即对任意的 a ? 1 ,总能找到 x0 ? ,使得 g ( x0 ) ? 0 , 1? a ∴不存在 a ? 1 ,使得 g ( x) ? 0 恒成立. ???????12 分
②若 a ? 1 , g ( x ) ? ?

? 2 x 2 ? 4 x ? 4, x ? 1 ? 2, x ?1

, g ( x) 值域 [2, ??) , ???????13 分
2

所以 g ( x) ? 0 恒成立. ③若 a ? 1 ,

当 x ? (??, a) 时, g ( x) 单调递减,其值域为 (a ? 2a ? 3, ??) , 由于 a ? 2a ? 3 ? (a ? 1) ? 2 ? 2 ,所以 g ( x) ? 0 成立.
2 2

当 x ? [a, ??) 时,由 a ? 1 ,知 a ? 令 g(

a?3 a?3 , g ( x) 在 x ? 处取最小值, 4 4

a?3 (a ? 3) 2 ) ? a ?3? ? 0 ,得 ?3 ? a ? 5 ,又 a ? 1 ,所以 ?3 ? a ? 1 ??15 分 4 8 综上, a ?[?3,1] . ???????16 分
23.

1 1 ? , | an |? n (n ? N , n ? 2) , 2 2 1 1 ∴ a2 ? ? , a3 ? ? ??????????????2 分 4 8
(1)由已知, a1 ?
7

1 1 1 7 1 1 1 5 1 1 1 3 1 1 1 1 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? 2 4 8 8 2 4 8 8 2 4 8 8 2 4 8 8 1 3 5 7 ∴ S 3 可能值为 , , , . ???????4 分 8 8 8 8
由于 (2)∵ S3n ?

1 1 (1 ? n ) , 7 8

1 1 1 ???????5 分 (1 ? ) ? , 7 8 8 1 1 1 1 1 当 n ? 2 时, a3n ?2 ? a3n ?1 ? a3n ? S3n ? S3n ?3 ? (1 ? n ) ? (1 ? n ?1 ) ? n ??6 分 7 8 7 8 8
当 n ? 1 时, a1 ? a2 ? a3 ? S3 ? ∵ {an } 是 ?

?1? (n ? N ? ) 的生成数列 n ? ?2 ?

1 ; 2 2 23 n 1 1 1 1 1 ? ∴ a3n ?2 ? a3n ?1 ? a3n ? ? 3n ?2 ? 3n ?1 ? 3n ? n (?4 ? 2 ? 1) ? n (n ? N ), ??8 分 2 2 2 8 8
∴ a3n ? 2 ? ?
3n ? 2

1

; a3n ?1 ? ?

1

3 n ?1

; a3n ? ?

在以上各种组合中, 当且仅当 a3n ?2 ?

4 2 1 , a3n ?1 ? ? n , a3 n ? ? n (n ? N ? ) 时,才成立。?????9 分 n 8 8 8

? 1 , n ? 3k ? 2 ? ? 2n ,k ? N? ∴ an ? ? ?? 1 , n ? 3k ? 2 ? ? 2n
(3)证法一:用数学归纳法证明:

??????10 分

1 ,命题成立。 ????????????11 分 2 ②假设 n ? k (k ? 1) 时命题成立,即 S k 所有可能值集合为: 2m ? 1 {x | x ? , m ? N ? , m ? 2k ?1} k 2 2m ? 1 由假设, S k = ????????????13 分 (m ? N ? , m ? 2k ?1 ) 2k 2k ?1 Sk ? 1 1 1 1 1 1 1 则当 n ? k ? 1 , Sk ?1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? k ? k ?1 ? Sk ? k ?1 ? 2 2 2 2 2 2 2k ?1 2k ?1 Sk ? 1 2(2m ? 1) ? 1 (m ? N ? , m ? 2k ?1 ) ????????????15 分 Sk ?1 ? ? k ?1 k ?1 2 2 2 ? (2m ? 1) ? 1 2 ? (2m) ? 1 (m ? N ? , m ? 2k ?1 ) 即 Sk ?1 ? 或 Sk ?1 ? k ?1 k ?1 2 2
① n ? 1 时, S1 ?
8

即 Sk ?1 ?

2m ? 1 (m ? N ? , m ? 2k ) 2k ?1
?

∴ n ? k ? 1 时,命题成立

??17 分

由①②, n ? N , S n 所有可能值集合为 {x | x ?

2m ? 1 , m ? N ? , m ? 2n?1} 。??18 分 n 2

证法二:

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 共有 2n?1 种情形。 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n 2 2 2 2 2 2 2 2 n 1 2 ?1 即 n ? Sn ? ????????????12 分 2 2n 2n ?1 ? 2n ?1 ? 2n ?3 ? ? ? 1 1 x 2n ? 1 ? ? n 的奇数 x 共有 又 Sn ? ,分子必是奇数,满足条件 2n 2n 2n 2 n ?1 ????????????14 分 2 个。 设数列 {an } 与数列 {bn } 为两个生成数列,数列 {an } 的前 n 项和 S n ,数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ,从第二项开始比较两个数列,设第一个不相等的项为第 k 项。 1 由于 | ak |?| bk |? k ,不妨设 ak ? 0, bk ? 0 ,则 2 1 1 1 1 Sn ? Tn ? (ak ? ak ?1 ? ? ? an ) ? (bk ? bk ?1 ? ? ? bn ) ? 2 ? k ? 2 ? ( k ?1 ? k ? 2 ? ? ? n ) 2 2 2 2 1 1 1 1 ? 2 ? k ? 2 ? ( k ? n ) ? n ?1 ? 0 2 2 2 2 所以,只有当数列 {an } 与数列 {bn } 的前 n 项完全相同时,才有 Sn ? Tn 。?????16 分 1 1 1 1 n ?1 ∴ Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n 共有 2 种情形,其值各不相同。 2 2 2 2 1 3 5 2n ? 1 n ?1 ∴ S n 可能值必恰为 n , n , n ,? , n ,共 2 个。 2 2 2 2 2k ? 1 即 S n 所有可能值集合为 {x | x ? , k ? N ? , k ? 2n?1} ??????????18 分 n 2 Sn ?

9


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