平面向量与三角形四心的相关问题研究


2013 届高三理科数学研究性学习(20) 专题:平面向量与三角形四心的相关问题研究
一、三角形四心概念及其简单性质 1. 定义:我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆 心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边 上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角 形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”. 2. 应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相 等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的 连线垂直于该顶点的对边. 二、问题研究 问题 1:已知点 G 是 ?ABC 内任意一点,请写出你所知道的结论

问题 2:已知点 G 是 ?ABC 内任意一点,点 M 是 ?ABC 所在平面内一点.试分别根据下列 条件判断 G 点可能通过 ?ABC 的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”). (1) (2003 年全国高考题)若存在常数 ? ,满足 MG ? MA ? ? ( G 通过 ?ABC 的_____ (2) 若点 D 是 ?ABC 的底边 BC 上的中点,满足 GD GB ? GD GC ,则点 G 通过 ?ABC 的 __________. ( 3 )若存在常数 ? , 满足 MG ? MA? ? (

AB AB

?

AC AC

)(? ? 0) ,则点

AB AB sin B

?

)(? ? 0), 则点 G 通过 AC sin C

AC

?ABC 的__________.

(4)若存在常数 ? ,满足 MG ? MA ? ? (

AB AB cos B

?

AC AC cos C

)(? ? 0) ,则点 G 通过

?ABC 的__________.
【提示语】以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉 平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉. 第四题的变式研究: 若 O 点是 ?ABC 内的外心, H 点是 ?ABC 的垂心,且 OH ? m(OA ? OB ? OC) ,求实数 m 的值.

总结:关于三角形“四心”的向量表达式,若 P 点为 ?ABC 内任意一点,若 P 点满足:

? AB AC ? ), ? ? 0 ? AP ? ? ( AB AC ? ? 1. ? ? P为 ABC的内心 ; BA BC ? BP ? t ( ? ),t ? 0 ? BA BC ? ?
2. D、E 两点分别是 ?ABC 的边 BC、CA 上的中点,且

? ? DP PB ? DP PC ? P为 ABC的外心 ; ? ? ? EP PC ? EP PA
1 ? AP ? ( AB ? AC ), ? ? 3 ? P为 ABC的重心 ; 3. ? 1 ? BP ? ( BA ? BC ), ? 3 ?
4. ?

? ? AP BC ? 0 ? ? BP AC ? 0

? P为 ABC的垂心 .


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