2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案:1.3.2奇偶性课堂导学案(含答案)

1.3.2 奇偶性 课堂导学 三点剖析 一、函数的奇偶性概念 【例 1】 判断下列论断是否正确: (1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为奇函数; (2)如果一个函数为偶函数,则它的定义域关于坐标原点对称; (3)如果一个函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数为偶函数. 思路分析:通过本题的研究,深刻理解函数的奇偶性的内涵. 解: (1)一个函数的定义域关于原点对称,是一个函数成为奇偶函数的必要条件,还必须要 看 f(-x)与-f(x)是否相等,故(1)是错误的, (2) (3)正确. 二、函数奇偶性的判断 【例 2】 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= x ? 1 + 1 ? x ; (2)f(x)= x2 ? 1 + 1 ? x2 ; (3)f(x)= |x| ; x a (a≠0); x (4)f(x)=kx+b(k≠0); (5)f(x)=x+ 2 (6)f(x)=ax +bx+c(a≠0). 解:(1)由 ? 函数. (2)由 ? 2 ? ? x ? 1 ? 0, 2 得 x =1, 函数定义域为{x|x=±1}.f(x)=0,f(-x)=f(x)且 f(-x)=-f(x). 2 ? 1 ? x ? 0 , ? ? x ? 1 ? 0, 得 x=1,函数定义域为{x|x=1}.定义域不关于原点对称,为非奇非偶 ?1 ? x ? 0 函数是既奇又偶函数. (3)函数定义域为{x|x≠0}且 f(-x)= | ?x | =-f(x).f(x)为奇函数. ?x (4)函数定义域为 R,当 b=0 时,f(-x)=-f(x),为奇函数;当 b≠0 时,为非奇非偶函 数. (5)函数定义域为{x|x≠0},且 f(-x)=-x- a =-f(x).函数为奇函数. x (6)函数定义域为 R,当 b=0 时,f(-x)=f(x)为偶函数;b≠0 时,为非奇非偶函数. 温馨提示 1.判断函数奇偶性的步骤:先看定义域是否关于原点对称;再看 f(-x)与 f(x)的关系, 即 f(-x)=±f(x)或 f(-x)±f(x)=0. 也可以通过图象是否关于原点、y 轴对称来判断. 2.若定义域关于原点对称,且 f(x)=0,则函数是既奇又偶的函数. 3.一次函数 y=kx+b 为奇函数 b=0. 2 4.二次函数 y=ax +bx+c 为偶函数 b=0. 【例 3】 已知函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x(1+ 3 x ),求: (1)f(-8); (2)x<0 时,f(x)的解析式. 思路分析:已知条件中的解析式是 x>0,f(x)=x(1+ 3 x ),所求的 f(-8)、x<0 时的 f(x)最终 要利用奇偶性化归为 f(8)、f(-x)来表示. 解:由于函数是定义在 (-∞ ,+∞ )上的奇函数,因此对于任意的 x 都有 f(-x)=-f(x), 即 f(x)=-f(-x). (1)f(-8)=-f(8),f(8)=8(1+ 3 8 )=8×(1+2)=24, ∴f(-8)=-f(8)=-8(1+ 3 8 )=-8(1+2)=-24. (2)当 x<0 时,f(x)=-f(-x). ∵-x>0,f(-x)=-x(1+ 3 ? x )=-x(1- 3 x ), ∴f(x)=-[-x(1- 3 x )]=x(1- 3 x ). 三、函数奇偶性的应用举例 【例 4】 已知 f(x)是偶函数,而且在(0,+∞)上是减函数,判断 f(x)在(-∞,0)上是增函数 还是减函数,

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