福州一中2014-2015学年第二学期高三质检理科数学试卷

福州一中高三质检理科数学试卷(2015 年 2 月)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 z ? A.第一象限 2.若集合 M A. ? 3. 下列命题中错误 的是 ..
2

2i 的共轭复数对应的点位于 i ?1
B.第二象限
?t

( D.第四象限

)

? x x ? 2 , t ?R?, N ? ?y y ? sin x, x ? R?,则 M
B. ? 0,1? C. ??1,1?

?

C.第三象限

N?

(

)

D. ? ?1,0? ( )

A.命题“若 x2 ? 5x ? 6 ? 0, 则 x ? 2 ”的逆否命题是“若 x ? 2, 则 x ? 5x ? 6 ? 0 ” ; B. ?ABC 中,“ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件; C.已知命题 p 和 q, 若 p ? q 为假命题,则命题 p 与 q 中必一真一假; D.对于命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0, 则? p: ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 .
2

4. 等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,且 4a1 ,2a2 , a3 成等差数列,若 a1 ? 1, 则 S 4 ? A. 7 B. 8 C. 15 D. 16

(

)

5.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? 图所示,则下列关于函数 f ( x ) 的说法中正确的是 A. 最小正周期是 ? C. ? ? ? B. 对称轴方程是 x ? D.对称中心是 (? (

?
2

y
1
x
?

)的图象如 )

?
6

O

?
3

? 2k? (k ? Z)

5? 6

?
6

?
6

? k? , 0)(k ? Z) 31 ,则判断 32

6.已知函数 f ( x) ? x2 ? x ,执行如图的程序框图,若输出的结果是 框中的条件应是( A. n ? 30? ) B. n ? 31? C. n ? 32?

D. n ? 33?

7.已知 (1 ? 2x)2015 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? 则

? a2015 x2015 ( x ? R) ,
( D. 2 )

8.关于直线 m 、 n 与平面 ?

a1 a2 a3 ? ? ? 2 2 2 23 A. ? 1

?

a 2015 的值是 22015 B. ? 2

C. 1 、 ? ,有下列四个命题:

①若 m ∥ ? , n ∥ ? 且 ? ∥ ? ,则 m ∥ n ; ②若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; ③若 m ? ? , n ∥ ? 且 ? ∥ ? ,则 m ? n ; ④若 m ∥ ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ∥ n .

1

则其中真命题的是 A.①② B.③④ 9.过双曲线

( C.①④ D.②③

)

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于 A, B 两 a 2 b2
( )

点, 左顶点 C 在以 AB 为直径的圆外, 则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 A. ?1, ?

? 3? ? 2?

B. (1, 2)

C. ?

?3 ? , ?? ? ?2 ?

D. (2, ??)

10. 定义域为 ? a, b? 的函数 y ? f ( x) 图象的两个端点为 A, B , 向量 ON ? ? OA ? (1 ? ? ) OB ,

M ( x, y ) 是 f ( x) 图象上任意一点,其中 x ? ? a ? (1? ?) b, ? ??0,1? . 若不等式 MN ? k
恒成立, 则称函数 f ( x ) 在 ? a, b? 上满足“ k 范围线性近似”, 其中最小的正实数 k 称为该函数的 线性近似阀值. 下列定义在 ?1, 2? 上函数中,线性近似阀值最小的是 A. y ? x
2

(

)

B. y ?

2 x

C. y ? x ?

1 x

D. y ? sin

?
3

x

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填写在相应的位置上. 11. 如图,长方形的四个顶点为 O(0,0), A(4,0) , B ( 4,2), C (0,2) ,曲线 则质点落在图中阴 y ? x 经过点 B, 现将一质点随机投入长方形 OABC 中, 影区域的概率是 .

?x ? y ? 6 ? 0 ? 12. 已知实数 x, y 满足 ? x ? 2 ? 0 且 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? 8 ,则常数 r 的值 ?x ? y ? r ? 0 ?
为 .

13. 已知动点 P( x , y) 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,若 A 点坐标为 (3 , 0) , AM ? 1 ,且 25 16


PM ? AM ? 0 ,则 PM 的最小值是

? ln x 0 ? x ? 10 ? 14. 已知函数 f ( x) ? ? 1 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? a (a ? R) 恰有 2 ? ? x ? 5 x ? 24 x ? 10 ? 4
三个互不相等的实数根 x1 , x2 , x3 ,则 x1 x2 x3 的取值范围是 .

2

15. 定义空间两个向量的一种运算 a ? b ? a ? b sin ? a, b ? ,则关于空间向量上述运算的 以下结论中: ①a ?b ? b?a , ② ? (a ? b) ? (?a) ? b , .

③ (a ? b) ? c ? (a ? c) ? (b ? c) , ④若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , 则 a ? b? xy y1 1 2? x2 恒成立的是 (填上你认为是正确的结论的序号) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cosC. (I)求角 B 的大小; (Ⅱ) 若 | BA ? BC |? 2, 求?ABC 的面积的最大值. 17. (本小题满分 13 分) 在“和平使命-2014”反恐军事演习中,某国同时出动了甲、乙、丙三架战机对同一目

3 ;甲、丙同时轰炸 4 1 1 一次,目标未被击中的概率是 ;乙、丙同时轰炸一次,都击中目标的概率是 . 12 3
标进行轰炸,战机是否命中之间没有互相影响。已知甲命中的概率是 (I)求乙、丙各自击中目标的概率; (Ⅱ) 甲、乙、丙各轰炸目标一次,求目标被击中的次数的分布列及期望. 18. (本小题满分 13 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示 , 其正视图为矩形 ,侧视图为等腰直角 三角形,俯视图为直角梯形. (Ⅰ) 证明:平面 CBN ⊥平面 C1B1 N ; (Ⅱ) 求四面体 C1 ? CNB1 的体积;

(III)试探究在 CB 上是否存在一点 P ,使得直线 C1 N 与平面 PB1 N 所成的角的正弦值为

2 6 ?若存在,求出 BP 的长;若不存在,请说明理由. 9
4

C

C1

8
正视图

侧视图

B A

B1 N

4 4
俯视图
3

19. (本题满分 13 分) 已知抛物线 G 的顶点在原点, 焦点在 y 轴正半轴上, 点 P(m , 4) 到其准线的距离等于 5 . (Ⅰ )求抛物线 G 的方程; (Ⅱ ) 如图,过抛物线 G 的焦点的直线 l 依次与抛物线 G 及圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1交于 A, C , D, B 四点. (1) 如果线段 AC , CD, DB 的长按此顺序构成一个等差数列,求直线 l 的方程; (2)过 A、B 分别作抛物 G 的切线 l1 , l 2 , 且l1 , l 2 交于点 M , 求 ?ACM与?BDM 面积之和的最小值. 20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax , g ( x) ? ln x ,其中 a ? R . (Ⅰ )若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 有极值 1 ,求 a 的值; (Ⅱ )若函数 G( x) ? f ?sin(1 ? x)? ? g ( x) 在区间 (0 , 1) 上为增函数,求 a 的取值范围; (III)证明: sin

1 1 1 ? sin 2 ? sin 2 ? 2 2 3 4

? sin

1 ? ln 2 . (n ? 1) 2

21.本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分。 如果多做,则按所做的前面两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卷上把所选题目对应的 题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入方框中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知向量 ?

?1 ? 1? ? 在矩阵 M ? ? ?0 ? ? 1? ?
2

m? ? 0? ? 变换下得到的向量是 ? ? ? ? 1? ?. 1? ? ?
?1

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)求曲线 y ? x ? y ? 0 在矩阵 M 对应的线性变换作用下得到的曲线方程.

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴. 已知点 P 的直角坐标为 (1,?5) , 点 M 的极坐标为 (4,

?
2

) .若直线 l 过点 P ,且倾斜角为

? ,圆 C 以 M 为圆心,半径为 4 . 3

(Ⅰ )求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ )试判定直线 l 和圆 C 的位置关系. (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知不等式 | 2 x ? a |? 3 的解集为 (Ⅰ)求 a 的值;

? ?1, 2? .

(Ⅱ)若 x ? m ? a, 求证: x ? m ? 1 .

4


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