最新高三教案-高三数学复习排列与组合的综合问题 精品

§10.4 排列与组合的综合问题 一、 解题思路: 解排列组合问题,要正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其 次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法: 特殊优先法: 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的 东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先 法。 科学分类法:对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进 行科学分类,以便有条不紊地进行解答,避免重复或遗漏现象发生 插空法:解决一些不相邻问题时,可以先排一些元素然后插入其余元素,使问题得以解 决 捆绑法:相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一 个”元素进行排列,然后再局部排列 排列组合的综合问题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系,从 而增加了问题的综合性,解答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍. 二、 问题讨论 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 例 1(优化设计 P178 例 1)、从 6 名短跑运动员中选 4 人参加 4×100 米接力,如果其中 甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,问共有多少种参赛方法? 解法一: 问题分成三类: (1)甲乙二人均不参加,有 A 4 种; (2)甲、乙二人有且仅 有 1 人参加,有 2 C 4 ( A 4 - A 3 )种; (3)甲、乙二人均参加,有 C 4 ( A 4 -2 A 3 + A 2 ) 种,故共有 252 种. 解法二:六人中取四人参加的种数为 A 6 ,从 6 人中选 4 人的排列组合数减去甲跑第一 棒时从剩余 5 人中选 3 人的排列组合数,再减去乙跑第四棒时从剩余 5 人中选 3 人的排列组 合数,再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒时从剩余 4 人中选 2 人的排列组合数 4 1 3 2 A6 - C2 A5 ? A4 =252 种 4 4 3 4 3 2 4 3 2 【评述】对于带有限制条件的排列、组合综合题,一般用分类讨论或间接法两种. 例 2: 有 5 个男生和 3 个女生,从中选取 5 人担任 5 门不同学科的科代表,求分别符合 下列条件的选法数: (1)有女生但人数必须少于男生. (2)某女生一定要担任语文科代表. (3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表. (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表. 3 2 4 1 5 解:(1)先取后排,有 C5 种,共有(C C3 ? C5 C3 种,后排有 A5 ( 4 4 (2)除去该女生后先取后排: C7 A4 ? 840种. 4 1 4 (3)先取后排,但先安排该男生: C7 C4 A4 ? 3360种. 3 1 (4)先从除去该男生该女生的 6 人中选 3 人有 C6 种,再安排该男生有 C3 种,其余 3 人全排 3 5 2 4 1 5 =5400 种. C3 ? C5 C3 ) A5 3 3 1 3 有 A3 种,共 C6 C3 A3 =360 种. 【思维点拨】特殊元素或特殊位置首先考虑 例 3(优化设计 P178 例 2)、对某种产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品一一进行测试, 至区分出所有次品为止,若所有次品恰好在第 5 次测试时被全部发现,则这样的测试方法 有多少种可能? 解:第 5 次必测出一次品,余下 3 件次品在前 4 次被测出,从 4 件中确定最后一件次 品有 C 4 种方法, 前 4 次中应有 1 件正品、 3 件次品, 有 C6 C3 种, 前 4 次测试中的顺序有 A 4 种,由分步计数原理即得: C 4 ( C6 C3 ) A 4 =576。 【评述】本题涉及一类重要问题:问题中既有元素的限制,又有排列的问题,一般是 先选元素(即组合)后排列 例 4(优化设计 P178 例 3)、在一块并排 10 垄的田地中,选择 2 垄分别种植 A,B 两种作 物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求 A,B 两种作物的间隔不小于 6 垄,则不同的选 垄方法共有多少种? 解: 依题意,A,B 两种作物的间隔至少 6 垄,至多 8 垄。分 3 种情况: (1)若 A、B 之间隔 6 垄,这样的选垄方法有 3A 2 种. (2)若 A、B 之间隔 7 垄,这样的选垄方法有 2A 2 种. (3)若 A、B 之间隔 8 垄,有 A 2 种方法. 根据分类计数原理可有 3A 2 +2A 2 +A 2 =6A 2 =12 种不同的选垄方法. 例 5(优化设计 P178 例 4)、有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人 就座,规定前排中间的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不 左右相邻,那么不同排法的种数是 . 解法一: ①前后各一个,有 8×12×2=192 种方法 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 1 3 4 4 ②前排左、右各一人:共有 4×4×2=32 种方法 ③两人都在前排: 两人都在前排左边的四个位置: 乙可坐 2 个位置 2+2=4 此种情况共有 4+2=6 种方法 因为两边都是 4 个位置,都坐右边亦有 6 种方法,所以坐在第一排总共有 6+6=12 种 方法 ④两人都坐在第二排位置,先规定甲左乙右 乙可坐 1 个位置 1+1=2 ∴ 甲左乙右总共有 10 ? 9 ? 8 ? ? ? 2 ? 1 ? 10 ? 1 ?10 ? 55 2 种方法.同样甲、乙可互 换位置,乙左甲右也同样有 55 种方法,所以甲、乙按要求同坐第二排总共有 55×2=110 种方法。综上所述,按要求两人不同排法有 192+32+12+110=346 种 解法二:考虑 20 个位置中安排两个人就坐,并且这两人左右不相邻,4 号座位与 5 号座 2 位不算相邻,9 号座位与 10 号座位不算相邻,共有 A20

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