广东历年高考数学试卷_图文

2007 年广东高考数学(理科)答案
一、选择题(本题 8 小题,每题 5 分,满分 40 分) 1.已知函数 f ( x) ? 的定义域为 M,g(x)= ln(1 ? x) 的定义域为 N,则 M∩N= 1? x (A) {x | x ? ?1} (B) {x | x ? 1} (C) {x | ?1 ? x ? 1} (D) ?
1

答案:C; 2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i 是虚数单位,b 为实数) ,则 b= (A) -2 (B) 1 2

(C)

1 2

(D) 2

答案:B; 解析: (1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i,故 2b+1=0,故选 B;
1 3.若函数 f ( x) ? sin 2 x ? ( x ? R) ,则 f(x)是 2

? 的奇函数; (B)最小正周期为 ? 的奇函数; 2 (C)最小正周期为 2 ? 的偶函数; (D)最小正周期为 ? 的偶函数; 答案:D; 4. 客车从甲地以 60km/h 的速度行驶 1 小时到达乙地, 在乙地停留了半小时, 然后以 80km/h 的速度行驶 1 小时到达丙地,下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达丙地所经过 的路程 s 与时间 t 之间的关系图象中,正确的是
(A)最小正周期为

答案:C; 解析: 5.已知数列{ a n }的前 n 项和 Sn ? n 2 ? 9n ,第 k 项满足5< a k <8,则 k= (A)9 (B)8 (C)7 (D)6 答案:B; 解析:此数列为等差数列, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ? 10 ,由 5<2k-10<8 得到 k=8。 6.图 1 是某县参加 2007 年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形图表示学生人 数依次记为 A1、A2、…A10(如 A2 表示身高(单位:cm)在[150,155 ) 内的人数]。图 2

是统计图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在 160~180cm (含 160cm,不含 180cm)的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 (A)i<6 (B) i<7 (C) i<8 (D) i<9

答案:C; 解析:S= A4 ? A5 ? A6 ? A7 ; 7.图3是某汽车维修公司的维修点分布图,公司在年初分配给A、B、C、D四个维修 点的某种配件各50件,在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调 整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行,那么完成上述调整, 最少的调动件次(n个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为 (A)15 (B)16 (C)17 (D)18 答案:B;

8.设 S 是至少含有两个元素的集合,在 S 上定义了一个二元运算“*” (即对任意的 a,b∈ S,对于有序元素对(a,b),在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应) 。若对于任意的 a,b∈S, 有 a*( b * a)=b,则对任意的 a,b∈S,下列等式中不恒成立的是 . (A)( a * b) * a =a (B) [ a*( b * a)] * ( a*b)=a (B)b*( b * b)=b (C)( a*b) * [ b*( a * b)] =b 答案:A; 二、填空题(本题 7 小题,每题5分,满分 30分,其中13,15是选做题,考生只能选

做两题,三题全答的,只计前两题得分) 9.甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中 甲袋装有 4 个红球、2 个白球,乙袋装有 1 个红球、5 个白球。现分别从甲、乙两袋中各 随机抽取 1 个球,则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示) 答案:
2 9

4 1 2 解析: ? ? ; 6 6 9

10.若向量 a, b 满足 | a |?| b |? 1 , a, b 的夹角为 60° ,则 a ? a ? a ? b =______;
3 答案: ; 2 ? ? ? ? 1 3 解析: a ? a ? a ? b ? 1 ? 1?1? ? , 2 2 11.在直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(2,1) 。若线段 OA 的垂直平分线过抛物线
y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,则该抛物线的准线方程是______;

? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

5 答案: x ? ? ; 4

解析:OA 的垂直平分线的方程是 y-

5 1 ? ?2( x ? 1) ,令 y=0 得到 x= ; 4 2

12.如果一个凸多面体是 n 棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____ 条,这些直线中共有 f (n) 对异面直线,则 f (4) ? ____ ;f(n)=______(答案用数字或 n 的解 析式表示) 答案: 解析:
n(n ? 1) ;8;n(n-2)。 2 n(n ? 1) ; f (4) ? 4 ? 2 ? 8 ; f (n) ? n ? (n ? 2) 2
?x ? t ? 3 ?y ? 3?t

13. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? (参数 t∈R) ,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? (参数 ? ? [0, 2? ] ) ,则圆 C 的圆心坐标为 ? y ? 2sin ? ? 2

_______,圆心到直线 l 的距离为______. 答案: (0,2) 2 2 . ;
?2 2; 2 14. (不等式选讲选做题)设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? x ? 3, 则 f ( ?2) =_____;若 f ( x ) ? 5 ,则 x

解析:直线的方程为 x+y-6=0,d=

| 2?6|

的取值范围是________;
1 答案:6; [? ,1] 2

15.几何证明选讲选做题]如图所示,圆O的直径为6,C为圆周上一点。BC=3,过 C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC=______;线段 AE 的长 为_______。

D C l A O B

答案:

? ;3。 6

解析:根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余,很容易得到答案; AE=EC=BC=3; 三、解答题 16. (本小题满分12 分) 已知 ABC 的三个顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,0) (1) 若 c=5,求 sin∠A 的值; (2) 若∠A 为钝角,求 c 的取值范围; ??? ? ???? ???? 解 析 : ( 1 ) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4) , 若 c=5 , 则 AC ? (2, ?4) , ∴
???? ??? ? 2 5 ?6 ? 1 6 1 ,∴sin∠A= ; c ? sA C A?? o ,B ? 5 5? 2 5 5 ? ?3c ? 9 ? 16 ? 0 25 25 (2)若∠A 为钝角,则 ? 解得 c ? ,∴c 的取值范围是 ( , ??) ; 3 3 ?c ? 0 c o ?A ? s

17.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应 的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据 x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1) 请画出上表数据的散点图;
? ? (2) 请根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 y ? bx ? a ;

(3) 已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤;试根据(2)求出 的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少 吨标准煤? (3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 解析:

(1) 略; (2) 方法 1(不作要求) :设线性回归方程为 y ? bx ? a ,则
f (a, b) ? (3b ? a ? 2.5)2 ? (4b ? a ? 3) 2 ? (5b ? a ? 4) 2 ? (6b ? a ? 4.5)2 ? 4a 2 ? 2a(18b ? 14) ? (3b ? 2.5)2 ? (4b ? 3)2 ? (5a ? 4)2 ? (6b ? 4.5)2

∴a?

7 ? 9b ? 3.5 ? 4.5b 时, 2

f (a, b) 取得最小值 (1.5b ? 1)2 ? (0.5b ? 0.5)2 ? (0.5b ? 0.5)2 ? (1.5b ?1)2

5 即 0.5[(3b ? 2)2 ? (b ? 1)2 ] ? 5b2 ? 7b ? ,∴ b ? 0.7, a ? 0.35 时f(a,b)取得最小值; 2 所以线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 ;

? 66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 ? 66.5 ? 63 ? 0.7 方法 2:由系数公式可知, x ? 4.5, y ? 3.5, b ? 5 86 ? 4 ? 4.52
9 ? a ? 3.5 ? 0.7 ? ? 0.35 ,所以线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 ; 2 (3)x=100时, y ? 0.7 x ? 0.35 ? 70.35 ,所以预测生产100吨甲产品的生产能耗

比技术改造前降低19.65吨标准煤. 18. (本小题满分 14 分) 在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y=x 相切于坐 标原点 O,椭圆
x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10。 a2 9 (1)求圆 C 的方程;

(2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到椭圆的右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长,若存在求出 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。 解析: (1)圆 C: ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ; (2)由条件可知 a=5,椭圆
x2 y 2 ,若存在,则 F 在 OQ 的中垂线上, ? ? 1 ,∴F(4,0) 25 9

又 O、Q 在圆 C 上,所以 O、Q 关于直线 CF 对称;
4 ? ?y ?x ? 5 ?x ?3 1 ? ? 直线 CF 的方程为 y-1= ? ( x ? 1) ,即 x ? 3 y ? 4 ? 0 , Q 设 (x,y)则 ? , , 解得 ? x 3y 3 ? ? ? y ? 12 ?4 ? 0 ?2 2 ? 5 ? ?

4 12 所以存在,Q 的坐标为 ( , ) 。 5 5

19. (本小题满分 14 分) 如图 6 所示,等腰三角形△ABC 的底边 AB= 6 6 ,高 CD=3,点 E 是线段 BD 上异于 B、D 的动点,点 F 在 BC 边上,且 EF⊥AB,现沿 EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置, 使 PE⊥AE,记 BE=x,V(x)表示四棱锥 P-ACEF 的体积。

(1)求 V(x)的表达式; (2)当 x 为何值时,V(x)取得最大值? (3)当 V(x)取得最大值时,求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值。

P

A C

D E B F 图6
x2 6 2 ? S ?BDC ? x 54 12

(1)由折起的过程可知,PE⊥平面 ABC, S?ABC ? 9 6 , S?BEF ? V(x)=
6 1 x (9 ? x 2 ) ( 0 ? x ? 3 6 ) 3 12

(2) V '( x) ?

6 1 (9 ? x 2 ) ,所以 x ? (0, 6) 时, v '( x ) ? 0 ,V(x)单调递增; 6 ? x ? 3 6 时 3 4

v '( x ) ? 0 ,V(x)单调递减;因此 x=6 时,V(x)取得最大值 12 6 ;

(3)过 F 作 MF//AC 交 AD 与 M,则

BM BF BE BE ? ? ? , MB ? 2 BE ? 12 ,PM= 6 2 , 1 AB BC BD AB 2

MF ? BF ? PF ?

6 3 6

BC ?

6 54 ? 9 ? 42 , 3

在△PFM 中, cos ?PFM ? 20. (本题满分 14 分)

84 ? 72 2 2 ? ,∴异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值为 ; 7 42 7

已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点, 求实数 a 的取值范围。 解析 1:函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,即方程 f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a =0 在[-1,1] 上有解, a=0 时,不符合题意,所以 a≠0,方程 f(x)=0 在[-1,1]上有解<=> f (?1) ? f (1) ? 0 或

?af (?1) ? 0 ?af (1) ? 0 ? ?3 ? 7 ?3 ? 7 ? 或a?5 ? a ? 或 a≥1. ?? ? 4 ? 8a (3 ? a ) ? 0 ?1 ? a ? 5 或 a ? 2 2 ? ?? 1 ? [?1.1] ? a ?

?3 ? 7 或 a≥1. 2 解析 2:a=0 时,不符合题意,所以 a≠0,又

所以实数 a 的取值范围是 a ?

∴ f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a =0 在 [-1 , 1] 上 有 解 , ? ( 2x2 ? 1) ? 3? 2 在 [-1 , 1] 上 有 解 a x
? 1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 在[-1,1]上有解,问题转化为求函数 y ? [-1,1]上的值域;设 t=3-2x, ? a 3 ? 2x 3 ? 2x

1 (t ? 3)2 ? 2 1 7 x∈[-1,1],则 2x ? 3 ? t ,t∈[1,5], y ? ? ? (t ? ? 6) , 2 t 2 t 7 t2 ? 7 设 g (t ) ? t ? .g '(t ) ? 2 , t ? [1, 7) 时, g '(t ) ? 0 ,此函数 g(t)单调递减, t ? ( 7,5] 时, t t
g '(t ) >0,此函数 g(t)单调递增,∴y 的取值范围是 [ 7 ? 3,1] ,∴ f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a =0 在

3? 7 1 ∈ [ 7 ? 3,1] ? a ? 1 或 a ? ? 。 a 2 21. (本题满分 14 分)

[-1,1]上有解?

已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? 1 , ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) , f '( x) 是 f(x)的导数;设
a1 ? 1 , an ?1 ? an ?

f ( an ) (n=1,2,??) f '(an )

(1)求 ? , ? 的值; (2)证明:对任意的正整数 n,都有 a n >a; a ?? (3)记 bn ? ln n (n=1,2,??) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn。
an ? a

解析: (1)∵ f ( x) ? x 2 ? x ? 1 , ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) , ∴? ?
?1 ? 5 ?1 ? 5 ; ,? ? 2 2
1 1 5 an (2an ? 1) ? (2an ? 1) ? 2 an ? an ? 1 2 4 4 ? an ? ? an ? 2an ? 1 2an ? 1

(2) f '( x) ? 2 x ? 1 , an ?1

5 1 1 5 ?1 5 ?1 = (2an ? 1) ? 4 ? , a1 ? 1 , ∵ ∴有基本不等式可知 a2 ? (当且仅当 a1 ? ?0 4 2an ? 1 2 2 2

时取等号) ,∴ a2 ?

5 ?1 5 ?1 5 ?1 ,??, an ? , ? 0 同,样 a3 ? ? ? (n=1,2,??) 2 2 2 (a ? ? )(an ? ? ) an ? ? ? (an ? 1 ? ? ) ,而 ? ? ? ? ?1 ,即 ? ? 1 ? ?? , (3) an ?1 ? ? ? an ? ? ? n 2an ? 1 2an ? 1
(an ? ? ) 2 (a ? ? )2 1? ? 3 ?5 3 l n? l n ? 2 l b , 同理 an ?1 ? ? ? n , n ?1 ? 2bn , b1 ?n 又 2an ? 1 2an ? 1 1?? 3? 5

an ?1 ? ? ?

5? 2

Sn ? 2(2n ? 1)ln

3? 5 2

2008 年普通高等学校招生全国统一 考试 (广东卷) 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式:如果事件 A,B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 已知 n 是正整数,则 a ? b ? (a ? b)(a
n n n?1

? an?2b ? ? ? abn?2 ? bn?1 ) .

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.已知 0 ? a ? 2 ,复数 z 的实部为 a ,虚部为 1,则 z 的取值范围是( )

, A. (1 5)

, B. (1 3)

C. (1 5) ,

D. (1 3) , )

2.记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? A.16 B.24

1 , S4 ? 20 ,则 S6 ? ( 2
D.48 一年级 373 377

C.36

3.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如表 1.已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到二年级女 女生 生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 男生 64 名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( C ) A.24 B.18 C.16 D.12

二年级

三年级

x
370 表1

y

z

? 2 x ? y ≤ 40, ? ? x ? 2 y ≤ 50, 4.若变量 x, y 满足 ? 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是( x ≥ 0, ? ? y ≥ 0, ?



A.90 B.80 C.70 D.40 5.将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分别是 △GHI 三边的中点)得到几何 体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( ) H B A I C G 侧视 B A C B B B B

E F 图1 题的是(

D

E F 图2

D

E A.

E B.

E C.

E D.

6.已知命题 p : 所有有理数都是实数,命题 q : 正数的对数都是负数,则下列命题中为真命 ) B. p ? q
ax

A. (?p) ? q

C. (?p) ? (?q)

D. (?p) ? (?q) )

7.设 a ? R ,若函数 y ? e ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则( A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? ?

1 3

D. a ? ?

1 3

8.在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线 与 CD 交于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? ( A.

??? ?

??? ?

??? ?



开始 输入 m n ,

1 1 a? b 4 2 1 2 D. a ? b 3 3

B.

2 1 a? b 3 3

C.

1 1 a? b 2 4

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分, 满分 30 分. (一)必做题(9~12 题) 9.阅读图 3 的程序框图,若输入 m ? 4 , n ? 6 ,则输出 ,i ? . a? (注:框图中的赋值符号“ ? ”也可以写成“ ? ”或“ :? ” ) 10.已知 (1 ? kx ) ( k 是正整数)的展开式中, x 的系数小于
2 6
8

i ?1
a ? m?i

i ? i ?1
n 整除 a? 是 输出 a, i 结束 图3 否

120,则 k ?



11 . 经 过 圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的 圆 心 C , 且 与 直 线 x ? y ? 0 垂 直 的 直 线 方 程 是 . .

12.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x ) 的最小正周期是 二、选做题(13—15 题,考生只能从中选做两题)

13. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ? cos? ? 3 ,

? ? 4cos ? ? ? ≥ 0,≤? ? ? ,则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为 0 2
?
14. (不等式选讲选做题)已知 a ? R ,若关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ?

? ?

π?



1 ? a ? 0 有实根, 4

则 a 的取值范围是 . 15. (几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 . AC 是圆 O 的 直径, PC 与圆 O 交于点 B , PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R ? . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分)

0 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,? ? ? π) ,x ? R 的最大值是 1, 其图像经过点

?π 1? M ? , ?. ? 3 2?
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

17. (本小题满分 13 分) 随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三 等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、 1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ? . (1)求 ? 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望) ;

(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% ,一等品率提高为 70% .如 果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少? 18. (本小题满分 14 分) 设 b?0 , 椭 圆 方 程 为

x2 y2 ? 2 ?1 , 抛 物 线 方 程 为 2b 2 b
A

y F G F1 O 图4 B x

x2 ? 8 ( y? b.如图 4 所示,过点 F (0,b ? 2) 作 x 轴的平行线,与 )
抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的 右焦点 F . 1

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使 得 △ ABP 为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求 出这些点的坐标). 19. (本小题满分 14 分)

? 1 ,x ? 1 ? 设 k ? R ,函数 f ( x) ? ?1 ? x , F ( x) ? f ( x) ? kx , x ? R ,试讨论函数 ?? x ? 1,x ≥1 ?
F ( x) 的单调性.
20. (本小题满分 14 分) 如图 5 所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中

BD 是圆的直径, ?ABD ? 60? , ?BDC ? 45? , PD 垂直底面 ABCD , PD ? 2 2R ,

P

E,F 分别是 PB,CD 上的点,且

(1)求 BD 与平面 ABP 所成角 ? 的正弦值; (2)证明: △EFG 是直角三角形; (3)当

PE DF ? ,过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于 G . EB FC E

G

PE 1 ? 时,求 △EFG 的面积. EB 2

A F B

D

21. (本小题满分 12 分)

C

图5 设 p, q 为实数, ?,? 是方程 x ? px ? q ? 0 的两个实根,数列 {xn } 满足 x1 ? p ,
2

4, . x2 ? p2 ? q , xn ? pxn?1 ? qxn?2 ( n ? 3, ?)
(1)证明: ? ? ? ? p , ?? ? q ; (2)求数列 {xn } 的通项公式; (3)若 p ? 1 , q ?

1 ,求 {xn } 的前 n 项和 Sn . 4

试卷类型 B

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)参考答案
一、选择题:C D C C 1.C【解析】 z ? A D B B

a 2 ? 1 ,而 0 ? a ? 2 ,即 1 ? a 2 ? 1 ? 5 ,?1 ? z ? 5

2.D【解析】 S 4 ? 2 ? 6d ? 20 ,? d ? 3 ,故 S 6 ? 3 ? 15d ? 48 3.C【解析】依题意我们知道二年级的女生有 380 人,那么三年级的学生的人数应该是 2000 ? 373 ? 377 ? 380 ? 370 ? 500 ,即总体中各个年级的人数比例为 3 : 3 : 2 ,故在分 层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 64 ? 4.C 5.A

2 ? 16 8

6. 解析】 D 【 不难判断命题 p 为真命题, 命题 q 为假命题, 从而上述叙述中只有 (?p) ? (?q) 为真命题 7. 解析】f '( x) ? 3 ? aeax , B 【 若函数在 x ? R 上有大于零的极值点, f '( x) ? 3 ? aeax ? 0 即 有正根。 当有 f '( x) ? 3 ? ae
ax

? 0 成立时,显然有 a ? 0 ,此时 x ?

1 3 ln(? ) ,由 x ? 0 我 a a

们马上就能得到参数 a 的范围为 a ? ?3 。 8.B 二、填空题: 9. 【解析】要结束程序的运算,就必须通过 n 整除 a 的条件运算,而同时 m 也整除 a ,那 么 a 的最小值应为 m 和 n 的最小公倍数 12,即此时有 i ? 3 。 10. 【解析】(1 ? kx ) 按二项式定理展开的通项为 Tr ?1 ? C6 (kx ) ? C6 k x , 我们知道 x
2 6

r

2 r

r

r

2r

8

4 4 4 的系数为 C6 k ? 15k ,即 15k ? 120 ,也即 k ? 8 ,而 k 是正整数,故 k 只能取 1。
4 4

11. 【解析】易知点 C 为 (?1, 0) ,而直线与 x ? y ? 0 垂直,我们设待求的直线的方程为

y ? x ? b ,将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 b ? 1 ,故待求的直线的方程为 x ? y ?1 ? 0 。

12. 【解析】 f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ? 数的最小正周期 T ?

2? ?? 。 2

1 ? cos 2 x 1 2 ? 1 ? sin 2 x ? ? cos(2 x ? ) ? ,故函 2 2 2 4 2

二、选做题(13—15 题,考生只能从中选做两题)

?? ? 2 3 ? ? ? cos ? ? 3 ? 13. 【解析】 ? 由 , 即两曲线的交点为 (2 3, ) 。 ( ? ? 0,0 ? ? ? ) 解得 ? ? ? 6 2 ? ? ? 4cos ? ?? ? 6 ?
14. ?0, ? 4 15. 【解析】依题意,我们知道 ?PBA ? ?PAC ,由相似三角形的性质我们有

? 1? ? ?
PA PB ? , 2 R AB

PA ? AB 2 ? 22 ? 12 即R? ? ? 3。 2PB 2 ?1
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.

? 1 ? 1 x ) ?? , 将点 M ( , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , 3 2 3 2 ? 5 ? ? 而 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 3 6 2 2 3 12 ? (2)依题意有 cos ? ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) , 5 13 2
n i( 16. (1) 解: 依题意有 A ? 1 , f ( ) ? 则 x s

3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65 126 ? 0.63 , 17 . 解 : 1 ) ? 的 所 有 可 能 取 值 有 6 , 2 , 1 , -2 ; P (? ? 6) ? ( 200 50 P(? ? 2) ? ? 0.25 200 20 4 P(? ? 1) ? ? 0.1 , P(? ? ?2) ? ? 0.02 200 200
故 ? 的分布列为:

?

6

2

1

-2

P

0.63

0.25

0.1

0.02

(2) E? ? 6 ? 0.63 ? 2 ? 0.25 ? 1? 0.1 ? (?2) ? 0.02 ? 4.34 (3)设技术革新后的三等品率为 x ,则此时 1 件产品的平均利润为

E( x) ? 6 ? 0.7 ? 2 ? (1 ? 0.7 ? 0.01 ? x) ? (?2) ? 0.01 ? 4.76 ? x(0 ? x ? 0.29)
依题意, E ( x) ? 4.73 ,即 4.76 ? x ? 4.73 ,解得 x ? 0.03 所以三等品率最多为 3% 18.解: (1)由 x2 ? 8( y ? b) 得 y ?

1 2 x ?b, 8

y F G F1 A O 图4 B x

当 y ? b ? 2 得 x ? ?4 ,? G 点的坐标为 (4, b ? 2) ,

1 y ' ? x , y ' |x ? 4 ? 1 , 4
过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 即 y ? x ? b ? 2 , 令 y ? 0 得 x ? 2 ? b ,? F 点的坐标为 (2 ? b, 0) , 1 由椭圆方程得 F 点的坐标为 (b, 0) ,? 2 ? b ? b 即 b ? 1 , 1

即椭圆和抛物线的方程分别为

x2 ? y 2 ? 1和 x2 ? 8( y ? 1) ; 2

(2)? 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P , ? 以 ?PAB 为直角的 Rt ?ABP 只有一个,同理? 以 ?PBA 为直角的 Rt ?ABP 只有一个。 若以 ?APB 为直角,设 P 点坐标为 ( x, x ? 1) , A 、 B 两点的坐标分别为 (? 2,0) 和
2

1 8

( 2,0) ,
??? ??? ? ? 1 1 4 5 2 PA?PB ? x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? x ? x ?1 ? 0 。 8 64 4
关于 x 的二次方程有一大于零的解,? x 有两解,即以 ?APB 为直角的 Rt ?ABP 有两个,
2

因此抛物线上存在四个点使得 ?ABP 为直角三角形。 19.解: ? 1 ? 1 ? kx, x ? 1, ? ? (1 ? x) 2 ? k , F ( x) ? f ( x) ? kx ? ?1 ? x , ? ?? x ? 1 ? kx, x ? 1, F '( x) ? ? ? ?? 1 ? k , ? 2 x ?1 ?

x ? 1, x ? 1,

对于 F ( x) ?

1 ? kx( x ? 1) , 1? x

当 k ? 0 时,函数 F ( x ) 在 (??,1) 上是增函数; 当 k ? 0 时,函数 F ( x ) 在 ( ??,1 ? 对于 F ( x) ? ?

1 1 ) 上是减函数,在 (1 ? ,1) 上是增函数; k k

1 ? k ( x ? 1) , 2 x ?1

当 k ? 0 时,函数 F ( x ) 在 ?1, ?? ? 上是减函数;

1 1 当 k ? 0 时,函数 F ( x ) 在 ?1,1 ? 2 ? 上是减函数,在 ?1 ? 2 , ?? ? 上是增函数。 ? ? ? 4k ? 4k ? ? ? ? 20.解: (1)在 Rt ?BAD 中,

P E G D F C 图5

? ?ABD ? 60? ,? AB ? R, AD ? 3R
而 PD 垂直底面 ABCD, PA ?

PD 2 ? AD 2 ? (2 2 R)2 ? ( 3R)2 ? 11R
A

PB ? PD 2 ? BD 2 ? (2 2 R) 2 ? (2 R) 2 ? 2 3R ,
B 在 ?PAB 中, PA ? AB ? PB ,即 ?PAB 为以 ?PAB 为直角的直角三角形。
2 2 2

设点 D 到面 PAB 的距离为 H , 由 VP? ABD ? VD?PAB 有 PA?AB?H ? AB ?AD ?PD , 即 H?

AD?PD 3R?2 2R 2 66 ? ? R, PA 11 11R

H 66 ; ? BD 11 PE DF PE PG (2) EG / / BC ,? ,而 , ? ? EB FC EB GC PG DF 即 ? ,? GF / / PD ,? GF ? BC ,? GF ? EG ,? ?EFG 是直角三角形; GC DC EG PE 1 GF CF 2 PE 1 (3) ? ? , ? ? , ? 时 BC PB 3 PD CD 3 EB 2 sin ? ? 1 1 2 2 2 4 2 BC ? ? 2R ? cos 45? ? R, GF ? PD ? ? 2 2R ? R, 3 3 3 3 3 3 ? ?EFG 的面积 S?EFG ? 1 EG? ? 1 ? 2 R ? 4 2 R ? 4 R 2 GF 2 2 3 3 9
即 EG ?

21.解: (1)由求根公式,不妨设 ? ? ? ,得 ? ?

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ,? ? 2 2

?? ? ? ?

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ? ? p , ?? ? ? ?q 2 2 2 2

(2)设 xn ? sxn?1 ? t ( xn?1 ? sxn?2 ) ,则 xn ? (s ? t ) xn?1 ? stxn?2 ,由 xn ? pxn?1 ? qxn?2 得, ?

?s ? t ? p ,消去 t ,得 s 2 ? ps ? q ? 0 ,?s 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的根, ? st ? q

由题意可知, s1 ? ? , s2 ? ? ①当 ? ? ? 时,此时方程组 ?

?s ? ? ?s2 ? ? ?s ? t ? p 的解记为 ? 1 或? ? st ? q ? t1 ? ? ? t2 ? ?

? xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ), xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ),
即 ?xn ? t1xn?1? 、 ?xn ? t2 xn?1? 分别是公比为 s1 ? ? 、 s2 ? ? 的等比数列, 由等比数列性质可得 xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 , xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 , 两式相减,得 (? ? ? ) xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2

?x2 ? p2 ? q, x1 ? p ,? x2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? , x1 ? ? ? ? ?( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? n?2 ? ? n , ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? n?2 ? ? n ? ?
? ?? ?(? ? ? ) xn?1 ? ? n ? ? n ,即? xn?1 ? ? ? ? ,? xn ? ? ?? ? ??
n n

n ?1

n ?1

2 2 ②当 ? ? ? 时,即方程 x ? px ? q ? 0 有重根,? p ? 4q ? 0 ,

即 (s ? t ) ? 4st ? 0 ,得 (s ? t ) ? 0,? s ? t ,不妨设 s ? t ? ? ,由①可知
2 2

xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ,?? ? ? ,? xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? n
即? xn ? ? xn?1 ? ? ,等式两边同时除以 ? ,得
n
n

?

xn
n

?

?

xn ?1
n ?1

? 1 ,即

?

xn
n

?

? n ?1

xn ?1

?1

x ? 数列 { nn } 是以 1 为公差的等差数列,? xnn ? x1 ? (n ? 1) ?1 ? 2? ? n ? 1 ? n ? 1 ? ? ? ?

? xn ? n? n ? ? n
? ? n?1 ? ? n?1 综上所述, x ? ? ? ? ? , (? ? ? ) ? n ? n? n ? ? n , (? ? ? ) ?
(3)把 p ? 1 , q ?

1 1 1 2 代入 x2 ? px ? q ? 0 ,得 x ? x ? ? 0 ,解得 ? ? ? ? 4 4 2

1 1 ? xn ? n?( ) n ? ( ) n 2 2
1 1 1 ? ? 1 1 1 1 ? ? 1 Sn ? ? ( ) ? ( )2 ? ( )3 ? ... ? ( ) n ? ? ? ( ) ? 2? ) 2 ? 3? )3 ? ... ? n? ) n ? ( ( ( 2 2 2 ? ? 2 2 2 2 ? ? 2

1 1 1 1 ? ? 1 ? 1 ? ( )n ? ? ( ) ? 2? ) 2 ? 3? )3 ? ... ? n? ) n ? ( ( ( 2 2 2 2 ? ? 2

1 1 1 1 ? 1 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 3 ? ( n ? 3)( ) n 2 2 2 2
试卷类型:B 2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) 。

1 V ? sh 3 ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高 参考公式:锥体的体积公式
选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

M ? {x ?2 ? x ?1 ? 2} N ? {x x ? 2k ?1, k ? 1,2,? } 1.巳知全集 U ? R ,集合 和 的关
系的韦恩(Venn)图如图 1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共 有 A.3个 B.2个 C.1个 D.无穷个 2.设 z 是复数, a( z ) 表示满足 z ? 1 的最小正整数 n ,则对虚数单
n

位 i , a(i) ? A.8 B.6 C.4 D.2

x 3.若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的反函数,其图像经过点 ( a , a) ,则

f ( x) ?

log2 x A.
4.已知等比数列

log 1 x
B.
2

1 x C. 2

D. x

2

{an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,?,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时,

log 2 a1 ? log 2 a3 ? ?? log 2 a2 n?1 ?
A. n(2n ? 1) B. (n ? 1)
2

C. n

2

D. (n ? 1)

2

5.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直.其中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C..③和④ D.②和④ 6. 一质点受到平面上的三个力 成 60 角,且 A.6
0

F1 , F2 , F3(单位: F,F 牛顿) 的作用而处于平衡状态. 已知 1 2

F1 , F2 的大小分别为2和4,则 F3 的大小为
B.2 C. 2 5 D. 2 7 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

7.2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人 分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作, 其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A.36 种 B.12 种 C.18 种 D.48 种 8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线)行驶.甲车、乙车 的速度曲线分别为 正确的是 A.在 1 时刻,甲车在乙车前面 B. 1 时刻后,甲车在乙车后面 C.在 D.

v甲和v乙 (如图 2 所示) t 和t .那么对于图中给定的 0 1 ,下列判断中一定

t

t

t 0 时刻,两车的位置相同

t 0 时刻后,乙车在甲车前面

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~12题) 9.随机抽取某产品 n 件,测得其长度分别为 的s ? ,s 表示的样本的数字特征是 以写成“←” “:=” ) 10.若平面向量 a , b 满足

a1 , a2 ,?, an ,则图 3 所示的程序框图输出
. (注:框图中的赋值符号“=”也可

a ? b ?1

, a ? b 平行于 x 轴, b ? (2, ?1) ,则 a ?

3 11.巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 2 ,且 G 上一点到 G 的
两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 .

12.已知离散型随机变量 X 的分布列如右表.若 EX ? 0 ,

DX ? 1 ,则 a ?

,b ?



(二)选做题(13 ~ 15 题,考生只能从中选做两题)

? x ? 1 ? 2t , ? x ? s, l1 : ? (t为参数) l2 : ? y ? 2 ? kt. ? y ? 1 ? 2s. 13. (坐标系与参数方程选做题)若直线 ? 与直线
( s 为参数)垂直,则 k ? .

14. (不等式选讲选做题)不等式

x ?1 ?1 x?2

的实数解为



15.(几何证明选讲选做题)如图 4,点 A, B, C 是圆 O 上的点, 且

AB ? 4, ?ACB ? 450 ,则圆 O 的面积等于



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤, 16.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? , ?2)与b ? (1,cos? ) 互相垂直,其中 (1)求 sin ? 和 cos ? 的值;

? ? ? (0, )

2 .

sin(? ? ? ) ?
(2)若

10 ? ,0 ? ? ? 10 2 ,求 cos ? 的值.

17. (本小题满分 12 分) 根据空气质量指数 API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:

对 某 城 市 一 年 ( 365 天 ) 的 空 气 质 量 进 行 监 测 , 获 得 的 API 数 据 按 照 区 间

[0,50],(50,100],(100,150],(150, 200],(200, 250],(250,300]



行分组,得到频率分布直方图如图 5 (1)求直方图中 x 的值; (2)计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数; (3) 求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为良或轻微污染的概率. (结果用分数表示.已知

57 ? 78125, 27 ? 128,

3 2 7 3 8 123 ? ? ? ? ? ,365 ? 73 ? 5 1825 365 1825 1825 9125 9125 )

18. (本小题满分14分) 如图6, 已知正方体 G分别是棱

ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为2, BCC1B1 的中心, 点E是正方形 点F、

C1D1 , AA1 的中点.设点 E1 , G1 分别是点E,G在平面 DCC1D1 内的正投影. DCC1D1 内的

(1)求以E为顶点,以四边形 FGAE 在平面 正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线 (3)求异面直线

FG1 ? 平面FEE1 ; E1G1与EA 所成角的正统值

19. (本小题满分14分)
2 A( xA , yA ) 和 B( xB , yB ) , 且 已 知 曲 线 C: y ? x 与 直 线 l:x? y?2?0 交 于 两 点

xA ? xB .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)
为 D .设点 P( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合. (1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

G : x 2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ?
(2)若曲线 20. (本小题满分14分)

51 ?0 25 与点 D 有公共点,试求 a 的最小值.

已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行, y ? g ( x) 在 x ? ?1 处取得 且

极小值 m ? 1(m ? 0) .设

f ( x) ?

g ( x) x .

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q (0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值;

k (2) (k ? R) 如何取值时, 函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点, 并求出零点. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
21. (本小题满分14分) 已知曲线

Cn : x2 ? 2nx ? y2 ? 0(n ? 1, 2,?) . 从 点 P(? 1 , 0 向 曲 线 Cn 引 斜 率 为 )

kn (kn ? 0) 的切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ) .
(1)求数列

{xn }与{ yn } 的通项公式;

x1 ? x3 ? x5 ?? ? x2 n?1 ?
(2)证明:

1 ? xn x ? 2 sin n 1 ? xn yn

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)参考答案 选择题 1-8 B .C. B. C D. D A A. 二。 、填空题 (一)必做题

a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n n 9.【解析】 s ? ;平均数
11. 【 解 析 】 a ? b ? (1,0) 或 (?1,0) , 则 a ? (1,0) ? (2,?1) ? (?1,1) 或

a ? (?1,0) ? (2,?1) ? (?3,1)
e?
11.【解析】

x2 y2 3 ? ?1 2 , 2a ? 12 , a ? 6 , b ? 3 ,则所求椭圆方程为 36 9 .
a?b?c ? 11 1 1 ? a ? c ? ? 0 12 ? a ? 12 ? c ? 2 2 ? ?1 12 , 6 12 , ,

12.【解析】由题知

a?
解得

5 1 b? 12 , 4.

(二)选做题

k ? (?2) ? ?1 13.【解析】 2 ,得 k ? ?1 . ?

? x ?1 ? x ? 2 ?( x ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 3 x ?1 ?? ?x?? ?1 ? ? 2 x ? ?2 x?2 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 14.【解析】 且
0 15.【解析】解法一:连结 OA 、 OB ,则 ?AOB ? 90 ,∵ AB ? 4 , OA ? OB ,∴

2 OA ? 2 2 ,则 S圆 ? ? ? (2 2 ) ? 8? ;解法二:

2R ?

4 ?4 2?R?2 2 sin 45 0 ,



S圆 ? ? ? (2 2 ) 2 ? 8? .

三、解答题 16. 解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,代入

sin ? ? cos ? ? 1 得
2 2

sin ? ? ?

2 5 5 , cos? ? ? 5 5

? ? ?( 0 ,
, 又

2

)
, ∴

s ?? i n

2 5 5 , c ? ?s o 5 5 .

0?? ?
( 2 ) ∵

?
2


0 ?? ?

?
2
, ∴

?

?
2

? ? ?? ?

?
2
, 则

cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ?

3 10 10





? cos[? ? (? ? ? )] ? c ? c c ? o
17. 解 : (

? ? ? ) ? s ?os ?o? ? ) ?
s
1 ) 由

2 i 2 .


s i


s


n

n

3 2 7 3 8 123 119 ? ? ? ? ) ? 50 ? 1 ? ? 50 x? 50x ? 1 ? 1825 365 1825 1825 9125 9125 18250 ; , 解得 ( 119 2 365 ? ( ? 50 ? ? 50) ? 219 18250 365 (2) ;
( 3 ) 该 城 市 一 年 中 每 天 空 气 质 量 为 良 或 轻 微 污 染 的 概 率 为

119 2 219 3 ? 50 ? ? 50 ? ? 18250 365 365 5 , 则 空 气 质 量 不 为 良 且 不 为 轻 微 污 染 的 概 率 为 1? 3 2 ? 5 5 , 一 周 至 少 有 两 天 空 气 质 量 为 良 或 轻 微 污 染 的 概 率 为

3 3 76653 7 2 6 2 1 ? C 7 ( ) 7 ( ) 0 ? C 7 ( ) 6 ( )1 ? 5 5 5 5 78125 .
18. 解: 依题作点 E 、G 在平面 (1)

DCC1D1 内的正投影 E1 、G1 , E1 、G1 分别为 CC1 、 则

DD1 的中点,连结 EE1 、 EG1 、 ED 、 DE1 ,则所求为四棱锥 E ? DE1 FG1 的体积,其
底面 DE1 FG1 面积为

1 1 S DE1FG1 ? S Rt?E1FG1 ? S Rt?DG1E1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ,
又 EE1 ? 面 DE1 FG1 , EE1 ? 1 ,∴

V E ? DE1FG1 ?

1 2 S DE1FG1 ? EE1 ? 3 3.
y

(2) D 为坐标原点,DA 、DC 、DD1 所在直线分别作 x 轴, 轴,z 轴, E1 (0,2,1) 、 以 得

G1 (0,0,1) ,又 G(2,0,1) , F (0,1,2) , E (1,2,1) ,则 FG1 ? (0,?1,?1) , FE ? (1,1,?1) ,

FE1 ? (0,1,?1) ,
∴ FG1 ? FE ? 0 ? (?1) ? 1 ? 0 , FG1 ? FE1 ? 0 ? (?1) ? 1 ? 0 , 即 FG1 ? FE ,

FG1 ? FE1 ,
又 FE1 ? FE ? F ,∴ FG1 ? 平面 FEE1 .

cos ? E1G1 , EA ??
(3) E1G1 ? (0,?2,0) , EA ? (1,?2,?1) ,则

E1G1 ? EA E1G1 EA

?

2 6
,设异

面直线

E1G1与EA 所成角为 ? ,则
2

sin ? ? 1 ?

2 3 ? 3 3 .

1 5 Q( , ) 19. 解: 1) ( 联立 y ? x 与 y ? x ? 2 得 x A ? ?1, x B ? 2 , AB 中点 2 2 , 则 设线段 PQ

1 5 ?s ?t 1 5 2 2 s ? 2x ? , t ? 2 y ? x? ,y ? 2 2 ,又点 P 在 2 2 ,即 的中点 M 坐标为 ( x, y ) ,则
曲线 C 上,

2y ?


5 1 11 ? (2 x ? ) 2 y ? x2 ? x ? 2 2 化简可得 8, 又点 P 是 L 上的任一点, 且不与点 A 和 ? 1 ? 2x ? 1 1 5 11 ?2 ? ?x? y ? x2 ? x ? 2 4, 8 , 即 4 ∴中点 M 的轨迹方程为

点 B 重合, 则

1 5 ?x? 4 ). ( 4 ? G : x 2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ?
(2)曲线

51 ?0 25 ,

y
x B x A D

o

x

即圆 E :

( x ? a ) 2 ? ( y ? 2) 2 ?

7 49 r? 5 25 ,其圆心坐标为 E (a,2) ,半径

由图可知,当 0 ? a ?

2 时,曲线

G : x 2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ?

51 ?0 25 与点 D 有公共点;

当 a ? 0 时,要使曲线

G : x 2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ?

51 ?0 25 与点 D 有公共点,只需圆心 E

到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离

d?

|a?2?2| 2

?

|a| 2

?

7 7 2 ? ?a?0 5 ,得 5 ,则 a 的最

7 2 5 . 小值为 ?
20. 解 :( 1 ) 依 题 可 设

g ( x) ? a( x ? 1) 2 ? m ? 1

( a?0 ) , 则

g ' ( x) ? 2a( x ? 1) ? 2ax ? 2a ;


g? ? x ?

的图像与直线 y ? 2 x 平行

? 2a ? 2

a ?1

? g ( x) ? ( x ? 1) ? m ? 1 ? x ? 2x ? m ,
2 2

f ? x? ?

g ? x? m ? x? ?2 x x ,



P ? xo , y o ?
2 0

2 2 | PQ | 2 ? x0 ? ( y 0 ? 2) 2 ? x0 ? ( x0 ?

,则

m 2 ) x0

m2 ? 2 x ? 2 ? 2m ? 2 2m 2 ? 2m ? 2 2 | m | ?2m x0
2 2 x0 ?

当且仅当 当 m ? 0 时, 当 m ? 0 时,

m2 2 x0 时, | PQ | 2 取得最小值,即 | PQ | 取得最小值 2
(2 2 ? 2)m ? 2 (?2 2 ? 2)m ? 2
解得 m ?

2 ?1

解得 m ? ? 2 ? 1

m y ? f ? x? ? k x??1 ? ? x? ? ? k 2 0 ?1? k ? x2 ? 2 x ? m ?0 x (2)由 ( x ? 0 ),得

?*? ?*? 有一解 x ? ? 2 ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? 2 ; 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1? k ? ? 0 , 当 k ? 1 时,方程
若m ? 0,

m

m

k ? 1?

1 m,

函数

y ? f ? x ? ? kx
k ? 1?

x?
有两个零点

? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) 1 ? 1 ? m(1 ? k ) x? 2(1 ? k ) k ?1 ,即 ;

若m? 0,

1 m,

函数

y ? f ? x ? ? kx

x?
有两个零点

? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) 1 ? 1 ? m(1 ? k ) x? 2(1 ? k ) k ?1 ,即 ;
k ? 1?
,

当 k ? 1 时,方程

?*?

有一解

? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0
x? 1 ? ?m k ?1
x??
有一零点

1 m,

函数

y ? f ? x ? ? kx

有一零点

综上,当 k ? 1 时, 函数

y ? f ? x ? ? kx

m 2;

k ? 1?


1 1 k ? 1? m ( m ? 0 ),或 m ( m ? 0 )时,

函数

y ? f ? x ? ? kx

x?
有两个零点

1 ? 1 ? m(1 ? k ) k ?1 ;

k ? 1?
当 21.

1 1 x? ? ?m y ? f ? x ? ? kx m 时,函数 k ?1 有一零点 .

解 :( 1 ) 设 直 线

ln : y ? k n ( x ? 1) , 联 立 x 2 ? 2nx ? y 2 ? 0 得

2 2 2 2 2 2 (1 ? k n ) x 2 ? (2k n ? 2n) x ? k n ? 0 , 则 ? ? (2k n ? 2n) 2 ? 4(1 ? k n )k n ? 0 , ∴

kn ?

n 2n ? 1 (

?

n 2n ? 1 舍去)

2 xn ?

2 kn n2 n n 2n ? 1 ? xn ? y n ? k n ( xn ? 1) ? 2 2 1 ? k n (n ? 1) ,即 n ? 1 ,∴ n ?1

1 ? xn ? 1 ? xn
(2)证明:∵

n n ?1 ? n 1? n ?1 1?

1 2n ? 1

x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2 n?1 ?

1 3 2n ? 1 1 3 2n ? 1 1 ? ????? ? ? ????? ? 2 4 2n 3 5 2n ? 1 2n ? 1

x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2 n?1 ?


1 ? xn 1 ? xn

由于

xn ? yn

1 ? xn 1 ? 2n ? 1 1 ? xn
cos x ?

o , 可令函数 f ( x) ? x ? 2 sin x , f ( x) ? 1 ? 2 c s x , 则
'

令 f ( x) ? 0 ,得
'

? ? 2 (0, ) (0, ) ' 2 ,给定区间 4 ,则有 f ( x) ? 0 ,则函数 f (x) 在 4
(0, ) 4 恒成立,又

x 上 单 调 递 减 , ∴ f ( x) ? f (0) ? 0 , 即 x ? 2 s i n 在

?

0?

1 1 ? ? ? 2n ? 1 3 4,

1 ? xn x 1 1 ? 2 sin n ? 2 sin yn 2n ? 1 ,即 1 ? xn 则有 2n ? 1 .
绝密★启用前

试卷类型:

A

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟 。 参考公式:锥体的体积公式 V=

1 sh,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 1 0 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={x|-2<x<1},B=A={x|0<x<2},则集合 A∩B= A.{x|-1<x<1} B.{x|-2<x<1} C.{x|-2<x<2} D.{x|0<x<1} 2.若复数 z1=1+i,z2=3-i,则 z1`z1= A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i 3.若函数 f(x)= 3 + 3 与 g(x)= 3 ? 3 的定义域均为 R,则
x x ?x ?x

A.f(x)与 g(x)均为偶函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数
[来源:Zxxk.Com]

B.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 D.f(x) 为偶函数.g(x)为奇函数

4.已知数列{ an }为等比数列, sn 差中项为 A.35 5.“ m ?

,且 5 是它的前 n 项和,若 a2 * a3 =2a. a4 与 2 a7 的等

5 ,则 s5 = 4
B.33

[来源:学+科+网]

C.3l

D.29

1 2 ”是“一元二次方程 x ? x ? m ? 0 有实数解”的 4

A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

6.如图 1, V ABC 为正三角形, AA '/ / BB / /CC ,

'

'

CC ' ? 平面ABC且3AA ' ?
主视图)是

3 BB ' ? CC ' ? AB 2

则多面体 ABC ? A B C 的正视图(也称
' ' '

7.已知随机 量 X 服从正态分布 N (3,1) 且 P , (2≤X≤4) =0.6826, 则 P(X>4)= A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 8.为了迎接 2010 年广州亚运会,某大楼安装了 5 个彩灯,他们 闪亮的顺序不固定,每个彩灯 只能闪亮红橙黄绿蓝中的一种颜 色,且这个 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记住 5 个彩灯有 序地各闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅有 一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒,如果要 实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是 A.1205 秒 B.1200 秒 C.1195 秒 D.1190 秒 二、填空题:本大题共 7 小题.考生作答 6 小题.每小题 5 分, 满分 30 分 (一)必做题(9~13 题) 9.函数,f(x)=lg(x-2)的定义域是 10.若向量 a =(1,1,x), b =(1,2,1), c =(1,1,1)满足条件 ( c — a )· b =-2,则 x= 2 11.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 ,A+C=2B, 则 sinC= .

?

?

?

?

?

?

12.若圆心在 x 轴上、半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+y=0 相切,则圆 O 的 方程是 .

13.某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居民某年的月均用水量进行 了抽样调查,其中 n 位居民的月均用水量分别为 x1 ,…, x4 (单位:吨).根据图 2 所示 的程序框图,若 x1 , x2 ,分别为 1, 2 ,则输出的结果 s 为 .

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲 选做题)如图 3,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,他们相交于 AB

PD ?
的中点 P,

2a 3 , ? OAP=30°则 CP=

15.( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 ( ρ , θ ) 0 ? ? <2? ) 中 , 曲 线 (

? ? 2sin?与? cos? ? ?1 的极坐标为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 l4 分)

已知函数f ? x ? ? A sin ? 3x ? ? ? ( A>0,x ? ? ??, ?? ?, ?<?),在x ? 0< (1)求f (x)的最小周期 (2)求f (x)的解析式 2 ? 12 (3)若( ? + )= ,求 sin ? . f 3 12 5

?
12

时取得最大值4。

17.(12 分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 40 件产品 作为样本称出它们的重量(单位:克) ,重量的分组区间为(490,495】(495,500】 , ,??, (510,515】 ,由此得到样本的频 率分布直方图,如图 4 (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量, (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件, Y 为重量超过 505 克的产品数量, Y 的 分 设 求 布列; (3)从该流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率。
[来源:学*科*网

18.(本小题满分 14 分) 如图 5, ? AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为 ? 的中点, AC 点 B 和 点 C 为 线 段 AD 的 三 等 分 点 , 平 面 AEC 外 一 点 F 满 足

FC = FD =,FE= 6a
(1)证明: EB ? FD ;
[来源:学_科_网]

(2 已知点 Q, R 为线段 FE, EB 上的点, FQ ? 面 RQD 所成的两面角的正弦值.

2 2 FE , FR ? FB ,求平面 BED 与平 3 3

19. 本小题满分 ( 12 分) ????某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐?已知一个单位的午餐含??个单位的碳 水化合物,?个单位的蛋白质和?个单位的维生素 C ;一个单位的晚餐含?个单位的碳水 化合物,?个单位的蛋白质和??个单位的维生素 C ?另外,该儿童这两餐需要的营养 中 至少含??个单位的碳水化合物,??个单位的蛋白质和??个单位的维生素 C ?? 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是???元和?元,那么要满足上述的营养要 求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐??

20.(本小题满分 14 分) 已知双曲线

x ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P( x1 , y1 ) , Q( x1 , ? y1 ) 是双曲线 2

上不同的两个动点. (1)求直线 A P 与 A2 Q 交点的轨迹 E 的方程 1 (2 若过点的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1 ? l2 ,求 h 的值. 21.(本小题满分 14 分) 设 A( x1 , y2 ) , B( x2 , y2 ) 是平面直角坐标系 xOy 上的两点,现定义由点 A 到点 B 的一种 折线距离 p( A, B) 为

p( A, B) ?| x2 ? x1 | ? | y2 ? y1 | .
对于平面 xOy 上给定的不同的两点 A( x1 , y2 ) , B( x2 , y2 ) , (1)若点 C ( x, y ) 是平面 xOy 上的点,试 证明 p( A, C ) ? p(C, B) ? p( A, B);

(2)在平面 xOy 上是否存在点 C ( x, y ) ,同时满足 ① p( A, C ) ? p(C , B) ? p( A, B) ② p( A, C ) ? p(C, B)

若存在,请求出所有符合条件的点,请予以证明.

答案
1. D. A ? B ? {x | ?2 ? x ? 1} ? {x | 0 ? x ? 2} ? {x | 0 ? x ? 1} 2. A. z1 ? z2 ? (1 ? i) ? (3 ? i) ? 1? 3 ? 1?1 ? (3 ?1)i ? 4 ? 2i 3.D. f (? x) ? 3
?x

? 3x ? f ( x), g (? x) ? 3? x ? 3x ? ? g ( x)

4.C.设{ an }的公比为 q ,则由等比数列的性质知, a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 2a1 ,即 a4 ? 2 。 由

a4 与

2

a7 的 等 差 中 项 为

5 4

知 ,

a4 ? 2a7 ? 2 ?

5 4

, 即

a7 ?

1 5 1 5 1 (2 ? ? a4 ) ? (2 ? ? 2) ? . 2 4 2 4 4
3

∴q ?

1 1 a7 1 ? ,即 q ? . a4 ? a1q 3 ? a1 ? ? 2 ,即 a1 ? 16 . 2 8 a4 8

2 5.A.由 x ? x ? m ? 0 知, ( x ? ) ?
2

1 2

1 ? 4m 1 ?0 ?m? . 4 4

6.D. 7.B. P(3 ? X ? 4) ?

1 P(2 ? X ? 4) =0.3413, 2

P( X ? 4) ? 0.5 ? P(2 ? X ? 4) =0.5-0.3413=0.1587.
8.C.每次闪烁时间 5 秒,共 5×120=600s,每两次闪烁之间的间隔为 5s,共 5×(120-1) =595s.总共就有 600+595=1195s. 9. (1,+∞) .∵ x ? 1 ? 0 ,∴ x ? 1 . 10.C. c ? a ? (0,0,1 ? x) , (c ? a) ? (2b) ? 2(0,0,1 ? x) ? (1,2,1) ? 2(1 ? x) ? ?2 ,解得

? ?

? ?

?

x ? 2.

11.1.解:由 A+C=2B 及 A+ B+ C=180°知,B =60°.由正弦定理知, 即 sin A ?

1 3 , ? sin A sin 60?

1 ? ? .由 a ? b 知, A ? B ? 60 ,则 A ? 30 , 2

C ? 180? ? A ? B ? 180? ? 30? ? 60? ? 90? , sin C ? sin 90? ? 1.
12. ( x ? 5)2 ? y2 ? 5 .设圆心为 (a, 0)(a ? 0) ,则 r ?

| a ? 2?0 | 12 ? 22

? 5 ,解得 a ? ?5 .

13.填 14.

3 1 ? 1.5 ? 1.5 ? 2 6 3 ? ? . .s ? 2 4 4 2

9 a .因为点 P 是 AB 的中点,由垂径定理知, OP ? AB . 8
在 Rt ?OPA 中, BP ? AP ? a cos 30 ?
?

3 a .由相交线定理知, 2

BP ? AP ? CP ? DP ,即

9 3 3 2 a? a ? CP ? a ,所以 CP ? a . 8 2 2 3

15. ( 2,

? x ? ? cos ? , 3? ) .由极坐标方程与普通方程的互化式 ? 知,这两条曲线的普通 4 ? y ? ? sin ?
2 2

方程分别为 x ? y ? 2 y, x ? ?1.解得 ? 为

? x ? ?1, ? x ? ? cos ? , 由? 得点(-1,1)的极坐标 ? y ? 1. ? y ? ? sin ?

( 2,

3? ) 4



sin(2? ?
17

?
2

)?

3 3 3 1 5 2 2 , cos 2? ? , 1 ? 2sin ? ? , sin ? ? , sin ? ? ? . 5 5 5 5 5

18.

(2)设平面 BED 与平面 RQD 的交线为 DG . 由 BQ=

2 2 FE,FR= FB 知, QR || EB . 3 3

而 EB ? 平面 BDF ,∴ QR || 平面 BDF , 而平面 BDF ? 平面 RQD = DG , ∴ QR || DG || EB . 由 (1) BE ? 平面 BDF , DG ? 平面 BDF , 知, ∴ 而 DR ? 平面 BDF , BD ? 平面 BDF , ∴ DG ? DR, DG ? DQ , ∴ ? RDB 是平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的平面角. 在 Rt ?BCF 中, CF ?

BF 2 ? BC 2 ? ( 5a) 2 ? a 2 ? 2a ,

sin ?RBD ?

FC 2a 2 1 2 ? ? , cos ?RBD ? 1 ? sin ?RBD ? . BF 5a 5 5

5 2 a? 3 5 ? 2 29 . sin ?RDB ? 29 29 a 3
故平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值是

2 29 . 29

19.解:设该儿童分别预订 x , y 个单位的午餐和晚餐,共花费 z 元,则 z ? 2.5 x ? 4 y 。 可行域为

y ?1 2x ? 8 ? 6 4 , ?3 x ? 2 y ? 16, ?6 x ? 6y ? 4 2 , ? x ? y ? 7, ? ? ? ? 6 x ? 1 0 ? 6 4 , ?3 x ? 5 y ? 32, y 即 ? ? x ? 0 ,x ? N , ? x ? 0, ? ? ? y ? 0 ,y ? N . ? y ? 0. ? ?
作出可行域如图所示: 经试验发现,当 x ? 4, y ? 4 时,花费最 少,为 2.5 ? 4 ? 4 ? 4 ? 26 元. 20.

[来源:学,科,网]

故y ??
2

1 2 x2 ( x ? 2) ,即 ? y 2 ? 1 。 2 2 1 x?h。 k

(2)设 l1 : y ? kx ? h ,则由 l1 ? l2 知, l2 : y ? ? 将 l1 : y ? kx ? h 代入

x2 ? y2 ? 1 得 2

x2 ? (kx ? h) 2 ? 1 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4khx ? 2h2 ? 2 ? 0 , 2
由 l1 与 E 只有一个交点知, ? ? 16k 2 h2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2h2 ? 2) ? 0 ,即
[来源:学.科.网][来源:学科网 ZXXK]

1 ? 2k 2 ? h2 。
同理,由 l2 与 E 只有一个交点知, 1 ? 2 ? 从而

1 1 ? h 2 ,消去 h2 得 2 ? k 2 ,即 k 2 ? 1 , 2 k k

h2 ? 1 ? 2k 2 ? 3 ,即 h ? 3 。

21. (本小题满分 14 分) 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )是平面直角坐标系 xOy 上的两点, 先定义由点 A 到点 B 的一种 折线距离 p(A,B)为 P( A, B) ?| x2 ? x1 | ? | y2 ? y1 | .

当且仅当 ( x ? x1 )( x2 ? x) ? 0,( y ? y1 )( y2 ? y) ? 0 时等号成立, A, B, C 三点共线时 即 等号成立. (2)当点 C(x, y) 同时满足①P ( A, C ) +P (C , B) = P ( A, B) ,②P ( A, C ) = P (C , B) 时, 点 C 是线段 AB 的中点. x ? 件。

x1 ? x2 y ? y2 x ? x2 y1 ? y2 ,y? 1 , ) 满足条 ,即存在点 C ( 1 2 2 2 2

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)

? ? y b ? 中系数计算公式 线性回归方程 ?? x a
其中 x, y 表示样本均值。

? a? b ) b b2 ? ? a ? b ? ? ? n ( a ? ? a N 是正整数,则 ab ?n1
n n? n ? 1 n 2

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1i ?,其中 i 为虚数单位,则 z =B ? 1. 设复数 z 满足 ?? z 2

A. 1 ? i

B. 1 ? i

C. 2 ? 2i

D. 2 ? 2i
2 2

? ?, ? xy ? xy ? ? ? 2.已知集合 A? , ? ∣ x, y 为实数,且 x y 1 B ? , ?x, y 为实数,
且 y ? x? ,则 A ? B 的元素个数为 C A.0 B.1 C.2 D.3

? b (2 a? ) 3. 若向量a,b,c满足a∥b且a⊥b,则 c? D

A.4

B.3

C.2

D.0

4. 设函数 f ? x ? 和 g ? x ? 分别是R上的偶函数和奇函数, 则下列结论恒成立的是 A

xx ?g ? ? ? A. f ? 是偶函数 xx ?g ? ? ? C. f ? 是偶函数

xx ?g ? ? ? B. f ? 是奇函数 xx ?g ? ? ? D. f ? 是奇函数

?0 ? x ? 2 ? 5. 在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定。 M(x, y) 若 ? ?x ? 2 y ?? ?? ?? ?? ? 为 D 上的动点,点 A 的坐标为 ( 2,1) ,则 z M ?? O 的最大值为 C O N
A. 4 2 B. 3 2 C.4 D.3

6. 甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队 需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率 为D A.

1 2

B.

3 5

C.

2 3

D.

3 4

7. 如图 1-3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图) 和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为 B

A. 6 3

B. 9 3

C. 12 3

D. 18 3

ab S 8.设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果 ?, ? ,有 ab ? S ,则称 S 关于数的乘法 ??, ,, b , 是封闭的. 若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集, T UZ ?cT 且 a ? 有
a T,,? xyz ?V ,则下列结论恒成立的是 A b ;xz , c ? V ? y 有

A. T , V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B. T , V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C. T , V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. T , V 中每一个关于乘法都是封闭的 16. 填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 (一)必做题(9-13 题)

? 1 ? [1,??) x ? 3 ?. 0 9. 不等式 x 的解集是

? 2 ? 10. x x ? 的展开式中, x 4 的系数是 84 ? ? ? x ?

7

(用数字作答)

a0 ? 1 ,? a ? a k , 11. 等差数列 an 前 9 项的和等于前 4 项的和. 若 1 4 k=_____10 则
_______.

(? x2 )x ? 3 ? 1 12. 函数 f x 在 x=____2 ________处取得极小值。
13. 某数学老师身高 176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm 和 182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预 测他孙子的身高为__185___cm. (2)选做题(14 - 15 题,考生只能从中选做一题)

14. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 已 知 两 面 线 参 数 方 程 分 别 为
5 ? 2 x ? t ? ( t ? R ) 4 ? ? 5s x c? ? o ? 2 5 y ? t (? )和 ? 0 ? ?? ? ? ,它们的交点坐标为_____ (1 , ) y n ? ? s? 5 ? i

______. 15.(几何证明选讲选做题)如图 4,过圆 O 外一点 p 分别作圆的切线 和割线交圆于 A , B ,且 PB =7, C 是圆上一点使得 BC =5, ∠ BAC =∠ APB , 则 AB =
35



3.解答题。本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和 演算步骤。 (1) (本小题满分 12 分)

1 (2 ?R xn ) . )i s ( , ? 已知函数 f ?xx 3 6 5? (1)求 f ( ) 的值; 4

?

? ? o??的值. ( , , f ( ) , f ( ) , (2)设 , 求 cs ? ) ? ? ? ?
(? 2 i n )s ( ? i n2 16.解:(1) f ) s ?2 ? ; 1 2 6 4 1 0 5 ? 1 2 ( 3 )2 ? ? s i i n ? 0 , c? o s (2) f ??n , s ? ,又 ? [ , ] ? , 2 1 3 1 3 2 1 3 6 3 f ? 2 ? c? c? , ( 2s 3 ) i ? n ) o ,? ? ( ? 2 s o s 2 5 5

? ? ? ? ?
?
2

? ?

5 4

? 5 ? ? ?
?

?

?

? 0 , s i n 又 ? [ , ] ? ?, 5

1 6 c ? ? ? o c s () cn ? o s . o s s in s i 6 5

??? ? ??

?4

17. 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的 产品中分别抽出取 14 件和 5 件,测量产品中的微量元素 x,y 的含量(单位:毫 克).下表是乙厂的 5 件产品的测量数据:

编号 x y

1 169 75

2 178 80

3 166 77

4 175 70

5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175, y≥75 时,该产品为优等品。 且 用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中, 随机抽取 2 件, 求抽取的 2 件产品中 优等品数 ? 的分布列极其均值(即数学期望) 。
? 3 5 17.解: (1)乙厂生产的产品总数为 5 ? ;
(2)样品中优等品的频率为

1 4 9 8

i? 2 i C C 2 3 () 2i?, ,2 ? 的分布列为 ? i ?( 0 ) 0 ,2 1 , (3) ?? ,1 , P C 5

?
1

2 2 5 ?? ; 1 4 ,乙厂生产的优等品的数量为 3 5 5

?
P

0

2

3 10

3 5

1 10
P F

( )1 2 ? ?? 均值 E? ? .

?

3 14 5 1 05

18.(本小题满分 13 分) 如图 5.在椎体 P-ABCD 中,ABCD 是边长为 1 的 棱形,
G A D C E S



B

且∠DAB=60 ? , P ,PB=2, A ? P D ? 2 E,F 分别是 BC,PC 的中点. (1) 证明:AD ? 平面 DEF; (2) 求二面角 P-AD-B 的余弦值.
P D G , ? 18.解:(1) 取 AD 的中点 G,又 PA=PD,? A





B D G , ? 由题意知 ΔABC 是等边三角形,? A
又 PG, BG 是平面 PGB 的两条相交直线,

?P A G D B ? , 平 面
? / BE B E P /G F , / D / ,

?D/ P, 平F 面 面 平B E / G

? D A面 DE ?F 平
? ? AB (2) 由(1)知 ?PGB 为二面角 P D 的平面角,
G 2 () G? ? ?( t P A t B A 在 R ? G 中, P ? ? ?;在 R ? G 中, B 1 ) ;
2 2 2 2

1 7 2 2 4

1 3 2 2 4

在 ?PGB 中, c G oB s ? ? P

2 P 2 B2 G P 1 ? 2 B G ? ?. ? 2G 7 P G ? B

19.(本小题满分 14 分)
2 x? ? ? ? 2 (5 4 ) ? 2 yx ? , y 设圆 C 与两圆 (5 4 )2中的一个内切,另一个外切。

(1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程;

3 4 5 5 PF ? 的最大值 , F ,) 0 (2)已知点 M ( , ) (5 ,且 P 为 L 上动点,求 M P 5 5
及此时点 P 的坐标.

( ,0 19.解: (1)两圆半径都为 2,设圆 C 的半径为 R,两圆心为 F 5 ) F( 5 ), 、 2 1? ,0
?F2 C ? ?F 2 C? | 1 ?2 或 | | | 2 ?1 , | | 由题意得 RC? | F 2 RC ? | F2

?F |?? | | 4, C | F |2 5 C| F |2 ? ? F 1| 1 2
可知圆心 C 的轨迹是以 F1 , F2 为焦点的双曲线,设方程为
2 2 x y ? ? 1 ,则 2 2 a b 2 x 2 ? ?. y 1 4

2? , c 1 a 2 ba ,所以轨迹 L 的方程为 ? c 2 ?? 4? 2? , , 5 2b a ? ,1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

| P F F ,仅当 P F 时,取"=", | ? | || | ? ? M? ? P) (0 (2)∵|M| PM2

? ?

2 y2 ) ( x 由 k F ?? 知 直 线 l :? ? , 联 立 M M ? 5 F
2 1? 59 解得 x ? 5 3x ? x 2 ?0

2 x 2 ? ?并 整 理 得 y 1 4

6 5 1 4 5 ? ( 舍 去 或x ) ,此时 5 1 5

| | M P | | F P | 所以 | ? 2,此时 P 最大值等于 . () ,

3 5 4 5 5 5

20.(本小题共 14 分)

nn b1 a ? ? (? n2 ) 设 b>0,数列 ?an ? 满足 a1=b, a n a?? n ? 2 2 1 n .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式;
n ? 1 b ?? . (2)证明:对于一切正整数 n, a n 1 n ? 1 2

20.解(1)法一: 设?b,则 n

a b a a 2 ? 1 2 ( n ? 1 n 1 n n ? 1 n )? ? 1 ? n ?? ? ? ,得 , nn 2 ) a b a (1 n n b ? ? b a a n ? 1 n ? 1 ? 1
(n ? 2) ,

n an

(ⅰ )当 b ? 2 时, ?bn ? 是以

1 1 为首项, 为公差的等差数列, 2 2

??? ( 1 n) ??n an ? 2 即b ,∴ n

1 2

11 22

? ? n? b ?b ( 1 ) (ⅱ )当 b ? 2 时,设 b ?( 1 ) b ?n ? ? ,则 n , n ? ? 1 b
? ) ? 令 ( 1 ,得 ??
知b ? n

2 ? b

?

2 b

2 ?

2 ? b

1 b

1 1 2 1 (n b? 2) , ? ? ? ( b ) ,? n ? n ? 1 2? b 2 ? b b 2 ? b

1 1 1 2 1 n ? 1 b? , ? ? ( b ? ) ( ) 是等比数列,? ,又 b n ? 11 2 b ? 2 ? b 2 ? b b b

n n 1 1 2 2 1n ? n) b b ( 2 ? b n ? ? b? ?) ? n ? . ( ? ? , a n n n n 2 2 b ? ? b b b b 2 ? 2 ? b 1 1 法二: )当 b ? 2 时, ?bn ? 是以 为首项, 为公差的等差数列, (ⅰ 2 2

??? ( 1 n) ??n an ? 2 即b ,∴ n
3 3 2b2(?) 3? b2 3 b ( b ) b ? 2 时, a1 ? b ,a2?, a ? ?3 (ⅱ )当 , 2 2 3 b?2? b ? ? 2 b ? 4 b 2

1 2

11 22

? 猜想 a ,下面用数学归纳法证明: n n n

n n b ( b ? 2 ) b ? 2

①当 n ? 1 时,猜想显然成立; ②假设当 n ? k 时,

k

,则 k k k

( )

? ( (2 k) ( ?( 1 1k k )1 ) b b? ?? b a )1 k ? k k b( ? ? b 2 ) k b a ? ? ? k ? 1 k k k, k ? 1 k ? 1 a) ?? 2 ( ? (2 nb ?? 1 )2 2 b ( b b ? ? k ) k k2

所以当 n ? k ?1时,猜想成立,

n N ? 由①②知, ? ? *, a . n n n

n n b ( b ? 2 ) b ? 2

? 2 ? ? 1 (2) )当 b ? 2 时, a (ⅰ ,故 b ? 2 时,命题成立; n n ? 1

n ? 1 2 2

2 n 2 n 2 n 2 n n ? 1 n (ⅱ )当 b ? 2 时, b , 2 2 b ? 2 2 b 2 n ? 1 2 2 1 b ? ? 2?n 2, ? b1 b ? 22 ?n ?n2 nn 2 ? b

n n ? n 1? n ? 1 n ? 1 n ? 1 2 n 2 n 1 ,以上 n 个式子相加得 ,? b ?? 2 ? b ? 2 ? 2 b 2 2 b
2 n 21 1 n ? n 1 n ? 1 b ?n ?2 ??n n ?? ? n 2 n1 , bn ? ?? ? b ? 2 ? ? 2? 2 n 2 ? ? ? 21 b 1 2 ? b ? b

n ? 1 n ? 1 ? 1 n n [ ?b ?2 ? ? 22 ) 22 ? ? b b2 b ( n ? bn? 2 2 )2 ( b ? 2n ?n n 2 ] ? )? ( b a ? n ? n n n ? 1 n ? 1 n n 2 ( b ? 2 ) 2 ( b ? 2 ) 21 n 2 ? 2n ? 1 2 (n? b b ?? n? ?? ) ? 2 b b( ? 2n bn ? 2 2 2? ) 2 )( ? b ? n n ? 1 n 2 ( b ? 2 ) 2 2 n n n ??? 1 n 1 ( 21 b b1 ? n ? 2? ) n? ? 2 b ? ? n n ? 1 n 2 ) ( b ? 2 2 n ? ? 1 1 1 ( ? )n? n b? b n n( n 2 n 1 b ? 12 ? b? 2 ? 2 ? ) ? ? n? ? .故当 b ? 2 时,命题成立; 1 nnn ? 1 2 ) (2 b ? 21

综上(ⅰ (ⅱ ) )知命题成立.

21.(本小题满分 14 分)

1 2 在平面直角坐标系 xOy 上,给定抛物线 L: y ? x 实数 p,q 满足 4 .
2 2 p 4?,x1,x2 是方程 x ? q m x x 。 ? 0 q ? ) a 1 2 p xp ?x , ? ? q ? ? 0 的两根,记 (,

1 (, 2 0 0 ppp ) ) (1)过点 A 0( ? L 的切线教 y 轴于点 B. 证明:对线段 AB 作 0 4

p 0 p , q ) ? 上任一点 Q(p,q)有 ( ; 2

?
p1 2 ;

(2)设 M(a,b)是定点,其中 a,b 满足 a2-4b>0,a≠0. 过 M(a,b)作 L

1 1 (, 2 ? 2 2 pp (, ) ) pp , 的两条切线 l1 , l2 ,切点分别为 E 1 E 2, l1 , l2 与 y 轴分别交与 1 4 4
F,F' 。 线 段 EF 上 异 于 两 端 点 的 点 集 记 为 X. 证 明 : M(a,b)

? X ? P ? P ? ? ( a, b) ? 1 2

(3) D={ (x,y)|y≤x-1,y≥ 设

1 5 (x+1)2- }.当点(p,q)取遍 D 时, ? ( p, q) 的 求 4 4

最小值 (记为 ? min )和最大值(记为 ? max ).
? y ' p | 0 ? ( x ) | ? 21.解: (1) k , A B x ? p x ? p 0 0
? 0? 0 ?) y p p ( 0,即 ?0 xp p x ? 直线 AB 的方程为 y p , 0 12 1 4 2 12 1 2 4

1 1 2 2

1 1 2 2 2 ?0?2 qp 0 ? pp ??? q pp , ? p x ? q ? 0 ,方程 x 的判别式 ?p 4 ( ? ) 0 2 4
两根 x? 1 , 2

pp p p ?0 | 0 | ? p ? 或p? 0 , 2 2 2

p p ?0 0? 0? |? 0| p ? |p || p | |,又 00 ? p , ? | |, p | | ? p ? | 2 2
p p p p p p 0 0 ? 00 ? ? | | | |? | | ? ,得 p 0 ? ? | | | p ?, | 0 | | | | p || ? | | ? 2 2 2 2 2 2 p 0 ? ( p ,. q ) ? | | 2 2 ? 0 b (2)由 a 4?知点 M(a, b) 在抛物线 L 的下方,

?

? | ?b0 , ( ) ,则 1 2 0 a ,? b ①当 a0 ? 时,作图可知,若 M X p p? ,得 | p ? 2|; 1 |p | ? | () ; ? a ,? b ( p| a2 , | |p b. )? ? X 若 | p ? 2|,显然有点 M X M 1 |p 1
?b0 , ②当 a0 ? 时,点 M (a, b) 在第二象限,

| ( ) ,则 1? ?2 a ,? b 作图可知,若 M X p 0 p ,且 | p ? 2|; 1 |p

| () ; a ,? b 若 | p ? 2|,显然有点 M X 1 |p ? | ? M ( p| a2 , | |p b. )? ? X 1 ? | , () ? a , ?| |p b 根据曲线的对称性可知,当 a ? 0 时, M Xp| 1 2 ? | (*) () ? a , ?| |p b 综上所述, M Xp| ; 1 2
由(1)知点 M 在直线 EF 上,方程 x,2 ? 或 a ? 的两根 x ? a x ? , b ? 0 1
2

p 1 2

p1 2

同理点 M 在直线 E ' F ' 上,方程 x,2 ? 的两根 x ? a? a或 x ? b ?, 0 1
2

a ,则 , 1 b ) ? 若 ( || |

?

p 2 2

p2 2

p1 p p p p | 不比 | a? 1 | 、 | 2 | 、 | a? 2 | 小, 2 2 2 2 2

? p a ,? b ? |M X ?| ? (? () a , b ) 2
1

? p,又 | p ?p| |p 2 || | ? | 1 1 | 2

( , ) ,

p p a ,? b () ? a ,? a b ?1 M X ( ? ( ) ;又由(1)知, M X ( | a | , | ? b ) ,1 b ) ? | ; 2 2
,综合(*)式,得证.

?

, ) ( ? 得交点 0) , ,可知 0?p?2, ( ? ,1 1 x ? ) (3)联立 y ? x ?1, y1 (?2

15 2 44

1 2 x ? q 1 2 0 1 x, 0 ,则 4 过点 ( p, q ) 作抛物线 L 的切线,设切点为 ( 0 x ) , ? x 0 4 x ? p 2
0

??0 0p ? p ? xq 得 x2 4 ,解得 x ? 4 ?p , q 0
2 0

2

? ?? ( p ,即 ? ) 4 q ? 4 ? p 又 q 1 p2 ,

1 5 2 2 4 4

1 1 5 2 ?2 ? ?? ? t, ? 1 ) ? ? 4 ,设 4 p ,? t t2 ( xp ? ? ?2 p ?? x 2 t 0? 0 2 2 2

0 ,又 0 , ; m a x m a x m a x

x 5 x ? ? ? ? 5 | | 2 4

? p 1 ? 2 pp2 q ?, x p? |? ? ? ?? | , p 4 ?? 4p 2 0 ?
x 0 ?. ? ? m i1 i|| n m n 2

?


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