高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.平面向量基本定理知识巧解学案新人教A版99

2.3.1 平面向量基本定理 疱工巧解牛 知识?巧学 一、平面向量的基本定理 平面向量的基本定理:如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任一向量 a,有且只有一对实数 λ 1、λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2. 其中不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 误区警示 (1)定理中的 e1、e2 是两个不共线向量; (2)a 是平面内任一向量,且实数对 λ 1、λ 2 是唯一的; (3)平面内的任意两个不共线向量都可以作为一组基底. 二、向量的夹角 1. 已 知 两 个 非 零 向 量 a 和 b , 在 平 面 上 任 取 一 点 O , 作 OA =a , OB =b , 则 ∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°) 叫做 a 与 b 的夹角. 学法一得 (1)当向量 a 与 b 不共线时, a 与 b 的夹角 θ 是指从同一点出发的向量 a 与 b 所 成的角,θ ∈(0°,180°). (2)当向量 a 与 b 共线时,若同向,则 θ =0°;若反向,则 θ =180°. 综合可知:向量 a 与 b 的夹角 θ ∈[0°,180°]. 2.a 与 b 的夹角是 90°,我们说 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 典题?热题 知识点一 平面向量的基本定理 例 1 如图 2-3-3, ABCD 的两条对角线相交于点 M,且 AB =a, AD =b,用 a、b 表示 MA 、 MB 、 MC 和 MD . 图 2-3-3 思路分析:若在平面中选中一组基底,则该平面中的任一向量都可以与之建立联系.以该基 底为纽带,可沟通不同向量之间的联系. 解:在 ABCD 中,∵ AC = AB + AD =a+b, DB = AB - AD =a-b, ∴ MA = ? 1 1 1 1 AC = ? (a+b)= ? a- b, 2 2 2 2 1 MB = 1 1 1 1 DB = (a-b)= a- b, 2 2 2 2 1 1 1 1 1 MC = AC = a+ b, MD =- MB = ? a+ b. 2 2 2 2 2 方法归纳 由平面向量基本定理可知,一个平面内所有向量都可表示为选定基底的线性组 合,在用向量法证明几何问题时,可先把已知和结论表示成向量形式,再通过向量的运算, 有时就能够很容易地证明几何命题. 例 2 如图 2-3-4,OADB 是以向量 OA =a, OB =b 为边的平行四边形.又 BM= 试用 a、b 表示 OM 、 ON 、 MN . 1 1 BC,CN= CD, 3 3 图 2-3-4 1 1 1 1 BC = BA = a- b, 3 6 6 6 1 1 1 5 ∴ OM = OB + BM =b+ a- b= a+ b. 6 6 6 6 2 2 2 又∵ OD =a+b,得 ON = OD = a+ b. 3 3 3 1 1 ∴ MN = ON - OM = a- b. 2 6 解:∵ BA = OA - OB =a-b, BM = 例 3 已知梯形 ABCD,AB∥CD,M、N 是 DA、BC 的中点,设 AD =e1、 AB =e2,以 e1、e2 为基 底表示 DC 、 BC 、 MN . 思路分析:本题考查平面向量的基本定理,关键是找到 DC 、 BC 、 MN 与 AD 、 AB 之 间的关系. 解:(1)∵ DC ∥ AB ,∴存在唯一的实数 k,使 DC =k? AB ,即 DC =ke2(0<k<1). 图 23-5 (2)由图 2-3-5,可知 BD = AD - AB =e1-e2, 而 BC = BD + DC =e1-e2+ke2 =e1+(k-1)e2(0<k<1). 2 1 ( AB + DC ) 2 1 1 = (e2+ke2)= (k+1)e2(0<k<1). 2 2 (3) MN = 知识点二 判定动点 P 在定直线 AB 上 例 4 设 OA 、 OB 、OP 是三个有共同起点的不共线向量,求证:它们的终点 A、B、P 共线, 当且仅当存在实数 m、n 使 m+n=1 且 OP = mOA + nOB . 证明:(1)由三点共线?m、n 满足的条件. 若 A 、 B 、 P 三点共线,则 AP 与 AB 共线,由向量共线的条件知存在实数 λ 使 AP =λ AB , 即 OP - OA =λ ( OB - OA ), ∴ OP =(1-λ ) OA +λ OB . 令 m=1-λ ,n=λ , 则 OP =m OA +n OB 且 m+n=1. (2)由 m、n 满足 m+n=1 ? A、B、P 三点共线. 若 OP =m OA +n OB 且 m+n=1,则 OP =m OA +(1-m) OB , 则 OP - OB =m( OA - OB ), 即 BP =m BA .∴ BP 与 BA 共线.∴A、B、P 三点共线. 由(1)(2)可知,原命题是成立的. 思考一下,若 m=n= 1 时, OP 如何表示?P 点在什么位置? 2 方法归纳 由上题证明可知:对直线 AB 上任意一点 P,一定存在唯一的实数 t 满足向量等 式 OP =(1-t) OA +t OB (*),反之,对每一个数值 t,在直线 AB 上都有唯一的一个点 P 与 之对应;向量式(*)叫做直线 AB 的向量参数方程式,其中实数 t 叫做参变数,简称参数.此 结论为我们提供了判定动点 P 在定直线 AB 上的一种方法.当 t= 1 1 时,OP = ( OA + OB ), 2 2 此时 P 为线段 AB 的中点,这个公式就是线段 AB 的中点的向量表达式. 知识点三 向量的夹角 例 5 试指出图 2-3-6 中向量的夹角. 3 图 2-3-6 答案:(1)∠AOB=θ 为两向量的夹角; (2) OA 与 OB 的夹角为 0°,两向量同向共线; (3) OA 与

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