2017届高三数学(文)二轮复习课件(全国通用)方法突破 专题2 数学思想方法_图文

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专题二

数学思想方法

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引言 数学思想方法是数学的灵魂,是学习数学、研究数学的指导思想.高 考试题重视对数学思想方法的考查,重点体现在使用数学思想方法提供的 方法解题、以及指导解题方面,在高考中主要考查函数与方程思想、数形 结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等数学思想方法.

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策略1 函数与方程思想

【例1】 (2016· 湖北黄冈质检)定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)使不等式
2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立,其中f′(x)为f(x)的导数,则(
(A)8<

)

f ? 2? f ?1?

<16 (B)4<

f ? 2? f ?1?

<8 (C)3<

f ? 2? f ?1?

<4 (D)2<

f ? 2? f ?1?

<3

解析:构造函数 g(x)= g(2)>g(1),即
f ? 2? 4

f ? x? x2
f ?1? 1

,则 g′(x)=

xf ? ? x ? ? 2 f ? x ? x3

>0,即 g(x)在(0,+≦)上单调递增,所以
f ? x? x3

>

,得

f ? 2? f ?1?

>4.构造函数 h(x)=
f ? 2? 8

,则 h′(x)= ,所以

xf ? ? x ? ? 3 f ? x ? x4

<0, <8.

即 h(x)在(0,+≦)上单调递减,所以 h(2)<h(1),即 故选 B.

<

f ?1? 1

f ? 2? f ?1?

<8.所以 4<

f ? 2? f ?1?

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【方法总结】 函数思想的核心是选用变量建立求解目标的函数关系式,通 过函数性质的研究得出问题的答案;方程思想的核心是建立求解目标的方

程(组),通过解方程(组)得出问题的答案.函数思想是动态的,方程思想是
静态的.

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强化训练1-1:(1)(2016· 江西重点中学联考)直线y=a分别与直线y=3x+3,曲线 y=2x+ln x交于A,B两点,则|AB|的最小值为(
(A)
4 3

)

(B)1

(C)

2 10 5

(D)4
2 x2 ? ln x2 -1. 3

解析:(1)设 A(x1,a),B(x2,a),则 a=3x1+3 且 a=2x2+ln x2,可得 x1=

1 1 1 1 1 1 |AB|=x2-x1= x2- ln x2+1.构造函数 f(x)= x- ln x+1,则 f′(x)= - = 3 3 3 3 3 3x x ?1 4 ,显然 x=1 是函数 f(x)得到最小值点,所以 f(x)min=f(1)= .故选 A. 3x 3

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(2)(2016·辽宁沈阳高三质检,理 12)已知函数 y=x2 的图象在点(x0, x 02 )处的切线 为 l,若 l 也与函数 y=ln x,x∈(0,1)的图象相切,则 x0 必满足( (A)0<x0<
1 2

)

(B)

1 <x0<1 2

(C)

2 <x0< 2 2

(D) 2 <x0< 3

解析:(2)由题 f′(x)=2x,f(x0)= x 02 ,所以 l 的方程为 y=2x0(x-x0)+ x 02 =2x0x- x 02 ,因为 l 也与函 数 y=ln x 的图象相切,令切点坐标为(x1,ln x1),y′=
1 ? 2 x ? , 1 0 ? x1 所以 l 的方程为 y= x+ln x1-1,这样有 ? x1 ?1 ? ln x ? x 2 , 1 0 ?
1 , x

所以 1+ln 2x0= x 02 ,x0∈(1,+≦),令 g(x)=x2-ln 2x-1,x∈(1,+≦),
1 2 x2 ? 1 所以该函数的零点就是 x0,排除 A,B 选项,又因为 g′(x)=2x- = , x x

所以 g(x)在(1,+≦)上单调递增,又 g(1)=-ln 2<0,g( 2 )=1-ln 2 2 <0, g( 3 )=2-ln 2 3 >0,从而 2 <x0< 3 ,故选 D.

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策略2 数形结合思想
【例 2】(2016 江西省赣州十三县联考)设函数 f(x)=(x-a)2+(ln x2-2a)2,其中 x>0,a ∈R,若存在 x0,使得 f(x0)≤ (A)
1 5 4 成立,则实数 a 的值为( 5

)

(B)

2 5

(C)

1 2

(D)1

解析:因为x>0,所以f(x)=(x-a)2+(ln x2-2a)2=(x-a)2+(2ln x-2a)2, 该函数式的几何意义是直线y=2x上点(a,2a)到曲线y=2ln x上的点

(x,2ln x)的距离的平方.

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对 y=2ln x 求导,得 y′=

2 ,令其等于 2,得 x=1, x

即曲线 y=2ln x 的斜率等于 2 的曲线的切点坐标为(1,0),该点到直线 y=2x 的 距离 d=
2 5 , 5
4 4 .存在 x0,使得 f(x0)≤ 成立,此时只能是 x0 使得函数 f(x)取 5 5 1 1 1 (x-1),y=2x,解得 x= ,即 a= .故选 A. 2 5 5

故 f(x)min=d2=

最小值的点.由 y=-

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【方法总结】 根据数与形之间的对应关系,通过把数转化为形,通过对形 的研究解决数的问题、或者获得解决数的问题解决思路解决数学问题的 思想.数形结合的重点是研究“以形助数”,这在解选择题、填空题中更

显其优越,要注意培养这种思想意识,做到心中有图,见数想图,以开拓自
己的思维视野.

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强化训练 2-1:(1)已知向量是单位向量 a,b,若 a·b=0,且|c-a|+|c-2b|= 5 , 则|c+2a|的取值范围是( )
6 5 ,2 2 ] 5

(A)[1,3] (B)[3,2 3 ] (C)[

(D)[

6 5 ,3] 5

解析:(1)根据已知可得 a,b 是相互垂直的单位向量,不妨设 a=(1,0),b=(0,1),把向量 c 的起点放 在坐标原点,则|c-a|+|c-2b|的几何意义就是向量 c 的终点到向量 a,2b 的终点(1,0),(0,2)的距 离之和,由于该两点间距离等于 5 ,故向量 c 的终点在以(1,0),(0,2)为端点的线段上,该线段所 在直线方程为 x+
y =1(0≤x≤1).|c+2a|的几何意义是向量 c 的终点到向量-2a 的终点(-2,0)的 2 y =1 的距离 2

距离,显然最大距离即为点(-2,0)到点(1,0)的距离 3,最小距离为点(-2,0)到直线 x+
?2 ? 1 1? 1 4

=

6 5 6 5 .所以|c+2a|的取值范围是[ ,3].故选 D. 5 5

答案: (1)D

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(2)(2016·河南焦作一模)著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂分家万事 休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:

? x ? a ? ? ? y ? b?
2

2



以转化为平面上点 M(x,y)与点 N(a,b)的距离.结合上述观点,可得 f(x)= x 2 ? 4 x ? 20 +
x 2 ? 2 x ? 10 的最小值为

.

解析:(2)f(x)=

? x ? 2?

2

? 42 +

? x ? 1?

2

? 32 ,可以看作平面直角坐标

系中,点 M(x,0)到点 A(-2,-4),B(-1,-3)的距离之和,点 B 关于 x 轴的 对称点 B′(-1,3),如图,所以 f(x)=|MA|+|MB|=|MA|+|MB′|≥|AB′ |=5 2 ,即 f(x)的最小值为 5 2 .

答案:(2)5 2

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策略3 化归与转化思想

1 ? x2 ? 1 【例 3】 (1)(2016·湖北武汉调研)函数 f(x)= 的取值范围为 x?2

(

)
4 4 , ] 3 3

(A)[-

(B)[-

4 ,0] 3

(C)[0,1]

(D)[0,

4 ] 3
π π , ], 2 2

解析:(1)根据函数解析式,可知-1≤x≤1,故令 x=sin α,α∈[则函数解析式为 g(α)=

cos ? ? 1 2 2 ,该式可以看作半圆 x +y =1(y≥0)上的 sin ? ? 2

点与点(2,1)连线的斜率,画出草图,不难看出这个斜率的取值范围为 [0,1].故选 C.

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(2)(2016· 湖南常德模拟)已知e为自然对数的底数,若对任意的x∈[0,1],总存 在唯一的y∈[-1,1],使得x+y2ey-a=0成立,则实数a的取值范围是( )

1 1 (A)[1,e] (B)(1+ ,e] (C)(1,e] (D)[1+ ,e] e e
解析:(2)方程 x+y2ey-a=0,即 y2ey=a-x. 构造函数 f(x)=x2ex,则 f′(x)=(x2+2x)ex,在[-1,0)上 f′(x)<0,在(0,1]上 f′ (x)>0,故 f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,且 f(-1)= f(1)=e. 函数 g(x)=a-x 在[0,1]上的值域为[a-1,a]. 若对任意的 x∈[0,1],总存在唯一的 y∈[-1,1],使得 x+y2ey-a=0 成立,等价于
1 1 1 [a-1,a]? ( ,e],故 a-1> 且 a≤e,即 1+ <a≤e.故选 B. e e e 1 ,f(0)=0, e

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【方法总结】 (1)化归思想是根据熟知的数学结论和已知掌握的数 学题目解法,把数学问题化生疏为熟练、化困难为容易、化整体为局 部、化复杂为简单的解决问题的思想方法;(2)转化思想是根据熟知 的数学结论和已知掌握的数学题目解法,把数学问题化空间为平面、 化高维为低维、化复杂为简单解决问题的思想方法.化归转化思想的

实质是“化不能为可能”,使用化归转化思想需要有数学知识和解题
经验的积累.

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a ? 2ea 1 ? c 强化训练 3-1:(1)已知实数 a,b,c,d 满足 = =1,其中 e 是自然对数的 d ?1 b

底数,则(a-c) +(b-d) 的最小值为( (A)4 (B)8 (C)12 (D)18

2

2

)

a ? 2ea 1 ? c a 2 2 解析:(1)由 = =1,得 b=a-2e ,d=-c+2,(a-c) +(b-d) 的几何意义 d ?1 b

是曲线 y=x-2ex 上的点(a,b)与直线 y=-x+2 上的点间的距离的平方.对 y=x-2e 求导,得 y′=1-2e ,令其等于-1,解得 x=0,故曲线 y=x-2e 上在 x=0 处的切线斜率等于-1,此时切点坐标为(0,-2),该点在直线 y=-x+2 的距离即 为曲线 y=x-2e 与直线 y=-x+2 上点间距离的最小值,此时的最小距离为
4 2 =2 2 ,故所求的最小值为(2 2 ) =8.故选 B. 2
答案: (1)B
x x x x

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(2)(2016· 河南焦作二模)若x,y满足x2-2xy+3y2=4,则 小值的和是 .

1 的最大值与最 x2 ? y 2

解析:(2)设 x=rcos α,y=rsin α(r>0), 因为 x -2xy+3y =4, 所以 r2cos2α-2rcos α·rsin α+3r2sin2α=4, 所以 r (cos α-2cos αsin α+3sin α)=4, 所以
1 1 = x2 ? y 2 r 2
2 2 2 2 2

=

1 (cos2α-2cos αsin α+3sin2α) 4

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= = =

1 (1-sin 2α+2sin2α) 4 1 (1-sin 2α+1-cos 2α) 4 1 π [2- 2 sin(2α+ )], 4 4

故当 sin(2α+ 当 sin(2α+

1 π 1 )=1 时, 2 有最小值 (2- 2 ); 2 4 4 x ?y

1 π 1 )=-1 时, 2 有最大值 (2+ 2 ); 4 4 x ? y2



1 1 (2- 2 )+ (2+ 2 )=1. 4 4

答案:(2)1

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策略4 分类与整合思想
【例 4】 (2016·山东潍坊三模)已知函数 f(x)=ln x-x+
a +1(a∈R). x

(1)讨论f(x)的单调性与极值点的个数;
1 a ? x2 ? x ? a (1)解:由题意知 f′(x)= -1- 2 = . 2 x x x

方程-x2+x-a=0 的判别式Δ=1-4a, ①当 a≥
1 时,f′(x)≤0,f(x)在(0,+≦)上为减函数,无极值点. 4

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1 ? 1 ? 4a 1 时,令 f′(x)=0 得 x1= >0, 4 2

②当 0<a< x2=

1 ? 1 ? 4a >0,且 x1<x2, 2

列表: x f′(x) f(x) 可知 f(x)在(0, 在( (0,x1) ↘ x1 0 f(x1) (x1,x2) + ↗ x2 0 f(x2) (x2,+≦) ↘

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ),( ,+≦)上为减函数. 2 2

1 ? 1 ? 4 a 1 ? 1 ? 4a , )上为增函数, 2 2 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ,一个极小值点 x1= . 2 2

且 f(x)有一个极大值点 x2=

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③当 a≤0 时,令 f′(x)=0 得, x1=
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ≤0,x2= >0, 2 2 1 ? 1 ? 4a )时,f′(x)>0, 2 1 ? 1 ? 4a )上为增函数; 2

所以 x∈(0,

故 f(x)在(0, x∈(

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ,+≦)时 f′(x)<0,f(x)在( ,+≦)上为减函数; 2 2 1 ? 1 ? 4a . 2

且 y=f(x)有一个极大值点 x2=

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(2)当a=0时,关于x的方程f(x)=m(m∈R)有2个不同的实数根x1,x2,证明: x1+x2>2.
(2)证明:由题意知 f(x1)=m,f(x2)=m,故 f(x1)=f(x2), 因为 x1≠x2,不妨设 x1<x2,所以 ln x1-x1+1=ln x2-x2+1,即 ln 令

x2 =x2-x1, x1

x2 ln t t ln t =t(t>1),则 x2=tx1,所以 ln t=(t-1)x1,所以 x1= ,x2=tx1= , t ?1 t ?1 x1
t ?1 ln t>2(t>1),即证(t+1)ln t>2(t-1), t ?1 t ?1 t ln t ? t ? 1 -2= . t t

故要证 x1+x2=

令 g(t)=(t+1)ln t-2t+2,g′(t)=ln t+

令 h(t)=tln t-t+1(t>1),则 h′(t)=ln t>0,故 h(t)在 t∈(1,+≦)上为增函数, 所以 h(t)>h(1)=0,所以 g(t)在 t∈(1,+≦)上为增函数,所以 g(t)>g(1)=0, 所以(t+1)ln t>2(t-1),即
t ?1 ln t>2,所以 x1+x2>2. t ?1

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【方法总结】 (1)分类思想是解答数学问题时,按照问题的不同发展方
向分别进行解决的思想方法;整合思想是把一个问题中各个解决的部分, 进行合并、提炼得出整体结论的思想方法.利用分类与整合思想的解题

过程是“合—分—合”.(2)高考以解答题的方式考查分类与整合思想,
主要是函数导数解答题、概率解答题和解析几何解答题.

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强化训练 4-1:(2016·吉林四调)在平面直角坐标系中,已知 A1(-2,0),A2
???? ? ???? ? ???? ???? ? (2,0),B1(x,2),B2(x,-2),P(x,y),若实数λ 使得λ OB1 · OB2 = A1P · A2 P
2

(O 为坐标原点). (1)求点P的轨迹C的方程,并讨论点P的轨迹类型;
???? ? ???? ? 2 ? 2 ???? ???? 2 2 2 2 2 解:(1) OB1 · OB2 =x -4, A1P · A2 P =x -4+y ,由已知得λ (x -4)=x -4+y ,

即(1-λ2)x2+y2=4(1-λ2)为点 P 的轨迹 C 的方程 ①当λ=±1 时,方程为 y=0,轨迹 C 为一条直线;

②当λ=0时,方程为x2+y2=4,轨迹C为圆;
y2 x2 ③当-1<λ<0 或 0<λ<1 时,方程为 + =1,轨迹 C 为椭圆; 4 4 ?1 ? ? 2 ? y2 x2 ④当λ<-1 或λ>1 时,方程为 =1,轨迹 C 为双曲线. 2 4 4 ? ? ? 1?

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(2)当λ =
2 时,是否存在过点 B(0,2)的直线 l 与(1)中点 P 的轨迹 C 相交于不同的两点 2
1 S?BOE < <1?若存在,求出该直线的斜率 k 的取值范围;若不存在,请 2 S?BOF

E,F(E 在 B,F 之间),且 说明理由.

2 x2 y 2 解:(2)当λ= 时,点 P 的轨迹 C 的方程为 + =1, 4 2 2

设 E(x1,y1),F(x2,y2),所以

x S?BOE 1 x 1 x = 1 ,即 < 1 <1,由题意可得 x1,x2 同号,所以 < 1 <1. 2 x2 2 x2 S?BOF x2

由题意得直线 EF 的斜率存在,设其方程为 y=kx+2,
? y ? kx ? 2, ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得(1+2k )x +8kx+4=0,Δ=64k -16(1+2k )>0, ? 1, ? ? 2 ?4

所以 k >

2

1 8k 4 ,x1+x2=,x . 1x2= 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2

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x1 8k 4 2 x =m,则(m+1)x2=,m = , 2 2 2 1 ? 2 k 1 ? 2 k x2
2

4 64k 2 所以(m+1) = , 2 2 2 m ?1 ? 2k ? ?1 ? 2k ?

? m ? 1? 所以
m
因为

2

16k 2 ? m ? 1? =m+ 1 +2, = , m 1 ? 2k 2 m
2

1 1 9 <m<1,所以 4<m+ +2< , m 2 2

9 1 2 9 16k 2 即 4< < , 所以 <k < , 2 14 1 ? 2k 2 2

所以 k∈(-

3 14 2 2 3 14 ,)∪( , )为所求. 14 14 2 2

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结语 数学思想方法既是思想也是方法,“思想”是统领全局的总纲,“方 法”是可以具体操作的解题方法,“思想”与“方法”是密不可分的整体. 数学思想方法是在长期的数学学习和研究中逐渐形成的,我们不能指望一 个专题的讲解能使读者的数学思想方法水平有质的提升,但通过该专题的 学习,读者可以体会数学思想方法是如何指导解题的,能使读者在二轮复 习的后期有意识地强化数学思想方法的应用.


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