直线与圆的相交问题_图文

一、复习引入
1、直线l:Ax+By+C=0与圆:(x-x0)2+(y- y0)2=r2(r>0)的位置关系关系判断:

(1)几何方法: 圆心(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离
d? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2
相交 相切 相离

? d<r?直线与圆 ? d=r?直线与圆 ? d>r?直线与圆

; ; .

(2)代数方法:
? ?Ax+By+C=0 由? 2 2 2 ? ? x - a ? + ? y - b ? = r ?

消元,得到的一元二次方程的

判别式为 Δ,则

? Δ>0?直线与圆 ? Δ=0?直线与圆 ? Δ<0?直线与圆

相交
相切 相离

; ; .

2、弦长公式:
2 2 AB ? 2 MB ? 2 r ? d (1)

y M A C O

B

x

(2) AB ? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ]
2 2

1 2 ? (1 ? 2 )[(y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ] k

3、关注直角三角形 RtΔ BCM,BC2=MC2+BM2

y
M A

B

C O
x

二、问题探讨
题型一:直线与圆的位置关系的判断
例1、直线 绕原点逆时针方向旋转 2 2 o 30 后所得直线与圆 ( x ? 2) ? y ? 3 的位置关系 是______. 解释:直线旋转30o后所得直线为 y ? 3x
2 3 所以圆心到直线的距离 d ? 4 ? 3 ? r
3 y? x 3

∴位置关系是相切。

练一练:
圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 与直线
2 2

2tx ? y ? 2 ? t ? 0

(t ? R) 的位置关系为(



(A)相离 (B)相切 (C)相交 (D) 以上情况均有可能 2 2 解释:圆方程变为 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 9 圆心到直线的距离
d? 2t ? 2 ? 2 ? t 4t 2 ? 1 1 1 ? ? ? ? ?3?r 2 1 4 2 4t ? 1 4? 2 t t 1

故选C

题型二:弦长的有关问题 例2、过原点且倾斜角为60o的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0所截得的弦长为(
( A) 3
( B)2


2

(C ) 6

( D)2 3
2

解释:直线为 y ? 3x ,圆为 x ? ( y ? 2) ? 4
2 圆心到直线的距离为 d? ?1 4

?弦长l ? 2 r ? d ? 2 3
2 2

故选D

还有其他解法吗?

练一练:
1、设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 4
2 2

相交于 A、B 两点,且 AB ? 2 3 ,则

a ? _____ .

解释:由题知,弦心距
?d ? a?2?3 a2 ?1 ?1

d ? 22 ? ( 3 ) 2 ? 1

?a ?1

2、(2010.江西.10)直线 y ? kx ? 3与圆

( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 相交于 M、N两点
若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围就(B )
3 ( A)[ ? ,0] 4 2 3 3 ( B)[? , ] (C)[? 3, 3] ( D)[ ? ,0] 3 3 3

解释:圆心(2,3)到直线 y ? kx ? 3 的距离
2 4 k 2 2 d? ? MN ? 2 r ? d ? 2 4? 2 ?2 3 2 k ?1 k ?1 3 3 2 ? 3k ? 1 ? ? ? k ? 3 3

2k

故选B

还有其他解法吗?

y

3

o

2

x

题型三:由相交求参数
例3、(2010· 湖北,9)若直线 y ? x ? b 与曲线

y ? 3 ? 4 x ? x 有公共点,则 b 的取值范
2

围是______.

解释:曲线
?1 ? y ? 3
2

y ? 3 ? 4 x ? x 2 ? 3 ? ? ( x ? 2) 2 ? 4

所以原曲线方程化简为
2

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 4 (1 ? y ? 3)
表示的是直线y=3下方的半圆(包括边界)
当直线 y=x+b 过点(0,3)时,b=3; 当直线 y=x+b 与 y=3- 4x-x2 相切时,由点到直线的距离公式 |2-3+b| 2= ,∴|b-1|=2 2. 2 结合图形知 b=1-2 2. ∴1-2 2≤b≤3.

变式:若直线与曲线有两个不同的公共点呢?
y ? x ?1

答案: 1 ? 2 2 ? b ? ?1

练一练:
若圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 上恰有两个不同的 点到直线 2 x ? y ? c ? 0 的距离等于1,则c的取 值范围是_______.
2 2

解释: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4的圆心( 1, ? 2)到直线的距离 d?

c 5

由图知 1?

c 5

?3


2x+y=0



② y
o


x

? 5 ? c ?3 5
? 5 ?c?3 5 或?3 5 ? c ? ? 5

小结:
1、直线l:Ax+By+C=0与圆:(x-x0)2+(y- y0)2=r2(r>0)的位置关系关系判断.

2、弦长公式灵活运用。
3、精确作图,注意数形结合方法在应用

思考题: 1、直线y=x+b与曲线 y ? 4 ? x 2 有公共点,
试求b的取值范围。 2、求过P(0,4)且被圆 ( x ? 1) ? y ? 4
2 2

截得的线段长为 2 3的直线方程。


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