2018年人教版高三理科数学高考复习_(40)(专题拔高特训-通用版)PPT课件_图文

第五节 圆及直线与圆的位置关系 最新考纲 1.掌握圆的标准方程和一般方程. 2.了解参数方程的概念,理解圆的参数方程. 1.以选择题或填空题的形式考查圆的方程(三种 形式)以及直线和圆的位置关系或圆与圆的位 置关系. 高考热点 2.通过解答题的形式既考查基础知识的应用 能力,又考查综合应用知识分析问题和解决问 题的能力. ? 1.圆的定义及方程 平面内与 定点 距离等于 定长 的点 定义 标准方 的集合(轨迹) (x-a)2+(y-b)2=r2 圆心:(a, . 限定条件 程 b),半径r r>0 ? 2.直线与圆的位置关系 ? 设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0), ? 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设d为圆心(a,b)到直线l的距离, 方法 联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为 Δ. 几何法 位置关系 相交 相切 相离 d< r d= r d >r Δ >0 Δ =0 Δ <0 代数法 方法位置 几何法:圆心距d与r1, 代数法:两圆方程联立 关系 相离 相外切 相交 相内切 内含 r2的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 . . 组成方程组的解的情况 无解 . 一组实数解 . |r1-r2|<d<r1+r2 . d=|r1-r2| (r ≠r ) 1 2 0≤d<|r1-r2| (r≠r2) 两组不同的实数解. 一组实数解 无解 . . ? ? 在求解直线和圆的问题时,要注意运用: (1)数形结合的数学思想,尽可能运用圆 的几何 性质,使解法简捷.如有关直线 与圆的位置关 系问题,一般不用判别式, 而是用圆心到直线的距离与半径的大小关系求解; 直线与圆的交点问题则常用根与系数的关系简化 运算过程. ? (2)在求与弦长、弦中点相关问题时要注意运用代 数定理,引进参数,设点而不求点,简化运算, 减少计算量. ? (3)要注意分类讨论,等价转化思想的应用,在确 定直线方程时,对其斜率存在性的讨论,往往容 易忽视. 题型一 思维提示 求圆的方程 灵活应用圆的标准方程,一般方程和 参数方程 ? 例1 根据下列条件,求圆的方程: ? (1)和圆O:x2+y2=4相外切于点P(-1, ),且半径 为4; ? (2)圆心在原点,且圆周被直线3x+4y+15=0分成 1∶2两部分的圆的方程; ? (3)求经过两已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0和C2:x2 +y2-2y-4=0的交点,且圆心在直线l:2x+4y= 1上的圆的方程. [解] (1)设圆心 Q 的坐标为(a,b), OQ 因为圆 O 与圆 Q 相外切于点 P, 所以 O、 P、 Q 共线, 且 λ= QP 6 3 =-4=-2.由定比分点公式求得 a=-3,b=3 3. 所以所求圆的方程为(x+3)2+(y-3 3)2=16. (2)设直线与圆相交于 A、 B 两点, 因为圆周被直线 3x+4y+15 =0 分成 1∶2 两部分,所以∠AOB=120° .而圆心到直线 3x+4y+ 15 15=0 的距离 d= 2 =3,在△AOB 中,可求得 OA=6.所以所 3 +42 求圆的方程为 x2+y2=36. (3)由题意可设圆的方程为 λ(x2+y2-4x+2y)+(x2+y2- 2y-4)=0,即(1+λ)x2+(1+λ)y2-4λx+(2λ-2)y-4=0,圆 2λ 1-λ 心坐标为( , ),代入 l:2x+4y=1,得 λ=3.所以所 1+λ 1+λ 求圆的方程为:x2+y2-3x+y-1=0. ? [规律总结] 无论是圆的标准方程或是圆的一般方 程,都有三个待定系数,因此求圆的方程,应用 三个条件来求,一般地,已知圆心或半径的条件, 选用圆的标准式,否则选用一般式. ? 另外,还有几何法可以用来求圆的方程.要充分 利用圆的有关几何性质,如“圆心在圆的任一条 弦的垂直平分线上”“半径,弦心距,弦长的一 半构成直角三角形”等. ? 备考例题1 求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0上, 且被直线x-y=0截得的弦长为2 的圆的方程. ∴3a-b=0③ 联立①,②,③,解得 a=1,b=3,r2=9;或 a=-1,b=-3,r2=9. 故所求圆的方程是 (x-1)2+(y-3)2=9;或(x+1)2+(y+3)2=9. 解法二:设所求的圆的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F= 0,圆 D E 1 心为(- ,- ),半径为 D2+E2-4F. 2 2 2 2 令 y=0,得 x +Dx+F=0. 由圆与 x 轴相切,得 Δ=0,即 D2=4F.④ D E |- 2 +2 | D E 又圆心(- 2 ,- 2 )到直线 y=x 的距离为 . 2 由已知,得 2 即(D-E) +56=2(D2+E2-4F)⑤ D E 又圆心(- 2 ,- 2 )在直线 3x-y=0 上, ∴3D-E=0⑥ 联立④,⑤,⑥,解得 D=-2,E=-6,F=1 或 D=2,E=6,F=1. 故所求圆的方程是 x2+y2-2x-6y+1=0,或 x2+ 2 y +2x+6y+1=0. 2 〔 〕 D E |- 2 + 2 | 2 +( 7)2=r2, 题型二 直线与圆的位置关系 ①代数法:根据方程联立的方程组解的情况 加以判定. 思维提示 ②几何法:利用圆心到直线的距离与半径的 大小来判断. ? 例2 已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+ 4(m∈R),圆C:(x-1)2+(y-2)2=25. ? (1)证明:m为任意实数时l与圆C必相交; ? (2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时m的 值. ? [分析] (1)由题意知直线l恒过定点P(3,1),m变化 时,直线l绕着点P(3,1)旋转,要证l与C相交,只需 证点(3,1)在圆C内部. ? (2)当直线l与PC垂直时弦长最短,由斜率关系得出 m的值.

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