归纳数列求和各种方法6.8_图文

数列求和

一、公式法 1.如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等 差、等比数列的前n项和公式,注意等比数列公比q的取值情况要 分q=1或q≠1.

(1)1+2+3+4+ … +n=

n?n+1? 2

(2)1+3+5+7+ … +2n-1= n2
(3)2+4+6+8+ … +2n=
n2+n

二、非等差、等比数列求和的常用方法 1.倒序相加法 如果一个数列{an},首末两端等“距离”的两项的和相等 或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒 序相加法,如等差数列的前n项和即是用此法推导的.

2.分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别 求和而后相加减. 【分组求和法】数列{(-1)n· n}的前n项和Sn=?

3.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应 项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求. 【错位相减法】设 {an}的前n项和为Sn,an=n· 2n,则Sn=
解析:∵Sn=1· 21+2· 22+3· 23+…

+ n· 2n



∴ 2Sn=

1· 22+2· 23+3· 24+…+(n-1)· 2n+n· 2n+1②

n 2 ? 1 - 2 ? 2 3 n n +1 ① -②得- S = 2+ 2 + 2 + …+ 2 - n· 2 = - n· 2n+1 n 1- 2

=2n+1-2-n· 2n+1

∴Sn=(n-1)· 2n+1+2

4.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可 以相互抵消,从而求得其和.
【裂项求和法】{an}的前 n 项和为 Sn,若 an=

1 ,则 Sn= n?n+1?

数列求和的方法
(1)一般的数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通 项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备 某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和. (2)解决非等差、等比数列的求和,主要有两种思路: ①转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比 数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来 完成.

②不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项
相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.

[例1] (2011· 山东高考)等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表 第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不 在下表的同一列.
第一行 第一列 3 第二列 2 第三列 10

第二行

6
9

4
8

14
18

(1)求数列{an}的通项公式; 第三行

(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求 {bn}的前2n项和S2n

[自主解答]

(1)当a1=3时,不合题意;

当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意; 当a1=10时,不合题意. 因此a1=2,a2=6,a3=18.所以公比q=3,

故an=2· 3n-1.

(2)因为bn=an+(-1)nln an=2· 3n 1+(-1)nln(2· 3n 1)
- -

=2· 3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3, 所以S2n=b1+b2+…+b2n=2(1+3+…+32n 1)+[-1+1-1+…+


2n 1 - 3 (-1)2n](ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…+(-1)2n2n]ln 3=2× + 1-3

nln 3=32n+nln 3-1.

1 1 1 1 1.(2012· 临沂模拟)数列12,34,58,716,…的前n项和Sn为 1 A.n +1-2n
2

(

)

1 B.n +2-2n
2

C.n +1-

2

2n

1

-1

D.n +2-

2

2n

1

-1

1 解析:因为an=2n-1+2n, 1? 1? ?1- n? 1+2n-1 2? 2? 1 2 则Sn= n + = n + 1 - 2 1 2n. 1-2

2.(2011· 北京东城二模)已知{an}是首项为19,公差为

-2的等差数列,Sn为{an}的前n项和.
(1)求通项an及Sn; 求数列{bn}
解:(1)因为{an}是首项为a1=19,公差为d=-2的等差数列,所以an= 19-2(n-1)=-2n+21.

(2)设{bn-an}是首项为1,公比为3的等比数列, 的通项公式及其前n项和Tn

n?n-1? Sn=19n+ 2 · (-2)=-n2+20n. (2)由题意知bn-an=3n 1,所以bn=3n 1+an=3n 1-2n+21.
- - -

n 3 -1 Tn=Sn+(1+3+…+3n-1)=-n2+20n+ 2 .

[冲关锦囊]

分组求和常见类型及方法
(1)an=kn+b,利用等差数列前n项和公式直接求解; (2)an=a· qn-1,利用等比数列前n项和公式直接求解; (3)an=bn±cn,数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列, 采用分组求和法求{an}的前n项和.

[精析考题] [例2] (2011· 辽宁高考)已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式; an (2)求数列{ n-1}的前n项和. 2

[自主解答]

(1)设等差数列{an}的公差为d,

由已知条件可得
? ?a1+d=0, ? ? ?2a1+12d=-10 ? ?a1=1, ,解得? ? ?d=-1.

故数列{an}的通项公式为an=2-n.

an (2)设数列{ n-1}的前n项和为Sn, 2 a2 an 即Sn=a1+ 2 +…+ n-1,① 2 Sn a1 a2 an 故S1=1, 2 = 2 + 4 +…+2n,② 所以,当n>1时,①-②得

a2-a1 an-an-1 an Sn 2 =a1+ 2 +…+ 2n-1 -2n
?1 1 1 ? ? ? 2-n + +…+ =1-?2 4 - 2n 2n-1? ? ? ? 1 ? n ? ? 2-n 1 - - =1-? - 2n =2n. 2n 1? ? ?

所以Sn=

2n-1

n

.

an n 综上,数列{ n-1}的前n项和Sn= n-1. 2 2

在本例条件不变情况下,求数列{2n-1· an}的前n项和Sn.

解:Sn=a1+2a2+22a3+…+2n-1an① 2Sn=2a1+22a2+23a3+…+2nan② ①-②得-Sn=a1+2(a2-a1)+22(a3-a2)+…+2n-1(an-an-1)-2nan
n-1 2 ? 1 - 2 ? + 2 n-1 n =1-(2+2 +…+2 )-2 (2-n)=1- -2n 1+n· 2n 1- 2

=1+2-2n-2n+1+n· 2n=(n-3)2n-3, ∴Sn=3-(n-3)· 2n .

[冲关锦囊] 用错位相减法求和时,应注意

(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数
的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“ 错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.

[精析考题] [例3] (2011· 全国新课标卷)等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+
2 3a2=1,a3 =9a2a6.

(1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{b }的前n项和. n

[自主解答]

(1)设数列{an}的公比为q.由a2 3=9a2a6得 9 3

1 1 2 2 2 a3=9a4,所以q = .由条件可知q>0,故q= . 1 由2a1+3a2=1,得2a1+3a1q=1,得a1=3. 1 故数列{an}的通项公式为an=3n.

(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an n?n+1? =-(1+2+…+n)=- 2 .
?1 1 ? 1 2 ? 故b =- =-2?n-n+1? ?. n ? n + 1 ? n ? ? ?? 1? ?1 1? 1 1 1 ??1- ?+? - ?+…+ 2? ?2 3? b1+b2+…+bn=-2?? ?1 ? 1 ? 2n ? ?? - =- . ?n n+1?? n+ 1 ? ??

1 2n 所以数列{b }的前n项和为- . n+ 1 n

[理](2012· 西南大学附中月考)已知函数f(x)=2x+1,g(x)=x,x∈ R,数列{an},{bn}满足条件:a1=1,an=f(bn)=g(bn+1),n∈N . (1)求证:数列{bn+1}为等比数列; 2n 2 011 (2)令Cn= ,Tn是数列{Cn}的前n项和,求使Tn>2 012成立的 an· an+1 最小的n值.
*

解:(1)证明:由题意得2bn+1=bn+1, ∴bn+1+1=2bn+2=2(bn+1). 又∵a1=2b1+1=1, ∴b1=0,b1+1=1≠0.

故数列{bn+1}是以1为首项,2为公比的等比数列.

(2)由(1)可知,bn+1=2n-1,∴an=2bn+1=2n-1. 2n 2n 1 1 故Cn= = n = - . an · an+1 ?2 -1??2n+1-1? 2n-1 2n+1-1 ∴Tn=C1+C2+…+Cn 1 1 1 1 1 =(1-3)+(3-7)+…+( n - ) 2 -1 2n+1-1 1 2 011 =1- n+1 .由Tn>2 012,得2n+1>2 013,解得n≥10. 2 -1 ∴满足条件的n的最小值为10.

(12分)(2010· 四川高考)已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项
和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
(1)an=3- (n- 1)= 4- n (2)由 (1)可得,bn= n· qn-1,于是 Sn= 1· q0+2· q1+ 3· q2+…+n· qn-1 若 q≠ 1,将上式两边同乘以 q 有 qSn=1· q1+ 2· q2+…+(n-1)· qn-1+n· qn 两式相减得到

(q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-…-qn-1(7分)
n n+1 n q - 1 n q - ? n + 1 ? q +1 n =nq - = . q-1 q- 1

nqn 1-?n+1?qn+1 于是,Sn= .(9分) ?q-1?2


n?n+1? 若q=1,则Sn=1+2+3+…+n= 2 .(11分) ? ?n?n+1? ? 2 所以,Sn=? n+1 n ?nq -?n+1?q +1 ? ?q-1?2 ? ?q=1?, (12分) ? q≠ 1? .


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数列求和方法总结结
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