高考数学难点突破-难点29--排列、组合的应用问题


难点 29 排列、组合的应用问题 排列、组合是每年高考必定考查的内容之一,纵观全国高考数学题,每年都 有 1~2 道排列组合题,考查排列组合的基础知识、思维能力. ●难点磁场 (★★★★★)有五张卡片,它们的正、反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5, 6 与 7,8 与 9,将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同 的三位数? ●案例探究 [例 1]在∠AOB 的 OA 边上取 m 个点,在 OB 边上取 n 个点(均除 O 点外), 连同 O 点共 m+n+1 个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作的三角形有 ( ) 2 1 2 A.C1 m?1Cn ? Cn ?1Cm 2 1 2 1 1 C.C1 m Cn ? Cn Cm ? Cm Cn 2 1 2 B .C1 m Cn ? Cn Cm 1 2 2 1 D.C m C n ?1 ? C m?1Cn 命题意图:考查组合的概念及加法原理,属★★★★★级题目. 知识依托:法一分成三类方法;法二,间接法,去掉三点共线的组合. 2 2 错解分析: A 中含有构不成三角形的组合, 如: C1 包括 O、 Bi、 Bj;C 1 n ?1 C m m ?1 C n 中, 中,包含 O、Ap、Aq,其中 Ap、Aq,Bi、Bj 分别表示 OA、OB 边上不同于 O 的点;B 2 2 1 漏掉△AiOBj;D 有重复的三角形.如 C 1 m C n ?1 中有△AiOBj,C m ?1 C n 中也有△AiOBj. 技巧与方法:分类讨论思想及间接法. 解法一:第一类办法:从 OA 边上(不包括 O)中任取一点与从 OB 边上(不包 2 括 O)中任取两点,可构造一个三角形,有 C 1 m C n 个;第二类办法:从 OA 边上(不 包括 O)中任取两点与 OB 边上(不包括 O)中任取一点, 与 O 点可构造一个三角形, 1 有 C2 m C n 个;第三类办法:从 OA 边上(不包括 O)任取一点与 OB 边上(不包括 O) 1 中任取一点,与 O 点可构造一个三角形,有 C 1 m C n 个.由加法原理共有 2 2 1 1 1 N=C 1 m C n +C m C n +C m C n 个三角形. 解法二:从 m+n+1 中任取三点共有 C 3 m?n ?1 个,其中三点均在射线 OA(包括 O 3 3 点),有 C 3 m ?1 个,三点均在射线 OB(包括 O 点),有 C n ?1 个.所以,个数为 N=C m?n ?1 3 -C 3 m ?1 -C n ?1 个. 答案:C 95 [例 2]四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不同的保 送方案的总数是_________. 命题意图:本题主要考查排列、组合、乘法原理概念,以及灵活应用上述概 念处理数学问题的能力,属★★★★级题目. 知识依托:排列、组合、乘法原理的概念. 错解分析:根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生,常采用先安排每学 校一人,而后将剩的一人送到一所学校,故有 3A 3 4 种.忽略此种办法是:将同在 一所学校的两名学生按进入学校的前后顺序,分为两种方案,而实际题目中对进 入同一所学校的两名学生是无顺序要求的. 技巧与方法:解法一,采用处理分堆问题的方法.解法二,分两次安排优等 生,但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的. 解法一:分两步:先将四名优等生分成 2,1,1 三组,共有 C 2 4 种;而后, 3 对三组学生安排三所学校,即进行全排列,有 A33 种.

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