高考数学难点突破-难点29--排列、组合的应用问题

难点 29 排列、组合的应用问题 排列、组合是每年高考必定考查的内容之一,纵观全国高考数学题,每年都 有 1~2 道排列组合题,考查排列组合的基础知识、思维能力. ●难点磁场 (★★★★★)有五张卡片,它们的正、反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5, 6 与 7,8 与 9,将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同 的三位数? ●案例探究 [例 1]在∠AOB 的 OA 边上取 m 个点,在 OB 边上取 n 个点(均除 O 点外), 连同 O 点共 m+n+1 个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作的三角形有 ( ) 2 1 2 A.C1 m?1Cn ? Cn ?1Cm 2 1 2 1 1 C.C1 m Cn ? Cn Cm ? Cm Cn 2 1 2 B .C1 m Cn ? Cn Cm 1 2 2 1 D.C m C n ?1 ? C m?1Cn 命题意图:考查组合的概念及加法原理,属★★★★★级题目. 知识依托:法一分成三类方法;法二,间接法,去掉三点共线的组合. 2 2 错解分析: A 中含有构不成三角形的组合, 如: C1 包括 O、 Bi、 Bj;C 1 n ?1 C m m ?1 C n 中, 中,包含 O、Ap、Aq,其中 Ap、Aq,Bi、Bj 分别表示 OA、OB 边上不同于 O 的点;B 2 2 1 漏掉△AiOBj;D 有重复的三角形.如 C 1 m C n ?1 中有△AiOBj,C m ?1 C n 中也有△AiOBj. 技巧与方法:分类讨论思想及间接法. 解法一:第一类办法:从 OA 边上(不包括 O)中任取一点与从 OB 边上(不包 2 括 O)中任取两点,可构造一个三角形,有 C 1 m C n 个;第二类办法:从 OA 边上(不 包括 O)中任取两点与 OB 边上(不包括 O)中任取一点, 与 O 点可构造一个三角形, 1 有 C2 m C n 个;第三类办法:从 OA 边上(不包括 O)任取一点与 OB 边上(不包括 O) 1 中任取一点,与 O 点可构造一个三角形,有 C 1 m C n 个.由加法原理共有 2 2 1 1 1 N=C 1 m C n +C m C n +C m C n 个三角形. 解法二:从 m+n+1 中任取三点共有 C 3 m?n ?1 个,其中三点均在射线 OA(包括 O 3 3 点),有 C 3 m ?1 个,三点均在射线 OB(包括 O 点),有 C n ?1 个.所以,个数为 N=C m?n ?1 3 -C 3 m ?1 -C n ?1 个. 答案:C 95 [例 2]四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不同的保 送方案的总数是_________. 命题意图:本题主要考查排列、组合、乘法原理概念,以及灵活应用上述概 念处理数学问题的能力,属★★★★级题目. 知识依托:排列、组合、乘法原理的概念. 错解分析:根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生,常采用先安排每学 校一人,而后将剩的一人送到一所学校,故有 3A 3 4 种.忽略此种办法是:将同在 一所学校的两名学生按进入学校的前后顺序,分为两种方案,而实际题目中对进 入同一所学校的两名学生是无顺序要求的. 技巧与方法:解法一,采用处理分堆问题的方法.解法二,分两次安排优等 生,但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的. 解法一:分两步:先将四名优等生分成 2,1,1 三组,共有 C 2 4 种;而后, 3 对三组学生安排三所学校,即进行全排列,有 A33 种.依乘法原理,共有 N=C 2 4 A3 =36(种). 解法二: 分两步: 从每个学校至少有一名学生, 每人进一所学校, 共有 A 3 4 种; 而后,再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校,有 3 种.值得注意的是: 同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的.因此,共有 N= A 3 4 ·3=36(种). 答案:36 ●锦囊妙记 排列与组合的应用题,是高考常见题型,其中主要考查有附加条件的应用问 题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主,应先满足特殊元素的要求, 再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位 置.(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或 组合数.前两种方式叫直接解法,后一种方式叫间接解法. 在求解排列与组合应用问题时,应注意: (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; (3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏; (4)列出式子计算和作答. 96 1 2 解排列与组合应用题常用的方法有:直接计算法与间接计算法;分类法与分 步法;元素分析法和位置分析法;插空法和捆绑法等八种. 经常运用的数学思想是: ①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想. ●歼灭难点训练 一、填空题 1.(★★★★)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取 3 个元素分别作为直线 方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有_________条(用数 值表示). 2.(★★★★★)圆周上有 2n 个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角 三角形的个数为_________. 二、解答题 3.(★★★★★)某人手中有 5 张扑克牌,其中 2 张为不同花色的 2,3 张为 不同花色的 A,有 5 次出牌机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有 多少种不同的出牌方法? 4.(★★★★)二次函数 y=ax2+bx+c 的系数 a、b、c,在集合{-3,-2,-1, 0,1,2,3,4}中选取 3 个不同的值,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线 多少条? 5.(★★★★★)有 3 名男生,4 名女生,在下列不同要求下,求不同的排列 方法总数. (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置. (2)全体排

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