重庆市九校联盟2019届高三12月联合考试数学(理)试题(精校Word版含答案)

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高三数学考试(理科) 第Ⅰ卷 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={x|3-2x<1},B={x|4x-3x ≥0},则 A∩B=
4 A.(1,2] B. (1, ] 3
2

C.[0,1) D.(1,+∞)

2.若复数 z 满足(2+i)z=3-i,则 z 的虚部为 A.i B.-i C.1 D.-1

7 2 3.已知 sin ? ? cos ? ? ? , 2sin ? ? cos ? ? ? ,则 cos 2α = 5 5

A.

7 25

B. ?

7 25

C.

16 25

D. ?

16 25

4.函数 f ( x) ?

log2 ( x2 ? 1) 的图象大致是 x

5.已知单位向量 e1,e2 的夹角为 θ ,且 tan ? ? 2 2 ,若向量 m=2e1-3e2,则|m|= A.9 B.10 C.3 D. 10
1 6.已知函数 f(x)为 R 上的奇函数,当 x<0 时, f ( x) ? 2 x ? ,则 xf(x)≥0 的解集为 2

A.[-1,0)∪[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,+∞) C.[-1,0]∪[1,+∞) D.(-∞,-1]∪{0}∪[1,+∞)
1 2 ? ?y ? ? 3 x ? 3, ? 7.设 x,y 满足约束条件 ? y ? ?2 x ? 1, 则 z=4x+y 的最小值为 ? 1 ? y ? x ? 4, 2 ?

A.-3 B.-5 C.-14 D.-16 8.为了得到 y=-2cos 2x 的图象,只需把函数 y ? 3sin 2 x ? cos2 x 的图象 A.向左平移 C.向左平移
π π 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 3 3 π π 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 6 6
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9.已知双曲线 C:

x2 y 2 ? QP ,O 为 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为 C 上一点, FQ 1 16 48

坐标原点,若|PF1|=10,则|OQ|= A.9 B.10 C.1 D.1 或 9 10.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(sin B+sin C) -sin (B+C)=3sin Bsin
2 2

C,且 a=2,则△ABC 的面积的最大值是
A.
3 2

B. 3

C. 2 3
2 2

D.4

11.已知命题 p:若 x +y >2,则|x|>1 或|y|>1;命题 q:直线 mx-2y-m-2=0 与圆

x2+y2-3x+3y+2=0 必有两个不同交点,则下列说法正确的是
A.?p 为真命题 C.(?p)∨q 为假命题 B.p∧(?q)为真命题 D.(?p)∨(?q)为假命题
2x

12.已知函数 f(x)=e +e -2e ,g(x)=x -3ae ,集合 A={x|f(x)=0},B={x|g(x)=0}, 若存在 x1∈A,x2∈B,使得|x1-x2|<1,则实数 a 的取值范围为
1 4 A. ( , 2 ] e e

x+2

4

2

x

B. (

1 4 , ] 3e 3e2

C. [

1 8 , ) 3e 3e2

D. [

1 8 , ) 3e e2

第Ⅱ卷 二、填空题:把答案填在答题卡中的横线上.
π π 13.设命题 p: ?x ? (? , ) ,tan x>0,则?p 为 ▲ . 2 2
? x ? 2, x ? 0 3 14.已知函数 f ( x ) ? ? ,则 f ( f (? )) ? log x , x ? 0 2 ? 2

▲ .

15.已知正数 a,b 满足 3a+2b=1,则
2

2 3 ? 的最小值为 ▲ a b



16.已知 F 是抛物线 y =-16x 的焦点,O 为坐标原点,点 P 是抛物线准线上的一动点,点 A 在抛物线上,且|AF|=8,则|PA|+|PO|的最小值为 ▲ .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题,每个试题 考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=3,an+1=2Sn+3(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log3an,若数列 {
2 *

1 } 的前 n 项和为 Tn,证明:Tn<1. bn bn ?1
2

18.已知 p:x -(3+a)x+3a<0,其中 a<3;q:x +4x-5>0.
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(1)若 p 是?q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围; (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 19.在△ABC 中,内角 A,B, C 的对边分别是 a,b,c,且 (1)求角 B 的大小; (2)求 2 cos A ? cos C 的取值范围. 20.已知椭圆 C:
2 x2 y 2 ,且经过点 Q(2, 2) . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b sin A ? 2 sin C b ? c ? . sin B ? sin C a

(1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l:y=kx+m(k>0,m ≠4)与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若|AB|=4,试用 m 表示 k. 21.设函数 f(x)=xe +a(1-e )+1. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在(0,+∞)上存在零点,证明:a>2. (二)选考题:请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程]
? x ? 5cos ? , 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (α 为参数).M 是曲线 C1 上的 ? y ? 5 ? 5sin ?
x x
2

动点,将线段 OM 绕 O 点顺时针旋转 90°得到线段 ON,设点 N 的轨迹为曲线 C2.以坐标原点

O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 C1,C2 的极坐标方程;
π (2)在(1)的条件下,若射线 ? ? ( ? ? 0) 与曲线 C1,C2 分别交于 A,B 两点(除极点外), 3

且有定点 T(4,0),求△TAB 的面积. 23.[选修 4-5:不等式选讲] 已知函数 f(x)=|x+m|-|2x-2m|(m>0). (1)当 m ?
1 1 时,求不等式 f ( x) ? 的解集; 2 2

(2)对于任意的实数 x,存在实数 t,使得不等式 f(x)+|t-3|<|t+4|成立,求实数 m 的取 值范围.

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高三数学考试参考答案(理科) 1.B 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D
π π 13. ?x0 ? (? , ) , tanx0≤0 2 2

7.C 8.D 9.A 10.B 11.D 12.B

14.-1 15.24 16. 4 13

17.(1)解:因为 an+1=2Sn+3, ①

an=2Sn-1+3, ②
①-②,an+1-an=2an,即 an+1=3an(n≥2), 所以{an}为从第 2 项开始的等比数列,且公比 q=3. 又 a1=3,所以 a2=9,所以数列{an}的通项公式 an=3 (n≥2). 当 n=1 时,a1=3 满足上式,所以数列{an}的通项公式为 an=3 . (2)证明:由(1)知 bn=log3an=log33 =n, 所以
1 1 1 1 ? ? ? , bn bn?1 n( n ? 1) n n ? 1
n n n

1 1 1 1 1 所以 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? … ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 ? 1? 1 ? 1 得证. n ?1
2

18.解:(1)因为 x -(3+a)x+3a<0,a<3, 所以 a<x<3,记 A=(a,3), 又因为 x +4x-5>0,所以 x<-5 或 x>1,记 B=(-∞,-5)∪(1,+∞), 又 p 是?q 的必要不充分条件,所以有?q? p,且 p 推不出?q, 所以 ?R B ? A,即[-5,1]? (a,3),所以实数 a 的取值范围是 a∈(-∞,-5). (2)因为 p 是 q 的充分不必要条件,则有 p? q,且 q 推不出 p, 所以 A? B,所以有(a,3)? (-∞,-5)∪(1,+∞),即 a≥1, 所以实数 a 的取值范围是 a∈[1,3). 19.解:(1)由已知
sin A ? 2 sin C b ? c a ? 2c b ? c ? ? ,结合正弦定理,得 , sin B ? sin C a b?c a
2

即 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac . 而由余弦定理 b =a +c -2accos B, 所以 cos B ?
2 , 2
2 2 2

因为 B∈(0,π ),所以 B ?

π . 4

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(2) 2 cos A ? cos C ? 2 cos A ? cos( π ? A ? B) , 由(1)知 B ?
π , 4 3π ? A) 4

所以 2 cos A ? cos C ? 2 cos A ? cos(
? 2 2 cos A ? sin A 2 2

π ? sin( A ? ) . 4

因为 0 ? A ?

3π π π ,所以 ? A ? ? π , 4 4 4

π 所以 sin( A ? ) ? (0,1] , 4

所以 2 cos A ? cos C 的取值范围为(0,1].
?c 2 , ? ? a 2 ? 2 ?4 20.解:(1)由题意 ? 2 ? 2 ? 1, a b ? ? a 2 ? b2 ? c 2 , ? ?
? a 2 ? 8, 解得 ? 2 ? b ? 4.

故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1. 8 4

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),
? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 y2 ,得(2k +1)x +4kmx+2m -8=0, ? ? 1 ? 4 ?8

所以 x1 ? x2 ? ?

2m2 ? 8 4km , . x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

因为|AB|=4|,所以 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? 4 , 所以 1 ? k 2

16k 2 m2 2m2 ? 8 ? 4? 2 ?4, 2 2 (2k ? 1) 2k ? 1
2 2 2

整理得 k (4-m )=m -2,显然 m ≠4,所以 k 2 ?
2

m2 ? 2 ?0. 4 ? m2

又 k>0,故 k ?

m2 ? 2 (2 ? m2 ? 4) . 4 ? m2
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21.(1)解:函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞), 因为 f(x)=xe +a(1-e )+1,所以 f′(x)=(x+1-a)e . 所以当 x>a-1 时,f′(x)>0,f(x)在(a-1,+∞)上是增函数; 当 x<a-1 时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,a-1)上是减函数. 所以 f(x)在(a-1,+∞)上是增函数,在(-∞,a-1)上是减函数. (2)证明:由题意可得,当 x>0 时,f(x)=0 有解,
x x x

xex ? 1 x(ex ? 1) ? x ? 1 x ?1 有解. ? ? x? x x x e ?1 e ?1 e ?1 ? xe x ? 1 e x (e x ? x ? 2) x ?1 ? 1 ? 令 g ( x) ? x ? x ,则 g ?( x ) ? x . (e ? 1)2 (e x ? 1)2 e ?1
即a? 设函数 h(x)=e -x-2,h′(x)=e -1>0,所以 h(x)在(0,+∞)上单调递增. 又 h(1)=e-3<0,h(2)=e -4>0,所以 h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点. 故 g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为 k,则 k∈(1,2). 当 x∈(0,k)时,g′(x)<0;当 x∈(k,+∞)时,g′(x)>0. 所以 g(x)在(0,+∞)的最小值为 g(k). 又由 g′(k)=0,可得 e =k+2,所以 g (k ) ? k ?
k
2

x

x

k ?1 ? k ? 1? (2,3) , ek ? 1

因为 a=g(x)在(0,+∞)上有解,所以 a≥g(k)>2,即 a>2. 22.解:(1)由题设,得 C1 的直角坐标方程为 x +(y-5) =25,即 x +y -10y=0, 故 C1 的极坐标方程为 ρ -10ρ sinθ =0,即 ρ =10sinθ .
π π 设点 N(ρ , θ )(ρ ≠0), 则由已知得 M ( ? ,? ? ) , 代入 C1 的极坐标方程得 ? ? 10sin(? ? ) , 2 2
2 2 2 2 2

即 ρ =10cosθ (ρ ≠0). (2)将 ? ?
π π π 代入 C1,C2 的极坐标方程得 A(5 3, ) , B(5, ) , 3 3 3 1 π | OA | ? | OT | ?sin ? 15 , 2 3

又因为 T(4,0),所以 S△TOA ?
S△TOB ?

1 π | OB | ? | OT | ?sin ? 5 3 , 2 3

所以 S△TAB ? S△TOA ? S△TOB ? 15 ? 5 3 .
? x ? 3m, x ? ? m ? 23.解:因为 m>0,所以 f ( x ) ?| x ? m | ? | 2 x ? 2m |? ?3x ? m, ?m ? x ? m. ? ? x ? 3m, x ? m ?

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3 1 ? ?x ? 2 , x ? ? 2 ? 1 1 1 1 ? (1)当 m ? 时, f ( x ) ? ?3x ? , ? ? x ? , 2 2 2 2 ? 3 1 ? ?x ? , x ? ? 2 2 ?
3 1 1 1 3 1 ? ? ? x ? ? , ? 3x ? ? , ? ? x ? ? ? ? ? ? 1 2 2 2 2 2 2 所以由 f ( x ) ? ,可得 ? 或? 或? , 1 1 1 1 2 ?x ? ? ?? ? x ? ?x ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 ? 2

1 1 1 解得 ? x ? 或 ? x ? 1 , 3 2 2 1 故原不等式的解集为 {x | ? x ? 1} . 3

(2)因为 f(x) +|t-3|<|t+4|?f(x)<|t+4|-|t-3|, 令 g(t)=|t+4|-|t-3|,则由题设可得 f(x)max<g(t)max.
? x ? 3m, x ? ? m ? 由 f ( x ) ? ?3x ? m, ? m ? x ? m, 得 f(x)max=f(m)=2m. ? ? x ? 3m, x ? m ?

因为-|(t+4)-(t-3)|≤|t+4|-|t-3|≤|(t+4)-(t-3)|,所以-7≤g(t)≤7, 故 g(t)max=7,从而 2m<7,即 m ?
7 , 2

7 又已知 m>0,故实数 m 的取值范围是 (0, ) . 2

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