贵州省贵阳清镇北大培文学校高中数学必修一人教版教学案1.6 三角函数模型的简单应用

1.6 三角函数模型的简单应用 一、教学目标 1、会用三角函数解决一些简单的问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2 通过对三角函数的应用,发展数学应用意识,求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考 和作出判断. 二、问题导学(自学课本后,请解答下列问题) 应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势确定 它的周期,从而建立适当的三角函数模型.解决问题的一般程序是: (1)审题:先审清题目条件、要求,理解数学关系; (2)建模:分析题目条件(如周期性或利用搜集的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合 等),选择适当三角函数模型; (3)求解:对所建立的三角函数模型进行分析研究,得到数学结论; (4)还原:把数学结论还原为实际问题的解答. [自我小测] 1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) 2π (1)当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时,周期 T= ,频率 f= ω ω .( 2π ) (2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期.( 2.做一做 ) (1)如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s(cm)和时间 t(s)的函数关系式为 s π? =6sin? ?2πt+6?,那么单摆来回摆动一次所需的时间为( A.2π s C.0.5 s B .π s D.1 s ) (2)如图表示电流 I 与时间 t 的关系 I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象,则该函数的 解析式为( ) π? A.I=300sin? ?50πt+3? π? C.I=300sin? ?100πt+3? π? B.I=300sin? ?50πt-3? π? D.I=300sin? ?100πt-3? 三、合作探究 1 三角函数的性质有哪些? 2 处理曲线拟合与预测的问题,通常有几个步骤? 题型一 与三角函数图象有关的问题 例1 如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角速度为 ) 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( 【跟踪训练 1】 动点 A(x,y)在圆 x2+y2=1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转 1 3 一周.已知时间 t=0 时,点 A 的坐标是? , ?,则当 0≤t≤12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单位: 2 2 ? ? 秒)的函数的单调递增区间是( A.[0,1] C.[7,12] ) B.[1,7] D.[0,1]和[7,12] 题型二 三角函数模型的应用问题 π? 例 2 交流电的电压 E(单位:伏)与时间 t(单位:秒)的关系可用 E=220 2sin? ?100πt+6?来表示, 求: (1)开始时电压; (2)电压值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间. 【跟踪训练 2】 如图所示,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的 前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asinωx(A>0,ω>0,x∈[0,4])的图象,且图象的最高点 为 S(3,2 3);赛道的后一部分为折线段 MNP.求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离. 题型三 数据拟合问题 例3 设 y=f(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t (时)的函数,其中 0≤t≤24.下表是该港口某 一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1 经长期观察,函数 y=f(t)的图象可近似地看成函数 y=k+Asin(ωt+φ)的图象.下面的函数中, 最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( π A.y=12+3sin t,t∈[0,24] 6 π ? B.y=12+3sin? ?6t+π?,t∈[0,24] π C.y=12+3sin t,t∈[0,24] 12 π π? D.y=12+3sin? ?12t+2?,t∈[0,24] 【跟踪训练 3】 某港口相邻两次高潮发生的时间间隔 12 h 20 min,低潮时入口处水的深度为 2.8 m,高潮时为 8.4 m,一次高潮发生在 10 月 3 日 2:00. (1)若从 10 月 3 日 0:00 开始计算时间,选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深 d(m)和 ) 时间 t(h)之间的函数关系; (2)求出 10 月 5 日 4:00 水的深度. 四、当堂检测 1.弹簧振子的振幅为 2 cm,在 6 s 内振子通过的路程是 32 cm,由此可知该振子振动的( A.频率为 1.5 Hz B.周期为 1.5 s C.周期为 6 s D.频率为 6 Hz ) π π? ?? 2.已知简谐运动 f(x)=2sin? ?3x+φ??|φ|≤2?的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期 T 和 初相 φ 分别为( ) π B.T=6,φ= 3 π C.T=6π,φ= 6 π D.T=6π,φ= 3 π A.T=6,φ= 6 π? 3. 单摆从某点开始来回摆动, 离开平衡位置的位移 s 和时间 t 的函数关系式为 s=6sin? ?2πt+6?, 则单摆的运动周期为________,最大位移是________. 4. 如图是一弹簧振子做简谐运动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振动的位移,则这个 振子振动的函数解析式是________. 5.如图:弹簧挂着的小球作上下运动,时间 t(s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度 π? h(cm)之间的函数关系式是 h=2sin? ?2t+4?,t∈[0,+∞). (1)以 t 为横坐标,h 为纵坐

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