2014双曲线的简单几何性质_图文

双曲线的简单几何性质

复习1

椭圆的图像与性质
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b (a ? b ? 0)

标准方程 范围 对称性 顶点 离心率

y
B2 (0,b)
(-a,0) A1 F1 (-c,0) (a,0) A2

?a ? x? a

?b ? y ? b
对称轴:坐标轴 对称中心:原点

o

(c,0) F2

x

A1,A2,B1,B2
0?e? c ?1 a

B1 (0,-b)

复习2 双曲线的标准方程

形式一: x 2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b F1 -c,0)、 F( (焦点在x轴上,( 2 c,0))

形式二: y 2

x ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

2

F1 0,-c)、( (焦点在y轴上,( F2 0,c))
其中 c ? a ? b
2 2 2

问题1:
类比椭圆几何性质的研究方法,我 们根据双曲线的标准方程 得出双曲线的范围、对称性、顶点等几 何性质?
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

1、范围

x 2 2 ? 1 , x ? a 2 a ? x ? a, x ? ? a
2、对称性

2

y
(-x,y) -a (-x,-y) (x,y)

o a
(x,-y)

x

关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。

3、顶点
(1)令y=0,得x=±a,则双曲线与x轴的两个交点为 A1(-a,0),A2(a,0),我们把这两个点叫双曲线的顶点; 令x=0,得y2=-b2,这个方程没有实数根,说明双曲线与y 轴没有交点,但我们也把B1(0,-b),B2(0,b)画在y轴上。

(2)如图,线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长为2a,
a叫做实半轴长;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长
y

为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.
B2

(3)实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线。

A1

o

A2

x

x ? y ? m(m ? 0)
2 2

B1

问题2:
根据双曲线的标准方程 你能发现双曲线的范围还受到怎样的限 制?
x2 y2 由双曲线方程 ,可知 a 2 ? b 2 ? 0 ?x y ?x y ? ? 0 ? x y ?? x x ? ? ?0 即 ? ? ?? ? ? ? 0 从而 ? 或 ? ?a b ?a b a b a b ? ?? ? ? ? ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ? ? ?a b ?a b x2 y2 ? 2 ?1 2 a b
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面 b b y ? x 区域内,即以直线 a 和y ? ? x 为边界的平面区 a 域内

问题3:

双曲线的范围在以直线 为边界 的平面区域内,那么从 x,y的变化趋势看,双曲 2 2 b x y 线 2 ? 2 ? 1和直线 y ? ? x具有怎样的关系? a a b y
2 b b 2 b a PM ? x ? x ? a2 ? a a a x ? x2 ? a2

b y? x a

b 和y ? ? a x

P M

b B2

A1

o

A2

a N

x

x ? x2 ? a2 当x变大时, 变大,PM长趋向于0
y?

B1
b x a
b y?? x a

4、渐近线
x y 可以看出,双曲线 2 ? 2 ? 1 a b b 的各支向外延伸时,与直线 y ? ? x a A1
2 2

y b B2

Q

M(x,y)

逐渐接近,我们把这两条直线 叫做双曲线的渐近线。
y? b x a

o

A2
a x

B1
b y?? x a

双曲线与渐近线无限接近,但永不相交。

x2 y2 思考(1)双曲线 a 2 ? b 2 ? 1

4、渐近线

b k ?? a
B2

y

b k? a

的渐近线方程怎样得到?
x y ? 2 ?1 2 令 a 中的 1 为 0, 求法 : b 得 - =0
再化简所得的直线方程.
2 2

(a,b)
a b
A 2

b

A1

o
B1

x

4、渐近线
(2)等轴双曲线的渐近线 方程是什么?

b k ?? a
B2

y

b k? a

(a,b)
a b
A 2

b

y ? ?x

A1

o
B1

x

(3)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图

画矩形

画渐进线

画双曲线的草图

5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ? ,叫做 (1)定义: a 双曲线的 离心率。
(2)e的范围:

c>a>0

?

e >1

(3)e的含义:
b c2 ? a2 c 2 ? ? ( ) ?1 ? e2 ?1 a a a b b ?当e ? (1,?? )时, ? (0,?? ), 且e增大 , 也增大 a a ? e增大时,渐近线与实轴 的夹角增大

e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大

焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答
双曲线标准方程:

双曲线性质:
1.范围:

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

y A2 B1 o A1 B2 x

y≥a或y≤-a

2.对称性: 关于坐标轴和原点对称 3.顶点: A1(0,-a),A2(0,a) A1A2为实轴,B1B2为虚轴

a 4.渐近线方程: y ? ? x cb e ? ?1 5.离心率: a

例题讲解

例 1:

求双曲线 9y2 ?16x2 ? 144 的实半轴长,虚半轴长,
y2 x2 ? 2 ?1 2 4 3

焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解:把方程化为标准方程 可得:实半轴长 a ? 4

虚半轴长 b ? 3
半焦距 c ? 42 ? 32 ? 5 焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率:
c 5 e? ? a 4

4 y ? ? x 渐近线方程: 3

巩固练习
1.中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准 方程为( B ) x2 y2 y2 x2 x2 y2 ? ?1 A. B. 25 ? 9 ? 1 或 25 ? 9 ? 1
25 9

C.

x2 y2 ? ?1 100 64

D.

2.双曲线 A. C.

2 y?? x 3 3 y?? x 2

x2 y2 ? ?1 4 9

x2 y2 y2 x2 ? ?1或 ? ?1 100 64 100 64
4 y?? x 9 9 y?? x 4

的渐近线方程为( C )

B.
D.

3.双曲线 mx2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的2倍,

则m的值为

1 ? 4

例题讲解

例2:求下列双曲线的标准方程:

x2 y2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 ( ? 3, 2 3 ) ; 9 16

x2 y2 (3 2 , 2) ⑵与双曲线 ? ? 1 有公共焦点,且过点 16 4

根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 ? 1 有共同渐近线,且过点 (?3, 2 3) ; ⑴与双曲线 ? 9 16 ⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) x2 y2 4 解:双曲线 ? ? 1 的渐近线为 y ? ? x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 ? 4 , 3 9 16 4 故点 (?3,2 3) 在射线 y ? ? x (x≤0)及 x 轴负半轴之间, 3 x2 y2 ∴ 双曲线焦点在 x 轴上,∴设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), a b ?b 4 ? 2 9 2 2 ? a ? ? x y ? a 3 ∴? 解之得 ? ?1 4 ,∴ 双曲线方程为 ? ? 9 2 2 4 ?b2 ? 4 ? ( ?3) ? (2 3) ? 1 ? 2 2 4 ? b ? a

法二:巧设方程,运用待定系数法 . 2 2 ⑴设双曲线方程为 x ? y ? ? (? ? 0) ,
9 16

( ?3)2 (2 3)2 ? ? ?? 9 16

1 ?? ? 4

x2 y2 ? 双曲线的方程为 ? ?1 9 4 4

根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 ? 16 4
法一:直接设标准方程,运用待定系数法 x2 y2 ⑵解:设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) a b ? a 2 ? b 2 ? 20 ? a 2 ? 12 ? 则? 解之得 ? 2 ? (3 2 )2 2 2 或设 b ?8 ? ? ? ? 1 ? 2 2
? a b

x2 y2 ? ?1 ∴双曲线方程为 12 8

x2 y2 ? ? 1, 2 2 m 20 ? m 求得m2 ? 12(30舍去)

法二:设双曲线方程为
(3 2)2 22 ∴ 16 ? k ? 4 ? k ? 1

x2 y2 ? ? 1 ?16 ? k ? 0且4 ? k ? 0? 16 ? k 4 ? k
x2 y2 ? ?1 12 8

, 解之得k=4,

∴ 双曲线方程为

【变式2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
13 (1)一个焦点为(0,13),且离心率为 ; 5 1 (2)渐近线方程为 y=± x,且经过点 A(2,-3). 2

1 由双曲线的渐近线方程为 y=± x, 2 x2 2 可设双曲线方程为 2-y =λ(λ≠0), 2 ∵A(2,-3)在双曲线上, 22 ∴ 2-(-3)2=λ,即 λ=-8. 2 y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 8 32 法二

1、“共渐近线”的双曲线的应 2 2用 x y



b 2 2 x y 方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0,?为参数), a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线; λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。

a

2

?

2

? 1共渐近线的双曲线系

x2 y 2 x2 y2 2、与 2 ? 2 ? 1共焦点的椭圆系方程是 2 ? 2 2 ? 1, a b m m ?c x2 y2 双曲线系方程是 2 ? 2 ? 1. 2 m c ?m

双曲线定义的简单几何性质
定义 图象

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M

y

F2

F1

o

F2

x
F1

x

方程

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 范围 对称性 关于坐标轴、原点对称(实轴、虚轴、中心) (-a, 0) (a, 0) (0,-a) (0, a) 顶点 c e ? ?1 离心率 a

渐近线

b x y y ? ? x( ? ? 0) a a b

y= ± x ( ±

= 0)

例 3 双曲线型冷却 塔的外形 , 是双曲线 的一部分绕其虚轴 旋转所成的曲面 (图 2.2 ? 8 ?1? ) 它的最小 半 径 为 12 m, 上口半 径为 13 m , 下口半径 为25m, 高55m.试选择 适当的坐标系 , 求出

?1 ?
图 2 .2 ? 8

此双曲线方程 (精确 到 1 m ).

解 如图2.2 ? 8?2?, 建立直 角坐标系 xOy, 使小圆的直 径AA`在x轴上, 圆心与原点 重合.这时, 上、下口的直径 CC `, BB` 都平行于 x 轴 , 且 | CC `|? 13? 2, | BB`|? 25 ? 2.
设双曲线的方程为

y
C` A` O

13
12

C A

x

B`

25

B

?2 ?
图 2 .2 ? 8

则点B的坐标为?25, y ? 55?.

x2 y 2 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0 ? , 令点C的坐标为?13, y ?, 2 a b

因为点B, C 在双曲线上, 所以

13 25 C` C ? ? ? ? 1 , 1 12 122 b2 A` O A 2 2 13 y ?2? ? 2 ?1. 2 12 b 25 B` 5b ?负值舍去 ?, 由方程 ?2? , 得y ? 12 ?2 ? 2 ? 5b ? 图 2 .2 ? 8 ? 55 ? ? 2 25 ? 12 ? 代入方程?1?, 得 2 ? ? 1, 化简得 2 12 b 19b 2 ? 275b ? 18150? 0.用计算器解得 b ? 25.

2

? y ? 55?2

y

x

B

x2 y2 所以, 所求双曲线的方程为 ? ? 1. 144 625

例4、点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到 的轨迹。

5 16 定直线 l : x ? 的距离的比是常数 ,求点M 4 5
.
解: 设 d是点M到直线l的距离,则

l'

y

l

由题意知 | MF | ? 5



9 x ?16y ? 144.
2 2

两边平方,并化简得: x 2

( x ? 5) ? y 5 ? . 16 4 | ?x| 5
2 2

d

4

.
2

.
O

M F

d
x

.

? 点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为8、 6的双曲线.

y 即 ? ? 1. 16 9

双曲线的第二定义:
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 c 是常数 e ? (e ? 1),则这个点的轨迹是双曲线 . y l' a 定点是双曲线的焦点, 定直线叫做双曲线的
准线,常数e是双曲线的离心率.
x y 对于双曲线 2 ? 2 ? 1, a b a2 右焦点F2 (c, 0),对应的右准线方程是x ? . c a2 左焦点F1 (?c, 0)对应的左准线方程是x ? ? . c a2 焦点在y轴上的双曲线的准线方 程是:y ? ? c
2 2

l d .M

F’

.

O

.

F

x

x2 y2 ? ? 1 的右焦点F2,倾斜角为 例5:如图所示,过双曲线 3 6
30°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|

分析:求弦长问题有两种方法: 法一 :如果交点坐标易求 , 可直接 用两点间距离公式代入求弦长; 法二 :但有时为了简化计算 , 常设 而不求,运用韦达定理来处理.
法一:设直线AB的方程为 y ?
3 ( x ? 3) 3

y

F1

O

B

F2 x

A

9 2 3 ( ? 3, ? 2 3),( ,? ) 与双曲线方程联立得A、B的坐标为 5 5

由两点间的距离公式得|AB|=

16 3 5

x2 y2 ? ? 1 的右焦点F2,倾斜角为 例5:如图所示,过双曲线 3 6
30°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|
法二:设直线AB的方程为 y ?
3 ( x ? 3) 3

y

与双曲线方程联立消y得5x2+6x-27=0
设A、B的坐标为(x1,y1) 、(x2,y2),则
6 27 x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? ? 5 5 由两点间的距离公式得
| AB |? ? 2 3 ? * 3 ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 ? x2 ? 16 3 5 1 ( x1 ? x2 ) 2 3

F1

O

A

B

F2 x

例 6:是否存在同时满足下列条件的双曲线,若存在求出其 方程,若不存在,说明理由. ⑴渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 , x ? 2 y ? 0 ; ⑵点 A(5, 0) 到双曲线上动点 P 的距离的最小值为 6 .

解:满足条件⑴的双曲线的方程为 x ? 4 y ? ? (? ? 0) . 2 2 设双曲线 x ? 4 y ? ? (? ? 0) 上动点 P( x, y )
2 2
2 x ?? 2 2 2 ∵ PA ? ( x ? 5) ? y 且 y ? ?

2 x ?? 2 ∴ PA ? ( x ? 5) ? (? ? 0) 且 x 2 ? ? ≥ 0 ? 5 ? 2 = ( x ? 4) ? 5 ? 4 ?

解:满足条件⑴的双曲线的方程为 x 2 ? 4 y 2 ? ? (? ? 0) . 设双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? ? (? ? 0) 上动点 P( x, y )
2 x ?? 2 2 2 ∵ PA ? ( x ? 5) ? y 且 y ? ?

2 ? x ?? 5 2 2 ∴ PA ? ( x ? 5) ? = ( x ? 4) ? 5 ? (? ? 0) 且 x 2 ? ? ≥ 0 4 ? ?

①当 42 ≥ ? 时, AP 的最小值为 5 ?

?

?

,∴ 5 ?

?

?

? 6 解得 ? ? ?4

②当 42 ? ? 时∵ x 2 ≥ ? ∴ x ≥ ? ? 4 或 x ≤ ? ? ? ?4
∴ AP 的最小值在 x ? ? 时取得, ∴ ( ? ? 5)2 ? 6 解得 ? ? (5 ? 6)2 或 ? ? (5 ? 6)2 (不合) 综上所述:存在双曲线方程为 x 2 ? 4 y 2 ? ?4 或 x 2 ? 4 y2 ? (5 ? 6)2

课外思考: x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的夹角的正切 1.双曲线 16 25 值是________. 40 2 y 2 x ? ? 1 的右焦点 F2 作直线与双 2.若过双曲线 9 3 曲线的两支都相交,求直线 l 的倾斜角的范围 ________.

? 0 , 60 (120 ,180 ) ? 3、已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上 ,
离心率为 2 ,且过点 (4, ? 10) . ⑴求此双曲线的方程; ⑵若点 M (3, m ) 在此双曲线上 , F1 , F2 是双曲线的 焦点,求证: F1 M ? F2 M .

?


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