2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业:选修4-4 坐标系与参数方程 60含答案

课时作业 60 参数方程
? ? ?x=2+t, ?x=3cosα, ? 1.求直线 (t 为参数)与曲线? (α 为参数)的交点个数. ?y=-1-t ?y=3sinα ? ? ? ?x=2+t, 解析:将? 消去参数 t 得直线 x+y-1=0; ? ?y=-1-t ?x=3cosα ? 将? 消去参数 α, ? ?y=3sinα 得圆 x2+y2=9.

2 又圆心(0,0)到直线 x+y-1=0 的距离 d= 2 <3. 因此直线与圆相交,故直线与曲线有 2 个交点. 2.(2018· 洛阳市第一次统一考试)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ?x=2cosφ ? (φ 为参数).以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. ?y=2+2sinφ ? (1)求圆 C 的普通方程; π? ? π (2)直线 l 的极坐标方程是 2ρsin?θ+6?=5 3,射线 OM:θ=6与圆 C 的交点为 ? ? O,P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. ? ?x=2cosφ 解析:(1)因为圆 C 的参数方程为? (φ 为参数),所以圆心 C 的坐标 ?y=2+2sinφ ? 为(0,2),半径为 2,圆 C 的普通方程为 x2+(y-2)2=4. (2)将 x=ρcosθ, y=ρsinθ 代入 x2+(y-2)2=4, 得圆 C 的极坐标方程为 ρ=4sinθ. ?ρ=4sinθ π 设 P(ρ1,θ1),则由? π ,解得 ρ1=2,θ1=6. ?θ=6 π? ? ? ?θ+ ?=5 2 ρ sin ? 6? ? 设 Q(ρ2,θ2),则由? π ? θ = ? 6 3 π ,解得 ρ2=5,θ2=6.

所以|PQ|=3. 3.(2018· 石家庄市教学质量检测(二))在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程

?x= 22t 为? 2 ?y=3+ 2 t

(t 为参数),在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲

线 C 的极坐标方程为 ρ=4sinθ-2cosθ. (1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与 y 轴的交点为 P, 直线 l 与曲线 C 的交点为 A, B, 求|PA||PB|的值. 解析:(1)直线 l 的普通方程为 x-y+3=0, ∵ρ2=4ρsinθ-2ρcosθ, ∴曲线 C 的直角坐标方程为(x+1)2+(y-2)2=5.

?x= 22t (2)将直线 l 的参数方程? 2 y = 3 + ? 2t

(t 为参数)代入曲线 C:(x+1)2+(y-2)2

=5,得到 t2+2 2t-3=0, ∴t1t2=-3, ∴|PA||PB|=|t1t2|=3. 4. (2018· 广东珠海模拟)在极坐标系中, 圆 C 的极坐标方程为 ρ2=4ρ(cosθ+sinθ) -6.若以极点 O 为原点,极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系. (1)求圆 C 的参数方程; (2)在直角坐标系中,点 P(x,y)是圆 C 上一动点,试求 x+y 的最大值,并求出 此时点 P 的直角坐标. 解析:(1)因为 ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)-6, 所以 x2+y2=4x+4y-6, 所以 x2+y2-4x-4y+6=0, 即(x-2)2+(y-2)2=2 为圆 C 的直角坐标方程.
? ?x=2+ 2cosθ, 所以所求的圆 C 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=2+ 2sinθ ? π? ? (2)由(1)可得 x+y=4+ 2(sinθ+cosθ)=4+2sin?θ+4?. ? ? π 当 θ=4,即点 P 的直角坐标为(3,3)时, x+y 取得最大值 6. 5 . (2018· 甘 肃 三 校 联 考 ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ? ?x=1+tcosα, ? (t 为参数),在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且 ?y=2+tsinα ? 以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ=6sinθ.

(1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B,若点 P 的坐标为(1,2),求|PA|+|PB|的最小值. 解析:(1)由 ρ=6sinθ,得 ρ2=2 5ρsinθ. 得 x2+y2=6y,即 x2+(y-3)2=9. 所以圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y-3)2=9. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 t2+2(cosα-sinα)t-7=0. 由已知得 Δ=(2cosα-2sinα)2+4×7>0,所以可设 t1,t2 是上述方程的两根, ? ?t1+t2=-2?cosα-sinα?, 则? 由题意得直线 l 过点(1,2),结合 t 的几何意义得 ?t1· t2=-7. ? |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2| = ?t1+t2?2-4t1t2 = 4?cosα-sinα?2+28 = 32-4sin2α≥ 32-4=2 7. 所以|PA|+|PB|的最小值为 2 7. [能力挑战]

?x=m+ 22t 6.(2018· 福州市综合质量检测)已知直线 l 的参数方程为? 2 ? y= 2 t

(t 为参

数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆 C 的极坐标方程 为 ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12,其左焦点 F 在直线 l 上. (1)若直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求|FA|· |FB|的值; (2)求椭圆 C 的内接矩形周长的最大值. 解析:(1)将曲线 C 的极坐标方程 ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12 化为直角坐标方程,得 x2 y2 12+ 4 =1,则其左焦点 F(-2 2,0),则 m=-2 2.

?x=m+ 22t 将直线 l 的参数方程? 2 y = ? 2t

x2 y2 (t 为参数)与曲线 C 的方程12+ 4 =1 联立,

化简可得 t2-2t-2=0, 由直线 l 的参数方程的几何意义,令|FA|=|t1|,|FB|=|t2|,则|FA|· |FB|=|t1t2|=2. 2 2 x y (2)由曲线 C 的方程12+ 4 =1, 可设曲线 C 上的任意一点 P 的坐标为(2 3cosθ, π? ? 2sinθ)?0<θ<2?, ? ? 则以 P 为顶点的内接矩形的周长为

π? ? 4×(2 3cosθ+2sinθ)=16sin?θ+3?,
? ?

π 因此当 θ=6时,可得该内接矩形周长的最大值为 16.


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