函数的单调性与导数(获奖教案

3.3.1 函数的单调性与导数 教材分析
“函数单调性与导数”是高中数学(选修 1-1)第三章导数及其应用的第三节,本节的 教学内容属导数的应用, 是在学生学习了导数的概念、 计算、 几何意义的基础上学习的内容, 学好它既可加深对导数的理解,又可为后面研究函数的极值和最值打好基础. 由于学生在高一已经掌握了单调性的定义,并能用定义判定在给定区间上函数的单调 性.通过本节课的学习,应使学生体验到,用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多(尤 其对于三次和三次以上的多项式函数,或图象难以画出的函数而言) ,充分展示了导数解决 问题的优越性.

课时分配
本节内容用 1 课时完成, 主要经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概 念的过程,体会从特殊到一般的数学思想,体现了数学知识来源于生活,又服务于生活.

教学目标
重点:利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间. 难点:⒈ 探究函数的单调性与导数的关系; ⒉ 如何用导数判断函数的单调性. 知识点:1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 能力点:1.通过本节的学习,掌握用导数研究单调性的方法. 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想. 教育点:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、 勤思考、善总结, 培养学生的探索精神, 引导学生养成自主学习的学习习惯. 自主探究点:通过问题的探究,体会知识的类比迁移.以已知探求未知,从特殊到一般的数 学思想方法. 考试点:利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 易错易混点:导数的正负决定函数的单调性,而不是导数的单调性决定函数的单调性.

教具准备:多媒体课件,三角板 课堂模式:学案导学 一.引入新课
师:判断函数的单调性有哪些方法?比如判断 y ? x 的单调性,如何进行?
2

生:用定义法、图像法. 师: 因为二次函数的图像我们非常熟悉,可以画出其图像,指出其单调区间,再想一下,有

没有需要注意的地方? 生:注意定义域. 师:如果遇到函数 y ? x 3 ? 3x ,如何判断单调性呢?你能画出该函数的图像吗? 师:定义是解决问题的最根本方法,但定义法较繁琐,又不能画出它的图像,那该如何解决 呢? 揭示并板书课题:函数的单调性与导数 【设计意图】通过复习回顾,巩固旧知.从已学过的知识(判断二次函数的单调性)入手, 提出新的问题(判断三次函数的单调性) ,引起认知冲突,激发学习的兴趣. 师:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的增与减、增减 的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的. 通过研究函数的这些性质, 我们 可以对数量的变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与 函数的导数一样都是反映函数变化情况的,那么函数的单调 性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?

二.探究新知
师:如图(1) ,它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函 数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图像,图(2)表示高台跳水 运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数

v(t ) ? h' (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 生:通过观察图像,可以发现: (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加,即 h(t ) 是增函数.相 应地, v(t ) ? h' (t ) ? 0 . (2)从最高点到入水,运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少,即 h(t ) 是减函数.相 应地, v(t ) ? h' (t ) ? 0 . 【设计意图】从具体的实际情景出发,提出本节课要探索的问题,函数的单调性与导数的关 系.为学生提供一个联想的“源”,巧妙设问,把学习任务转移给学生;让学生完成对函数单 调性与导数关系的第一次认识,明确研究课题. 师: 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率, 函数图象上每个点处的切线的斜率都是 变化的, 那么函数的单调性与导数有什么关系呢?观察下面函数的图像, 探讨函数的单调性 与其导数正负的关系.

(1)函数 y ? x 的定义域为 R ,并且在定义域上是增函数,其导数 y / ? 1 ? 0 ; (2)函数 y ? x 2 的定义域为 R ,在 (??,??) 上单调递减,在 (0,??) 上单调递增;
/ / / 而 y ? 2 x ,当 x ? 0 时,其导数 y ? 0 ;当 x ? 0 时,其导数 y ? 0 ;当 x ? 0 时,其导

数 y ? 0.
/

(3)函数 y ? x 的定义域为 R ,在定义域上为增函数;
3
2 2 / 2 而 y ? 3x ,若 x ? 0 ,则其导数 3x ? 0 ,当 x ? 0 时,其导数 3x ? 0 ;

1 的定义域为 (??,0) ? (0,??) ,在 (??,0) 上单调递减,在 (0,??) 上单调 x 1 / / 递减,而 y ? ? 2 ,因为 x ? 0 ,所以 y ? 0 . x
(4)函数 y ? 师:以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明,在区间 ( a, b) 内,如果 f ( x) ? 0 ,那
/ / 么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间

内单调递减. 【设计意图】从具体的函数出发,体会数形结合思想的运用.让学生体会从特殊到一般,从 具体到抽象的过程,降低思维难度,让学生在老师的引导下自主学习和探索,提高学习的成 就感和自信心.

三. 理解新知

师:如图,导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率. 观察图像回答,函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系? 生:在 x ? x0 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“左下右上”式的,这时,函数

f ( x) 在 x0 附近单调递增;
在 x ? x1 处,f / ( x1 ) ? 0 , 切线是“左上右下”式的, 这时, 函数 f ( x) 在 x1 附近单调递减. 师生共同总结: 函数的单调性与导数的关系: 在某个区间 ( a, b) 内, 如果 f / ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;如 果 f / ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减. 说明:如果 f / ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函数. 【设计意图】通过导数的几何意义来验证由具体函数所得到的结论,形成一般性结论.让学 生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程,体会函数单调性与导数的关系.

四.运用新知
例 1、已知导函数 f ( x) 的下列信息:
' 当 1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 0 ; '

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;
'

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0
'

试画出函数 y ? f ( x) 图像的大致形状.
' 解:当 1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 0 ,可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递增; ' 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递减;

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”.
'

综上,函数 y ? f ( x) 图像的大致形状如图所示. 学生思考,并在纸上画出函数图像

0 教师投影若干学生的作业情况,学生共同分析.

1

4

x

【设计意图】让学生通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的,这是今后利用 导函数研究函数的必备技能.这里让学生切实理解,为今后学习扫清障碍. 例 2、判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1) f ( x) ? x3 ? 3x ; (2) f ( x) ? x2 ? 2x ? 3

(3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1 解: (1)因为 f ( x) ? x3 ? 3x ,所以,
2 f ' ( x)? 3x ? 3? 3 x (2 ? 1? )

0

因此, f ( x) ? x3 ? 3x 在 R 上单调递增,如图 1 所示.

(2)因为 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,所以, f ( x) ? 2x ? 2 ? 2 ? x ?1?
'

当 f ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 单调递增;
' 2

当 f ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 单调递减;
' 2

函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 的图像如图 2 所示.
2 ' (3)因为 f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ,所以, f ( x) ? cos x ?1 ? 0

因此,函数 f ( x) ? sin x ? x 在 (0, ? ) 单调递减,如图 3 所示. (4)因为 f ( x) ? 2x ? 3x ? 24 x ? 1 ,所以
3 2


2

当 f ( x) ? 0 ,即
'

时,函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3



当 f ' ( x) ? 0 ,即

时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3



函数 f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1 的图像如图 4 所示. 学生练(3) 、 (4)

【设计意图】让学生初步体会用导数的方法确定函数单调性的简便. 【师生活动】总结求 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ' ? f ' ( x) ; (3)解不等式 f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间.
'

例 3.已知函数 y ? x ? 解: y ? ( x ?
/

1 ,试讨论出此函数的单调区间. x

1 / 1 x 2 ? 1 ( x ? 1)(x ? 1) 2 ) ? 1? 2 ? ? x x x2 x2

( x ? 1)( x ? 1) ? 0. x2 解得 x ? 1或x ? ?1 1 ∴ y ? x ? 的单调增区间是: (??,-1)和(1,??) x ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 0或0 ? x ? 1 令 x2 1 ∴ y ? x ? 的单调减区间是: (?1,0)和(0,1) x

王新敞
奎屯 新疆

练习: P93 1 题

五.课堂小结
(1)函数的单调性与导数的关系

(2)求解函数 y ? f ( x) 单调区间 【设计意图】通过师生共同反思,优化学生的认知结构.

六. 布置作业
必做:课本 P98A 组 1,2 选做: 1、求下列函数的单调区间: (1) y ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? 7 (2) y ?

1 ? 2x x

(3) y ? sin x, x ? ?0,2? ? (4) y ? x ln x

2 、 已 知 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的 图 像 过 点 P(0, 2) 且 在 x ? ?1 处 的 切 线 方 程 为

6 x ? y ? 7 ? 0 ,求(1) f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调区间.
3、已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围. 【设计意图】体现了分层、有梯度的教学,学生动手练习,加强学生的应用意识.

七.教后反思
1. 本节课的亮点:教学过程中教师指导启发学生以已知的熟悉的二次函数为研究的起点, 发现函数的导数的正负与函数单调性的关系, 从而到更多的, 更复杂的函数, 从中发现规律, 并推广到一般.这个过程中既让学生获得了关于新知的内容,更可贵的是让学生体会到如何 研究一个新问题, 即探究方法的体验与感知.同时也渗透了归纳推理的数学思想方法,培养了 学生的探索精神,积累了探究经验. 2. 不足之处:学生对与数形结合的理解还不是很熟练,今后应多加强训练.

八、板书设计 3.3.1、函数的单调性与导数
一. 函数的单调性与导数的关系 二.例题 例 1. 三.随堂练习

二 . 利用导数求单调性的步 骤

例 2.
四.课时小结

例3


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