2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.4.2.1正弦函数、余弦函数的性质(一)课件新人教A版必修4_图文

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)



标 阐 释



维 脉 络

1.了解周期函数的概念. 2.理解正弦函数与余弦函数 三角函数的性质 周期函数—周期性—应用 的周期性,会求函数的周期. 3.理解三角函数的奇偶性以 奇偶性—应用 及对称性,会判断给定函数的 对称性—应用 奇偶性.







一、周期函数 【问题思考】 1.由正弦函数的图象可知,正弦曲线每相隔2π个单位重复出现,这 一规律的理论依据是什么?设f(x)=sin x,则sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)可 以怎样表示? 提示:sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z);f(x+2kπ)=f(x). 2.填空:周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x) 叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. 3.周期函数的周期是否唯一?正弦函数的周期有哪些?是否存在 最小的一个?是否存在一个最小的正的周期? 提示:周期函数的周期不唯一;正弦函数的周期为2kπ(k∈Z,k≠0); 不存在最小的一个;存在一个最小的正的周期2π.







4.填空:最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.在没有特 殊说明的情况下,三角函数的周期均是指它的最小正周期. 5.做一做:(1)若函数f(x)满足f(x+3)-f(x)=0,则函数f(x)是周期为 的周期函数. (2)若函数f(x)的最小正周期是4,则必有f(x+8)= . 解析:(1)由已知得f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为3的周期函数. (2)由已知得f(x+8)=f(x+4)=f(x). 答案:(1)3 (2)f(x)







二、正弦函数与余弦函数的周期性 【问题思考】 1.就周期性而言,对正弦函数有什么结论?对余弦函数呢? 提示:正弦函数是周期函数,最小正周期是2π;余弦函数也是周期 函数,最小正周期也是2π. 2.填空:(1)正弦函数y=sin x是周期函数,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的 周期,最小正周期是2π. (2)余弦函数y=cos x是周期函数,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期, 最小正周期是2π.

3.对于函数 f(x)=sin 2 + 3 ,如何求出其周期呢?

π

提示:由诱导公式得 sin 2 + + 2π =sin 2 + f(x+kπ)=f(x),由此可得周期.

π 3

π 3

,即







4.填空:函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的周期: (1)函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A,ω,φ 为常数,且 A≠0,ω>0)的最小正 周期
2π T= . 2π

(2)函数 y=Acos(ωx+φ)(其中 A,ω,φ 为常数,且 A≠0,ω>0)的最小 正周期 T= .







5.做一做:(1)函数 y=3sin - 5 的最小正周期等于 (2)函数 y=cos 2 + 3 的最小正周期等于 2π 解析:(1)因为 ω=1,所以函数的最小正周期为 1 =2π.
(2)因为 ω= ,所以函数的最小正周期为
1 2 2π
1 2

π

; .

1

π

=4π.

答案:(1)2π (2)4π 6.函数y=sin x(x>0),y=sin x(x<0),y=sin x(0≤x≤10π)分别是周期 函数吗? 提示:y=sin x(x>0)是周期函数,y=sin x(x<0)是周期函数,y=sin x(0≤x≤10π)不是周期函数. 7.填空:一个函数是否是周期函数,与其定义域有关,一般地,周期 函数的定义域是无穷区间.







三、正弦函数与余弦函数的奇偶性及对称性 【问题思考】 1.根据诱导公式有sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,这反映了正弦函数 和余弦函数的什么性质? 提示:奇偶性. 2.填空:(1)正弦函数y=sin x是奇函数,其图象关于原点对称; (2)余弦函数y=cos x是偶函数,其图象关于y轴对称.







3.做一做:(1)函数y= 2 sin 2x的奇偶性为( A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 (2)函数y=1+cos x的图象( ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 π C.关于原点对称 D.关于直线x= 对称 2

)







解析:(1)令 y=f(x)= 2sin 2x, 则 f(-x)= 2sin 2(-x)=- 2sin 2x,

∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(2)设y=f(x)=1+cos x. ∵f(-x)=f(x),∴f(x)=1+cos x为偶函数, 故其图象关于y轴对称. 答案:(1)A (2)B

思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的 打“×”. (1)因为 sin
π π + 4 2 π π =sin ,所以 可以是函数 4 4







y=sin x 的一个周期. ( ( ( ( ) ) ) )

(2)任何周期函数都有最小正周期. (3)函数 y=sin x,x∈[-2π,2π]是周期函数. (4)函数 y=sin
π + 2

是奇函数.

(5)正弦曲线与余弦曲线都既是轴对称图形也是中心对称图形. ( ) (6)函数 y=cos 2 + 3 表示非奇非偶函数.
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5) (6)
π

(

)

探究一

探究二

探究三

思维辨析

探究一

求三角函数的周期

【例 1】 求下列三角函数的周期: (1)y=3sin x,x∈R; (2)y=cos 2x,x∈R; (3)y=sin 3 - 4 ,x∈R; (4)y=|cos x|,x∈R.
1 π

分析对于(1)(2)(3),可采用公式法求周期;对于(4),可借助函数图象 观察求得周期.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解:(1)3sin(x+2π)=3sin x,由周期函数的定义知,y=3sin x 的周期 为 2π. (2)cos 2(x+π)=cos(2x+2π)=cos 2x,由周期函数的定义知,y=cos 2x 的周期为 π. (3)sin 3 ( + 6π)- 4 =sin 3 + 2π- 4 =sin 3 - 4 ,由周期函数 的定义知,y=sin 3 - 4 的周期为 6π. (4)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示,
1 π 1 π 1 π 1 π

由图象可知,y=|cos x|的周期为 π.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

反思感悟 求函数最小正周期的常用方法 求三角函数的周期,一般有两种方法:(1)公式法,即先将函数化为 2π y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,再利用 T=|| 求得;(2) 图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正 周期.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练 1 求下列函数的最小正周期: (1)y=sin -4π + (2)y=cos|x|.
解:(1)由 T=
2π |-4π|
π 6

;
1 1

= 2,可得函数的最小正周期为2.

(2)因为函数 y=cos x 为偶函数,所以 y=cos|x|=cos x,从而函数 y=cos|x|与 y=cos x 的图象一样,因此最小正周期相同,为 2π.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

探究二

三角函数奇偶性及其应用

【例 2】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|sin x|+cos x; (2)f(x)=sin 4 + 2 ;
1+sin-cos2 (3)f(x)= 1+sin . 3 3π

分析求定义域→定义域是否关于原点对称→看f(-x)与f(x)的关系 →确定奇偶性

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解:(1)函数 f(x)=|sin x|+cos x 的定义域为 R. ∵f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),∴函数 f(x)是偶函数. (2)f(x)=sin 4 + 2 =-cos 4 ,x∈R. 3 3 ∵f(-x)=-cos - =-cos =f(x),
4 3 3π 3

∴函数 f(x)=sin

3 3π + 2 4

4

是偶函数.

(3)函数应满足 1+sin x≠0,
1+sin-cos2 则函数 f(x)= 1+sin 的定义域为 3π ∈R ≠ 2π + 2 ,∈Z .

显然定义域不关于原点对称, 故函数
1+sin-cos2 f(x)= 1+sin 为非奇非偶函数.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

反思感悟 1.判断函数奇偶性的常用方法: (1)定义法,即从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再看f(-x)=f(x)或f(-x)=f(x)是否成立. (2)图象法,即作出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性. (3)验证法,即验证f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0
(-) 或 = ±1,且()不为 0 是否成立.此法通常用于函数是非奇非偶的 ()

情形. 2.判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.如 果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而再判断函数的奇偶性;如 果不是,那么该函数是非奇非偶函数.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练2判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xcos(π+x); (2)f(x)=sin(cos x). 解:(1)函数f(x)的定义域为R, ∵f(x)=x· cos(π+x)=-x· cos x, ∴f(-x)=-(-x)· cos(-x)=x· cos x=-f(x). ∴f(x)为奇函数. (2)函数f(x)的定义域为R, ∵f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cos x)=f(x). ∴f(x)为偶函数.

探究一

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思维辨析

探究三

函数奇偶性、周期性的综合问题
π 2 π 2

【例 3】 (1)若函数 f(x)是以 为周期的偶函数,且当 x∈ 0,
3 17π

时,f(x)= 3 sin x,求 f - 6 的值. (2)若奇函数 f(x)满足 f(x+3)=-f(x),且 f(5)=5,求 f(2 017)的值.

分析(1)根据函数是偶函数以及周期函数将 f - 6 转化为 0, 2 上的函数值进行计算;(2)根据条件先推出函数的周期,再结合奇偶性 对函数值进行转化求解.

17π

π

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解:(1)因为 f(x)的周期为 ,且为偶函数, 所以 f - 6 =f
π π 17π

=f - 6 =f 6 = (2)因为 f(x+3)=-f(x), 所以 f(x+6)=-f(x+3), 所以 f(x+6)=f(x), 故函数是周期为 6 的周期函数. 又因为函数是奇函数,所以 f(2 017)=f(6×337-5)=f(-5)=-f(5)=-5.

π 2 17π π π =f × 6 6 2 6 3 π 3 sin = . 3 6 6

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思维辨析

反思感悟 1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利 用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.利 用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题. 2.推得函数周期的若干形式: (1)若f(x+t)=f(x),则函数周期为t; (2)若f(x+t)=-f(x),则函数周期为2t;

(3)若 (4)若

1 f(x+t)=(),则函数周期为 2t; 1 f(x+t)=- ,则函数周期为 2t. ()

探究一

探究二

探究三

思维辨析

将本例(2)条件改为:若 f(x)是奇函数,且 时,f(x)=2x+1,则 f
9 2

1 f(x+1)=- ,当 ()

x∈(-1,0)

的值等于

.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

1 解析:因为 f(x+1)=- , () 1 1 所以 f(x+2)=-(+1)=- 1 -

=f(x),

()

即 f(x+2)=f(x),则 T=2. 故 f 2 =f 2 -4 =f 2 . 又因为 f(x)为奇函数,且 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1, 所以 f 故f
9 2 1 2 9 9 1

=-f -

1 2

=- 2 × -

1 2

+ 1 =0,

=0.

答案:0

探究一

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探究三

思维辨析

对周期函数的概念理解不清致误
【典例】 下列说法中,正确的有 .(填序号)

①函数 f(x)=sin

π 2 + 3 π

,x∈[-π,π]是周期函数;

②函数 f(x)=sin|x|,x∈R 是周期函数; ③函数 y= sin + 2 的最小正周期为 π;
π

④若函数 y=2sin + 6 的最小正周期为 4π,则 ω=2.
错解:①②③④
本题错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢? 提示:根据周期函数的定义、三角函数的图象以及三角函数周期 公式对各个命题加以判断.

1

探究一

探究二

探究三

思维辨析

正解:对于①,由于函数定义域为[-π,π],故函数不是周期函数,该 命题错误;对于②,画出函数 y=sin|x|的图象,由图象可知,函数不是周 期函数,该命题错误;对于③,y= sin
π + 2

=|cos x|,由图象可知函数
2π 1

周期为 π,该命题正确;对于④,依题意应有||=4π,故 ω=±2,该命题错 误.
答案:③ 防范措施研究三角函数的周期时,注意从函数的定义域、解析式 以及图象等多方面进行分析,如果通过公式不易求出函数周期,可 以通过观察函数图象来确定函数的周期,特别是含有绝对值符号的 函数.

1

2

3

4

5

1.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析:因为x∈R,且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. 答案:A

1

2

3

4

5

2.函数 f(x)=cos 6 -3 的最小正周期为( A.2π B.12
π 2π 3

π

) D.3π

解析:因为 f(x)=cos 6 -3 =cos 所以最小正周期为 T= .
答案:C

2π C. 3 π 3- 6

,

1

2

3

4

5

3.函数 f(x)=cos 2 + 2 是( A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数




)

解析:因为 f(x)=cos 2 + 2 =-sin 2x,所以其最小正周期为 π,且是奇 函数.
答案:C

1

2

3

4

5

4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,且f(1)=1,则 f(5)= . 解析:由于函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,则f(5)=f(56)=f(-1)=-f(1). 又f(1)=1,则f(5)=-1. 答案:-1

内部文件,请勿外传

内部文件,请勿外传

1

2

3

4

5

5.已知函数 f(x)=sin f
π 3

π +3

(ω>0)的周期为 π,则

=

.


解析:∵f(x)的周期为 π,∴ =π.

∴ω=2.∴f(x)=sin ∴f - 3 =sin -2 ×
=sin - 3 =- 2 .
π 3 π

π 2 + 3 π π +3 3

.

答案:- 2

3


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