山东省威海市乳山一中2014届高三12月份限时训练数学理Word版含答案_图文

高三阶段检测理科数学

2013.12.07

一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.在给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.

1.若?=11? ,则 tan ? cos? = A. 1

3

2

B. ? 1 2

C. ? 3 2

2.已知集合 A ? {x | log4 x ? 1} , B ? {x | x ? 2},则 A CR B ?

A. (??, 2)

B. (0, 2)

C. (??, 2]

D.[2, 4)

3.已知向量 a ? (3, 4) , b ? (2, ?1) ,如果向量 a ? xb 与 b 垂直,则 x 的值为

A. 23 3

B. 3

C. 2

23

5

D. ? 2 5

4.函数 f (x) ? 2|x| ? x2 的图像为

D. 3 2

5.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数”.给出下列函数:

① f (x) ? sin x cos x ;

② f (x) ? 2 sin 2x ?1;

③ f (x) ? 2sin(x ? ? ) ; 4

④ f (x) ? sin x ? 3 cos x .

其中“同簇函数”的是 A.①②

B.①④

C.②③

D.③④

6.若数列?an ? 的前 n 项和 S n

?

2 3

an

?

1 3

,则数列

?an

?

的通项公式

an

?

A. ( 1 )(?2)n?1 2

B. (1)(?2)n 2

C. (?2)n?2

D. (?2)n?1

7.已知命题 p : ?x ? R , 2x ? 3x ;命题q : ?x ? R , x 3 ? 1? x 2 ,则下列命题中为真命题的是

A. p ? q

B. p ? ?q

C. ?p ? q

D. ?p ? ?q

?x ?1

8.已知

a

?

0



x,

y

满足约束条件

?? x ?? y

? ?

y?3 a(x ?

3)

,若

z

?

2x

?

y

的最小值为

3 2

,则

a

?

A. 1

B. 1

C.1

D. 2

4

2

9.在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,且 2 cos2 A ? B cos B ? sin( A ? B) sin B 2

? cos( A ? C) ? ? 4 .则 cos A ? A. ? 4

5

5

B. 4 5

C. 3 5

D. ? 3 5

10.函数 f (x ?1) 是 R 上的奇函数,?x1, x2 ? R, (x1 ? x2 )[ f (x1) ? f (x2 )] ? 0 ,则 f (1? x) ? 0

的解集是 A . (??,0)

B. (0,??)

C. (??, 2)

D. (2, ??)

11. 等比数列?an? 中, a1 ? 2 , a8 ? 4 , f (x) ? x(x ? a1)(x ? a2 ) ??? (x ? a8 ) , f ?(x) 为函数
f (x) 的导函数,则 f ?(0) ? ( )

A.0

B. 26

C. 29

D. 212

12.空间中, l 、 m 、 n 是三条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,则下列结论错误

的是

A.若? // ? ,? //? , 则 ? //?

B.若 l //?,l // ? ,? ? ? m, 则 l // m

C. 若 ? ? ? ,? ? ? , ? ? ? l , 则 l ? ? D. 若 ? ? ? m, ? ? ? l,? ? ? n,l ? m,l ? n, 则

m?n

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡中相应题的横线上.

? 13.

3
2 1
2

(2x

?

1 x2

)dx





14.已知圆锥的母线长为 5cm,侧面积为 15π cm2,则此圆锥的体积为

cm3.

15.在 ?ABC 中, BC ? 3BD , AD ? AB , AD ? 1,则 AC ? AD ?



16.已知命题 p:x2+2x-3>0;命题 q: 3 ? x ? 1,若“非 q 且 p”为真,则 x 的取值范围
是____________________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤.
17.记函数 f (x) ? lg(x 2 ? x ? 2) 的定义域为集合 A ,函数 g(x) ? 3? | x | 的定义域为集合 B.
(1)求 A B 和 A B ; (2)若 C ? {x | 4x ? p ? 0}, C ? A ,求实数 p 的取值范围.
18.(本小题满分 12 分)已知 a=(2 cos? , 2sin ? ),b ? (cos ? ,sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? 2? .
(Ⅰ)若 a ? b ,求| a ? 2b |的值;(Ⅱ)设 c ? (2, 0) ,若 a ? 2b ? c ,求? , ? 的值.

19.(本小题满分 12 分)
已知函数 y ? f (x) 和 y ? g(x) 的图象关于 y 轴对称,且 f (x) ? 2x2 ? 4x ? 2 .

(Ⅰ)求函数 y ? g(x) 的解析式;
(Ⅱ)解不等式 f (x) ? g(x) ?| 2x ?1| 2
20. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n+1,且 n∈N*。

(1)求数列{an}的通项公式;(2)令 bn=a2nna+n1+1,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.如果对于

任意的 n∈N*,都有 Tn>m,求实数 m 的取值范围。 21.(本小题满分 12 分)

如图,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2, F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面

ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)求三棱锥 D-AEC 的体积; (3)设 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,试在线段 CE 上确定 一点 N,使得 MN∥平面 DAE.

D

C

F

M

A

B

E 22.(本小题满分14分)
设函数 f (x) ? ln x ? 1 ax2 ? 2bx. 2
(Ⅰ)当 a ? ?3, b ? 1时,求函数 f (x) 的最大值;

(Ⅱ)令 F (x)

?

f

(x) ?

1 ax2 2

? 2bx ?

a x



1 2

?

x

? 3 ),其图象上存在一点 P(x0 ,

y0 ) ,使

此处切线的斜率 k ? 1 ,求实数 a 的取值范围; 2

(Ⅲ)当 a ? 0 , b ? ? 1 ,方程 2mf (x) ? x2 有唯一实数解,求正数 m 的值. 2
附加题:设函数 f (x) ? x2 ? 2(?1)k ln x(k ? N ? ), f '(x) 表示 f (x) 导函数。

(I)求函数 f (x) 的单调递增区间;

(Ⅱ)当

k

为偶数时,数列{

an

}满足

a1

? 1, an

f

' (an

)

?

a2 n?1

?

3 .证明:数列{

an2

}中

不存在成等差数列的三项;

(Ⅲ)当 k 为奇数时,

设 bn

?

1 2

f ??n? ? n ,数列?bn? 的前 n 项和为 Sn ,证明不等式

1
? ? 1? bn bn?1 ? e 对一切正整数 n 均成立,并比较 S2012 ?1 与 ln 2012 的大小.

2013.12.07 理科数学 参考答案及评分标准

一、 CBCAD, DCAAC, DD

二、13. 10 3
三.解答题

14. 12π 15. 3

16. (-∞,-3)∪(3,+∞) ∪(1,2]

17.解: A ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0} ? {x | x ? 2或x ? ?1},----------2 分

B ? {x | 3? | x |? 0} ? {x | ?3 ? x ? 3}

----------4 分

所以,(1) A ? B ? {x | ?3 ? x ? ?1或2 ? x ? 3} , A ? B ? R ----------6 分

(2) C ? {x | x ? ? p} ,? C ? A 4
得: p ? 4
所以, p 的取值范围是 ?4,???

? ? p ? ?1 ----------10 分 4
……………………………………12 分

18.解: (Ⅰ)∵ a ? b ∴ a ?b ? 0





2
a

?| a |2 ? 4 cos2 ? ? 4sin2 ?

?4

,

2
b

?| b |2 ? cos2 ?

? sin 2 ?

?1





3



? ? ∴| a ? 2b |2

?

2

2

2

a ? 2b ? a ? 4ab ? 4b ? 4 ? 4 ? 8 , ………………5 分

∴| a ? 2b |? 2 2 .…………………6 分

(Ⅱ)∵ a ? 2b ? (2 cos? ? 2 cos ? , 2sin ? ? 2sin ? ) ? (2, 0)



?cos? ??sin ?

? cos ? ? sin ?

?1 ?0



?cos? ??sin ?

? ?

1? cos ? sin ?

?

…………………8 分

两 边 分 别 平 方 再 相 加 得 : 1 ? 2 ? 2 cos ?

∴ cos ? ? 1 ∴ cos? ? 1 … … 10 分

2

2

∵ 0 ? ? ? ? ? 2? , 且 sin? ? sin ? ? 0 ∴? ? 1 ? , ? ? 5 ? …………………12 分

3

3

19.解:(Ⅰ)设函数 y ? g(x) 图象上任意一点 P(x, y) ,由已知点 p 关于 y 轴对称点 P '(?x, y)

一定在函数 y ? f (x) 图象上,…………………2 分

代入 y ? 2x2 ? 4x ? 2 ,得 g(x) ? 2x2 ? 4x ? 2 …………………4 分

(Ⅱ)

f (x) ? g(x)

?| 2x ?1|

? 2x2

? 2 ?| 2x ?1|

?

?2x2 ?

? 2 ? 2x ?1

2

? 2x ?1? 0



?2x2 ?

?

2

?

1?

2x

………8 分

? 2x ?1? 0

?

?1 ?

?? ?

2

3

?

x

? 1? 2

3

? ?1?



?? ?

2

7 ? x ? ?1? 2

7

…………………10 分

? ??

x?1 2

? ??

x?1 2

1 ? x ? 1? 3 或 ?1? 7 ? x ? 1

2

2

2

2

?不等式的解集是

?? ?

x

??

?1 ? 2

7

?

x

?

1? 2

3

?? ?

…………………12

??



20.解:(1)∵ an+1=an+2n+1, ∴ an―an-1=2n―1, 而 a1=1,∴ an=a1+(a2―a1)+

(a3―a2)+……+(an―an-1)=1+3+5+……+(2n―1)= n(1+22n-1)=n2 ……………5 分

(2) 由(1)知:bn=a2nnan++11=n22(nn++11)2=n12―(n+11)2 ∴ Tn=(112―212)+ (212―312)+......+

(n12―(n+11)2)=1―(n+11)2 ∴数列{bn}是递增数列,∴最小值为 1―(1+11)2=34 只需要 34>m

∴ m 的取值范围是(34,+∞)

……………12 分

21. 解:(1)证明: AD ? 平面ABE , AD // BC

∴ BC ? 平面ABE ,则 AE ? BC ……………………………………2 分

又 BF ? 平面ACE ,则 AE ? BF

∴ AE ? 平面BCE 又 BE ? 平面BCE ∴ AE ? BE ……………4 分

VD? AEC
(2)

? VE? ADC

?

1 3×2



2? 4 3

……………………………6 分

(3)在三角形 ABE 中过 M 点作 MG∥AE 交 BE 于 G 点,在三角形 BEC 中过 G 点作 GN∥BC 交

EC 于 N 点,连 MN,则

……………………………8 分

1 CE 由比例关系易得 CN= 3

MG∥AE MG ? 平面 ADE, AE ? 平面 ADE,

?MG∥平面 ADE………………………………10 分

同理, GN∥平面 ADE ?平面 MGN∥平面 ADE

又 MN ? 平面 MGN

?MN∥平面 ADE

?N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点 …………………………12 分

22.解:(Ⅰ)依题意, f (x) 的定义域为 (0, ??) ,

当 a ? ?3,b ? 1时, f (x) ? ln x ? 3 x2 ? 2x , 2

f ?(x) ? 1 ? 3x ? 2 ? 1? 3x2 ? 2x ……………………2 分

x

x

由 f ?(x) ? 0 ,得 3x2 ? 2x ?1 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 1 3

由 f ?(x) ? 0 ,得 3x2 ? 2x ?1 ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ?1 3

x ? 0 ,? f (x) 在 (0, 1) 单调递增,在 (1 , ??) 单调递减;

3

3

所以 f (x) 的极大值为 f (1) ? ? ln 3 ? 5 ,此即为最大值……………………4 分

3

6

(Ⅱ)

F ( x)

?

ln

x

?

a x

,

x ?[ 1 2

,3],则有 k

?

F ?(x0 )

?

x0 ? a x02

?

1 2

,



x0

?[1 ,3] 上有解, 2



a



(?

1 2

x02

?

x0

)min



x0

?[

1 2

,

3]

?

1 2

x02

?

x0

?

?

1 2

( x0

? 1) 2

?

1 2

所以

当 x0

? 3时, ?

1 2

x02

?

x0

取得最小值

?

9 2

?

3

?

?

3 2

,?

a

?

?

3 2

……………8



(Ⅲ)由 2mf (x) ? x 2 得 2m ? x2 ? x2 ,令 G(x) ? x2 ,

f (x) ln x ? x

ln x ? x

G?( x)

?

x(2 ln x ? x ?1) (ln x ? x)2

令 g(x) ? 2 ln x ? x ?1, g?(x) ? 2 ?1 ? 0 ,∴ g(x) 在 (0, ??) 单调递增,……………10 分 x
而 g(1) ? 0 ,∴在 x ? (0,1), g(x) ? 0 ,即 G?(x) ? 0 ,在 x ? (1, ??), g(x) ? 0 ,即 G?(x) ? 0 ,

∴ G(x) 在 (0,1) 单调递减,在 (1, ??) 单调递增,……………12 分
∴ G(x) 极小值= G(1) ? 1,令 2m ? 1,即 m ? 1 时方程 2mf (x) ? x 2 有唯一实数解. 14 分 2
附加题:解:(I)定义域为?x x ? 0? , f ' (x) ? 2x ? 2(?1)k 1
x 当 k 为奇数时, f ' (x) ? 2x ? 2 ? 0 恒成立,
x

? f (x)的单调递增区间为(0, ??).

2分

当 k 为偶数时, f ' (x) ? 2x ? 2 ? 2(x2 ?1) ? 2(x ?1)(x ?1) ,

xx

x

又 x ? (0, ??) ,? x ? 0, x ?1 ? 0 ,

由 f '(x) ? 0 , x ? 1,

? f (x)的单调递增区间为(1, ??).

4分

(Ⅱ)

当 k 为偶数时,

f '(x)

? 2x ?

2, x

?

f

' (an ) ? 2an

?

2 an

由已知,

a1

? 1, an

f

' (an )

?

a2 n?1

? 3 ,?

an (2an

?

2 an

)

?

a2 n?1

?3

? 2an2

?

2

?

a2 n?1

? 3 ,? 2an2

?

a2 n?1

?1,? 2(an2

? 1)

?

a2 n?1

?1

? ? ? an2 ?1 是以 2 为公比的等比数列.

? an2 ?1 ? 2 ? 2n?1 ,? an2 ? 2n ?1 .

6分

数列{ an2 }中假设存在三项 am2 , ak2 , an2 成等差数列,不妨设 m ? k ? n ,

则 2ak2 ? am2 ? an2 ,又 am2 ? 2m ?1, ak 2 ? 2k ?1, an2 ? 2n ?1,

? 2(2k ?1) ? 2n ?1? 2m ?1? 2k?1 ? 2n ? 2m ,? 2k?1?m ? 2n?m ?1,

等式左边为偶数,右边为奇数,不可能成立,

?假设不成立,数列{ an2 }中不存在成等差数列的三项

9分

(Ⅲ) 当 k 为奇数时, f ' (x) ? 2x ? 2 x

?bn

?

1 2

f

'(n) ? n

?

1 n , Sn

?1?

1 2

?

1? 3

?1 n

? ? 要证

1? bn

1 bn?1

? e ,即证 (1? 1 )n?1 ? e ,两边取对数, n

即证 ln(1? 1 ) ? 1 n n?1

10 分

设1? 1 ? t ,则 n ? 1 (t ? 1) ,

n

t ?1

?ln t ? 1? 1 (t ? 1) ,构造函数 g(t) ? ln t ? 1 ?1(t ? 1) ,

t

t

x

?

1

,?

g

'

(t

)

?

1 t

?

1 t2

? 0,

? g(t)在(1,+?)上单调递增,g(t) ? g(1) ? 0 ,

即 ln t

? 1? 1 ,?ln(1? t

1) n

?

? ? 1 ,即
n ?1

1? bn

1 bn?1

?e.

12 分

S2012

?1

?

(1 ?

1 2

?

1 3

?

? 1 ) ?1 ? 1 ? 1 ?

2012

23

?1 2012

ln(1? 1 ) ? 1 ,? 1 ? 1 ? ? 1 ? ln 2 ? ln(1? 1) ? ln(1? 1) ?

n n?1 2 3

2012

2

3

? ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ln 2012

23

2011

? ln(2? 3 ? 4 ? ? 2012) ? ln 2012

23

2011

? 1 ? 1 ? ? 1 ? ln 2012

23

2012

14 分

ln(1? 1 ) 2011


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