对数与对数运算6份

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对数与对数运算
第一课时 一、 引入: 在个式子中, x 分别等于多少? 在 这 三 个 式 子 中 , 都 是 已 知



, 求 指 数 x 。 如 何 求 指 数 x ?

若a x ? N,已知a和N如何求指数x(其中,a ? 0且a ? 1 )
二、对数的概念: 一般地,若 作 ,
x

叫做

,那么数 ,N 叫做真数.

叫做以

为底

的对数,记

称 a ? N 为指数式,称 x ? loga N 为对数式,可以由指数式得到对数式,也可以由对数式得到指数 式: 所以: 1.01 ?
x

18 的 x 用对数表示为 : 13


注:① log a N ? x 中底数 ② log a N ? x 中 性质 1:

三、指数式与对数式的转化
例 1 指数式化为对数式:

41 ? 4 31 ? 3

100 ? 1 40 ? 1

104 ? 10000

性质 2: 性质 3: 例 2 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)5 =625
4

(2) 2 ?6 ?

1 64

1 (3) ( ) m ? 5.73 3

(4)

log ? 9 3

2

(5) log5 125 ? 3

(6) log 1 16 ? ?4
2

练习: 1、 把下列指数式写成对数式:

(1)23 ? 8

(2)25 ? 32

(3)2 ?1 ?
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1 2

(4)27

?

1 3

?

1 3

中国提分教育领先品牌 2、把下列对数式写成指数式:

(1) log3 9 ? 2

(2)log5 125 ? 3

(3) log 2

1 ? ?2 4

(4) log 3

1 ? ?4 81

四、两种特殊的对数:
常用对数:以 如: log10 5 = 自然对数:以 如: loge 3 = 为底的对数叫做常用对数 log10 N 简记作
王新敞
奎屯 新疆

.

; log10 3.5 =

.

为底(无理数 e=2.718 28……)的对数叫自然对数, loge N 简记作 ; loge 10 =

例 3:把下列对(指)数式写成指(对)数式: (1) lg 0.01 ? ?2 (2) ln10 ? 2.303

五、求值
例 4:求下列各式中 x 的值:

(1) log 64 x ? ?

2 3

(2) log ? x 8

6

(3) l g 1 0? 0x

(4)- ln e2 ? x 求对数的

值可以将式子化为指数式,求指数时将指数式化为对数,在转化中解决问题。

练习:1、求下列各式的值:

() 1 log5 25

(2) log 2

1 16

(3) lg1000

(4) lg 0.001

(5)log4x=

1 2

(6)logx27=

3 4

(7)log5(log10x)=1.

2、求下列各式的值

(1)log15 15

(2)log0.4 1

(3)log9 81

(4)log2.5 6.25

(5)log7 343

(6)log3 243
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课后作业: 1、以下四个命题中,正确的是( (1)若 log5x=3,则 x=15 (3)若 logx 5 =0,则 x= 5 ) (2)若 log25x=

1 ,则 x=5 2 1 125

(4)若 log5x=-3,则 x=

A.(2) (3) B.(1) (3) C.(2) (4) D.(3) (4) 2、对于 a>0,a≠1,下列结论正确的是( ) 2 2 (1)若 M=N,则 logaM=logaN (2)若 logaM=logaN,则 M=N (3)若 logaM =logaN ,则 M=N 2 2 (4)若 M=N,则 logaM =logaN A.(1) (3) B.(2) (4) C.(2) D.(1) (2) (4) 3.把下列各题的指数式写成对数式: 2 0 x x (1)4 =16; (2)3 =1; (3)4 =2; (4)2 =0.5;

(5)5 =625;

4

(6)3 =

-2

1 ; 9

(7)(

1 -2 ) =16. 4

4.把下列各题的对数式写成指数式: (1)x=log527; (2)x=log87; (3)x=log43; (4)x=log7

1 ; 3

(5)log216=4;

(6)log 1 27=-3;
3

(7)log

3x

=6;

(8)logx64=-6;

(9)log2128=7;

(10)log327=a.

5.计算(1)求 log84 的值; (2)已知 loga2=m,loga3=n,求 a

2m+n

的值.

6.求 x 的值(3)log2(log5x)=1;(4)log3(lgx)=0.

第二课时 探究:判断以下几组数是否相等?

1 1 , lg(100 ? ) ; 10 10 1 1 (2) log 2 4 ? log 2 , log 2 ; 2 8
(1) lg100 ? lg 一、积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:
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(1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (2) log a

M ? log a M - log a N ; N

(3) loga M n ? n loga M (n ? R) . . M= (5) loga N ? loga N 2 ? ? ? loga N n ? __________ __________ .
1

(4) loga

n

例 1.计算(1) log3 (92 ? 35 )

(2) lg 1005

练习: (1) log5 25

(2) log0.4 1

(3) log2 ( 4 × 2 )

7

5

(4)lg 5 100

例 2.用 loga x , loga y , loga z 表示下列各式:

(1)loga

xy ; z

(2) loga

x2 y
3

z

(3) loga ( x 3 y 5 ) ;

(4) loga

x ; yz

(5) loga

x2 y
3

z



例 3、已知 log7 [log3 (log 2 x)] ? 0 ,求 x 2 .

?

1

二、换底公式: loga N ?

logm N logm a

( a > 0 ,a ? 1 ,m > 0 ,m ? 1,N>0)

王新敞
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两个常用的推论:① loga b ? logb a ? 1 ,

loga b ? logb c ? logc a ? 1

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② log a m b ?
n

n log a b ( a, b > 0 且均不为 1) m
② log 4 3 ? log 9 2 ? log 1
2 4

例 4.计算:① 5

1?log0.2 3

32

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练习:1. lg 25 ?

2 lg 8 ? lg 5 lg 20 ? (lg 2 )2 ? __________ 3

2. log8 9 · log27 32 ? __________ __________ __

3. lg

300 700 ? lg ? lg 100 ? __________ _______ e ln x ? _________ 7 3
?3 1 6 ? ? ? __________ ? 16 __________ __ log8 4 ? __________ ___ ? 16 ? ? ?

4. log2 ?

5.已知: lg 2 ? 0.3010, lg 7 ? 0.8451,则求 lg35

6.已知 3 ? 4 ? 36 ,求
x y

2 1 ? 的值。 x y

课后练习: 1.求下列各式的值: (1) log2 6- log2 3
王新敞
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(2)lg5+lg2

王新敞
奎屯

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(3) log5 3+ log5

1 3

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(4) log3 5- log3 15

王新敞
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2. 用 lgx,lgy,lgz表示下列各式: (1) lg(xyz) ; (2)lg

xy 2 ; z

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(3) lg

xy 3 z



(4) lg

x y z
2

3.计算: ⑴ log9 27

⑵ log4 3 81

⑶ log ?2? 3 ? 2 ? 3

?

?

⑷ log3

54

625

4.已知:l g2=0.3010,求 l g5.

5. 2 log18 3 ? log18 2 ? __________ __________ __

6.求值: (1) 2 lg 2

?

? ? lg
2

2 ? lg 5 ?

?lg 2 ? ? lg 2 ? 1 ;
2

(2) lg 5(lg 8 ? lg 1000) ? lg 2

?

3

? ? lg 1 ? lg 0.06 . 6
2

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