2017届高三数学(文)二轮复习课件(全国通用)专题突破 专题7 概率与统计 第2讲 统计及统计案例_图文

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第2讲

统计及统计案例

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阅卷评析

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演真题·明备考

1.(2016· 全国Ⅲ卷,文4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一 年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最 高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的 是( D ) (A)各月的平均最低气温都在0 ℃以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
解析:观察雷达图,易知A,B,C都正确.故选D.

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2.(2015· 全国Ⅱ卷,文3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排 放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( D )

(A)逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B)2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 (C)2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D)2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

解析:结合图形可知,2007年与2008年二氧化硫的排放量差距明显,显 然2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著;2006年二氧化硫的排放 量最高,从2006年开始二氧化硫的排放量开始整体呈下降趋势.显然 A,B,C正确,不正确的是D,不是正相关.

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3.(2014· 全国卷Ⅱ,文19)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),

绘制茎叶图如下:

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(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; 解:(1)由所给茎叶图知,50位市民对甲部门的评分由小到大排序,排 在第25,26位的是75,75,故样本中位数为75,所以该市的市民对甲部

门评分的中位数的估计值是75.
50位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是66,68, 故样本中位数为 66+68 =67,所以该市的市民对乙部门评分的中位 2 数的估计值是67.

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(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90概率; (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
解:(2)由所给茎叶图知,50 位市民对甲、 乙部门的评分高于 90 的比率 分别为
5 8 =0.1, =0.16,故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 50 50

90 的概率的估计值分别为 0.1,0.16. (3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的

评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差

要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高、
评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大.

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4.(2015· 全国Ⅱ卷,文18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地 区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用

户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图

B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评 分分组 频数 [50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90) 10 [90,100] 6

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(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评 分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可); B地区用户满意度评分的频率分布直方图

解:(1)如图所示.

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户
满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户 满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.

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(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分

满意度等级

不满意

满意

非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由. 解:(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;CB表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”. 由直方图得P(CA)的估计值为 (0.01+0.02+0.03)×10=0.6, P(CB)的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25. 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

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高考感悟 1.考查角度

(1)对统计图(频率分布直方图与茎叶图)的考查是高考热点,这部分内容可
以单独命题,也可以与概率、抽样方法.统计案例等知识综合命题,主要考 查对统计图表的理解,以及从图形中获取信息的能力,利用样本估计总体的

实践能力.
(2)对线性回归方程的考查主要以实际问题为背景,作散点图,求线性回归 方程并由回归方程估计预测,有时需将非线性回归模型转换为线性回归模

型解决.
2.题型及难易度 选择题、解答题均有.难度中低档.

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热点突破
热点一 用样本估计总体

剖典例·促迁移

【例1】(1)(2015· 山东卷,文6)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随 机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的 茎叶图.考虑以下结论:

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温; ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温; ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差; ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④

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(1)解析:由题中茎叶图,知 x甲 =

26+28+29+31+31 =29, 5

s 甲= 1 ?? 26 ? 29?2 ? ? 28 ? 29?2 ? ? 29 ? 29?2 ? ? 31 ? 29?2 ? ? 31 ? 19?2 ? ? ?
5

=

3 10 ; 5
28+29+30+31+32 =30, 5
5

x乙 =

s 乙= 1 ?? 28 ? 30?2 ? ? 29 ? 30?2 ? ? 30 ? 30?2 ? ? 31 ? 30?2 ? ? 32 ? 30?2 ? = 2 . ? ? 所以 x甲 < x乙 ,s 甲>s 乙,故选 B.

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(2)(2016· 北京卷,文17)某市居民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超 过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收 费,从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得 到如下频率分布直方图: ①如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居 民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少? (2)解:①由用水量的频率分布直方图知, 该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],

(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方 米的居民占45%. 依题意,w至少定为3.

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②假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居 民该月的人均水费. (2)解:②由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费 用的数据分组与频率分布表:
组号 分组 频率 1 0.1 2 0.15 3 0.2 4 0.25 5 0.15 6 0.05 7 0.05 8 0.05

[2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,17] (17,22] (22,27]

根据题意,该市居民该月的人均水费估计为

4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05
+27×0.05=10.5(元).

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【方法技巧】 用样本估计总体的两种方法
(1)用样本的频率分布(频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等)估计 总体的频率分布. (2)用样本的数字特征(众数、中位数、平均数、方差、标准差)估计总 体的数字特征.

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热点训练 1:(2016·湖南衡阳一模)如图是某篮球联赛中,甲、乙两名运动员 9 个场次得分的茎叶图,设甲、乙两人得分平均数分别为 x甲 , x乙 ,中位数分别为 m 甲,m 乙,则( ) (A) x甲 < x乙 ,m 甲<m 乙 (B) x甲 < x乙 ,m 甲>m 乙 (C) x甲 > x乙 ,m 甲>m 乙 (D) x甲 > x乙 ,m 甲<m 乙

解析:因为 m 甲=28,m 乙=36, x甲 = 所以 m 甲<m 乙, x甲 < x乙 ,故选 A.

256 317 , x乙 = , 9 9

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热点二 回归分析及应用 考向1 线性回归方程 【例2】 (2016· 甘肃诊断)为了响应全民健身,加大国际体育文化的交流.兰 州市从2011年开始举办“兰州国际马拉松赛”,为了了解市民健身情况,某 课题组跟踪了兰州某跑吧群在各届全程马拉松比赛中群友的平均成绩(单 位:小时),具体如下:
年份 年份编号x 平均成绩y 2011 1 4.2 2012 2 3.8 2013 3 3.9 2014 4 3.6 2015 5 3.5

(1)求y关于x的线性回归方程;

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解:(1) i xi yi xiyi xi2
n i

1 1 4.2 4.2 1

2 2 3.8 7.6 4

3 3 3.9 11.7 9

4 4 3.6 14.4 16

5 5 3.5 17.5 25

合计 15 19 55.4 55

均值 3 3.8

?= b

?x y
i ?1 n

i

? n? xy ?n?x
2

?x
i ?1

=

2 i

55.4 ? 5 ? 3 ? 3.8 =-0.16, 55 ? 5 ? 9

? =3.8+0.16×3=4.28. a
? =-0.16x+4.28. 所以 y

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(2)利用(1)的回归方程,分析2011年到2015年该跑吧群的成绩变化情况,反映 市民健身的效果,并预测2016年该跑吧群的比赛平均成绩. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

?= b

?x y
i ?1 n i i ?1

n

i

? n? xy
2

? x12 ? n ? x

? . ,a ? = y - bx

? =-0.16x+4.28, 解:(2)将 x=6 代入 y ? =3.32, 得y

所以 2016 年该跑吧群的比赛平均成绩大约是 3.32 小时.

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考向2 非线性回归方程 【例3】 (2015· 全国Ⅰ卷,文19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传 费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千 元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步 处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

x

46.6

y 563

w 6.8

?? x ? x?
8 i ?1 i

2

? ? w ? w?
8 i ?1 i

2

? ? x ? x ?? y ? y ?
8 i ?1 i i

?? w ? w?? y ? y ?
8 i ?1 i i

289.8

1.6

1469

108.8

1 8 表中 wi= xi , w = ? wi . 8 i ?1

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(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y关于年 宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)

解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型.

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(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;

解:(2)令 w= x ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程.

?= 由于 d

? ? w ? w?? y
8 i ?1 i 8 i ?1 i

i

?y
2

?

? ? w ? w?

=

108.8 =68. 1.6

? w =563-68×6.8=100.6, ?= y -d c
? =100.6+68w, 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y ? =100.6+68 x . 因此 y 关于 x 的回归方程为 y

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(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答 下列问题:

①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
解:(3)①由(2)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值
? =100.6+68 49 =576.6, y

年利润 z 的预报值

? =576.6×0.2-49=66.32. z

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②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α +β u的斜
? = i ?1 率和截距的最小二乘估计分别为 ?

? ?u
n n

i

? u vi ? v
i

??

?

? ?u
i ?1

?u

?

2

?u . ,a ? =v -?

解:(3)②根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值

? =0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12. z
所以当 x =
13.6 =6.8, 2

? 取得最大值. 即 x=46.24 时, z
故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.

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突破痛点
转化思想求非线性回归方程
(2016· 安庆模拟)在彩色显像中,由经验知:形成染料的光学密度y与析出 银的光学密度x由公式y=A e bx (b<0)表示.现测得实验数据如下:
xi yi xi yi 0.05 0.10 0.38 1.19 0.06 0.14 0.43 1.25 0.25 1.00 0.14 0.59 0.31 1.12 0.20 0.79 0.07 0.23 0.47 1.29 0.10 0.37

试求y对x的回归方程.

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解:将题目所给的公式 y=A e 两边取自然对数,得 ln y=ln A+ 与线性回归直线方程相对照,只要取 u=

b x

b . x

1 ,v=ln y,a=ln A,就有 v=a+bu, x

0.146 0.146 0.146 0.549 ? ? ? 0.146 0.549 x =e ? =0.549? =e 可得 ln y ,则 y · e x ≈1.73 e x . x

这就是 y 对 x 的回归曲线方程.

【方法诠释】 非线性回归方程的求法 (1)根据原始数据(x,y)作出散点图. (2)根据散点图选择恰当的拟合函数. (3)作恰当的变换,将其转化成线性函数,求线性回归方程. (4)在(3)的基础上通过相应变换,即可得非线性回归方程.

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【方法技巧】 进行回归分析时的注意事项 (1)所作回归分析要有实际意义. (2)回归分析前,最好先作出散点图.

(3)应用回归方程进行预测时,不要使用超出资料所包括范围的自变量
数值. (4)预测的回归方程只能反映一定时期内事物间的相互关系,随着时间

的推移,这种关系会起变化.

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热点训练2:(2016· 河北石家庄质检)为了解某地区某种农产品的年产量x (单位:吨)对价格y(单位:千元/吨)和利润z的影响,对近五年该农产品的 年产量和价格统计如下表:
x y 1 7.0 2 6.5 3 5.5 4 3.8 5 2.2

? x+ a ? =b (1)求 y 关于 x 的线性回归方程 y ?;

解:(1) x =3, y =5,

? x =15, ? y
i ?1 i i ?1

5

5

i

=25, ? xi yi =62.7, ? xi2 =55,
i ?1 i ?1

5

5

? =-1.23, a 解得 b ? =8.69,
? =8.69-1.23x. 所以 y

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(2)若每吨该农产品的成本为2千元,假设该农产品可全部卖出,预测当年产 量为多少时,年利润z取到最大值?(保留两位小数)
?= 参考公式: b

?? x
n i ?1

i

? x yi ? y xi ? x

??

? ? x y ? nx y
n

??
8 i ?1

?

2

=

i ?1 n

i

i

? xi2 ? nx
i ?1

2

? . ,a ? = y - bx

解:(2)年利润z=x(8.69-1.23x)-2x=-1.23x2+6.69x, 所以x≈2.72时,年利润z最大.

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热点三 统计、统计案例与概率的综合 【例4】 (1)(2016· 广西高中毕业班适应性测试)某市对在职的91名高中

数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查,结果如下
表所示:
支持新教材 教龄在10年以上的教师 教龄在10年以下的教师 合计 12 22 34 支持旧教材 34 23 57 合计 46 45 91

附表:
P(K2≥k0) k0 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

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给出相关公式及数据:K =
2

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?

n ? ad ? bc ?

2

,其中 n=a+b+c+d,

(12×23-22×34)2=222 784,34×57×46×45=4 011 660. 参照附表,下列结论中正确的是( )

(A)在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“教龄的长短与支持新教材有关”

(B)在犯错误的概率不超过0.050的前提下,认为“教龄的长短与支持新教材有关”
(C)在犯错误的概率不超过0.010的前提下,认为“教龄的长短与支持新教材有关” (D)我们没有理由认为“教龄的长短与支持新教材有关”

(1)解析:因为 K 的观测值为 k=

2

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?

n ? ad ? bc ?

2

≈5.053 6>3.841,

所以在犯错误的概率不超过 0.050 的前提下,认为 “教龄的长短与支持新教 材有关”.故选 B.

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(2)(2016· 黑龙江哈尔滨师范大学附中模拟)高三某班共有20名男生,在一次 体检中20名男生被平均分成两个小组,第一组和第二组男生的身高(单位:cm) 的统计数据如下表:
第一组 第二组 175 158 168 166 170 172 168 176 172 169 171 182 176 159 181 185 169 173 182 185

①根据两组数据完成两组男生身高的茎叶图,并通过茎叶图比较两组男生身 高的分散程度(不要求计算,写出结论即可);

(2)解:①
由茎叶图知:第一组学生身高更集中.

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②根据茎叶图,求第一组男生身高的众数和中位数; ③在两组身高位于[170,180)(单位:cm)的男生中各随机选出1人,求这两人

身高均位于[175,180)(单位:cm)的概率.
(2)解: ②第一组男生身高的众数为168,中位数为171.5. ③第一组身高位于[170,180)的男生共5人,记为A,B,C,D,E,其 中位于[175,180)共有两人,记为D,E. 第二组身高位于[170,180)的男生共3人,记为F,G,H,其中位于 [175,180)有1人记为H. 从两组中各选出一个(A,F),(A,G),(A,H),(B,F),(B,G),(B,H), (C,F),(C,G),(C,H),(D,F),(D,G),(D,H),(E,F),(E,G),(E,H) 共 15种. 这两人均位于[175,180)共有(D,H),(E,H)2种. 2 设“这两人身高均位于[175,180)”为事件A,P(A)= .
15

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【方法技巧】 概率与统计综合解答题的主要依托点是统计图表 , 正确
认识和使用这些图表是解决问题的关键 , 因此在复习该部分时 , 要做 到:(1)读取图表的数据要准确;(2)在计算古典概型概率时,基本事件的 总数要计算准确.

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热点训练3:(2016· 广东惠州三调)微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件, 它支持发送语音短信、视频、图片和文字,一经推出便风靡全国,甚至涌现 出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微信 用户使用微信的时间,某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性 用户各50名,将男性、女性使用微信的时间分成5组:(0,2],(2,4],(4,6], (6,8],(8,10](单位:小时)分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据女性频率直方图估计女性使用微信的平均时间; 解:(1)女性平均使用微信的时间为: 0.16×1+0.24×3+0.28×5+0.2×7+0.12×9=4.76(小时).

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(2)若每天玩微信超过4小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信 控”,请你根据已知条件完成2×2的列联表,并判断是否有90%的把握认为

“微信控”与性别有关?
微信控 男性 女性 合计 非微信控 合计 50 50 100
2

参考公式:K =

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
0.10 2.706 0.05 3.841

n ? ad ? bc ?

2

,其中 n=a+b+c+d.

参考数据:
P(K2≥k0) k0 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

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解:(2)由列联表可得
微信控 男性 女性 合计
n ? ad ? bc ?
2

非微信控 12 20 32

合计 50 50 100

38 30 68

K=

2

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2

=

100 ? 38 ? 20 ? 30 ?12 ? 50 ? 50 ? 68 ? 32

≈2.941>2.706. 所以有 90%的把握认为“微信控”与性别有关.

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备选例题
员甲、乙在比赛中打出如下成绩:

挖内涵·寻思路

【例1】 (2016· 甘肃重点中学协作体期末)在2016年校运会上,两名射击运动 甲:9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2,7.8,10.8; 乙:9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2,10.1,9.1;

(1)用茎叶图表示甲、乙两人的成绩,并根据茎叶图分析甲、乙两人成绩;
解:(1)如图所示,茎表示成绩的整数环数,叶表示小数点后的数字. 由茎叶图知,甲的中位数是9.05,乙的中位数是9.15,乙的成绩比较 集中,可以看出乙发挥稳定性好,甲波动性大.

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(2)分别计算两个样本的平均数 x 和标准差s,并根据计算结果估计哪位运 动员的成绩比较稳定.
解:(2) x甲 = s 甲=
x乙 =

1 ×(9.4+8.7+7.5+8.4+10.1+10.5+10.7+7.2+7.8+10.8)=9.11, 10

1 2 2 2 ?9.4 ? 9.11? ? ?8.7 ? 9.11? ? ? ? ?10.8 ? 9.11? ≈1.3, 10
1 ×(9.1+8.7+7.1+9.8+9.7+8.5+10.1+9.2+10.1+9.1)=9.14, 10

s 乙=

1 2 2 2 ?9.1 ? 9.14? ? ?8.7 ? 9.14? ? ? ? ?9.1 ? 9.14? ≈0.9, 10

由 s 甲>s 乙,说明了甲运动员的波动大于乙运动员的波动,所以我们估计,乙运动员比 较稳定.

︱高中总复习︱二轮·文数

【例2】 (2016· 河南六市一模)在某大学自主招生考试中,所有选报Ⅱ类志 向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,

成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图
所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.

︱高中总复习︱二轮·文数

(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数; (2)若等级A,B,C,D,E分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生“数学

与逻辑”科目的平均分;
解:(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人, 所以该考场有10÷0.25=40人.

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为
40×(1-0.375-0.375-0.15-0.025)=40×0.075=3人. (2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为 40 =2.9分.
1

[1×(40×0.2)+

2×(40×0.1)+3×(40×0.375)+4×(40×0.25)+5×(40×0.075)]

︱高中总复习︱二轮·文数

(3)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为A,在至少一 科成绩为A的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为A

的概率.
解:(3)因为两科考试中,共有6人得分等级为A,又恰有两人的两科成 绩等级均为A,所以还有2人只有一个科目得分为A.

设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是A的同学,则在
至少一科成绩等级为A的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件 空间为Ω={{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁}}, 一共有6个基本事件. 设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为A”为事件M, 所以事件M中包含的基本事件有1个, 则P(M)= 1 .
6

︱高中总复习︱二轮·文数

阅卷评析
统计图的应用

抓关键·练规范

(2016· 全国Ⅰ卷,文19,12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后 即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为 备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现

需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这
种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购 买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.

︱高中总复习︱二轮·文数

(1)若n=19,求y与x的函数解析式; (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最 小值;
评分细则: 解:(1)当 x≤19 时,y=3 800; 当 x>19 时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700. 所以 y 与 x 的函数解析式为

?3800, x ? 19, y= ? (x∈N).………………………………………4 分 ?500 x ? 5700, x ? 19,
注:根据 x 与 19 的大小关系进行分类讨论,求出解析式.

(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19 的频率为0.7,故n的最小值为19.????????????5分 注:根据柱状图确定n的取值范围,从而求出最值.

︱高中总复习︱二轮·文数

(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购
买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均 数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件? 评分细则: 解:(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中

有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10
台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的 平均数为
1 100

(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000元. …………7分

若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台 在购买易损零件上的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这 100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

︱高中总复习︱二轮·文数

1 100

(4 000×90+4 500×10)=4 050元. ……………………10分

比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
……………………………………………………………………12分 注:分别求出购买19个,20个易损零件所需费用的平均数进行对比 即可. 【答题启示】 1.柱状图和频率分布直方图相似但不同,由统计图表准确求解相关数据是 解决问题的基础. 2.平均数用来反映两组数据取值的平均水平;而方差反映取值的离散与集 中程度.比较两组数据时,要先比较平均数,后比较方差. 3.本部分考题数值多且大,代入公式准确求值计算是解决问题的关键.


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