2010届高三数学专题讲座复习3 概率统计

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概率与统计
概率内容的新概念较多,相近概念容易混淆,本课时就学生易犯错误作如下归纳总结: 类型一 “非等可能”与“等可能”混同 例 1 掷两枚骰子,求所得的点数之和为 6 的概率. 错解 剖析 掷两枚骰子出现的点数之和 2,3,4,…,12 共 11 种基本事件,所以概率为 P=

1 11

以上 11 种基本事件不是等可能的,如点数和 2 只有(1,1),而点数之和为 6 有(1,5)、(2,4)、(3, 3)、(4,2)、(5,1)共 5 种.事实上,掷两枚骰子共有 36 种基本事件,且是等可能的,所以“所得 点数之和为 6”的概率为 P=

5 . 36

类型二 “互斥”与“对立”混同 例 2 把红、黑、白、蓝 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4 个人,每个人分得 1 张,事件“甲分得红牌” 与“乙分得红牌”是( ) A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥但不对立事件 D.以上均不对 错解 A 剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同,二者的联系与区别主要体现在 : (1)两事件对立,必定互斥,但互斥未必对立;(2)互斥概念适用于多个事件,但对立概念只适用于两 个事件;(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生,即至多只能发生其中一个,但可以都不 发生;而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生. 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件,这两个事件可能恰有一个发生,一 个不发生,可能两个都不发生,所以应选 C. 类型三 “互斥”与“独立”混同 例 3 甲投篮命中率为 O.8,乙投篮命中率为 0.7,每人投 3 次,两人恰好都命中 2 次的概率是多少? 错解 设“甲恰好投中两次”为事件 A,“乙恰好投中两次”为事件 B,则两人都恰好投中两次为事件 A+B,
[来源:学#科#网]

P(A+B)=P(A) +P(B) : c3 0.8 ? 0.2 ? c3 0.7 ? 0.3 ? 0.825
2 2 2 2

剖析

本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑,将两人都恰好投中 2 次理解为 “甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和.互斥事件是指两个事件不可能同时发生;两事件相互 独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响,它们虽然都描绘了两个事件间的关 系,但所描绘的关系是根本不同. 解: 设“甲恰好投中两次”为事件 A,“乙恰好投中两次”为事件 B,且 A,B 相互独立, 则两人都恰好投中两次为事件 A· B,于是 P(A· B)=P(A)×P(B)= 0.169 类型四 “条件概率 P(B / A)”与“积事件的概率 P(A·B)”混同 例 4 袋中有 6 个黄色、4 个白色的乒乓球,作不放回抽样,每次任取一球,取 2 次,求第二次才取到黄 色球的概率. 错解 记“第一次取到白球”为事件 A,“第二次取到黄球”为事件 B,”第二次才取到黄球”为事件 C,所以 P(C)=P(B/A)= 剖析

本题错误在于 P(A ? B)与 P(B/A)的含义没有弄清, P(A ? B)表示在样本空间 S 中,A 与 B 同时发生的概率;
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6 2 ? . 9 3

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而 P(B/A)表示在缩减的样本空间 SA 中,作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。 解: P(C)= P(A ? B)=P(A)P(B/A)=

4 6 4 ? ? . 10 9 15

备用 1. 某班数学兴趣小组有男生和女生各3名,现从中任选2名学生去参加校数学竞赛,求 (I) 恰有一名参赛学生是男生的概率; (II)至少有一名参赛学生是男生的概率; (Ⅲ)至多有一名参赛学生是男生的概率。 解:基本事件的种数为 c 6 =15 种 (Ⅰ)恰有一名参赛学生是男生的基本事件有 c3 ? c3 =9 种 ?所求事件概率 P1=
1 1 2

9 =0.6 15

(Ⅱ)至少有一名参赛学生是男生这一事件是由两类事件构成的,即恰有一名参赛学生是男生和两名参 赛学生都是男生,?所求事件概率 P2=
2 9 ? c3 12 ? ? 0.8 15 15

(Ⅲ)至多有一名参赛学生是男生这一事件也是由两类事件构成的,即参赛学生没有男生和恰有一名参
2 c3 ? 9 12 赛学生是男生,?所求事件概率 P3= ? ? 0.8 15 15

2.

已知两名射击运动员的射击水平,让他们各向目标靶射击 10 次,其中甲击中目标 7 次,乙击中目标 6 次, 若在让甲、 乙两人各自向目标靶射击 3 次中, (1) 求: 甲运动员恰好击中目标 2 次的概率是多少? (2)两名运动员都恰好击中目标 2 次的概率是多少?(结果保留两位有效数字) 解. 甲运动员向目标靶射击 1 次,击中目标的概率为 7/10=0.7 乙运动员向目标靶射击 1 次,击中目标的概率为 6/10 =0.6 (1)甲运动员向目标靶射击 3 次,恰好都击中目标 2 次的概率是
2 c3 ? 0.7 2 ? (1 ? 0.7)1 ? 0.44

(2)乙运动员各向目标靶射击 3 次,恰好都击中目标 2 次的概率是

?c

2 3

2 ? 0.7 2 ? (1 ? 0.7)1 ? c3 ? 0.6 2 ? (1 ? 0.6)1 ? 0.19

??

?

作业 1. 甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是 p1,乙解决这个问题的概率 是 p2,那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是 ( ) (A) p1 p 2 (B) p1 (1 ? p 2 ) ? p 2 (1 ? p1 ) (C) 1 ? p1 p 2 (D) 1 ? (1 ? p1 )(1 ? p2 ) 2. 连续掷两次骰子,以先后得到的点数 m、n 为点 P(m,n)的坐标,那么点 P 在圆 x2+y2=17 外部的概 率应为( ) (A)

1 3

(B)

2 3

(C)

11 18

(D)

13 18

3. 从含有 500 个个体的总体中一次性地抽取 25 个个体,假定其中每个个体被抽到的概率 相等,那么总体中的每个个体被抽取的概率等于_______。
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4. 若在二项式(x+1)10 的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结果用分数表示) 5. 袋中有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球,从中任意摸出 4 个,求下列事件发生的概率. (Ⅰ)摸出 2 个或 3 个白球 ; (Ⅱ)至少摸出一个黑球. 6. 已知甲、乙两人投篮的命中率分别为 0.4 和 0.6.现让每人各投两次,试分别求下列事件的概率: (Ⅰ) 两人都投进两球; (Ⅱ)两人至少投进三个球.

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3eud 教育网 http://www.3edu.net 作业答案 1. B 2. D 3. 0.05 4.

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4 11
; (Ⅱ)

1 C 52 ? C 32 C 52 ? C 3 6 ? 5.(Ⅰ)P(A+B)= P(A)+P(B)= = C84 C84 7

C 54 1 13 P= 1 - 4 = 1 ? ? C8 14 14

2 2 6.(Ⅰ)P(两人都投进两球)= C 2 (0.4) 2 (0.6) 0 C 2 (0.4) 0 (0.6) 2

= 0.16 ? 0.36

? 0.0576 .

(Ⅱ)P(两人至少投进三个球)= 0.0576 ? 0.0768 ? 0.1728 ? 0.3072

第二课时 例题

[来源:学科网]

例 1 甲、乙二人参加普 法知识竞答,共有 10 个不同的题目,其中选择题 6 个,判断题 4 个,甲、乙二 人依次各抽一题. (Ⅰ)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少? (Ⅱ)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?

例 2 如图,用 A、B、C 三类不同的元件连接成两个系统 N1、N2.当元件 A、B、C 都正常工作时,系统 N1 正常工作;当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常工作时,系统 N2 正常工作.已知元件 A、 B、C 正常工作的概率依次为 0.80,0.90,0.90.分别求系统 N1、N2 正常工作的概率 P1、P2.

例 3 某单位 6 个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是 0.5(相互独立). (Ⅰ)求至少 3 人同时上网的概率; (Ⅱ)至少几人同时上网的概率小于 0.3?

例 4 有三种产品,合格率分别是 0.90,0.95 和 0.95,各抽取一件进行检验. (Ⅰ)求恰有一件不合格的概率; (Ⅱ)求至少有两件不合格的概率.(精确到 0.001) (2003 年新课程卷)
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备用

从分别写有 0,1,2,3,4,5,6 的七张卡片中,任取 4 张,组 成没有重复数字的四位数,计算: (1)这个四位数是偶数的概率; (2)这个四位数能被 9 整除的概率; (3)这个四位数比 4510 大的概率。
1 3 3

解: (1)组成的所有四位数共有 C 6 ? A6 ? 720 个。四位偶数有:个位是 0 时有 A6 ? 120 ,个位不是 0 时有 C3 ? C5 ? C5 ? 300 ,共有 120+300=420 个.
1 1 2

? 组成的四位数为偶数的概率为

420 7 ? 720 12
1,3,5,0 2,
1 3 4

(2)能被 9 整除的数,应该各位上的数字和能被 9 整除.数字组合为:1,2,6,0 4,5,0 3,4,5,6 2,3,4,0 此时共有 4 ? C3 ? A3 ? A4 ? 72 ? 24 ? 96 .

? 能被 9 整除的四位数的概率为

96 2 ? 720 15
2 2

(3)比 4510 大的数分别有: 千位是 4, 百位是 5 时, A5 ? 5 ? 15 ;千位是 4, 有 百位是 6 时, A5 ? 20 ; 有 千位大于 4 时,有 C2 ? A6 ? 240 ;故共有 240+20+18=278.
1 3

?四位数且比 4510 大的概率为
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

278 139 ? 720 360

[来源:学科网]

作业 1. 一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8000,有四台这中型号的自

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动机床各自独立工作,则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是 ( (A)0.1536 (B) 0.1808 (C) 0.5632 (D) 0.9728

)

2. 种植两株不同的花卉,它们的存活率分别为 p 和 q,则恰有一株存活的概率为 ( (A) p+q-2p q (B) p+q-pq (C) p+q (D) pq

)

3. 有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各 3 面,在每种颜色的 3 面旗帜上分别标上号码 1、2 和 3,现任取出 3 面,它们的颜色与号码不相同的概率是 .

4. 某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成,现从中选出 2 人担任正副班长,其中至少有 1 名女 生当选的概率是 (用分数作答)

5. 某产品检验员检查每一件产品时,将正品错误地鉴定为次品的概率为 0.1,将次口错误地鉴定为正品的 概率为 0.2,如果这位检验员要鉴定 4 件产品,这 4 件产品中 3 件是正品,1 件是次品,试求检验员鉴定 成正品,次品各 2 件的概率. 6. 如图,用 A, B, C, D 表示四类不同的元件连接成系统 M .当元件 A, B 至少有一个正常工作且元件 C, D 至少有一个正常工作时,系统 M 正常工作.已知元件 A, B, C, D 正常工作的概率 M 依次为 0.5,0.6,0.7,0.8,求元件连接成的系 统 M 正常工作的概率 P(M ) .
例题答案 1. (Ⅰ)
[来源:学科网]

A

C

B

D

4 13 ; (Ⅱ) . 15 15
2. A 3. 1 14

2. 0.648; 0.792.

3. (Ⅰ)

21 ; (Ⅱ) 5 人. 32

4. (Ⅰ) 0.176 ; (Ⅱ) 0.012 .

作业答案 1. D 4. 5 7 5.解:有两种可能:将原 1 件次品仍鉴定为次品,原 3 件正品中 1 件错误地鉴定为次品; 概率为

将原 1 件次品错误地鉴定为正品,原 3 件正品中的 2 件错误地鉴定为次品. P= 0.8 ? C3
1

? 0.1 ? 0.9 2 ? 0.2 ? C32 ? 0.12 ? 0.9 =0.1998

6.解: P(M ) ? [1 ? P( A ? B )] [1 ? P(C ? D )] =0.752

第三课时 例题

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

例 1 从 10 位同学(其中 6 女,4 男)中随机选出 3 位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为 每位男同学能通过测验的概率均为

4 , 5

3 .试求: 5

(Ⅰ)选出的 3 位同学中,至少有一位男同学的概率;
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(Ⅱ)10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.

例 2 已知 8 支球队中有 3 支弱队,以抽签方式将这 8 支球队分为 A、B 两组,每组 4 支.求: (Ⅰ)A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率; (Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率.

例3

某同学参加科普知识竞赛,需回答 3 个问题.竞赛规 则规定:答对第一、二、三问题分别得 100 分、 100 分、200 分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8、0.7、0.6, 且各题答对与否相互之间没有影响. (Ⅰ)求这名同学得 300 分的概率; (Ⅱ)求这名同学至少得 300 分的概率.

例 4 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛. (Ⅰ)求所选 3 人都是男生的概率; (Ⅱ)求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率; (Ⅲ)求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率.

备用

A、B、C、D、E 五人分四本不同的书,每人至多分一本,求: (1)A 不分甲书,B 不分乙书的概率; (2)甲书不分给 A、B,乙书不分给 C 的概率。 解: (1)分别记“分不到书的是 A,B 不分乙书”“分不到书的是 B,A 不分甲书”“分不到书的是除 A,B , , 以外的其余的三人中的一人,同时 A 不分甲书,B 不分乙书”为事件 A1,B1,C1,它们的概率是

P( A1 ) ?

3 1 1 1 3 A3 7 3 A3 3 7 3 1 A ?A ?A ? , P( B1 ) ? 43 ? , P(C1 ) ? 3( A3 ? A2 ? 2 2 2 ) ? . 4 4 A5 20 A5 20 A5 20

因为事件 A1,B1,C1 彼此互斥,由互斥事件的概率加法公式,A 不分甲书,B 不分乙书的概率是:

P( A1 ? B1 ? C1 ) ? P( A1 ) ? P( B1 ) ? P(C1 ) ?

3 3 7 13 ? ? ? 20 20 20 20

(2) 在乙书不分给 C 的情况下,分别记“甲书分给 C”“甲书分给 D”“甲书分给 E”为事件 A2,B2,C2 , ,
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彼 此 互 斥 , 有 互 斥 事 件 的 概 率 加 法 公 式 , 甲 书 不 分 给 A,B , 乙 书 不 分 给 C 的 概 率 为 :

1 3 3 1 P( A2 ? B2 ? C2 ) ? P( A2 ) ? P( B2 ) ? P(C2 ) ? ? ? ? 5 20 20 2
3 A4 1 P( A2 ) ? 4 ? A5 5 1 C 3 ? A32 3 P( B2 ) ? P(C 2 ) ? ? 4 20 A5

作业 1. 将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6 的正方体玩 具)先后抛掷 3 次,至少出现一次 6 点向上的概率是 ( 5 (A)216 2. 25 (B)216 31 (C)216 ) 91 (D)216

在 5 张卡片上分别写着数字 1、2、3、4、5,然后把它们混合,再任意排成一行,则得到的数能被 5 或 2 整除的概率是( (A) 0.8 ) (B) 0.6 (C) 0.4 (D) 0.2

3. 在某次花样滑冰比赛中,发生裁判受贿事件,竞赛委员会决定将裁判曰原来的9名增至 14 名,但只任 取其中7名裁判的评分作为有效分,若 14 名裁判中有 2 人受贿,则有效分中没有受贿裁判的评分的 概率是 .(结果用数值表示)

4. 某国际科研合作项目成员由 11 个美国人、4 个法国人和 5 个中国人组成。现从中随机

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选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一个国家的概率为 (结果用分数表示) 5. 已知 10 件产品中有 3 件是次品. (I)任意取出 3 件产品作检验,求其中至少有 1 件是次品的概率; (II)为了保证使 3 件次品全部检验出的概率超过 0.6,最少应抽取几件产品作检验?

6. 冰箱中放有甲、乙两种饮料各 5 瓶,每次饮用时从中任意取 1 瓶甲种或乙种饮料,取用甲种或乙种饮 料的概率相等. (Ⅰ)求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下 3 瓶的概率; (Ⅱ)求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多 4 瓶的概率.

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

例题答案 1(Ⅰ)

5 6

;(Ⅱ)

4 125

2(Ⅰ)

6 1 1 3 4 ;(Ⅱ) . 3(Ⅰ)0.228;(Ⅱ)0.564. 4(Ⅰ) ;(Ⅱ) ;(Ⅲ) . 7 2 5 5 5
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1. D

2. B

3.

3 13

4.

119 190

5. 解: (Ⅰ) 1 ?

3 C 7 17 ? 3 C10 24

(Ⅱ)最少应抽取 9 件产品作检验.

6. 解: (I) P7 (5)

5 ? C7 P 5 (1 ? P) 2 ?

21 . 128

(II)P6(5)+P5(5)+P4(4) =C6 P (1-P)+C5 P +C4 P =

5 5

5 5

4 4

3 16

第四课时 例题 例1 某地区有 5 个工厂,由于用电紧缺,规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电 (选哪一天是等可能的).假定工厂之间的选择互不影响. (Ⅰ)求 5 个工厂均选择星期日停电的概率; (Ⅱ)求至少有两个工厂选择同一天停电的概率.

例2

甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中的 6 题,乙能答对其 中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才算合格. (Ⅰ)分别求甲、乙两人考试合格的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

例3

甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的 零件不是一等品的概率为

1 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 4

1 2 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 . 12 9
(Ⅰ)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率; (Ⅱ)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.

例 4 为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙、丙、 丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为 P)和所需费用如下:

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预防措施 P 费用(万元)

甲 0.9 90

乙 0.8 60

丙 0.7 30

丁 0.6 10
[来源:学科网]

预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施, 在总费用不超过 120 万元的前提下,请确 定一个预防方案,使得此突发事件不发生的概率最大. 备用 一个医生已知某种疾病患者的痊愈率为 25%,为实验一种新药是否有效,把它给 10 个病人服用,且 规定若 10 个病人中至少有 4 个被治好,则认为这种药有效;反之,则认为无效,试求: (1)虽新药有效,且把痊愈率提高到 35%,但通过试验被否定的概率; (2)新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率。 解: 记一个病人服用该药痊愈为事件 A,且其概率为 P,那么 10 个病人服用该药相当于 10 次重复试验. (1)因新药有效且 P=0.35, 故由 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率公式知, 试验被否定 (即 新药无效)的概率为

P10 (0) ? P10 (1) ? P10 (2) ? P10 (3)
0 1 2 3 ? C10 P 0 (1 ? P )10 ? C10 P1 (1 ? P ) 9 ? C10 P 2 (1 ? P ) 8 ? C10 P 3 (1 ? P ) 7 ? 0.5138

(2)因新药无效,故 P=0.25,试验被认为有效的概率为

P (4) ? P (5) ? ... ? P10 (10) ? 1 ? P (0) ? P (1) ? P (2) ? P (3) ? 0.2242 . 10 10 10 10 10 10
答: 新药有效, 但通过试验被否定的概率为 0.5138; 而新药无效, 但通过试验被认为有效的概率为 0.2242

作业 1. 从 1,2,?,9 这九个数中,随机抽取 3 个不同的数,则这 3 个数的和为偶数的概率是 (A)

5 9

(B)

4 9

(C)

11 21

(D)

10 21

(

)

2. 甲、乙两人独立地解同一题,甲解决这个问题的概率是 0.4,乙解决这个问题的概率是 0.5,那么其中

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至少有一人解决这个问题的概率是 ( (A)0.9 (B)0.2 (C)0.8

) (D)0.7

3. 一个袋中有带标号的 7 个白球,3 个黑球.事件 A:从袋中摸出两个球,先摸的是黑球, 后摸的是白球.那么事件 A 发生的概率为________. 4. 口袋内装有 10 个相同的球,其 中 5 个球标有数字 0,5 个球标有数字 1,若从袋中摸出 5 个球,那么摸出的 5 个球所标数字之和小于 2 或大于 3 的概率是 .(以数值作答)

5. 张华同学骑自行车上学途中要经过 4 个交叉路口,在各交叉路口遇到红灯的 概率都是 路口遇到红灯的事件是相互独立的). (Ⅰ)求张华同学某次上学途中恰好遇到 3 次红灯的概率. (Ⅱ)求张华同学某次上学时,在途中首次遇到红灯前已经过 2 个交叉路口的概率.设 6. 甲、乙、丙三人分别独立解一道题,已知甲做对这道题的概率是 乙、丙两人都做对的概率是

1 (假设各交叉 5

3 1 ,甲、丙两人都做错的概率是 , 4 12

1 . 4

(Ⅰ)求乙、丙两人各自做对这道题的概率; (Ⅱ)求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率.

例题答案

1. (Ⅰ)

1 1 ? 5 16807 7



(Ⅱ) 1 ?

5 A7 2041 ? . 7 5 2401

2. (Ⅰ)

14 44 ;(Ⅱ) 15 45

.

3. (Ⅰ) 作业答案 1. C

1 1 2 5 (Ⅱ) , , ; 3 4 3 6
3.

4.联合采用乙、丙、丁三种预防措施

2. D

7 30

4.

13 63

5. (Ⅰ) 16 (Ⅱ) 16 625 125

6. (Ⅰ)

3 2 21 , (Ⅱ) 8 3 32

第五课时 例题 例1 某厂生产的 A 产品按每盒 10 件进行包装,每盒产品均需检验合格后方可出厂.质检办法规定:从每 盒 10 件 A 产品中任抽 4 件进行检验,若次品数不超过 1 件,就认为该盒产品合格;否则,就认为 该盒产品不合格.已知某盒 A 产品中有 2 件次品.
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(Ⅰ)求该盒产品被检验合格的概率; (Ⅱ)若对该盒产品分别进行两次检验,求两次检验得出的结果不一致的概率.

例2

一个通信小组有两套设备,只要其中有一套设备能正常工作,就能进行通信.每套设备由 3 个部件组 成,只要其中有一个部件出故障,这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障 的概率为 p,计算在这一时间段内 (Ⅰ)恰有一套设备能正常工作的概率; (Ⅱ)能进行通信的概率.

例3

某校田径队有三名短跑运动员,根据平时的训练情况统计,甲、乙、丙三人 100m 跑(互不影响)的成 绩在 13s 内(称为合格)的概率分别是 次检测. 问 (Ⅰ)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少? (Ⅱ)出现几人合格的概率最大?

2 3 1 , , .如果对这 3 名短跑运动员的 100m 跑的成绩进行一 5 4 3

例 4 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为 0.7、0.6 和 0.5. (Ⅰ)三人各向目标射击一次,求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标概率; (Ⅱ)若甲单 独向目标射击三次,求他恰好命中两次的概率.

备用

若甲、乙二人进行乒乓球比赛,已知每一局甲胜的概率为 0.6,乙胜的概率为 0.4,比赛时可以用 三局两胜和五局三胜制,问在哪种比赛制度下,甲获胜的可能性较大. 解: 三局两胜制的甲胜概率: 甲胜两场: C3 ? (0.6) ? 0.4 ,甲胜三场: C3 ? (0.6) ,
2 2 3 3 3 ?甲胜概率为 C32 ? (0.6)2 ? 0.4 + C3 ? (0.6)3 =0.648

五局三胜制: 甲胜三场: C5 ? (0.6) ? (0.4) ,甲胜四场: C5 ? (0.6) ? 0.4 ,甲胜五场: C5 ? (0.6) ,
3 3 2 4 4 5 5 3 5 ?甲胜概率为 C5 ? (0.6) 3 ? (0.4) 2 + C54 ? (0.6)4 ? 0.4 + C5 ? (0.6)5 =0.682

由 0.648<0.682,知五局三胜制中甲获胜的可能性更大.

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作业 1. 已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯炮,这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只 卡口灯炮使用,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则他直到第 3 次才取得卡口灯炮的概率为 ( (A) )

21 40

(B)

17 40

(C)

3 10

(D)

7 120

2. 从 5 名演员中选 3 人参加表演,其中甲在乙前表演的概率为(
3


1 10

(A) 20

(B)

3 10

1

(C) 20

(D)

3. 15 名新生,其中有 3 名优秀生,现随机将他们分到三个班级中去,每班 5 人,则每班都分到优秀生的 概率是 4. .

如图,已知电路中 3 个开关闭合的概率都是 0.5, 且是相互独立的,则灯亮的概率为

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5.

甲、乙、丙 3 人一起参加公务员选拔考试,根据 3 人的初试情况,预计他们被录用的概率依次为 0.7、 0.8、0.8. 求: (Ⅰ)甲、乙 2 人中恰有 1 人被录用的概率;(Ⅱ)3 人中至少的 2 人被录用的概率.

6. 对 5 副不同的手套进行不放回抽取,甲先任取一只,乙再任取一只,然后甲又任取一只,最后乙再任 取一只. (Ⅰ)求下列事件的概率:①A:甲正好取得两只配对手套; ②B:乙正好取得两只配对手套; (Ⅱ)A 与 B 是否独立?并证明你的结论.
例题答案 1. (Ⅰ)
4 3 13 C8 ? C8 C1 13 1 13 2 ; (Ⅱ) C2 ? ? (1 ? ) ? 52 ? 4 15 15 C10 225 15

2. (Ⅰ) 2 p

3

? 2 p 6 (Ⅱ) 2 p 3 ? p 6

3.(Ⅰ) 1 , 1 ; (Ⅱ)1 人 . 10 10 作业答案 1. D 2. A 3.
3 4 A3 C12C84 5 5 C15C10

4. (Ⅰ)0.94,

0.44; (Ⅱ)0.441

4. 0.625

5. (Ⅰ)

0.38 ;

(Ⅱ)0.416+0.448=0.864.

6.(Ⅰ)① P? A? ? 1 ,② P?B ? ? 1 ; (Ⅱ) P 9 9

? AB? ? 63 , P? A?P?B? ? P? AB? ,故 A 与 B 是不独立的.

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备用课时一

随机事件的概率

例题 例 1 某人有 5 把钥匙,但忘记了开房门的是哪一把,于是,他逐把不重复地试开,问: (1)恰好第三次打开房门所的概率是多少? (2)三次内打开的概率是多少? (3)如果 5 把内有 2 把房门钥匙,那么三次内打开的概率是多少? 解 5 把钥匙,逐把试开有 A5 种结果,由于该人忘记了开房间的是哪一把,因此这些结果是等可能的。 (1)第三次打开房门的结果有 A4 种,故第三次打开房门锁的概率 P(A)=
4
5

4 A4 1 = 5 A5 5

(2)三次内打开房门的结果有 3A4 种,因此所求概率 P(A)=

4

3 A44 3 = A55 5
3 2

(3)方法 1 因 5 把内有 2 把房门钥匙,故三次内打不开的结果有 A3 ? A2 种,从而三次内打开的结果 有 A5 ? A3 A2 种,从而三次内打开的结果有 A5 ? A3 A2 种,所求概率 P(A)=
5 3 2 5 3 2

5 3 2 A5 ? A3 A2 9 = . 5 A5 10
3

方法 2 三次内打开的结果包括: 三次内恰有一次打开的结果 C2 ? A3 ? A2 ? A3 种; 三次内恰有两次打开
1 1 1

的 结 果 A3 A3 种 . 因 此 , 三 次 内 打 开 的 结 果 有 ( C2 A3 A2 A3 ? A3 A3 ) 种 , 所 求 概 率 P(A)=
2 3 1 1 1 3 2 3

1 1 1 3 3 C2 A3 A2 A3 ? A32 A3 9 ? 5 A5 10

例 2 某商业银行为储户提供的密码有 0,1,2,?,9 中的 6 个数字组成. (1)某人随意按下 6 个数字,按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少? (2)某人忘记了自己储蓄卡的第 6 位数字,随意按下一个数字进行试验,按对自己的密码的概率是多 少? 解 (1)储蓄卡上的数字是可以重复的,每一个 6 位密码上的每一个数字都有 0,1,2,?,9 这 10 种,

1 6 ,随意按下 6 个数字相当于随意按下 10 个,随意按下 6 个数字相 106 1 6 当于随意按下 10 个密码之一,其概率是 6 . 10
正确的结果有 1 种,其概率为 (2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前 5 个正确的前提下,随意按下一个数字,等可能性的结果 为 0,1,2,?,9 这 10 种,正确的结果有 1 种,其概率为

1 . 10

例 3 一个口袋内有 m 个白球和 n 个黑球, 从中任取 3 个球, 3 个球恰好是 2 白 1 黑的概率是多少? 这 (用 组合数表示)
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设事件 I 是“从 m 个白球和 n 个黑球中任选 3 个球” ,要对应集合 I1,事件 A 是“从 m 个白球中任选 2 个球, n 个黑球中任选一个球” 本题是等可能性事件问题, Card(I1)= Cm?n , Card ( A) ? Cm ? Cn , 从 , 且
3 2 1

于是 P(A)=

2 1 Card( A) Cm ? Cn ? 3 . Card( I1 ) Cm ? n

例 4 将一枚骰子先后抛掷 2 次,计算: (1)一共有多少种不同的结果. (2)其中向上的数之积是 12 的结果有多少种? (3)向上数之积是 12 的概率是多少? 解 (1)将骰子向桌面先后抛掷两次,一共有 36 种不同的结果. (2)向上的数之积是 12,记(I,j)为“第一次掷出结果为 I,第二次掷出结果为 j”则相乘为 12 的结 果有(2,6)(3,4)(4,3)(6,2)4 种情况. , , , (3)由于骰子是均匀的,将它向桌面先后抛掷 2 次的所有 36 种结果是等可能的,其中“向上的数之积 是 12”这一事件记为 A.Card(A)=4.所以所求概率 P(A)=

4 1 = . 36 9

作业 1. 袋中有 a 只黑球 b 只白球,它们除颜色不同外,没有其它差别,现在把球随机地一只一只摸出来,求 第 k 次摸出 的球是黑球的概率. 解法一: a 只黑球和 b 只白球都看作是不同的, 把 将所有的球都一一摸出来放在一直线上的 a+b 个位置上, 把所有的不同的排法作为基本事件的全体,则全体基本事件的总数为(a+b) ,而有利事件数为 ! a(a+b-1)!故所求概率为 P=

a(a ? b ? 1)! a 。 ? (a ? b)! a?b

解法二:把 a 只黑球和 b 只白球看作是不同的,将前 k 次摸球的所有不同可能作为基本事件全体,总数为
k ?1 Aak?b ,有利事件为 aAa?b?1 ,故所求概率为 P=

k ?1 aAa?b?1 a ? k Aa?b a?b

解法三:把只考虑 k 次摸出球的每一种可能作为基本事件,总数为 a+b,有利事件为 a,故所求概率为

P?

a . a?b
备用课时二 互斥事件有一个发生的概率

例题 例 1 房间里有 6 个人,求至少有 2 个人的生日在同一月内的概率. 解
[来源:学科网 ZXXK]

6 个人生日都不在同一月内的概率 P( A )=

6 A12 A6 .故所求概率为 P(A)=1-P( A )=1- 12 . 12 6 12 6

例 2 从一副 52 张的扑克牌中任取 4 张,求其中至少有两张牌的花色相同的概率。 解法 1 任取四张牌,设至少有两张牌的花色相同为事件 A;四张牌是同一花色为事件 B1;有 3 张牌是同一 花色,另一张牌是其他花色为事件 B2;每两张牌是同一花色为事件 B3;只有两张牌是同一花色,另两
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张牌分别是不同花色为事件 B4,可见,B1,B2,B3,B4 彼此互斥,且 A=B1+B2+B3+B4。

? P(B1)=

1 4 C4C13 C1C 3 ? C1C1 ? 0.0106 , P(B2)= 4 13 4 3 13 ? 0.1648 , 4 C52 C52

2 2 2 2 4 2 1 C4 ? C13 ? C2 ? C13 C4 ? C13 ? C32 (C13 ) 2 ? 0.1348 , P(B4)= ? 0.5843 , P(B3)= 4 4 C52 C52

? P(A)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4) ? 0.8945
解法 2 设任取四长牌中至少有两张牌的花色相同为事件 A,则 A 为取出的四张牌的花色各不相同,? P( A )=
1 (C13 ) 4 ? 0.1055 ,? P( A) ? 1 ? P( A) ? 0.8945 4 C52

答:至少有两张牌花色相同的概率是 0.8945 例 3 在 20 件产品中有 15 件正品,5 件次品,从中任取 3 件,求: (1)恰有 1 件次品的概率; (2)至少有 1 件次品的概率. 解 (1)从 20 件产品中任取 3 件的取法有 C20 ,其中恰有 1 件次品的取法为 C15C5 。
3 2 1

? 恰有一件次品的概率 P=

2 1 C15C5 35 ? . 3 C20 76

[来源:学科网 ZXXK]

(2)法一 从 20 件产品中任取 3 件,其中恰有 1 件次品为事件 A1,恰有 2 件次品为事件 A2,3 件全是次 品为事件 A3,则它们的概率
2 1 1 3 C15C5 105 C52C15 2 C5 2 ? P(A1)= = , P ( A2 ) ? , P ( A3 ) ? 3 ? , 3 3 C20 228 C20 228 C20 228

而事件 A1、A2、A3 彼此互斥,因此 3 件中至少有 1 件次品的概率 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=

137 . 228

法二 记从 20 件产品中任取 3 件,3 件全是正品为事件 A,那么任取 3 件,至少有 1 件次品为 A ,根 据对立事件的概率加法公式 P( A )= 1 ? P ( A) ? 1 ?
3 C15 137 ? 3 C20 228

例4

1 副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块 4 种花色,每种 13 张,共 52 张,从 1 副洗好的牌中任取 4 张,求 4 张中至少有 3 张黑桃的概率. 从 52 张牌中任取 4 张,有 C52 种取法.“4 张中至少有 3 张黑桃” ,可分为“恰有 3 张黑桃”和“4 张 全是黑桃” ,共有 C13 ? C39 ? C13 种取法?
3 1 4



4

3 1 4 C13 ? C39 ? C13 4 C52

[来源:Zxxk.Com]



研究至少情况时,分类要清楚。
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作业 1. 在 100 件产品中,有 95 件合格品,5 件次品,从中任取 2 件,求: (1) 2 件都是合格品的概率; (2) 2 件都是次品的概率; (3)1 件是合格品,1 件是次品的概率。 解 从 100 件产品中任取 2 件的可能出现的结果数,就是从 100 个元素中任取 2 个元素的组合数 C100 ,由 于任意抽取,这些结果出现的可能性相等.?C100 ? 4950 为基本事件总数.
2 2

(1) 件产品中有 95 件合格品, 00 取到 2 件合格品的结果数, 就是从 95 个元素中任取 2 个组合数 C95 , 记“任取 2 件都是合格品”为事件 A1,那么 P( A1 ) ?
2 C95 893 ? 2 C100 990
2

2

(2)由于在 100 件产品中有 5 件次品,取到 2 件次品的结果数为 C5 .记“任取 2 件都是次品”为事 件 A2,那么事件 A2 的概率为: P( A2 ) ?

C52 1 ? 2 C100 495
5 1

( 3 ) 记 “ 任 取 2 件 , 1 件 是 次 品 , 1 件 是 合 格 品 ” 为 C9 ? C5 种 , 则 事 件 A3 的 概 率 为 :

P(A 3 ) ?

1 1 C95 ? C5 19 ? 2 C100 198

备用课时三

相互独立事件同时发生的概率

例题 例 1 猎人在距离 100 米处射击一野兔,其命中率为 0.5,如果第一次射击未中,则猎人进行第二次射击, 但距离 150 米. 如果第二次射击又未中,则猎人进行第三次射击,并且在发射瞬间距离为 200 米. 已 知猎人的命中概率与距离的平方成反比,求猎人命中野兔的概率. 解 记三次射击依次为事件 A,B,C,其中 P( A) ?

1 1 k ,由 ? P( A) ? ,求得 k=5000。 2 2 100 2

? P(B) ?

5000 2 5000 1 ? , P(C) ? ? ,?命中野兔的概率为 2 150 9 200 2 8

P(A) ? P( A ? B) ? P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) P(C ) ? 1 1 2 1 2 1 95 ? (1 ? ) ? ? (1 ? )(1 ? ) ? ? . 2 2 9 2 9 8 144

例 2 1 个产品要经过 2 道加工程序,第一道工序的次品率为 3%,第二道工序次品率为 2%,求产品的次品 率. 解 设“第一道工序出现次品“为事件 A, “第二道工序出现次品”为事件 B, “至少有一道工序出现次品”
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该产品就是次品,所求概率为

P( A ? B) ? 1 ? P( A) P( B) ? 1 ? (1 ? 0.03)(1 ? 0.02) ? 0.0494
例 3 如图,某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中共有六个焊接点 A、B、C、D、E、F,如果某个焊 接点脱落,整个电路就会不通。每个焊接点脱落的概率均是 两个焊接点脱落的概率是多少?

1 ,现在发现电路不通了,那么至少有 2

解: 1 ?

1 1 57 1 ? C6 ? 6 ? 6 64 2 2

例 4 要制造一种机器零件,甲机床废品率为 0.05,而乙机床废品率为 0.1,而它们的生产是独立的,从 它们制造的产品中,分别任意抽取一件,求: (1)其中至少有一件废品的概率; (2)其中至多有一件废品的概率. 解: 设事件 A 为“从甲机床抽得的一件是废品” 为“从乙机床抽得的一件是废品”. ;B 则 P(A)=0.05, P(B)=0.1, (1)至少有一件废品的概率

P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? 1 ? 0.95 ? 0.90 ? 0.145
(2)至多有一件废品的概率

P ? P( A ? B ? A ? B ? A ? B) ? 0.05 ? 0.9 ? 0.95 ? 0.1 ? 0.95 ? 0.9 ? 0.995

作业 1. 假设每一架飞机引擎飞机中故障率为 P,且个引擎是否发生故障是独立的,如果有至少 50%的引擎能 正常运行,问对于多大的 P 而言,4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全? 解 飞机成功飞行的概率: 4 引擎飞机为:
2 3 4 C4 P 2 (1 ? P) 2 ? C4 P 3 (1 ? P ) ? C4 P 4

? 6 P 2 (1 ? P) 2 ? 4 P 3 (1 ? P ) ? P 2
2 引擎飞机为: C2 P(1 ? P) ? C2 P ? 2 P(1 ? P) ? P
1 2 2 2

要使 4 引擎 飞机比 2 引擎飞机更安全,只要

6P 2 (1 ? P) 2 ? 4P 3 (1 ? P) ? P 4 ? 2P(1 ? P) ? P 2 3P 3 ? 8P 2 ? 7 p ? 2 ? 0
所以 3P ? 2 ? 0, P ?

2 3
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