2010届高三数学专题讲座复习1.doc

不等式
不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体现 了一定的综合性、灵活多样性,对数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用.在解决问题时, 要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明.不 等式的应用范围十分广泛,它始终贯串在整个中学数学之中.诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函 数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问 题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明。

一、知识整合
1. 解不等式的核心问题是不等式的同解变形, 不等式的性质则是不等式变形的理论依据, 方程的根、 函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化.在解不等式 中,换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式, 通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系,对含有参数的不等式,运 用图解法可以使得分类标准明晰.
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2.整式不等 式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数的单 调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形 结合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有 机地联系起来,相互转化和相互变用. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为 较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等 式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据 题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的 步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值). 5.证明不等式的方法多样,内容丰富、技巧性较强.在证明不等式前,要依据题设和待证不等式的 结构特点、内在联系,选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟 知的不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不 等式入手,经过一系列的运算而导 出待证的不等式,前者是“执果索因” ,后者是“由因导果” ,为沟通联系的途径,证明时往往联合使用分 析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的. 6.不等式应用问题体现了一定的综合性.这类问题大致可以分为两类:一类是建立不等式、解不等 式;另一类是建 立函数式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函数的最值时,要特别注意“正数、定 值和相等”三个条件缺一不可,有时需要适当拼凑,使之符合这三个条件.利用不等式解应用题的基本步 骤:1.审题,2.建立不等式模型,3.解数学问题,4.作答。 7.通过不等式的基本知识、基本方法在代数 、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部

分知识中 的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本 知识、 方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识.

二、方法技巧
1.解不等式的基本思想是转化、化归,一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等 式(组)来求解, 。 2.解含参数不等式时,要特别注意数形结合思想,函数与方程思想,分类讨论思想的录活运用。 3.不等式证明方法有多种,既要注意到各种证法的适用范围,又要注意在掌握常规证法的基础上, 选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。 4.根据题目结构特点,执果索因,往往是有效的思维方法。

三、例题分析
b)∈M, 且对 M 中的其它元素 (c,d),总有 c≥a,则 a=____. 分析:读懂并能揭示问题中的数学实质,将是解决该问题的突破口.怎样理解“对 M 中的其它元素(c,d), 总有 c≥a”?M 中的元素又有什么特点?
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解:依题可知,本题等价于求函数 x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)

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(2)当 1≤y≤3 时, 所以当 y=1 时, xmin = 4.

简评:题设条件中出现集合的形式,因此要认清集合元素的本质属性,然后结合条件,揭示 其数学实质.即求集合 M 中的元素满足关系式

例 2.已知非负实数 x , y 满足 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 且 3x ? 2 y ? 7 ? 0 ,则 x ? y 的最大值是( ) A.

7 3

B.

8 3

C. 2

D. 3

解:画出图象,由线性规划知识可得,选 D 例 3.数列 xn 由下列条件确定: x1 ? a ? 0, x n ?1 ? (1)证明:对于 n ? 2, 总有xn ?

? ?

1? a ? ? xn ? ? ,n? N? ? 2? xn ? ?

a,

(2)证明:对于 n ? 2,总有xn ? xn ?1 . 证明: (1) x1 ? a ? 0及xn?1 ?

1 a 1 a a ( xn ? )知xn ? 0, 从而 xn?1 ? ( xn ? ) ? xn ? ? a (n ? N ?) 2 xn 2 xn xn

?当n ? 2时xn ? a成立
(2)当 n ? 2 时, x n ?
2

a ? 0, x n ?1 ?

1 a 1 a ( x n ? ),? x n ?1 ? x n ? ( ? x n ) 2 xn 2 xn

1 a ? xn = ? ? 0.? n ? 2时, xn ? xn ?1成立 。 2 xn
例 4.解关于 x 的不等式: x x ? a ?

2a 2 ?a ? 0? 9

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分析:本例主要复习含绝对值不等式的解法,分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 a 进行讨论,而是 去绝对值时必须对末知数进行讨论,得到两个不等式组,最后对两个不等式组的解集求并集,得出原不 等式的解集。 解:当 x ? a时,不等式可转化为 ?

?x ? a

?x ? a 即? 2 2 ?9 x? x ? a ? ? 2a ?9 x ? 9ax ? 2a ? 0
2

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?a ? x ?

3 ? 17 a b

?x ? a ?x ? a 当x ? a时不等式可化为 ? 即 ? 2 2 2 ?ax (a ? x) ? 2a ?9 x ? 9ax ? 2a ? 0

?x ?

a 2a 或 ?x?a 3 3 a 3

故不等式的解集为 (??,

? ? ? 2a , 3 ?
?3

?

17 ? a? 。 6 ?

例 5.若二次函数 y=f(x)的图象经过原点,且 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求 f(-2)的范围. 分析:要求 f(-2)的取值范围,只需找到含人 f (-2)的不等式(组).由于 y=f(x)是二次函数,所以应先将 f(x)的 表达形式写出来.即可求得 f(-2)的表达式,然后依题设条件列出含有 f(-2)的不等式(组),即可求解.
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解:因为 y=f(x)的图象经过原点,所以可设 y=f(x)=ax2+bx.于是

解法一(利用基本不等式的性质) 不等式组(Ⅰ)变形得

(Ⅰ) 所以 f(-2)的取 值范围是[6,10]. 解法二(数形结合)
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建立直角坐标系 aob,作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域,如图 6 中的阴影部分.因为 f(-2)=4a-2b,所 以 4a-2b-f(-2)=0 表示斜率为 2 的直线系.如图 6,当直线 4a-2b-f(-2)=0 过点 A(2,1),B(3,1)时,分别取得 f(-2)的最小值 6,最大值 10.即 f(-2)的取值范围是:6≤f(-2)≤10. 解法三(利用方程的思想)

又 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),而 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4, 所以 3≤3f(-1)≤6.

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① ②

①+②得 4≤3f(-1)+f(1)≤10,即 6≤f(-2)≤10. 简评:(1)在解不等式时,要求作同解变形.要避免出现以下一种错解:

2b,8≤4a≤12,-3≤-2b

≤-1,所以 5≤f(-2)≤11.

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(2)对这类问题的求解关键一步是,找到 f(-2)的数学结构,然后依其数学结构特征,揭示其代数的、几 何的本质,利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法,从不同角度去解决同一问题.若长 期这样思考问题,数学的素养一定会迅速提高. 例 6 .设函 数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与两直 线 y=x , y= ? x ,均不相交 . 试证明对一切 x ? R 都 有

ax2 ? bx? c ?

1 . 4a

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分析:因为 x∈R,故|f(x)|的最小值若存在,则最小值由顶点确定, 故设 f(x)=a(x-x0)2+f(x0). 证明:由题意知,a≠0.设 f(x)=a(x-x0)2+f(x0),则 又二次方程 ax2+bx+c=±x 无实根,故 Δ1=(b+1)2-4ac<0,Δ2=(b-1)2-4ac<0. 所以(b+1)2+(b-1)2-8ac<0,即 2b2+2-8ac<0,即 b2-4ac<-1,所以|b2-4ac|>1.

简评:从上述几个例子可以看出,在证明与二次函数有关的不等式问题时,如果针对题设条件,合理 采取二次函数的不同形式,那么我们就找到了一种有效的证明途径. 例 7.某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%,并且每 年新增汽车数量相同。为了保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每年新增汽车数 量不应超过多少辆? 解:设 20 01 年末的汽车保有量为 a1 ,以后每年末的汽车保有量依次为 a2 , a3.... ,每年新增汽车 x 万辆。 由题意得

an ?1 ? 0.94 an ? x即an ?1 ?

x x ? 0.94(an ? ) 0.06 0.06

x x )0.94n ?1 ? 0.06 0.06 30 令a n ? 60, 解得x ? (30 ? ) ? 0.06 1 ? 0.94n ?1 上式右端是关于 n的减函数, 且当n ? ?时, 上式趋于3.6 an ? (30 ? 故要对一切自然数 n满足an ? 60, 应有x ? 3.6,即每年新增汽车不应超 过3.6万辆


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