精品解析:2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标I卷)(解析版)

绝密★启用前

2018 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮

擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的。

1. 已知集合



,则

A.

B.

【答案】A

C.

D.

【解析】分析:利用集合的交集中元素的特征,结合题中所给的集合中的元素,求得集合 中的元素,

最后求得结果.

详解:根据集合交集中元素的特征,可以求得

,故选 A.

点睛:该题考查的是有关集合的运算的问题,在解题的过程中,需要明确交集中元素的特征,从而求得结

果. 2. 设

,则

A. 0 B.

C.

D.

【答案】C

【解析】分析:首先根据复数的运算法则,将其化简得到 ,根据复数模的公式,得到

正确结果.

,从而选出

详解:因为



1

所以

,故选 C.

点睛:该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式,利用复数的除法及加法运算法则求得

结果,属于简单题目. 3. 某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经 济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:

学§科§网...学§科§网...

学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网... 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后,种植收入减少 B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【解析】分析:首先设出新农村建设前的经济收入为 M,根据题意,得到新农村建设后的经济收入为 2M, 之后从图中各项收入所占的比例,得到其对应的收入是多少,从而可以比较其大小,并且得到其相应的关 系,从而得出正确的选项. 详解:设新农村建设前的收入为 M,而新农村建设后的收入为 2M, 则新农村建设前种植收入为 0.6M,而新农村建设后的种植收入为 0.74M,所以种植收入增加了,所以 A 项 不正确; 新农村建设前其他收入我 0.04M,新农村建设后其他收入为 0.1M,故增加了一倍以上,所以 B 项正确;
2

新农村建设前,养殖收入为 0.3M,新农村建设后为 0.6M,所以增加了一倍,所以 C 项正确;

新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的

,所以超过了经济收

入的一半,所以 D 正确;

故选 A. 点睛:该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图,要会从图中读出相应的信息即 可得结果.

4. 已知椭圆 :

的一个焦点为

,则 的离心率为

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】分析:首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为

,从而求得 ,再根据题中所给的方程

中系数,可以得到 ,利用椭圆中对应 的关系,求得

,最后利用椭圆离心率的公式求得结果.

详解:根据题意,可知 ,因为 ,

所以

,即



所以椭圆 的离心率为

,故选 C.

点睛:该题考查的是有关椭圆的离心率的问题,在求解的过程中,一定要注意离心率的公式,再者就是要

学会从题的条件中判断与之相关的量,结合椭圆中 的关系求得结果.

5. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为 , ,过直线 形,则该圆柱的表面积为

的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】分析:首先根据正方形的面积求得正方形的边长,从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高,

从而利用相关公式求得圆柱的表面积.

3

详解:根据题意,可得截面是边长为 的正方形,

结合圆柱的特征,可知该圆柱的底面为半径是 的圆,且高为 ,

所以其表面积为

,故选 B.

点睛:该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题,在解题的过程中,需要利用题的条件确定圆柱的相关

量,即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高,在求圆柱的表面积的时候,一定要注意是两个底面圆与侧面积

的和.

6. 设函数

.若 为奇函数,则曲线

在点

处的切线方程为

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】分析:利用奇函数偶此项系数为零求得 ,进而得到 的解析式,再对 求导得出切线的斜率

,进而求得切线方程. 详解:因为函数 是奇函数,所以

,解得 ,

所以





所以



所以曲线

在点 处的切线方程为



化简可得 ,故选 D.

点睛:该题考查的是有关曲线

在某个点

处的切线方程的问题,在求解的过程中,首先需要确

定函数解析式,此时利用到结论多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇次项,从而求得相

应的参数值,之后利用求导公式求得 ,借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得结果. 7. 在△ 中, 为 边上的中线, 为 的中点,则

A.

B.

C.

D.

【答案】A

4

【解析】分析:首先将图画出来,接着应用三角形中线向量的特征,求得

加法运算法则-------三角形法则,得到

,之后将其合并,得到

反向量,求得

,从而求得结果.

详解:根据向量的运算法则,可得

,之后应用向量的 ,下一步应用相



所以

,故选 A.

点睛:该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题,涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法

的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题,在解题的过程中,需要认真对待每一步运算.

8. 已知函数

,则

A. 的最小正周期为 π,最大值为 3

B.

的最小正周期为 π,最大值为 4

C.

的最小正周期为 ,最大值为 3

D. 的最小正周期为 ,最大值为 4 【答案】B 【解析】分析:首先利用余弦的倍角公式,对函数解析式进行化简,将解析式化简为

,之后

应用余弦型函数的性质得到相关的量,从而得到正确选项.

5

详解:根据题意有



所以函数 的最小正周期为



且最大值为

,故选 B.

点睛:该题考查的是有关化简三角函数解析式,并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质,在解题

的过程中,要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角,得到最简结果. 9. 某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如右图.圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ,圆柱表 面上的点 在左视图上的对应点为 ,则在此圆柱侧面上,从 到 的路径中,最短路径的长度为

A.

B.

C.

D. 2

【答案】B

【解析】分析:首先根据题中所给的三视图,得到点 M 和点 N 在圆柱上所处的位置,点 M 在上底面上,点

N 在下底面上,并且将圆柱的侧面展开图平铺,点 M、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处,根据平

面上两点间直线段最短,利用勾股定理,求得结果.

详解:根据圆柱的三视图以及其本身的特征,

可以确定点 M 和点 N 分别在以圆柱的高为长方形的宽,圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线

的端点处,

所以所求的最短路径的长度为

,故选 B.

点睛:该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题,在解题的过程中,需要明确两 个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点间直线段最短,所以处理方法就是将面切开平铺,利用平 面图形的相关特征求得结果.

6

10. 在长方体

中,

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】分析:首先画出长方体

, 与平面

所成的角为 ,则该长方体的体积为

,利用题中条件,得到

,根据

,求得

,可以确定

,之后利用长方体的体积公式

详解:在长方体

中,连接 ,

根据线面角的定义可知



因为

,所以

,从而求得



所以该长方体的体积为

,故选 C.

点睛:该题考查的是长方体的体积的求解问题,在解题的过程中,需要明确长方体的体积公式为长宽高的

乘积,而题中的条件只有两个值,所以利用题中的条件求解另一条边的长久显得尤为重要,此时就需要明

确线面角的定义,从而得到量之间的关系,从而求得结果.

11. 已知角 的顶点为坐标原点,始边与 轴的非负半轴重合,终边上有两点



,且

,则

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】分析:首先根据两点都在角的终边上,得到

,利用

,利用倍角公式以及余弦函数的

7

定义式,求得 ,从而得到

,再结合 ,从而得到

详解:根据题的条件,可知

三点共线,从而得到



,从而确定选项.

因为



解得 ,即

,所以

,故选 B.

点睛:该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题,涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系,

余弦的倍角公式,余弦函数的定义式,根据题中的条件,得到相应的等量关系式,从而求得结果.

12. 设函数

,则满足

的 x 的取值范围是

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】分析:首先根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,从图中可以发现若有



立,一定会有

,从而求得结果.

详解:将函数 的图像画出来,

观察图像可知会有

,解得 ,

所以满足

的 x 的取值范围是

,故选 D.

点睛:该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系,从而求得相关的参数的值的问题, 在求解的过程中,需要利用函数解析式画出函数图像,从而得到要出现函数值的大小,绝对不是常函数, 从而确定出自变量的所处的位置,结合函数值的大小,确定出自变量的大小,从而得到其等价的不等式组,

8

从而求得结果.

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 已知函数

,若

,则 ________.

【答案】-7

【解析】分析:首先利用题的条件

,将其代入解析式,得到

,从而得到



从而求得 ,得到答案.

详解:根据题意有

,可得

,所以 ,故答案是 .

点睛:该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小,来确定有关参数值的问题,在求解的过程中,

需要将自变量代入函数解析式,求解即可得结果,属于基础题目.

14. 若 满足约束条件

,则

的最大值为________.

【答案】6

【解析】分析:首先根据题中所给的约束条件,画出相应的可行域,再将目标函数化成斜截式



之后在图中画出直线

,在上下移动的过程中,结合 的几何意义,可以发现直线

过 B 点时

取得最大值,联立方程组,求得点 B 的坐标代入目标函数解析式,求得最大值. 详解:根据题中所给的约束条件,画出其对应的可行域,如图所示:



可得



9

画出直线

,将其上下移动,

结合 的几何意义,可知当直线过点 B 时,z 取得最大值,



,解得 ,

此时

,故答案为 6.

点睛:该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中,首先需要正确画出约束条件对应的可行域,

之后根据目标函数的形式,判断 z 的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从

而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、

距离型;根据不同的形式,应用相应的方法求解.

15. 直线

与圆

交于 两点,则

________.

【答案】

【解析】分析:首先将圆的一般方程转化为标准方程,得到圆心坐标和圆的半径的大小,之后应用点到直

线的距离求得弦心距,借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形,利用勾股定理

求得弦长.

详解:根据题意,圆的方程可化为



所以圆的圆心为 ,且半径是 2,

根据点到直线的距离公式可以求得



结合圆中的特殊三角形,可知

,故答案为 .

点睛:该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题,在解题的过程中,熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、

弦心距和圆的半径构成的直角三角形,借助于勾股定理求得结果.

16. △ 的内角

的对边分别为

,已知

的面积为________.



,则△

【答案】

10

【解析】分析:首先利用正弦定理将题中的式子化为

,化简求得



利用余弦定理,结合题中的条件,可以得到

,可以断定 A 为锐角,从而求得

,进一步

求得

,利用三角形面积公式求得结果.

详解:根据题意,结合正弦定理

可得

,即



结合余弦定理可得



所以 A 为锐角,且

,从而求得



所以△ 的面积为

,故答案是 .

点睛:该题考查的是三角形面积的求解问题,在解题的过程中,注意对正余弦定理的熟练应用,以及通过

隐含条件确定角为锐角,借助于余弦定理求得

,利用面积公式求得结果.

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题 考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。

17. 已知数列 满足 ,

,设



(1)求



(2)判断数列 是否为等比数列,并说明理由;

(3)求 的通项公式.

【答案】(1) b1=1,b2=2,b3=4. (2) {bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数列.理由见解析. (3) an=n·2n-1. 【解析】分析:(1)根据题中条件所给的数列 的递推公式

,将其化为 an+1=

别令 n=1 和 n=2,代入上式求得 a2=4 和 a3=12,再利用

,从而求得 b1=1,b2=2,b3=4.

,分

(2)利用条件可以得到

,从而 可以得出 bn+1=2bn,这样就可以得到数列{bn}是首项为 1,公比为 2

11

的等比数列. (3)借助等比数列的通项公式求得

,从而求得 an=n·2n-1.

详解:(1)由条件可得 an+1=



将 n=1 代入得,a2=4a1,而 a1=1,所以,a2=4. 将 n=2 代入得,a3=3a2,所以,a3=12. 从而 b1=1,b2=2,b3=4. (2){bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数列.

由条件可得

,即 bn+1=2bn,又 b1=1,所以{bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数列.

(3)由(2)可得

,所以 an=n·2n-1.

点睛:该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项,根据不同数

列的项之间的关系,确定新数列的项,利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列,

根据等比数列通项公式求得数列 的通项公式,借助于 的通项公式求得数列 的通项公式,从而求

得最后的结果.

18. 如图,在平行四边形

中,



,以 为折痕将△ 折起,使点 到达点

的位置,且



(1)证明:平面

平面 ;

(2) 为线段 上一点, 为线段 上一点,且

,求三棱锥

的体积.

【答案】(1)见解析. (2)1. 【解析】分析:(1)首先根据题的条件,可以得到

=90,即

,再结合已知条件 BA⊥AD,利用线

12

面垂直的判定定理证得 AB⊥平面 ACD,又因为 AB 平面 ABC,根据面面垂直的判定定理,证得平面

ACD⊥平面 ABC;

(2)根据已知条件,求得相关的线段的长度,根据第一问的相关垂直的条件,求得三棱锥的高,之后借助于

三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.

详解:(1)由已知可得,

=90°,



又 BA⊥AD,且

,所以 AB⊥平面 ACD.

又 AB 平面 ABC, 所以平面 ACD⊥平面 ABC.

(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA= .



,所以



作 QE⊥AC,垂足为 E,则



由已知及(1)可得 DC⊥平面 ABC,所以 QE⊥平面 ABC,QE=1.

因此,三棱锥

的体积为



点睛:该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解, 在解题的过程中,需要清楚题中的有关垂直的直线的位置,结合线面垂直的判定定理证得线面垂直,之后 应用面面垂直的判定定理证得面面垂直,需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系,在求三棱锥的 体积的时候,注意应用体积公式求解即可. 19. 某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头 50 天的日用水量数 据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表

13

日用 水量

频数

1

3

2

4

9

26

5

使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量

频数

1

5

13

10

16

5

(1)在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图:

(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于 0.35 m3 的概率; (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按 365 天计算,同一组中的数据以这组数据 所在区间中点的值作代表.) 【答案】(1)直方图见解析. (2) 0.48.
14

(3)

.

【解析】分析:(1)根据题中所给的使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表,算出落在相应区间上的频 率,借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率,从而确定出对应矩形的高,从而得 到直方图; (2)结合直方图,算出日用水量小于 0.35 的矩形的面积总和,即为所求的频率; (3)根据组中值乘以相应的频率作和求得 50 天日用水量的平均值,作差乘以 365 天得到一年能节约用水多 少 ,从而求得结果. 详解:(1)

(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35m3 的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48, 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35m3 的概率的估计值为 0.48. (3)该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为



该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为



估计使用节水龙头后,一年可节省水



点睛:该题考查的是有关统计的问题,涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计

15

算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数,在解题的过程中,需要认真审题,细心运

算,仔细求解,就可以得出正确结果.

20. 设抛物线

,点



(1)当 与 轴垂直时,求直线 的方程;

(2)证明:



,过点 的直线 与 交于 , 两点.

【答案】(1) y= 或



(2)见解析.

【解析】分析:(1)首先根据 与 轴垂直,且过点

,求得直线 l 的方程为 x=1,代入抛物线方程求得

点 M 的坐标为 或

,利用两点式求得直线 的方程;

(2)分直线 l 与 x 轴垂直、l 与 x 轴不垂直两种情况证明,特殊情况比较简单,也比较直观,对于一般情况将

角相等通过直线的斜率的关系来体现,从而证得结果.

详解:(1)当 l 与 x 轴垂直时,l 的方程为 x=2,可得 M 的坐标为(2,2)或(2,–2).

所以直线 BM 的方程为 y= 或



(2)当 l 与 x 轴垂直时,AB 为 MN 的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.

当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为

,M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1>0,x2>0.



得 ky2–2y–4k=0,可知 y1+y2= ,y1y2=–4.

直线 BM,BN 的斜率之和为

.①





及 y1+y2,y1y2 的表达式代入①式分子,可得

. 所以 kBM+kBN=0,可知 BM,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM+∠ABN. 综上,∠ABM=∠ABN. 点睛:该题考查的是有关直线与抛物线的问题,涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交

的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量,在解题的过程中,第一问求直线方程的时候,需要注意方法比 较简单,需要注意的就是应该是两个,关于第二问,在做题的时候需要先将特殊情况说明,一般情况下,

16

涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组,之后韦达定理写出两根和与两根积,借助于斜率的关系来得到

角是相等的结论.

21. 已知函数



(1)设 是 的极值点.求 ,并求 的单调区间;

(2)证明:当 时,



【答案】(1) a= ;f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.

(2)证明见解析.

【解析】分析:(1)先确定函数的定义域,对函数求导,利用 f ′(2)=0,求得 a= ,从而确定出函数的解

析式,之后观察导函数的解析式,结合极值点的位置,从而得到函数的增区间和减区间;

(2)结合指数函数的值域,可以确定当 a≥ 时,f(x)≥

,之后构造新函数 g(x)=

,利用

导数研究函数的单调性,从而求得 g(x)≥g(1)=0,利用不等式的传递性,证得结果.

详解:(1)f(x)的定义域为

,f ′(x)=aex– .

由题设知,f ′(2)=0,所以 a= .

从而 f(x)=

,f ′(x)=



当 0<x<2 时,f ′(x)<0;当 x>2 时,f ′(x)>0. 所以 f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.

(2)当 a≥ 时,f(x)≥



设 g(x)=

,则

当 0<x<1 时,g′(x)<0;当 x>1 时,g′(x)>0.所以 x=1 是 g(x)的最小值点. 故当 x>0 时,g(x)≥g(1)=0.

因此,当 时,



点睛:该题考查的是有关导数的应用问题,涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单 调性的关系以及证明不等式问题,在解题的过程中,首先要保证函数的生存权,先确定函数的定义域,之 后根据导数与极值的关系求得参数值,之后利用极值的特点,确定出函数的单调区间,第二问在求解的时 候构造新函数,应用不等式的传递性证得结果.

17

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

22. [选修 4—4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系 中,曲线 的方程为

.以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲

线 的极坐标方程为



(1)求 的直角坐标方程;

(2)若 与 有且仅有三个公共点,求 的方程.

【答案】[选修 4-4:坐标系与参数方程]

解:(1)由



得 的直角坐标方程为



(2)由(1)知 是圆心为

,半径为 的圆.

由题设知, 是过点 且关于 轴对称的两条射线.记 轴右边的射线为 , 轴左边的射线为 .由于 在

圆 的外面,故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点,或 与 只

有一个公共点且 与 有两个公共点.

当 与 只有一个公共点时, 到 所在直线的距离为 ,所以

,故 或 .

经检验,当 时, 与 没有公共点;当 时, 与 只有一个公共点, 与 有两个公共点.

当 与 只有一个公共点时, 到 所在直线的距离为 ,所以

,故 或 .

经检验,当 时, 与 没有公共点;当 时, 与 没有公共点.学.科网

综上,所求 的方程为



【解析】分析:(1)就根据



以及

,将方程

中的相关的量代换,

求得直角坐标方程;

(2)结合方程的形式,可以断定曲线 是圆心为

,半径为 的圆, 是过点 且关于 轴对称的两条

射线,通过分析图形的特征,得到什么情况下会出现三个公共点,结合直线与圆的位置关系,得到 k 所满

足的关系式,从而求得结果.

详解:(1)由



得 的直角坐标方程为



18

(2)由(1)知 是圆心为

,半径为 的圆.

由题设知, 是过点 且关于 轴对称的两条射线.记 轴右边的射线为 , 轴左边的射线为 .由于 在

圆 的外面,故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点,或 与 只

有一个公共点且 与 有两个公共点.

当 与 只有一个公共点时, 到 所在直线的距离为 ,所以

,故

或.

经检验,当 时, 与 没有公共点;当

时, 与 只有一个公共点, 与 有两个公共点.

当 与 只有一个公共点时, 到 所在直线的距离为 ,所以

,故 或 .

经检验,当 时, 与 没有公共点;当 时, 与 没有公共点.

综上,所求 的方程为



点睛:该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题,涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标

方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题,在解题的过程中,需要明确极坐标和平面直角坐标之间的 转换关系,以及曲线相交交点个数结合图形,将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件,

从而求得结果.

23. [选修 4—5:不等式选讲]

已知



(1)当 时,求不等式

(2)若

时不等式

的解集; 成立,求 的取值范围.

【答案】(1)

.

(2) .

【解析】分析:(1)将 代入函数解析式,求得

,利用零点分段将解析式化为

,然后利用分段函数,分情况讨论求得不等式

的解集为



(2)根据题中所给的

,其中一个绝对值符号可以去掉,不等式

可以化为





分情况讨论即可求得结果.

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详解:(1)当 时,

,即

故不等式

的解集为



(2)当



若 ,则当



成立等价于当





成立.

若,

的解集为

,所以 ,故



综上, 的取值范围为 .

点睛:该题考查的是有关绝对值不等式的解法,以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取

值范围的问题,在解题的过程中,需要会用零点分段法将其化为分段函数,从而将不等式转化为多个不等 式组来解决,关于第二问求参数的取值范围时,可以应用题中所给的自变量的范围,去掉一个绝对值符号,

之后进行分类讨论,求得结果.

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