教育部课题2011高一入学必修4教学随笔

2011 高一入学必修 4 教学随笔 《1.1.1 任意角》
一、角是平面几何中的一个基本图形,角是可以度量其大小的.在平面几何中,角的取 值范围如何? 二、 对于角的图形特点有如下两种认识: ①角是由平面内一点引出的两条射线所组成的 图形(如图 1) ;②角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的 图形(如图 2).你认为哪种认识更科学、合理? (图略) 答:一个是静的,一个是动的。用动的更合理,因为静止是相对的,运动时绝对的。 三、 问有没有 361°角?与 1°有什么异同?能举出现实生活中的例子来理解吗?即 1、 它是有现实根据的,是来源于现实的。 2、能不能说 361°就是 1°即 361°=1°?为什么要区分 361°、1°? 答:361°、1°隐含的意义是不同的,虽然这种意义对事物的效果来说结果都是一样也 就是赌回到原来位置,我们区分 361°、1°并不是区分这种意义的效果而是区分这种意义。 比如 361°是转了一圈又回到 1°的位置,我们要把这种区别区分开来,如果不区分那很不 容易表达一些现象。这种区分有现实意义。 比如:过去我们学习了 0°~360°范围的角,但在实际问题中还会遇到其他角.如在 体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中,常常听到“转体 1080°”“转体 1260°”这样的解 、 说. 再如钟表的指针、 拧动螺丝的扳手、 机器上的轮盘等, 它们按照不同方向旋转所成的角, 不全是 0°~3600 范围内的角.因此,仅有 0°~360°范围内的角是不够的,我们必须将角 的概念进行推广。 三、1、先介绍几个概念:始边、终边。 (看幻灯片) 2、旋转有几个方向?既然旋转有方向,那我们可以规定??。你能说出这种规定它的 现实来源吗?即规定正角、负角对现实世界的解释是不是更容易清晰? 举个例子:如果只给出 30°,那我们就不知道这是逆时针旋转还是顺时针旋转。如果 规定正角、负角的意义,那随便给出多少度,我们就知道他的意义。 答: 规定: 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角, 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有作任何旋转, 则称它形成了一个零角。 还是体操、 钟表、 跳台等等的例子。 3、这样子角的范围变的多大?称为什么角?任意角的分类与实数的分类有什么关系? 答:负无穷到正无穷。任意角。相似。 4、你会做出 210°、-150°、-660°的角吗? 5、如果你的手表慢了 20 分钟,或快了 1.25 小时,你应该将分钟分别旋转多少度才能 将时间校准? 6、任意两个角的数量大小可以相加、相减,如 50°+80°=130°, 50°-80°=- 30°,你能解释一下这两个式子的几何意义吗? 四、1、为了进一步研究角的需要,我们常在直角坐标系内讨论角,你想想角的顶点该 在哪里,始边该在哪里?,那么对一个任意角,角的终边可能落在哪些位置? 2、如果角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角;如果角的终边在坐标 轴上,就认为这个角不属于如何象限,或称这个角为轴线角.那么下列各角:-50°,405°, 210°, -200°,-450°分别是第几象限的角? 3、锐角与第一象限的角是什么逻辑关系?钝角与第二象限的角是什么逻辑关系?直角 与轴线角是什么逻辑关系? 4、第二象限的角一定比第一象限的角大吗?

答:象限角只能反映角的终边所在象限,不能反映角的大小. 五、1、终边相同的角比如与 1°角有多少个?他们有规律吗?能用符号把他们表达出 来吗? 答:1°+k?360° 2、1°还可以改为多少度?k?360°几何意义是什么?k?180°,k?90°几何意义是什 么? 3、能从简单具体例子推广为一般吗? 4、写出终边在 y 轴上角的集合,有规律吗? 先看书的解法, 繁不繁?难不难?抽象不抽象?它是从代数角度来解的。 有直观的几何 角度的解法吗? 5、用上面直观的几何角度的解法解出终边在坐标轴上角的集合,有规律吗?。写出终 边在直线 y=x 上的角的集合 S, 有规律吗?并把 S 中适合不等式-360°到 720°的角找出来。 6、第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示? 7、如果α 是第二象限的角,那么 2α 、α /2 分别是第几象限的角?

《1.1.2 弧度制》
一、继续上节课。 1、如果α 是第二象限的角,那么 2α 、α /2 分别是第几象限的角? 2、P9 习题 1.1A 组第二题、第五题。 3、换个角度看问题: 2010-1-17 睡觉的时候想到了把 0°到 360°推广为任意角的一个形象的比喻, 就是 0° 到 360°对于任意角是个受精卵,任意角有这个受精卵发育生成,那到底是如何发育生成, 就是逆时针旋转整数圈,顺时针旋转整数圈。 所以在解终边在 y 轴上角的集合时,这样的角有无数个,但有什么角发育生成,如何发 育生成。即有 90°或 270°发育生成,那如何发育生成,就是逆时针旋转整数个半圈,或顺 时针旋转整数个半圈。 同理,对于写出终边在坐标轴上角的集合,可以有 0°或 90°或 180°或 270°这个受 精卵发育生成,如何发育生成就是逆时针或顺时针旋转整数个 1/4 圈。 对于终边在直线 y=x 上角的集合也一样。 还有就是没有时间写出终边在第一象限或第二象限或第三象限或第四象限的角的集合。 这些集合也可以用上述思路来分析。 比如终边在第一象限角的集合有 0°到 90°这个受精卵 发育生成,那如何发育生成?就是旋转整数圈。 事物的发生发展可以有一个形象的比喻就是人有受精卵发育生成, 如何发育生成学了生 物就知道, 《道德经》里的一句名言: “道”生一,一生二,二生三,三生万物。受精卵相当 于“道” 。 二、1、大家知道不知道度量一个物体的长短或路程的远近我们是怎么说的? 答:多少米,多少公里。 2、大家知道 1 米是多长?度量长度有几种单位制?相互之间转换知道吗?度量重量有 几种单位制?相互之间转换知道吗? 答:米、英尺、码。千克、磅。可以百度。以下转换来自百度: 米: 等于氪-86 原子的 2p10 和 5d5 之间跃迁所对应的辐射在真空中的 1,650,763.73 个波 长的长度。 1 英尺(呎) = 12 英寸(吋) = 30.48 厘米。关于英尺的来历: 正如如同英尺的英文单词意义一样, foot,简称 ft , 古英国时期因为没有国际公认的度

量单位,所以人们往往使用自己的脚来测量实地的面积,久而久之,一种基于成年男子单脚 的长度就被公认为英国等国家人可得标准度量衡。德国人出了一招,让最早从教堂出来的 16 个男子量出左脚的长度加在一起,再除以 16,商就是一尺。 码: 英制长度单位,美制码等于 0.9144 米,在英国,则 1 码等于保存在威斯敏斯特商务部标 准局的青铜棒两个金塞子上横线标记之间的距离(在 62 癋时) [yard (缩写 yd)] 磅:英美制重量单位,1 磅等于 0.45359237 千克。 3、为什么会有多种单位制?单位制的本质是什么? 答:一是各个国家历史原因,二是每个单位制各有千秋。 为了度量物体的长短、轻重、大小我们只能先规定一个单位是什么东西,然后让物体跟 这个单位比较看看有多少个单位,这就是单位制的本质。 4、角的单位制是什么?是如何规定的?这种规定有什么优劣?如果有劣该如何? 答:出示 PPT。 5、一弧度如何规定?出示 PPT,完成 P6 探究。 三、接下去跟百度出来的课件一样。

《1.1.2 弧度制》反思
1、在我叫同学们回忆角度制的弧长公式和扇形公式时同学们是靠记忆说出,这是死知 识,我们要把死知识变成活知识,即知道公式是如何得来的。 2、为什么弧度制有些同学觉得难适应,是因为角度制是一种思维方式,弧度制是一种 思维方式,并且我们已经习惯了角度制的思维方式。我举个例子,我们从小成长在中国,适 应了中国文化也习惯用中国人思维看问题, 一下子到了美国就不习惯美国文化, 不习惯美国 人看问题的思维方式。这得了“文化休克症” ,百度:文化休克,得到下面信息。 “文化休克” (Cultural Shock)是 1958 年美国人类学家奥博格(Kalvero Oberg)提出来的一 个概念, 是指一个人进入到不熟悉的文化环境时, 因失去自己熟悉的所有社会交流的符号与 手段而产生的一种迷失、疑惑、排斥甚至恐惧的感觉。 “休克”本来是指人体重要功能的丧 失,如身体失血过多,呼吸循环功能衰竭等。但是,当一个长期生活于自己母国文化的人突 然来到另一种完全相异的新的文化环境中时, 其在一段时间内常常会出现这种文化休克的现 象。

《1.2.1 任意角的三角函数》
一、1、我们还记不记得在高中是如何重新学习函数的? 同学们,我跟你们讲一件事情。就是著名教育家朱永新的故事。2009 年暑假我到海门参 加他的新教育实验会,我看了他的报告。朱老师把全国老师看的清清楚楚。朱老师为什么能 把全国老师看的清清楚楚,因为他站的角度与他人不一样,站的高度很高很高。比如谁可以 把温州人民看的清清楚楚,那这个人可以当温州市市委书记,把浙江人民看的清请楚楚,那 这个人可以当浙江省委书记,把全国人民看的清请楚楚,那这个人可以当国家主席。人只有 站在较高一个层次才能看清较低层次的事情。 把国家看的清请楚楚的人一定可以把浙江人民 看的清请楚楚,把浙江人民看的清请楚楚的人,一定可以把温州人民看的清请楚楚。反之不 一定。我再举例子,你把高等数学看的清清楚楚,只要你愿意,你就可以把初等数学看的清 清楚楚。但你把初等数学看的清清楚楚,高等数学也不一定看的清清楚楚。我在某一程度上 可以把小学、初中、数学看的清清楚楚,但对高等数学看不清清楚楚。 我画一个图形给你们看。在你们面前有个正方形的盒子,没盖,里面有一只哈巴狗。当 你的眼睛在盒子的面前, 高度是你前面这个面的中位线中点, 那你可以把这个盒子的前面看 的清清楚楚,但这只哈巴狗你看不见。接下去我们这样,我们改变眼睛的角度与高度,把眼

睛上升, 上升到眼睛还是在前面这个面的前面, 但高度上升到盒子上面那个面的上面, 这时, 我们依然把前面这个面看的清清楚楚, 但发现了许多新东西, 比如我们看到了盒子里有只哈 巴狗。所以改变角度,上升高度,原来的事情依然可以看的清清楚楚,并且把发现的新东西 也可以看的很清楚。我为什么要讲这些东西,因为我们今天学习函数的概念。 2、初中三角函数定义 3、高中三角函数定义(先不考虑单位圆) 4、单位圆的三角函数定义(高度一样,角度不同,是特殊情况) 以上四点 PPT 打出。PPT 百度搜索。 5、把全国人民看的清清楚楚难不难?我说有没有人把高一(3、4)班同学看的清清楚 楚?看清楚了可以当班级的什么干部? 答:班长。 6、只有政治家把全国人民看的清清楚楚吗? 答:思想家、文学家、哲学家等等吧全国人民看清楚,他们只是从不同的角度吧全国人 民看清楚。 7、有的同学可能会问,在每个象限三角函数的定义比如正弦、余弦、正切都是一样, 那是不是每个象限三角函数值也一样。我们一个个分析下正弦、余弦、正切。 8、在对三角函数定义教学的时候你们可能提出,正弦、余弦、正切为什么要这样定义, 那样定义不行吗? 回答:可以,数学的本质在於它的自由. ---康扥尔(Cantor)。但数学上概念的定义 不是胡来,而是要能跟现实吻合,能解决现实问题。 二、这个课件是综合了自己的课件与百度搜索来的别人的课件。

《1.2.1 三角函数线》教案
1、同学们比较一下,代数与几何哪一种抽象?哪一种直观?直观有是什么好处? 2、三角函数属于代数,今天我们就把三角函数直观化。如何直观化?我们先学习一个 概念:有向线段。 3、顾名思义有向线段就是: 答:有方向的线段。 4、方向如何规定? 答:与坐标轴(x 轴、y 轴)同向为正,反向为负 5、有向线段特点与平时线段异同 答:即有方向又有大小,平时线段只有大小 6、为什么有向线段可以把三角函数直观化? 答:方向属于几何,大小属于代数。所以有向线段是代数连接几何的纽带。 7、综合自己的教学设计与百度到的教学设计。

《1.2.2 同角三角函数的基本关系》教案
1、我们知道事物的发生发展过程可以引用《道德经》里一句话:道生一,一生二,二 生三,三生万物。我们还有个形象比喻就是事物的发生发展过程相当于受精卵发育发展,生 成一个人。 目前有四个“道”或“受精卵” :任意角的推广、一弧度的定义、写出终边相同角的集 合的时先找到受精卵、三角函数的定义。 2、根据三角函数的定义这个“道”或“受精卵”找到正弦与余弦的关系。正弦、余弦、 正切的关系。

3、综合自己的教学设计与百度到的教学设计。

《1.3 三角函数的诱导公式》备课后反思
1、这一节教学设计思考过来思考过去还是逃不出传统设计。不过思考过来思考过去也 是一会儿工夫。诱导公式不只 6 组,要让学生知道这不只 6 组的关系,其实真正独立的只有 三组,其他几组可以有这三组推倒出来。要让学生知道组与组之间的关系。让知识形成一个 网络。 2、

?
2

? ? 与 ? 的关系我们不从一般化推导,我们从特殊例子来总结,? =0°、15°、30°、

45°、75°、90°。

同角三角函数基本关系及诱导公式的反思
1、这几节有个特点就是知识点不是很深不难理解,但要灵活运用,既然灵活运用那就 涉及到运算技巧,所以运算技巧很高,既然运算技巧高,那就不容易想到。一些题目如果运 算途径不恰当那运算量就很大。 2、运算途径有远路、中路、近路。近路如何发现,那就是对远路非常熟悉。 3、据有人试验不知是谁,如果一个完全不懂的人要熟能生巧,那至多重复 40 次,所以 有的同学一次就可以,有的同学要 2 次,有的同学要三次。我黑板上只能重复一次,需要我 再重复的请课外问。

《1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象》教案
一、当我们没见过、没做过三角函数的图象时要求我们画出正弦函数的图象,我们有没 有觉得是一种图象不知是什么东东的感觉?今天要画正弦函数、余弦函数图象那该怎办? 我们还记得这道题目吗?

对 2009 年山东高考数学理科试卷第 6 题分析
1、试题:

分析: 当我们不知道一个事物是什么东西的时候怎么办?这个事物是怎样子的我们不知 道, 没关系。 几千年来人类一直在探讨人是什么东西?如果你知道人是什么东西你就出名了。 比如马克思提出人是各种社会关系的总和。 但我们不知道人是什么东西不要紧, 我们可以知 道人的一些直观的性质,比如有一个鼻子、两个耳朵,一双手、一双脚等等。所以这个函数 我们不知道它是什么东西,但可以研究它的性质。比如是奇函数,关于原点对称。定义域是 实数去掉 0,单调性是 x 趋向于+无穷,y 趋向于 1,x 趋向于 0,y 趋向于+无穷或-无穷。所 以选 A。事物的本质是抽象的,事物的性质是直观的。 二、正弦函数的性质:

Sin(-x)=-sinx,所以是奇函数。 sin1°=sin(360°+1°)=sin(360°+360°+1°)=??。 Sin2°=sin(360°+2°)=sin(360°+360°+2°)=??。 Sin3°=sin(360°+3°)=sin(360°+360°+3°)=??。 Sin4°=sin(360°+4°)=sin(360°+360°+4°)=??。 Sin5°=sin(360°+5°)=sin(360°+360°+5°)=??。 ??, Sin359°=sin(360°+359°)=sin(360°+360°+359°)=??。 这个称为周期性。我们只须画出 0°到 360°正弦函数的图象。 三、在前面一节课我们把三角函数进行了直观化,用什么表示? 下面我们来画。不用 PPT 演示过程,用手演示。 四、上述方法能画余弦函数的图象吗?能有其他简单方法吗? 五、 对于在 0°到 360°之间的正弦函数、 余弦函数你觉得在图象上哪几点是最重要的。 六、你能用几种方法画出下列图象?哪种方法你比较上手? ⑴、y=1+sinx ⑵、y=-cosx

《1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》
一、 某一天是星期一, 如何用符号表示?经过 7 天是星期几?如何用数学符号表示?再 经过 7 天呢?再再经过 7 天呢? 答:f(x)=1,f(x+7)=1,f(x+7+7)=1,f(x+7+7+7)=1 二、得到什么结论? 答:f(x+7)=f(x),f(x+7+7)=f(x),f(x+7+7+7)=f(x) 三、你会画这个函数的图形语言吗?

四、你会求这个对应法则吗?其实是不做要求的。 五、求正弦函数、余弦函数的周期,说出最小正周期。周期有什么用? 六、求下列函数的周期 (1)y=sinx (2)y=2sinx (3)y=sin2x (4)y=2sin2x ?5? y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

七、如果把 sin 变 cos 呢? (注: (1)求函数周期要紧紧抓住 f(x+T)=f(x),而教材的解法比较难理解。对于周期, 用抽象的周期定义求周期反而具体,而如果离开周期定义求周期,具体的反而抽象。虽然定 义是抽象的,但对于求函数周期根据定义反而具体。 (2)同学们能不能用几何意义对求周期做出声明? Sin2x 周期为什么是“ ? ”?因为 sinx 周期是“2 ? ” ,就是旋转一圈回到原来位置, 从新开始,因为 x 有系数 2,所以旋转半圈乘以 2 就是一圈,所以 sin2x 周期是“ ? ” 。 八、如果一个函数 f(x+T)=f(x),我们就称这样的函数是周期函数。 若 f(x+T)=f(x),则 f(x+T+T+…….)=f(x)。T>0,T 称为最小正周期。 六、求函数

七、求函数 八、如果函数 y=f(x)的周期是 T,求 的周期。

九、求正弦函数、余弦函数的对称中心和对称轴。对称轴、对称中心有什么性质?跟周 期有什么关系? 答:最短距离的两个对称中心是半个周期,最短距离的两条对称轴是半个周期。对称中 心对应最大、小值,对称中心对应的函数值是零。 11 注意:正弦函数的对称轴时要与周期的第二个定义联系起来。对称中心不做要求 例:周期的第二定义(具体例子) :f(4-x)=f(4+x)且 f(6-x)=f(6+x)。先猜周期再推导周期。 注:在求 sinx、sin2x 的周期时,除了根据周期定义 f(x+T)=f(x)外,其实求解过程中有 几何意义,如果说出几何意义,那就更容易懂。我教了 11 年,在我们学校,学生对这两个 三角函数的周期混淆起来,其实还与 2sinx、2sin2x 混淆起来。Sin2x 周期为什么是“派”? 因为 sinx 周期是“2 派” ,就是旋转一圈回到原来位置,从新开始,因为 x 有系数 2,所以 旋转半圈乘以 2 就是一圈,所以 sin2x 周期是“派” 。

正弦函数、余弦函数的周期反思
1、求函数的周期一般是求最小正周期 2、正弦函数、余弦函数的最小正周期为什么不是 ? ? 3、同学们可能问如果对一个函数一无所知,那如何求周期如何证明周期? 答:历史上一个著名的数学难题是慢慢摸索出来的,有时候一个数学问题的解决要经 过 100 多年。

《1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》
1、同学们看正弦函数、余弦函数的图,如何研 究它的单调性? 答:先找一个合理的周期,在这个周期内研究它的单调性,再根据周期的意义进行总 结。 2、单调递增区间和单调递减区间有无穷多个,我们不能用列举法,只能用描述法,那 如何用描述法表示无穷多个区间? 答:道生一,一生二,二生三,三生万物。 3、 对于正弦函数、 余弦函数, 什么时候取最大值?什么时候取最小值?这些点多不多? 能用列举法表示吗?如何用描述法表示? 答:道生一,一生二,二生三,三生万物。 例 3.下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量 x 的集合,并说出最大值、最小值分别是什么?

(1) y ? sin x(2) y ? 2 sin x(3) y ? sin 2 x(4) y ? 2 sin 2 x (5) y ? 2 sin(2 x ? )(6) y ? sin x ? 1(7) y ? sin 2 x ? 1 6 (8) y ? 2 sin 2 x ? 1(9) y ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 6
(10)如果把 sin 变为 cos 呢? 例 4.不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0.

?

?

(1) sin(?

); 18 10 23 17 (2) cos(? ? )与 cos(? ? ). 5 4
注(1)把角转化为同一个单调区间或同一个周期内,根据图像比较 (2)根据三角函数线比较 1、求下列函数的单调递增区间。

?

)与 sin(?

?

(1) y ? sin x(2) y ? 2 sin x(3) y ? sin 2 x(4) y ? 2 sin 2 x (5) y ? 2 sin(2 x ? )(6) y ? sin x ? 1(7) y ? sin 2 x ? 1 6 (8) y ? 2 sin 2 x ? 1(9) y ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 6
(10)如果把 sin 变为 cos 呢?

?

?

正切函数的性质和图象
1、同学们还记得如何做出正弦函数的图像吗? ①、当我们没见过、没做过三角函数的图象时要求我们画出正弦函数的图象,我们有没 有觉得是一种图象不知是什么东东的感觉?今天要画正弦函数、余弦函数图象那该怎办? 我们还记得这道题目吗?

对 2009 年山东高考数学理科试卷第 6 题分析
1、试题:

分析: 当我们不知道一个事物是什么东西的时候怎么办?这个事物是怎样子的我们不知 道, 没关系。 几千年来人类一直在探讨人是什么东西?如果你知道人是什么东西你就出名了。 比如马克思提出人是各种社会关系的总和。 但我们不知道人是什么东西不要紧, 我们可以知 道人的一些直观的性质,比如有一个鼻子、两个耳朵,一双手、一双脚等等。所以这个函数 我们不知道它是什么东西,但可以研究它的性质。比如是奇函数,关于原点对称。定义域是 实数去掉 0,单调性是 x 趋向于+无穷,y 趋向于 1,x 趋向于 0,y 趋向于+无穷或-无穷。所 以选 A。事物的本质是抽象的,事物的性质是直观的。 ②、正弦函数的性质: Sin(-x)=-sinx,所以是奇函数。 sin1°=sin(360°+1°)=sin(360°+360°+1°)=??。 Sin2°=sin(360°+2°)=sin(360°+360°+2°)=??。 Sin3°=sin(360°+3°)=sin(360°+360°+3°)=??。 Sin4°=sin(360°+4°)=sin(360°+360°+4°)=??。

Sin5°=sin(360°+5°)=sin(360°+360°+5°)=??。 ??, Sin359°=sin(360°+359°)=sin(360°+360°+359°)=??。 这个称为周期性。我们只须画出 0°到 360°正弦函数的图象。 3、复习如何做出正弦函数的图像 4、正切函数的性质: ①、1、定义域: ? x | x ?

? ?

?

? ? k? , k ? Z ? 2 ?

②、奇偶性 ③、周期性及其作用 ④、单调性 ⑤、值域 5、百度课件做出正切函数的图像 6、求下列函数的定义域、周期和单调区间

(1) y ? tan x(2) y ? 2 tan x(3) y ? tan2 x(4) y ? 2 tan2 x (5) y ? 2 tan(2 x ?

?
3

)(6) y ? 2 tan(?2 x ?

?
3

)

《正切函数的性质和图象》反思
6、求下列函数的定义域、周期和单调区间

(1) y ? tan x(2) y ? 2 tan x(3) y ? tan2 x(4) y ? 2 tan2 x (5) y ? 2 tan(2 x ?

?
3

)(6) y ? 2 tan(?2 x ?

?
3

)

反思:①、求周期时的两个角度:一是几何角度,二是代数角度即周期的代数定义。 ②、同学们学到这里会经历高原现象,就是体育课长跑中遇到极点。只要坚持就能跨过 去。

一、为什么函数

重要?

二、如何研究 答:只要把具体的数字的简单的研究透了就可以上升到字母的符号的复杂的抽象的形 式。只要具体的数字的简单的运算熟练了才能上升到符号的字母的复杂的抽象的运算。 三、百度课件。

如何记住特殊角的特殊函数值?
根据高考考刚要求,特殊角的特殊函数值是要熟练灵活掌握的,根据我了解,特殊角的 特殊函数值起码有 50﹪以上的同学没掌握。但如果孤立一个个的去死记硬背那学习负担很 重,有没有轻松的学习方法?以下方法供参考。 我 们 画 出 正 弦 函 数 、 余 弦 函 数 、 正 切 函 数 的 图 象 , 让

1 2 3 1 2 3 y ? ?1、 ? 、 1、 ? 、 ? 、 、 、 这些特殊值,这水平直线与图象的交点横坐标就 2 2 2 2 2 2

是特殊角,我们只要记住初中里的特殊角,其他根据平移、对称就可以得到。

为什么上课听的懂,课后习题不会做?
一、函数 y=Asin(ωx+φ)的图像反思 1、初相和位置的关系 初相就是 x=0 的时候那个 φ,把 φ 经过解析式的计算就得到位置,同学们可以结合单摆 运动来理解。 二、为什么上课听的懂,课后习题不会做? 我可以打个比方, 我们上课学习的是猫是怎样的, 如果是课后习题或考试考的是狗是怎 样的。要想考试考的出来,我们就要知道猫狗的联系和区别,猫懂狗吗?狗懂猫吗?只有猫 懂狗,狗懂猫才能做出题目。猫有猫的语言,狗有狗的语言,但猫的语言和狗的语言是有共 同地方的,都是大自然进化的结果,可我们不知道,所以课后习题考试考不出来。

函数 y ? Asin(?x ? ? ) 的反思
1、如何讲解 y ? sin( 2 x ? 答:这里是向右平移

?
6

) 通过怎样平移得到 y ? sin( 2 x ?

?
3

)

? ? ? ,不是向右平移 。如果是向右平移 那就是把 2x 看成整体 4 2 2 ? ? 是 2x 向右平移 ,于是画图时横坐标应当标记为 2x。如果 x 向右平移 ,那 2x 就是向右 2 4 ? 平移 。是 x 平移不是 2x 平移,因为横坐标是标记 x 不是标记 2x。 2 就像为什么 y=sin2x 的周期是 ? ,因为 y=sinx 的周期是 2 ? ,就是旋转一圈又回到原来
位置,所以只要 x 旋转半圈,那 2x 就是旋转一圈。

《向量》第一节
这一节新知识新概念很多,该如何学习? 1、不是死记硬背,而是顾名思义。要达到只要懂的汉字就可以理解本节。 2、向量的符号、模的符号、线段符号、线段的长度符号、有向线段的大小方向符号会 不会混淆? 答: 高中数学知识是属于几百年之前的事了, 几百年之前的数学发展到现在是非常完美 了, 所以同学们不用担心符号会混淆, 只要我们看到一个数学符号其实马上就知道是什么东 西。 3、为什么规定零向量的方向是任意的 我能不能这样解释?假如规定零向量的方向是向东,那也可以规定零向量的方向是向西、 向南、向北,所以干脆就规定是任意。 4、平行向量与共线向量是一回事说明平移不改变向量的大小和方向,平移不改变向量 的任何内含。

学习、测试、会考、高考区别的一个形象比喻
学习学的是小时候猫怎样,测试有时候测猫长大了怎样,所以考试难度加大。有时候考 猫老了怎样。会考小时候考猫怎样,有时候考猫长大了猫怎样,有时候考猫老了怎样。高考

难在平时测试时考猫怎样,高考考狗怎样。猫狗的关系很紧密又不同。 有句话是三岁看大,七岁看老。对于人生经验丰富的人来说,他看到这个人三岁的样子 可以估算出长大了的样子,看到这个人七岁的样子可以知道他老了的样子。

《向量》第二节
一、 向量加法有三角形法则与平行四边形法则, 数学上为什么要这样规定?我那样规定 不行吗?注意什么? 答:数学上的定义、规定不是胡来的,而是有深刻的现实基础。三角形法则是向量首尾 相连,平行四边形法则是起点重合。

《向量加法运算及其几何意义》的反思
1、向量加法满足交换律与结合律的证明根据什么只能根据什么? 答:向量加法的定义 2、向量的大小可正可负,那向量的模只能是正的或等于 0,请问模的符号好不好?这 个符号会让你产生模是负的嫌疑吗? 答:符号形象生动,只要与数的绝对值联系起来就可以理解。 3、在书写向量的时候记住一条,也就是符号要让人一看就知道是什么含义不要让人误 会和嫌疑。举个例子零向量的书写。符号都是数学家创造出来的,是禁得起历史的考验。数 学家都是天才。 4、符号表达向量的加法要知道有两层意义在运算,一层是大小的运算,一层是方向的 运算。 5、实数满足交换律和结合律你觉得向量满足吗?为什么? 答:世界是和谐的,虽然有时候无奇不有。如果不满足,世界的和谐美被破坏掉,令人 不舒服。 6、两向量相加如果不共线则用三角形法则或平行四边形法则,但有种情况要区别对待 那就是共线,而共线又分成同向和反向但也是首位相连。 7、学生问题:向量有什么用可以举一例:用向量证明对角线互相平分的四边形是平行 四边形。此题学生反映是给人耳目一新的感觉,跟初中不一样的感觉。

2.2.2 向量减法运算及其几何意义
1、如何做出一个向量减去另一个向量? 答: 一个向量减去另一个向量就是加上另一个向量的相反向量, 之后转化为用三角形法 则或平行四边形法则。教材上是越讲越乱,我们不要理他。 2、举一个例子演示向量的减法运算,包括共线和不共线。 3、①、画一个三角形先不规定方向,你根据向量加法减法定义可以得到多少结论? ②、画一个平行四边形也不规定方向,你根据向量加法减法定义可以得到多少结论? 答:对角线垂直、对角线相等、对角线垂直且相等。三角形两边之和大于第三边和两边 之差小于第三边的向量表达方式。

《2.2.2 向量减法运算及其几何意义》反思
1、实数减法的规定和运算性质与向量减法的规定及运算性质是类似的,为什么? 答:世界是和谐的,虽然有时候无奇不有。如果不满足,世界的和谐美被破坏掉,令人 不舒服。 2、在画一个三角形先不规定方向能得到多少结论时,我们发现要得到减法首先要得到

加法,然后通过移项得到减法。 3、如何做出一个向量减去另一个向量? 答: 一个向量减去另一个向量就是加上另一个向量的相反向量, 之后转化为用三角形法 则或平行四边形法则。教材上是越讲越乱,我们不要理他。 4、两向量共线时加法、减法的直观理解 答:当两向量不共线时加法、减法可以用三角形法则或平行四边形法则。因为两向量不 共线两向量可以构成三角形或平行四边形。 原型是位移模型和力的合成。 如果共线我们还是 用位移模型。相当于一个人从起点出发,到最后的实际位移

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1、规定 3 a ? a ? a ? a
? ?
? ? ? ?

2、 规定 ? 3 a ? 3(? a ) ? (? a)? (? a)? (? a ) , ? 3 a ? (?3) a ,即括号省略不写。 注:如果规定某个东西,这说明这个东西本来是没有的。
? ? ? ?

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? ( 3 3、问 (?3) a 、 (3 a )、 ? a)、3 a 隐含的意义相同吗?如果相同结果一样吗?
答:隐含的意义不同,结果都记住 ? 3 a 。 4、实数乘法运算律同学们还记得吗? 设 a、b 为实数,则:
?

(1)? ( ?a) ? (?? )a (2)(? ? ? )a ? ?a ? ?a (3)? (a ? b) ? ?a ? ?b
? ?

b 问:如果把实数 a、b 改为 a、 运算律还成立吗?为什么?如何验证?
答:还成立,因为世界是和谐的,虽然有时候无奇不有。如果不满足,世界的和谐美被 破坏掉,令人不舒服。用特殊値法验证。令 ?、? 等于简单的数字。
? ?

b 5、如果 a、 共线,用数乘角度你能得到什么么结论?
答:先分类讨论: ① a ? 0 , b ? 0 , 则 b ? ? a , ? ? 0且唯一。 ② a ? b ? 0 ,则 b ? ? a , ?任意实数。 ③ a ? 0, b ? 0 , 则 b ? ? a , ?不存在。 ④ a ? 0, b ? 0 , 则 b ? ? a, ? ? 0 6、定理:向量 a ( a ? 0 )与 b 共线, 则当且仅当有唯一一个实数 ?,使 b ? ? a 。 ①问学习数学是记住定理然后去套吗?
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答:不是记住定理去套,而是要深刻理解定理的本质。如果是去套,一般考个高职或专 科。 7、学了向量有什么用? ①用向量证明三角形中位线定理。

《2.2.3 向量数乘运算及其几何意义》反思
一、向量数乘运算律是如何发现的? 向量数乘运算律如下:

? ? 设a , b 为任意向量,?、?为任意实数,则有: ? ? (1) ? ( ?a ) ? (?? )a ? ? ? (2) (? ? ? )a ? ?a ? ?a ? ? ? ? (3) ? (a ? b ) ? ?a ? ?b
因为学习数学要经历再创造的过程, 个体学习数学的过程相当于重复历史上人类发现学 习数学的过程。有的老师如何再创造向量数乘的运算律?那就是让 ? ? 2、? ? 3 让学生发 现这个运算律,即从特殊到一般。那历史上果真是这样子的吗? 其实历史上发现向量数乘的运算律不是这样发现的, 而是通过类比发现的, 那就是实数 的乘法满足这个运算律, 那猜想向量数乘是否满足这个运算律?因为世界是和谐的, 虽然有 时候无奇不有。如果不满足,世界的和谐美被破坏掉,令人不舒服。然后或验证或证明。

b b 二、 当在黑板上画出 a 、 时得到 b ? ? a 是, 有同学觉得 ? 不唯一, 因为不同的 a 、 有 b 不同的 ? 。其实这里要得到 b ? ? a 前提条件是 a 、 是确定的。
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2.3.1 平面向量的基本定理
e 1、为了使基本定理表达更直观更通俗易懂,我们称 e1 、 2 是第一、第二个向量, a 为 称
第三个向量。 2、为什么 ?1、?2 唯一,因为第一、第二、第三个向量只能做一个平行四边形。
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OB OB 3、如图 OA、 不共线, AP ? t AB ,t ? R ,用 OA、 表示 OP 。这道题目在叙述
的时候如何才能通俗易懂?我们说 P、A、B 是前三个点,O 是第四个点,要证三点共线, 我们取第四个点。

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2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
一、在平面直角坐标系中向量的坐标和点的坐标的区别: 1、如果一个向量坐标确定则这向量的大小和方向就能确定,但它在平面直角坐标系中 的位置不能确定, 它可以在平面直角坐标系中任意的平移, 因为平移不改变向量的大小和方 向。 如果点的坐标确定,那这个店在平面直角坐标系中的位置就可以确定。

2、如果向量的起点是原点即平移到原点,那向量就能确定,且向量的终点坐标就是向 量的坐标。 3、如果向量的起点不是原点,那向量的坐标和向量的起点坐标终点坐标的关系是:一 个向量的坐标等于此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 总结:一个向量在坐标系中有三个关键词:大小、方向、位置。 二、为什么正交分解很重要?因为现实中有太多的模型,比如重力的分解等等。 三、在平面直角坐标系内画向量先画点,让点是向量终点,起点是原点。

2.3.4_平面向量共线的坐标表示
一、同学们还记得两向量共线可以分成几种情况吗?
? ?

b 如果 a、 共线,用数乘角度你能得到什么么结论?
答:先分类讨论: ① a ? 0 , b ? 0 , 则 b ? ? a , ? ? 0且唯一。 ② a ? b ? 0 ,则 b ? ? a , ?任意实数。 ③ a ? 0, b ? 0 , 则 b ? ? a , ?不存在。 ④ a ? 0, b ? 0 , 则 b ? ? a, ? ? 0 6、定理:向量 a ( a ? 0 )与 b 共线, 则当且仅当有唯一一个实数 ?,使 b ? ? a 。 ①问学习数学是记住定理然后去套吗? 答:不是记住定理去套,而是要深刻理解定理的本质。如果是去套,一般考个高职或专 科。 二、1、我们知道①、④得到上面的定理。下面我们这样子: 对于①,我们把这种关系转化为两向量坐标有什么关系。
? ? ? ? ? ? ? x2 ? ?x1 a ? ( x1 , y1 ) ? 0 , b ? ( x2 , y2 ) ? 0 , b ? ? a , ? ? 0 ,则 ? , ? y2 ? ?y1 ? ? ? ?
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所以消去 ? ,得: x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ,因为 ? ? 0 ,所以还可以表示成:

x1 y1 x x x y y y ? 或 1 ? 2 或 2 ? 2 或 1 ? 2 。注:这里先假定各分母 ? 0。因为虽然 x2 y2 y1 y2 x1 y1 x1 x2

? ? 0 但分母还是有可能=0。 x1,y1,x2,y2 都可以当分母,但至多两个分母=0。
2、问②、③、④还满足上述关系吗? 答:①、②、③、④都满足 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ,但不一定满足

x1 y1 x x x y y y ? 或 1 ? 2 或 2 ? 2 或 1 ? 2 。 x1,y1,x2,y2 都可以当分母,但至少两 x2 y2 y1 y2 x1 y1 x1 x2

个分母=0。 3、问学习数学是记住结论然后去套吗? 答:不是记住结论然后去套,而是要深刻理解结论的本质。如果是去套,一般考个高职 或专科。 4、定比分点公式要告诉学生高考是考过程不是考结果。

平面向量数量积的物理背景及其含义
零、向量的数量积是规定,既然是规定那就说明世界上本来没有这个东西,为什么要固 定那就是让向量威力更强大。 一、问向量的数量积或内积为什么定义为 ?定义是随便定义的吗?难

道是定义起来很随便?还是随便起来不定义?参照网络名句改编: 我不是随便的人, 我随便 起来不是人。 答:数学上的一个定义不会来自空中楼阁,而是有坚实的现实基础,比如这个定义就是 物理中功的原型。 在语文写作中, 作者在构思一个人物形象时都可以在现实生活中找到原型。 可以问你们的语文老师。比如钱钟书的〈 〈围城〉 〉里面的人物,贾平凹的〈 〈废都〉 〉里人物。 二、1、同学们还记得直线或线段在一个平面内的投影吗?它是什么?线段的长度有什 么改变? 答:画一个平面和一条直线或线段,投影是条平面内的直线或线段。

b' ? b cos? ,0? ? ? ? 90?
2、在一个平面内一条线段在一条直线上的投影是怎样子的?线段的长度有什么改变? 答:投影还是线段,长度 b' ? b cos? ,0? ? ? ? 90? 3、那向量在另一个向量上的投影是怎么回事? 答:线段只有大小没有方向,所以投影肯定是正的,但向量是即有大小又有方向,所以 大小、方向都有投影。那如何表示方向的投影?所以向量的投影是可正可负的,请同学们看 看向量投影的定义。 三、向量数量积的三种特殊情况或性质。 如果你觉得理解起来抽象,该怎办? 答:用两个具体的向量来代入一下,这两个具体向量可以取例 1,再加画图来理解。 四、向量数量积的三条运算律哪几条可以利用定义来证明,很快的。哪一条用定义证明 不行?同学们用定义证明是什么感觉?是不是觉得是天马行空找不到一个坚实的支撑点, 空 荡荡的?这就是抽象运算。 五、于向量数量积的运算律,因为是实数满足交换律、结合律,加绝对值的性质,再根 据定义,所以向量数量积也满足交换律、结合律。对于证明满足结合律比交换律要难许多。 其实在证明结合律的时候取拉姆达=2,-2,具体值反而容易理解。 六、我们讲过世界是和谐的,虽然无奇不有,今天就是讲讲无奇不有。即三个向量的内积不 ? ? ? ? ? ? 满足结合律,即 (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ,用具体例子来验证。还有不满足消去律即
? ?

a? c ? b? c ? a ? b,

? ?

?

?

×。

七、讲向量数量积的运算时我们要说明因为向量与实数一样满足交换律、结合律、分配 律,所以在形式上一样,本质上不一样。比如向量的和平方公式、平方差公式。但有些东西 是形式不一样,本质一样。比如上论坛有句话,你换了马甲我就不认识你了。

对于因为向量因有运算律,所以不必每一步都根据向量数量积的定义。 对于例 4 一种是教材代数解法,但如果一题多解,还有种几何解法。我两种都涉及。但在讲几何 解法的时候,一些学生听不懂。所以几何解法我们用来验证。可这两种解法可以比较优劣。 代数解法不知道本质, 几何解法可以看出事物的本质。 代数解法是垂直但不知道为什么垂直, 几何解法却可以知道垂直为什么是垂直。

平面向量数量积的反思 1
1、学了平面向量的数量积到底有什么用,举两例。 ①、 在直角坐标系内给定已知三个点坐标请判断这三个点构成哪种三角形?各内角是多 少? ②、 在平面直角坐标系内给定已知的四个点坐标请判断四点构成什么四边形?内角是多 少?或则已知是平行四边形也已知三点坐标求第四点坐标。

平面向量数量积的反思 2
1、引入向量的数量积后一个现象就是对一些概念、性质变过来变过去,也是在做循环 游戏,在绕口令。绕口令的结果就是晕头转向脑子里一笔糊涂账。所以上到这里适合停顿休 息。

平面向量数量积的反思 3
这节课是校对习题 2.4。学生疑问学了向量有什么用。因为发明一种新方法是为了把复 杂问题简单化,如果把简单问题复杂化那说明这新方法是不好的。但这里比如 B 组第三题、 第五题你用传统解法和新向量解法学生比较不出来到底有没有把复杂问题简单化。 我只能说 明在高中阶段看不出来,到大学里可以看出来。虽然后面一节是向量应用,还有证明两角差 的余弦公式用向量方法。

2.5.1《平面几何中的向量方法》
一、这节课我们主要讲讲向量解法与几何解法有什么各自优劣? 向量概念和运算,都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后,向 量的运算就可以完全转化为“代数”的计算,这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大 的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景, 平面几何的许多性质, 如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。 二、例 1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和。 解法 1:几何解法。注:过顶点向对边做垂线。 解法 2:向量解法 例2、 如图,平行四边形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AD 、 DC 边的中点,BE 、 BF 分别与 AC 交于 R 、 T 两点,你能发现 AR 、 RT 、TC 之间的关系吗? 解法 1:几何解法。取对角线中点 O,连 OE、OF。 解法 2:向量解法。 三、各自优劣 1、代数解法不知道本质,几何解法可以看出事物的本质。代数解法是垂直但不知道为

什么垂直,几何解法却可以知道垂直为什么是垂直。代数解法(或向量解法)好象是天马行 空找不到一个坚实的支撑点,空荡荡的?这就是抽象运算。请问为什么? 答: 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何的许多性质,如 平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,但在运算的时 候,几何意义我们没有注意到已经被隐藏起来了。 2、解题就是思维的发生、发展过程,我们还要知道思维为什么这样发生为什么这样发 展。 对于几何法一般因为技巧性很高, 所以思维的发生、 发展比较难。 向量法有统一的模式, 比如⑴建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转 化为向量问题; ⑵通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; ⑶把运算结果“翻译”成几何元素。 所以向量法的思维发生发展比较容易,但就是运算量大。 所以向量运算表面上代数运算, 本质上是几何运算既几何证明。 但同学们发现没有向量 的威力很大,所以向量是一只披着羊皮的狼。向量解决问题有一套统一的模式和程序,技巧 性不是很高,有时候就是觉得运算量比较大。这是因为向量把几何证明转化为代数运算。但 几何证明技巧性比较高。

同学们,向量这一章为什么这么难?
在办公室里许多同学问我有关向量的问题, 这说明向量这一章有点难。 下面分析为什么 有点难。 一、为什么要研究向量? 首先我解释下定义、性质、公理、定理有什么区别。 定义是在世界中有许多事物非常重要, 于是我们专门给它个名称。 比如三角形、 圆等等。 性质是这个事物因为很重要,所以我们研究它,看看有什么规律。 公理是公认正确的是显而易见的非常直白的事实, 是不证自明的事实。 比如整体大于部 分。 定理是对于平面几何第一个定理是根据公理推导出第一个定理, 接下去是根据公理、 定 理推导出新的定理 同学们可以分别百度百科:定义 性质 公理 定理。 因为世界中有个东西很重要比如三角形, 于是我们给这个东西专门一个名称, 然后研究 它的性质, 但同学们三角形我们是看得见摸的着的, 所以三角形是很具体、 直观的, 越具体、 直观的东西越简单,所以三角形很简单。 加速度、 速度能不能看的见摸的着?现实中有没有一个东西是加速度、 速度?所以加速 度、 速度比三角形要抽象, 越抽象的东西越难。 所以学习加速度、 速度要比学习三角形要难。 现实中有没有向量?没有向量。我们把加速度、速度再抽象出来得到向量研究它,因为 这个东西很重要。所以向量又比加速度、速度抽象。 二、向量这一章为什么难? 我们为什么要研究向量?因为向量这个东西很重要,但向量比加速度、速度抽象,加速 度、速度又比三角形抽象,越抽象的东西越难,所以我们学习向量很难。 既然向量这个东西很抽象很难, 如果我们要继续研究它的性质则是难上加难。 所以向量 这一章很难。

三溪中学学生学情分析
按传统把学生分成三类优等生、中等生、学困生。但每个学校的这三类底子又有不同。 我学校学困生教材对他来说是天书,看不懂。中等生看书一半懂一半不懂。优等生是可 以自己看书,但要老师帮助他知识形成网络。各等级占学生比例。一个班算 45 人,10 个是 学困生、10 个是优等生、25 个是中等生。 所以对于课外作业比如星期六的试卷发下 10 张就差不多了。学困生把书看懂就占据了 他大部分时间,中等生把书后的练习、习题、复习参考题做完也差不多没时间做课外。只有 10 来个优等生有剩余时间做点课外习题,但学校已经发下学海导航够他们做了。 我的建议,星期六不发试卷,没用。

3.1.1 两角差的余弦公式
一、问 cos(a-b)=cosa-cosb 吗?试举一例。 答:cos(60°-30°)≠cos60°-cos30° 心得:世界不会是你想象的这么简单,但世界也不是是你想象的这么复杂。把世界想象 的太简单,你会狂妄自大。把世界想象的太复杂,你会忧郁。 Cos(a-b)=cosacosb+sinasinb 二、我们发现代数解法(或向量解法)与几何解法有所优劣。代数解法不知道本质,几 何解法可以看出事物的本质。 代数解法是垂直但不知道为什么垂直, 几何解法却可以知道垂 直为什么是垂直。代数解法(或向量解法)好象是天马行空找不到一个坚实的支撑点,空荡 荡的?这就是抽象运算。代数解法(或向量解法)解出来了,都不知道为什么会解出来了。 因为几何意义被隐藏。向量加法、减法有几何意义。 向量的平行、相交、垂直也有几何意义。 所以向量运算也有几何意义。 但在运算的时候, 几何意义我们没有注意到已经被隐藏起来了。 所以向量运算表面上代数运算, 本质上是几何运算既几何证明。 但同学们发现没有向量 的威力很大,所以向量是一只披着羊皮的狼。向量解决问题有一套统一的模式和程序,技巧 性不是很高,有时候就是觉得运算量比较大。这是因为向量把几何证明转化为代数运算。但 几何证明技巧性比较高。 向量法有统一的模式,比如用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” : (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问 题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 ⑷、解题就是思维的发生、发展过程,我们还要知道思维为什么这样发生为什么这样 发展。 对于几何法一般因为技巧性很高,所以思维的发生、发展比较难。 三、探究例 1,注意一题多解、一题多变。 在求例 1,cos15°一题多解、一题多变时,最好把两角差和的正余弦公式讲掉,知识 形成网络。 四、 如何理解 ? ? 2k? ? ? ? ? ,? ? 2k? ? ? ? ? ,我们不考虑一般情形,我们用具 体的角带入验证下。

《对 P130 例 4、P131 练习 5、6 的分析》

一般情况下, 大多数人的思维总是朝着一个固定的思维方向思考问题, 很少有人朝相反 的方向思索,这种思维称为逆向思维。 历史上逆向思维的例子: 1、例如“司马光砸缸。 ”有人落水,常规的思维模式是“救人离水” ,而司马光面对紧 急险情,运用了逆向思维,果断地用石头把缸砸破, “让水离人” ,救了小伙伴性命 2、某时装店的经理不小心将一条高档呢裙烧了一个洞,其身价一落千丈。如果用织补 法补救,也只是蒙混过关,欺骗顾客。这位经理突发奇想,干脆在小洞的周围又挖了许多小 洞,并精于修饰,将其命名为“凤尾裙” 。一下子, “凤尾裙”销路顿开,该时装商店也出了 名。逆向思维带来了可观的经济效益。无跟袜的诞生与“凤尾裙”异曲同工。因为袜跟容易 破,一破就毁了一双袜子,商家运用逆向思维,试制成功无跟袜,创造了非常良好的商机。 3、我国古代有这样一个故事,一位母亲有两个儿子,大儿子开染布作坊,小儿子做雨 伞生意。每天,这位老母亲都愁眉苦脸,天下雨了怕大儿子染的布没法晒干;天晴了又怕小 儿子做的伞没有人买。一位邻居开导她,叫她反过来想:雨天,小儿子的伞生意做得红火; 晴天,大儿子染的布很快就能晒干。逆向思维使这位老母亲眉开眼笑,活力再现。 以上百度百科:逆向思维。

第三章三角恒等变换反思
一、即考过程又考结果的公式 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式。 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式。 二、不考结果考过程的公式 1、半角公式 2、积化和差、和差化积公式

我为什么把答案留给学生而不是交上来?
我对学生说东方文化与西方文化的不同是东方文化偏向于人之初性本善, 东方文化的构 建是从人之初性本善开始的, 西方文化的构建是从人之初性本恶开始的。 所以西方的法律规 定更多的限制人不能干什么而不是人能干什么。 因为人是坏的。 我当老师也坚持条原则就是 学生是善良的是要读书的但为什么作业不做,原因是不懂地方太多,他需要老师的帮助。每 个学生的父母送自己的子女到三溪中学读书都想自己的子女考上一个理想的大学。 有的老师当老师却是坚持人之初性本恶, 他认为如果让答案留给学生, 那学生就会抄作 业抄答案而自己不独立认真思考。 我是不这样认为的。我也告诉学生解题三层次:第一层次:不看答案也能做出来。第二 层次:看了答案才能做出来。第三层次:看了答案也做不出来。这第三层次才能问老师。

《3.2 简单的三角恒等变换》反思
这一节班级里最好的学生也只能做到复习参考题 A 组,B 组无力而做,我也放弃讲解。


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