高考数学应用问题的题型与方法

高三数学第二轮复习教案 第9讲 应用问题的题型与方法 (4 课时)
一、 考试内容
《2004 年普通高等学校招生全国统一考试数学科说明(理科、新课程版) 》中指出:数 学科的考试,按照“考查基础知识的同时,注重考查能力”的原则,测试中学数学基础知 识、基本技能、基本思想和方法,考查思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问 ..... 题的能力. ....

二、考试要求
“考试说明”对于“解决实际问题的能力”的界定是:能阅读、理解对问题进行陈述 的材料;能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括提炼、解决在相关学科、 生产、生活中的数学问题,并能用数学语言正确地加以表述.并且指出:对数学应用问题, ........ 要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度,切合中学数学教学实际. .................................... 应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解 决问题的能力,这个要求分解为三个要点: 1、要求考生关心国家大事,了解信息社会,讲究联系实际,重视数学在生产、生活及 科学中的应用,明确“数学有用,要用数学” ,并积累处理实际问题的经验. 2、考查理解语言的能力,要求考生能够从普通语言中捕捉信息,将普通语言转化为数 学语言,以数学语言为工具进行数学思维与交流. 3、考查建立数学模型的初步能力,并能运用“考试说明”所规定的数学知识和方法来 求解.

三、复习目标
数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 高 考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文 字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数 列,不等式,排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复课时引起 重视. 由于数学问题的广泛性,实际问题的复杂性,干扰因素的多元性,更由于实际问题的 专一性,这些都给学生能读懂题目提供的条件和要求,在陌生的情景中找出本质的内容, 转化为函数、方程、不等式、数列、排列、组合、概率、曲线、解三角形等问题.

四、双基透视
高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型, 另外,估测计算型和信息迁 移型也时有出现.当然,数学高考应用性问题关注当前国内外的政治,经济,文化, 紧扣时 代的主旋律,凸显了学科综合的特色.求解应用题的一般步骤是(四步法) : 1、读题:读懂和深刻理解,译为数学语言,找出主要关系;
1

2、建模:把主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题; 3、求解:化归为常规问题,选择合适的数学方法求解; 4、评价:对结果进行验证或评估,对错误加以调节,最后将结果应用于现实,作出解 释或验证. 在近几年高考中,经常涉及的数学模型,有以下一些类型:数列模型、函数模型、不等 式模型、三角模型、排列组合模型等等. Ⅰ.函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容,现实世界中普遍存在着的最 优化问题,常常可归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条 件,运用函数知识和方法去解决. ⑴ 根据题意,熟练地建立函数模型; ⑵ 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型. Ⅱ.几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题, 常常需要应用几何图形的性质,或用方程、不等式或用三角函数知识来求解. Ⅲ. 数列模型 在经济活动中, 诸如增长率、 降低率、 存款复利、 分期付款等与年 (月) 份有关的实际问题,大多可归结为数列问题,即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用 题时,是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关;二是看是否符合一定的规律,可 先从特殊的情形入手,再寻找一般的规律.

中学数学各个章节中有关应用问题的内容分别是: 1.函数:能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 2.不等式:掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的 定理,并会简单的应用. 3.平面向量:在立体几何与解析几何中的应用. 4.三角函数:理解函数 y=Asin(ωx+ψ)中 A、ω、ψ 的物理意义;掌握正弦定理、余弦 定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决解三角形的计算问题. 5.数列:能运用公式解决简单的问题. 6.直线和圆的方程:了解线性规划的意义,并会简单的应用. 7.圆锥曲线方程:了解圆锥曲线的初步应用. 8.直线、平面、简单几何体:平面及其基本性质,平面图形直观图的画法.平行直线, 对应边分别平行的角,异面直线所成的角,异面直线的公垂线,异面直线的距离.直线和平 面平行的判定与性质,直线和平面垂直的判定与性质,点到平面的距离,斜线在平面上的 射影,直线和平面所成的角,三垂线定理及其逆定理.平行平面的判定与性质,平行平面间 的距离,二面角及其平面角,两个平面垂直的判定与性质.多面体、棱柱、棱锥、正多面体、 球等各部分都有应用. 9.排列、组合、二项式定理: ⑴掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题; ⑵理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的问题. ⑶理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单 的应用问题. ⑷掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题.
2

这部分主要解决⑴不同类问题(可重复排列问题, 不可重复排列问题, 组合问题)的辩析; ⑵多类多步排列组合问题的解决方法,主要是两个特元以上的特元法或特位法、排除法的 应用. 10.概率: ⑴了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义; ⑵了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件 的概率; ⑶了解互斥事件相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件 的概率乘法公式计算一些事件的概率; ⑷会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率. 11.概率与统计: ⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义,会求出某些简单的离散型随机变量的分布 列; ⑵了解离散型随机变量的期望值、方差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出 期望值、方差; ⑶会用抽机抽样,系统抽样,分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本; ⑷会用样本频率分布去估计总体分布; ⑸了解正态分布的意义及主要性质; ⑹了解假设检验的基本思想; ⑺会根据样本的特征数估计总体; ⑻了解线性回归的方法. 12.极限、导数、复数:了解导数概念的某些实际背影(如瞬时速度、加速度、光滑 曲线切线的斜率等) ,掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;

五、注意事项
对应用题,要求能阅读、理解陈述的材料,能结合应用所学数学知识、思想方法解决 问题,包括解决带有实际意义的或者相关学科、生产、生活中的数学问题.并能用数学语言 正确的加以表述.考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上.实际问题转 化为数学问题,关键是提高阅读能力即数学审题能力,审出函数、方程、不等式、等式, 要求我们读懂材料,辨析文字叙述所反应的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质, 抽象其中的数量关系,将文字语言叙述转译成数学式符号语言,建立对应的数学模型解答. 可以说,解答一个应用题重点要过三关:一是事理关,即读懂题意,需要一定的阅读理解 能力;二是文理关,即把文字语言转化为数学的符号语言;三是数理关,即构建相应的数 学模型,构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力. 在解答应用问题中,最常见的是以上的几种模型,即:函数模型、不等式模型、数列 模型、三角模型.此外,其它的几种应用问题模型有:与排列组合有关的应用问题,特征比 较明显,属于排列组合模型,解答时一定要分清楚是分类还是分步,是排列还是组合,是 否有重复和遗漏;与光学、力学、轨迹等有关方面的应用问题,可通过建立适当的坐标系, 运用曲线的知识来建立数学模型来解答,且曲线研究主要是二次曲线,所以可称之为二次 曲线模型.

六、范例分析
3

例 1. (1996 年全国高考题)某地现有耕地 10000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现有增加 22%,人均粮食产量比现在提高 10%,如果人口年增长率为 1%,那么耕地每年至多只能 减少多少公顷(精确到 1 公顷)? (粮食单产=

总产量 耕地面积



人均粮食产量=

总产量 ) 总人口数

分析:此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景,给出两组数据,要求考生从两 条线索抽象数列模型,然后进行比较与决策. 解:1.读题:问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率, 其中人均粮食占有量 P=

粮食单产×耕地面积 , 主要关系是:P 实际 ≥P 规划 . 总人口数

2.建模:设耕地面积平均每年至多减少 x 公顷,现在粮食单产为 a 吨/公顷,现在人口

a×10 4 10 数为 m, 则现在占有量为 , 年后粮食单产为 a(1+0.22), 10 人口数为 m(1+0.01) , m
耕地面积为(10 -10x).
4

a (1 ? 0.22)(10 4 ? 10x ) a×10 4 ∴ ≥ (1+0.1) m m(1 ? 0.01)10
即 1.22(10 -10x)≥1.1×10 ×(1+0.01) 3.求解: x≤10 -
10

4

4

10

3

11 . 3 10 ×10 ×(1+0.01) 122 .
2 3

2 3 ∵ (1+0.01) =1+C 1 ×0.01+C 10 ×0.01 +C 10 ×0.01 +?≈1.1046 10
3

∴ x≤10 -995.9≈4(公顷) 4.评价:答案 x≤4 公顷符合控制耕地减少的国情,又验算无误,故可作答.(答略) 另解:1.读题:粮食总产量=单产×耕地面积; 粮食总占有量=人均占有量×总人口 数; 而主要关系是:粮食总产量≥粮食总占有量 2.建模:设耕地面积平均每年至多减少 x 公顷,现在粮食单产为 a 吨/公顷,现在人口 数为 m, 则现在占有量为

a×10 4 10 , 年后粮食单产为 a(1+0.22), 10 人口数为 m(1+0.01) , m

耕地面积为(10 -10x).
4

4

a×10 4 10 ∴ a(1+0.22)×(1O -10x)≥ ×(1+0.1)×m(1+0.01) m
4

3.求解: x≤10 -
10

3

11 . 3 10 ×10 ×(1+0.01) 122 .
2 3

2 3 ∵ (1+0.01) =1+C 1 ×0.01+C 10 ×0.01 +C 10 ×0.01 +?≈1.1046 10
3

∴ x≤10 -995.9≈4(公顷) 4.评价:答案 x≤4 公顷符合控制耕地减少的国情,又验算无误,故可作答.(答略) 说明:本题主要是抓住各量之间的关系,注重 3 个百分率.其中耕地面积为等差数列, 总人口数为等比数列模型, 问题用不等式模型求解.本题两种解法, 虽都是建立不等式模型, 但建立时所用的意义不同,这要求灵活掌握,还要求对指数函数、不等式、增长率、二项 式定理应用于近似计算等知识熟练.此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等 问题.此种题型属于不等式模型,也可以把它作为数列模型,相比之下,主要求解过程是建 立不等式模型后解出不等式. 在解答应用问题时,我们强调“评价”这一步不可少!它是解题者的自我调节,比如 本题求解过程中若令 1.01 ≈1,算得结果为 x≤98 公顷,自然会问:耕地减少这么多,符 合国家保持耕地的政策吗?于是进行调控,检查发现是错在 1.01 的近似计算上.
10 10

A 例 2.某校有教职员工 150 人,为了丰富教工的课余生活,每天 定时开放健身房和娱乐室.据调查统计,每次去健身房的人有 10%下次去娱乐室,而在娱乐室的人有 20%下次去健身房.请问, 随着时间的推移,去健身房的人数能否趋于稳定? 解: 引入字母,转化为递归数列模型. 设第 n 次去健身房的人数为 an,去娱乐室的人数为 bn,则 an ? bn ? 150. M C D B

? an ?

9 2 9 2 7 7 a n ?1 ? bn ?1 ? a n ?1 ? (150 ? a n ?1 ) ? a n ?1 ? 30即a n ? a n ?1 ? 30 . 10 10 10 10 10 10
7 7 (a n ?1 ? 100 ) ,于是 a n ? 100 ? (a1 ? 100 )( ) n ?1 10 10

? a n ? 100 ?



7 a n ? 100 ? ( ) n ?1 ? (a1 ? 100 ) . 10

? lim a n ? 100 .故随着时间的推移,去健身房的人数稳定在 100 人左右.
n ??

5

说明:上述解法中提炼的模型 an ? 已知数列 ?an ? 的项满足

7 an ?1 ? 30 , 使我们联想到了课本典型习题: 10

? a1 ? b, (其中 c ? 0, c ? 1) , ? ?a n ?1 ? can ? d
证明这个数列的通项公式是: a n ?

bcn ? (d ? b)c n?1 ? d . c ?1

这是一个重要的数列模型,用此模型可以解决许多实际应用题, 如 2002 年全国高考解 答题中的应用题(下文例 14)就属此类模型.

例 3. (1991 年上海高考题)已知某市 1990 年底人口为 100 万,人均住房面积为 5m ,如 果该市每年人口平均增长率为 2%,每年平均新建住房面积为 10 万 m ,试求到 2000 年底 该市人均住房面积(精确到 0.01)? 分析:城市每年人口数成等比数列,每年住房总面积成等比数列,分别写出 2000 年后 的人口数、住房总面积,从而计算人均住房面积. 解:1.读题:主要关系:人均住房面积=
2

2

总住房面积 总人口数

2.建模:2000 年底人均住房面积为

100 ? 10 4 ? 5 ? 10 ? 10 4 ? 10 100 ? 10 4 ? (1 ? 2% )10

3.求解:化简上式=
10

6 , 10210 .
2
2

∵ 1.02 =1+C 10 ×0.02+C 10 ×0.02 +C 10 ×0.02 +?≈1.219 ∴ 人均住房面积为

1

3

3

6 ≈4.92 10210 .

4.评价:答案 4.92 符合城市实际情况,验算正确,所以到 2000 年底该市人均住房面积 为 4.92m . 说明:一般地,涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题,可通过观 察、分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列,然后用两个基础数列的知识进行解答.此 种题型属于应用问题中的数列模型.
2

6

例 4.如图,一载着重危病人的火车从 O 地出发,沿射线 OA 行驶,其中

1 , 在距离 O 地 5a(a 为正数)公里北偏东β 角的 N 处住有一位医学专家,其中 3 3 sinβ = , 现有 110 指挥部紧急征调离 O 地正东 p 公里的 B 处的救护车赶往 N 处载上医学 5 tg? ?
专家全速追赶乘有重危病人的火车,并在 C 处相遇,经测算当两车行驶的路线与 OB 围成 的三角形 OBC 面积 S 最小时,抢救最及时. (1)求 S 关于 p 的函数关系; (2)当 p 为何值时,抢救最及时.
解: (1)以 O 为原点,正北方向为 y 轴建立直角坐标系, 则 lOA : y ? 3x 设 N(x0,y0) ? x0? ,

5n as i

? a ? 3

y0 ? 5a cos ? ? 4a

? N (3a, 4a)
4a ( x ? p) 3a ? p

又 B(p,0) ,∴直线 BC 的方程为: y ?

? y ? 3x 由? 得 C 的纵坐标 4a ? y? ( x ? p) ? 3a ? p ?

yc ?

12ap 5 1 6ap2 5 ( p ? a) ,∴ S ? ? | OB | ? | yc |? , ( p ? a) 3 p ? 5a 3 2 3 p ? 5a 3
S?
2 6ap2 2ap2 5 ∴ S ? 2a[t ? 25a ? 10a ] ? 40 a 2 ,∴当且 ? , 令t ? p ? a(t ? 0) 9t 3 3 5 3 p ? 5a 3 p? a 3

(2)由(1)得

仅当 t ?

25a 2 5a 10 a 时,上式取等号,∴当 10 公里时,抢救最及时. , 即t ? , 此时 p ? p? a 3 3 3 9t

例 5.通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的变化而 变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态, 随后学生的注意力开始分散,设 f(t)表示学生注意力随时间 t(分钟)的变化规律(f(t)越大, 表明学生注意力越集中) ,经过实验分析得知:

?? t 2 ? 24t ? 100(0 ? t ? 10) ? f (t ) ? ? 240 (10 ? t ? 20) ? ? 7t ? 380(20 ? t ? 40) ?
(1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟? (2)讲课开始后 5 分钟与讲课开始后 25 分钟比较,何时学生的注意力更集中? (3)一道数学难题,需要讲解 24 分钟,并且要求学生的注意力至少达到 180,那么经
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过适当安排,老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目? 解: (1)当 0 ? t ? 10时 , f (t ) ? ?t 2 ? 24t ? 100 ? ?(t ? 12) 2 ? 244是增函数,且

f (10) ? 240; 当20 ? t ? 40时 , f (t ) ? 7t ? 380 是减函数,且 f (20) ? 240.所以,讲
课开始 10 分钟,学生的注意力最集中,能持续 10 分钟. (2) f (5) ? 195 f (25) ? 205,故讲课开始 25 分钟时,学生的注意力比讲课开始后 5 , 分钟更集中. 当 0 ? t ? 10 时, f (t ) ? ?t 2 ? 24t ? 100 ? 180 则t ? 4 ;当 20 ? t ? 40 , , (3)令 f (t ) ? ?7t 2 ? 38? ? 18? , 则t ? 28.57 ,则学生注意力在 180 以上所持续的时间 28.57-4=24.57>24,所以,经过适当安排,老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完 这道题. 例 6. (1997 年全国高考题)甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不 得超过 c 千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组 成:可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元. ① 把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出函数的定义域; ② 为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 分析:几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联,抽象出其中的函数关系, 并求函数的最小值. 解: (读题)由主要关系:运输总成本=每小时运输成本×时间, (建模)有 y=(a+bv )
2

S v

(解题)所以全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数关系式是:

a +bv),其中函数的定义域是 v∈(0,c] . v a a b 整理函数有 y=S( +bv)=S(v+ ), v v k 由函数 y=x+ (k>0)的单调性而得: x
y=S( 当

a a <c 时,则 v= 时,y 取最小值; b b a ≥c 时,则 v=c 时,y 取最小值. b
8



综上所述, 为使全程成本 y 最小, 当

a a a <c 时, 行驶速度应为 v= ; 当 ≥c 时, b b b

行驶速度应为 v=c. 说明:1.对于实际应用问题,可以通过建立目标函数,然后运用解(证)不等式的方法 求出函数的最大值或最小值,其中要特别注意蕴涵的制约关系,如本题中速度 v 的范围, 一旦忽视,将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型,也可属于不等式模型. 2.二次函数、指数函数以及函数 y ? ax ? 3.要能熟练地处理分段函数问题.

b (a>0,b>0)的性质要熟练掌握. x

例 7.某铁路指挥部接到预报,24 小时后将有一场超历史记录的大暴雨,为确保万无一失, 指挥部决定在 24 小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程.经测算, 其 工程量除现有施工人员连续奋战外,还需要 20 辆翻斗车同时作业 24 小时.但是,除了有一 辆车可以立即投入施工外,其余车辆需要从各处紧急抽调,每隔 20 分钟有一辆车到达并投 入施工,而指挥部最多可组织 25 辆车.问 24 小时内能否完成防洪堤坝工程?并说明理由. 解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型. 由 20 辆车同时工作 24 小时可完成全部工程可知,每辆车,每小时的工作效率为

1 , 480

设从第一辆车投入施工算起,各车的工作时间为 a1,a2,?, a25 小时,依题意它们组成公 差 d ? ? 1 (小时)的等差数列,且
3

a1 ? 24, 则有

a a1 a 1 192 . ? 2 ? ? ? 25 ? 1,即 (a1 ? a 25 ) ? 25 ? 480 ,化简可得 2a1 ? 8 ? 5 480 480 480 2
5

解得 a1 ? 23 1 ,由于 23 1 ? 24 .
5

可见 a1 的工作时间可以满足要求,即工程可以在 24 小时内完成. 说明:对照此题与 2002 年全国高考文科数学解答题中的应用题, 一定会感觉二者的解 法是大同小异的. 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具, 这 要求不断的联想, 力求寻找恰当的解题方案. 例 8.在一很大的湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船,由于缆绳突然断开,小船被 风刮跑,其方向与湖岸成 15°角,速度为 2.5km/h,同时岸边有一人,从同一地点开始追 赶小船, 已知他在岸上跑的速度为 4km/h, 在水中游的速度为 2km/h., 问此人能否追上小船. 若小船速度改变,则小船能被人追上的最大速度是多少?
9

解: 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立数学模型. 设船速为 v,显然 v ? 4km / h 时人是不可能追上小船,当 0 ? v ? 2 km/h 时,人不必在岸 上跑,而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船,因此只要考虑 2 ? v ? 4 的情况, 由于人在水中游的速度小于船的速度,人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶,当人沿岸 跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时,人才能追上 小船.设船速为 v,人追上船所用 时间为 t,人在岸上跑的时间为 kt (0 ? k ? 1) ,则人在水中游的时间 为 (1 ? k)t ,人要追上小船,则人船运动的路线满足如图所示的三角形. B

? OA |? 4kt, | AB |? 2(1 ? k )t , | OB | vt, 由余弦是理得 |
| AB |2 ?| OA |2 ? | OB |2 ?2 | OA | ? | OB | ? cos15?
O 即 4(1 ? k ) 2 t 2 ? (4kt) 2 ? (vt) 2 ? 2.4kt ? vt ? 6 ? 2 4 整理得 12k 2 ? [2( 6 ? 2 )v ? 8]k ? v 2 ? 4 ? 0 .
2 要使上式在(0,1)范围内有实数解,则有 0 ? v ? 4 ? 1 且

vt

2(1-k)t

15° 4kt

A

12

? ? [2( 6 ? 2 )v ? 8] ? 4 ?12 ? (v ? 4) ? 0
2 2

解得 2 ? v ? 2 2 , 即v max ? 2 2km / h . 故当船速在 (2,2 2 ] 内时,人船运动路线可物成三角形,即人能追上小船,船能使人追 上的最大速度为 2 2km/ h ,由此可见当船速为 2.5km/h 时, 人可以追上小船. 例 9. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类 20)) 在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏 南 ? (? ? arccos

2 ) 方向 300km 的海面 P 处, 并以 20km/h 的速度向西偏北 45°方向移动. 10

台风侵袭的范围为圆形区域, 当前半径为 60km, 并以 10km/h 的速度不断增大. 问几小时后 该城市开始受到台风的侵袭?
解:如图建立坐标系以 O 为原点,正东方向为 x 轴正向. 在时刻: (1)台风中心 P( x,

y )的坐标为

10

? 2 2 ? 20 ? t, ? x ? 300? ? 10 2 ? ? y ? ?300? 7 2 ? 20 ? 2 t. ? 10 2 ?

此时台风侵袭的区域是 ( x ? x) 2 ? ( y ? y) ? [r (t )]2 , 其中 r (t )

? 10t ? 60, 若在 t 时刻城市 O 受到台风

的侵袭,则有

(0 ? x) 2 ? (0 ? y) 2 ? (10t ? 60) 2 .
即 (300?

2 2 2 7 2 2 2 ? 20 ? t ) ? (?300? ? 20 ? t) 10 2 10 2

? (10t ? 60) 2 ,即t 2 ? 36t ? 288 ? 0, 解得 ? t ? 24 12
答:12 小时后该城市开始受到台风的侵袭.

例 10.已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表,若用甲、乙、丙三种 食物各 x 千克,y 千克,z 千克配成 100 千克混合食物,并使混合食物内至少含有 56000 单 位维生素 A 和 63000 单位维生素 B. 甲 维生素 A(单位/千克) 维生素 B(单位/千克) 成本(元/千克) (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; (2)确定 x,y,z 的值,使成本最低. 解:(1)依题意得 c ? 11x ? 9 y ? 4 z, 又x ? y ? z ? 100 600 800 11 乙 700 400 9 丙 400 500 4

600x ? 700y ? 400z ? 56000 , (2)由 800x ? 400y ? 500z ? 63000 及z ? 100 ? x ? y , 得

? 4 ? ?3xx ? 6 y?? 320, y 130
?

? c ? 400? 7 x ? 5 y .

? 7 x ? 5 y ? 450. ? c ? 4 0 0 7 x ? 5 y ? 4 0 0 4 5 0 8 5 ,0 ? ? ?

4x ? 当且仅当 3x ? 6 y ? 320,即 x ? 50 时等号成立., y ? 130 y ? 20
11

?

∴当 x=50 千克,y=20 千克,z=30 千克时,混合物成本最低为 850 元. 说明:线性规划是高中数学的新增内容, 涉及此类问题的求解还可利用图解法. 例 11. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷文史类 19) ) 有三个新兴城镇,分别位于 A,B,C 三点处,且 AB=AC=13km,BC=10km.今计划合 建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在 BC 的垂直平分线上的 P 点处, (建立坐标系 如图) (Ⅰ)若希望点 P 到三镇距离的平方和为最小, 点 P 应位于何处? (Ⅱ)若希望点 P 到三镇的最远距离为最小, 点 P 应位于何处?
分析:本小题主要考查函数,不等式等基本知识,考查运 用数学知识分析问题和解决问题的能力. (Ⅰ)解:设 P 的坐标为(0, 的平方和为

y ) P 至三镇距离 ,则

f ( y) ? 2(25 ? y 2 ) ? (12 ? y) 2 ? 3( y ? 4) 2 ? 146.
所以,当

y ? 4 时,函数 f ( y ) 取得最小值.

答:点 P 的坐标是 (0,4).

(Ⅱ)解法一:P 至三镇的最远距离为 g ( x) ? ? ?

? 25 ? y 2 , 当 25 ? y 2 ?| 12 ? y |, ?| 12 ? y |, 当 25 ? y 2 ?| 12 ? y | . ?



25 ? y 2 ?| 12 ? y | 解得 y ?

119 119 , 记 y* ? , 于是 24 24

? 25 ? y 2 , 当y ? y * , * * ? 因为 25 ? y 2 在[ y ,??) 上是增函数, | 12 ? y | 在(-?, y ] 而 g ( x) ? ? * ?| 12 ? y |, 当y ? y . ?
上是减函数. 所以

y ? y * 时,函数 g ( y ) 取得最小值.

答:点 P 的坐标是 (0,

119 ); 24

解法二:P 至三镇的最远距离为 g ( x) ? ? ?

? 25 ? y 2 , 当 25 ? y 2 ?| 12 ? y |, ?| 12 ? y |, 当 25 ? y 2 ?| 12 ? y | . ?



25 ? y 2 ?| 12 ? y | 解得 y ?

119 119 , 记 y* ? , 于是 24 24

? 25 ? y 2 , 当y ? y * , ? g ( x) ? ? ?| 12 ? y |, 当y ? y * . ?
函数 x

? g ( y ) 的图象如图 (a ) ,因此,
12

当 y ? y * 时,函数 g ( y ) 取得最小值.答:点 P 的坐标是 (0,

119 ); 24

解法三:因为在△ABC 中,AB=AC=13,且, AC 2 ? OC 2 ? 12 ? 5 ? OC , ?ACB ? ? , 如图(b). 4 所以△ABC 的外心 M 在线段 AO 上,其坐标为 (0,

119 ), 24

且 AM=BM=CM. 当 P 在射线 MA 上,记 P 为 P1;当 P 在射线 MA 的反向延长线上,记 P 为 P2, 这时 P 到 A、B、C 三点的最远距离为 P1C 和 P2A,且 P1C≥MC,P2A≥MA,所以点 P 与外心 M 重合时,P 到三镇的最远距离最小. 答:点 P 的坐标是 (0,

119 ); 24

例 12.据气象台预报,在 A 市正东方向 300 公里的 B 处有一台风中心形成,并以每小时 40 公里的速度向西北方向移动,距离台风中心 250 公里内的地方都要受其影响。问:从现在 起,大约多长时间后,台风将影响 A 市,持续时间有多长? 分析:台风中心在运动,它的运动规律是什么?我们可以建立一个直角坐标系来研究 这一规律。视 A 市为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系 XOY,则 B 处的坐标(300,0) , 圆 A 的方程为 x2+y2=2502,易知当台风中心在圆 A 上或内部时,台风将影响 A 市。 解:建立如图所示的直角坐标系,台风中心运动的轨迹是一条射线,由于台风中心以 每小时 40 公里的速度向西北方向移动,于是可设台风中心所在的射线的参数方程为: x=300+40tcos135o y=40tsin135o (t≥0) 即 x=300-20 2 t y=20 2 t (t≥0)

其中,参数 t 的物理意义是时间(小时) ,于是问题转化为“当时间 t 在何范围时,台 风中心在圆 A 的内部或边界上” 。 台风中心 C(300-20 2 t,20 2 t)在圆 A 上或内部的充要条件是: (300-20 2 t)2+(20 2 t )2≤2502 ,解得 1.9≤t≤8.6 所以大约 2 小时后,A 市将受到台风影响,并持续 6.5 小时左右。
13

说明:这个解析几何模型对于研究台风、寒流、沙暴中心的运动规律,指导和预防自 然灾害的影响具有现实意义。

例 13.随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员 2 a 人 (140< 2 a <420,且 a 为偶数) ,每人每年可创利 b 万元.据评估,在经营条件不变的前提下, 每裁员 1 人, 则留岗职员每人每年多创利 0.01b 万元, 但公司需付下岗职员每人每年 0.4b 万 ... .... 元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的 益,该公司应裁员多少人? 解:设裁员 x 人,可获得的经济效益为 y 万元,则

3 ,为获得最大的经济效 4

y ? (2a ? x)(b ? 0.01bx) ? 0.4bx
b [ x 2 ? 2(a ? 70) x] ? 2ab 100 3 a 依题意 2a ? x ≥ ? 2a , ∴0< x ≤ . 4 2 又 140< 2 a <420, 70< a <210. a (1)当 0< a ? 70 ≤ ,即 70< a ≤140 时, x ? a ? 70 , y 取到最大值; 2 a a (2)当 a ? 70 > ,即 140< a <210 时, x ? , y 取到最大值; 2 2
=? 综上所述,当 70< a ≤140 时,应裁员 a ? 70 人;当 140< a <210 时,应裁员

a 人. 2

说明:在多字母的数学问题当中,分类求解时需要搞清:为什么分类?对谁分类?如 何分类? 例 14. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷理工农医类 20) ) A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A 队队员是 A1,A2,A3,B 队队员是 B1,B2,B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负概率如下: 对阵队员 A 1 对 B1 A 2 对 B2 A 3 对 B3 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率

2 3 2 5 2 5

1 3 3 5 3 5
14

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队、B 队最后所得总分 分别为ξ 、η (1)求ξ 、η 的概率分布; (2)求 Eξ ,Eη .
分析:本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际问题的能力. 解: (1)ξ 、η 的可能取值分别为 3,2,1,0.

P(? ? 3) ?
P(? ? 2) ?
P(? ? 1) ?

2 2 2 8 ? ? ? 3 5 5 75
2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75

2 3 3 1 2 3 1 3 2 2, ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 3 5 5 3 5 5 5

P(? ? 0) ?

1 3 3 3 ? ? ? 3 5 5 25
P(η =0)=P(ξ =3)=

根据题意知ξ +η =3,所以

P(η =2)=P(ξ =1)= (2) E?

2 5



P(η =3)=P(ξ =0)=

8 , 75 3 . 25

P(η =1)=P(ξ =2)=

28 75

? 3?

8 28 2 3 22 ; 因为ξ +η =3,所以 ? 2? ? 1? ? 0 ? ? 75 75 5 25 15

E? ? 3 ? E? ?

23 . 15

例 15.某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%,并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆, 那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 解:设 2001 年末汽车保有量为 b1 万辆,以后各年末汽车保有量依次为 b2 万辆, b3 万 辆,??,每年新增汽车 x 万辆,则

b1 ? 30 , bn?1 ? 0.94bn ? x
所以,当 n ? 2 时, bn ? 0.94bn?1 ? x ,两式相减得: bn?1 ? bn ? 0.94?bn ? bn?1 ? (1)显然,若 b2 ? b1 ? 0 ,则 bn?1 ? bn ? bn ? bn?1 ? ? ? 0 ,即 bn ? ? ? b1 ? 30 , 此时 x ? 30 ? 30 ? 0.94 ? 1.8. (2)若 b2 ? b1 ? 0 ,则数列 ?bn?1 ? bn ?为以 b2 ? b1 ? x ? 0.06b1 ? x ? 1.8 为首项,以

0.94 为公比的等比数列,所以, bn?1 ? bn ? 0.94n ? ?x ? 1.8? .
( i ) 若 b2 ? b1 ? 0 , 则 对 于 任 意 正 整 数 n , 均 有 bn?1 ? bn ? 0 , 所 以 ,
15

bn?1 ? bn ? ? ? b1 ? 30,此时, x ? 30 ? 30 ? 0.94 ? 1.8.
(ii)当 x ? 1.8万 时, b2 ? b1 ? 0 ,则对于任意正整数 n ,均有 bn?1 ? bn ? 0 ,所以,

bn?1 ? bn ? ? ? b1 ? 30 ,
由 bn?1 ? bn ? 0.94n ? ?x ? 1.8? ,得

bn ? ?bn ? bn ?1 ? ? ?bn?1 ? bn?2 ? ? ? ? ?b2 ? b1 ? ? b1 ?

?b2 ? b1 ??1 ? 0.94n?1 ?
1 ? 0.94

? 30

?x ? 1.8??1 ? 0.94n?1 ? ? 30 , ?
0.06
要使对于任意正整数 n ,均有 bn ? 60 恒成立,



?x ? 1.8??1 ? 0.94n?1 ? ? 30 ? 60
0.06
x?
上式恒成立的条件为: x ? ?

对于任意正整数 n 恒成立,解这个关于 x 的一元一次不等式 , 得

1.8 ? 1.8 , 1 ? 0.94 n

? 1.8 ? ,由于关于 n 的函数 ? 1.8 ? n ? 1 ? 0.94 ? 在n?N上的最小值

f ?n ? ?

1.8 ? 1.8 单调递减,所以, x ? 3.6 . 1 ? 0.94 n

说明:本题是 2002 年全国高考题,上面的解法不同于参考答案,其关键是化归为含参 数的不等式恒成立问题,其分离变量后又转化为函数的最值问题. 例 16. (2004 年普通高等学校春季招生考试数学试题 (北京卷理工 19) 某厂生产某种零件, ) 每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购 量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂 单价不能低于 51 元. (I)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元?

) (II)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P? f (x 的表达式;
(III)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购 1000 个,利 润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)
16

分析:本题主要考查函数的基本知识,考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力. 解: (I)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时,一次订购量为 x 0 个,则

6 ?1 05 x ?0 ? ?5 50 0 10 02 . 0
因此,当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元. (II)当 0 x 1 时, P 6 ?? 0 0 ?0

? ?0 x 1 ) 2 00 ( 0 ? 当 1? 5时, P6 .2 ? 0 6? 0x 5 0 ?0
当 x 50 ? 5时, P 5 ?1

x 5 0

6 0 x? 0 ? 10 ?0 ? x ? 所以 P f( )? 6 ? ? x ?2 10 x? 5( ? ) 0 ? 50x N 5 0 ? 5 x? 5 50 ?1 ?
(III)设销售商的一次订购量为 x 个时,工厂获得的利润为 L 元,则

2 0 ?? 0 0 ?x 0x 1 ? 2 L( ? ) ? ? 4x ? P0 x 2? 2 x 1 ?? 0 ? 0 x 5( N 0 0x ) ? 5 0 ?
当 x 50 ? 0时, L 6 0 x 1 0 L1 0 ?0 ;当 ?0 时, ? 0 0 0 10 因此,当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是 6000 元; 如果订购 1000 个,利润是 11000 元.

例 17.有一个受到污染的湖泊,其湖水的容积为 V 立方米,每天流出湖泊的水量都是 r 立 方米,现假设下雨和蒸发正好平衡,且污染物质与湖水能很好地混合,用 g(t)表示某一时刻 t 每立方米湖水所含污染物质的克数,我们称为在时刻 t 时的湖水污染质量分数,已知目前 污染源以每天 p 克的污染物质污染湖水,湖水污染质量分数满足关系式
r

? t p p v g(t)= +[g(0)] ·e (p≥0),其中,g(0)是湖水污染的初始质量分数. r r

(1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染的初始质量分数;

(2)求证:当 g(0)<

p 时,湖泊的污染程度将越来越严重; r

17

(3)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染停止,那么需要经过多少天才能使 湖水的污染水平下降到开始时污染水平的 5%? 解(1)∵g(t)为常数, 有 g(0)(2) 我们易证得 0<t1<t2, 则
? t2 ? t1 p p g(t1)-g(t2)=[g(0)]e v -[g(0)]e v 1 r r r r

p p =0, ∴g(0)= . r r

r
r r

? t2 ? t1 p p (e v ? e v ) =[g(0)] [e v -e v 1 ]=[g(0)] , r ( t1 ? t2 ) r r ev

t2

r

t1

t2 t1 p ∵g(0)· <0,t1<t2,e v 1 >e v , r

r

r

∴g(t1)<g(t2) .

故湖水污染质量分数随时间变化而增加,污染越来越严重. (3)污染停止即 P=0,g(t)=g(0)·e 5%即 g(t)=5% g(0)? ∴
? t v 1 =e v ,∴t= ln20, r 20 r r ? t v

,设经过 t 天能使湖水污染下降到初始污染水平

故需要

v ln20 天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的 5%. r

七、强化训练
1. (1994 年全国高考)某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个) ,经 过 3 小时,这种细菌由 1 个可繁殖成 ( ) A. 511 个 B. 512 个 C. 1023 个 D. 1024 个 2. (1993 年全国高考)圆柱轴截面的周长 L 为定值,那么圆柱体积的最大值是( ) A. (

L 3 ) π 6

B.

1 L 3 ( ) π 9 2

C. (

L 3 ) π 4

D. 2(

L 3 ) π 4

3. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类)) 已知长方形的四个项点 A (0, , 0) B(2,0) ,C(2,1)和 D(0,1) ,一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为 ? 的方向 射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3 和 P4(入射解等于反
18

射角) ,设 P4 坐标为( x4 ,0), 若 ? x 4 ? 2, 则tan? 的取值范围是 1 A. ( ,1)





1 3

B. ( , )

1 2 3 3

C. ( , )

2 1 5 2

D. ( , )

2 2 5 3

4. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷文史类) )从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的 种植方法共有 ( ) A.24 种 B.18 种 C.12 种 D.6 种 5. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷文史类) )某班试用电子投票系统选举 班干部候选人.全班 k 名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为 1,2,?,k, 规定:同意按“1” ,不同意(含弃权)按“0” ,令

j号 . ?1, 第i号 同 学 同 意 第 同 学 当 选 a ij ? ? 第 . ?0, 第i号 同 学 不 同 意 j号 同 学 当 选
其中 i=1,2,?,k,且 j=1,2,?,k,则同时同意第 1,2 号同学当选的人数为( A. a11 ? a12 ? ? ? a1k ? a21 ? a22 ? ? ? a2k B. a11 ? a21 ? ? ? ak1 ? a12 ? a22 ? ? ? ak 2 C. a11a12 ? a21a22 ? ? ? ak1ak 2 D. a11a21 ? a12 a22 ? ? ? a1k a2k 6. (2004 年普通高等学校春季招生考试数学试题(北京卷理工) )两个完全相同的长方体的 长、宽、高分别为 5cm,4cm,3cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长 方体中,最长的对角线的长度是 ( ) A. )

77cm

B. 7 2cm

C. 5 5cm

D. 10 2cm

7. (2004 年普通高等学校春季招生考试数学试题(北京卷理工) )在 100 件产品中有 6 件次 品,现从中任取 3 件产品,至少有 1 件次品的不同取法的种数是 ( ) A. C6 C94
1 2

B. C6 C99

1

2

C. C00 ?C4 1 9
3 3

D. P00 ? P4 1 9
3 3

8. (2004 年普通高等学校春季招生考试数学试题(北京卷理工) )期中考试以后,班长算出 了全班 40 个人数学成绩的平均分为 M,如果把 M 当成一个同学的分数,与原来的 40 个 分数一起,算出这 41 个分数的平均值为 N,那么 M:N 为 ( ) A.

40 41

B. 1

C.

41 40

D. 2

9. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试 (北京卷文史类) 将长度为 1 的铁丝分成两段, ) 分别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应
19

为 . 10.(1982 年全国高考)如图,以墙为一边,用篱笆围成长方形的 场地,并用平行于一边的篱笆隔开,已知篱笆的总长为定值 L,这 块场地的长为_______时,场地面积最大,最大面积是_________. 11.2003 年普通高等学校招生全国统一考试 ( (天津卷理工农医类) ) 某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1200 辆,6000 辆和 2000 辆,为检验该公司 的产品质量.现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽 取 , , 辆. 12. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷 理工农医类) )某城市在中心广场建造一个花圃,花 圃分为 6 个部分 (如图).现要栽种 4 种不同颜色的花, 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不 同的栽种方法有 .(以数字作答) 13. (1993 年全国高考)在半径为 30m 的圆形广场中央上空,置一个照明光源,射向地面的 光呈圆锥形,且其轴截面顶角为 120°,若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为 _______.(精确到 0.1m) 14.(1986 年全国高考)甲、乙、丙、丁四个公司承包 8 项工程,甲公司承包 3 项,乙公司 承包 1 项,丙、丁公司各承包 2 项,共有_______种承包方式. 15. (2004 年普通高等学校春季招生考试数学试题(北京卷理工) )据某校环保小组调查, 某区垃圾量的年增长率为 b,2003 年产生的垃圾量为 a 吨.由此预测,该区下一年的垃圾量 为____________吨,2008 年的垃圾量为_________吨. 16. (2004 年上海市普通高校春季高考数学试卷) 根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化 。 规律,试猜测第 n 个图中有 个点.


(1)

。。。
(2)

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
(3) (4)

(5)

17. (2004 年上海市普通高校春季高考数学试卷) 一次二期课改经验交流会打算交流试点学 校的论文 5 篇和非试点学校的论文 3 篇.若任意排列交流次序, 则最先和最后交流的论文 都为试点学校的概率是__________(结果用分数表示). 18. (2004 年上海市普通高校春季高考数学试卷) 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第 _____行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 2 : 3 .
第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 ?? 1 1 1 1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1

5 10 10 5 1 ?? ??

20

19. (2004 年上海市普通高校春季高考数学试卷) 在等差数列 { a n } 中,当 a r ? a s ( r ? s ) 时, { a n } 必定是常数数列.然而在等比数列 { a n } 中,对某 些正整数 r 、 s ( r ? s ) ,当 a r ? a s 时,非常数数 列 { a n } 的一个例子是____________. 20. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试(理工农 医类))如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图 着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有 4 种颜 色可供选择, 则不同的着色方法共有 种. 以 ( 数字作答) 21. 某学校为了教职工的住房问题,计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为 A(m2)的宿舍 楼.已知土地的征用费为 2388 元/m2,且每层的建筑面积相同,土地的征用面积为第一层 的 2.5 倍.经工程技术人员核算,第一、二层的建筑费用相同都为 445 元/m2,以后每增高 一层,其建筑费用就增加 30 元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数,使总费用最少,并求 出其最少费用.(总费用为建筑费用和征地费用之和). 22.一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度 a 成正比,与它的厚度 d 的平方 成正比,与它的长度 l 的平方成反比. (1)将此枕木翻转 90°(即宽度变为了厚度) ,枕木的安全负荷变大吗?为什么? (2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为 R)的木材,用它来截取成长方形的枕木, 其长度即为枕木规定的长度,问如何截取,可使安全负荷最大? l

d a 23.为促进个人住房商品化的进程,我国 1999 年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商 业性贷款利率如下: 贷款期(年数) ?? 11 12 13 14 公积金贷款月利率(?) ?? 4.365 4.455 4.545 4.635 商业性贷款月利率(?) ?? 5.025 5.025 5.025 5.025
21

15 ??

4.725 ??

5.025 ??

汪先生家要购买一套商品房,计划贷款 25 万元,其中公积金贷款 10 万元,分十二年 还清;商业贷款 15 万元,分十五年还清.每种贷款分别按月等额还款,问: (1)汪先生家每月应还款多少元? (2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款,如果他想把余下的商业贷款也一次性还 清;那么他家在这个月的还款总数是多少? (参考数据:1.004455144=1.8966,1.005025144=2.0581,1.005025180=2.4651) 24.假设河的一条岸边为直线 MN,AC⊥MN 于 C,点 B、D 在 MN 上,现将货物从 A 地经陆地 AD 于水陆 BD 运往 B 地,已知 AC=10km,BC=30km,又陆地单位距离的运价是水陆单位 距离运价的 2 倍,为使运费最少,D 点应选在距 C 点多远处? 25.医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防,将病毒细胞注入一只小白 鼠体内进行实验,经检测,病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒 细胞在小白鼠体内的个数超过 108 的时候小白鼠将死亡.但注射某种药物,将可杀死其 体内该病毒细胞的 98%. 天数 t 病毒细胞总数 N (1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡, 1 1 第一次最迟应在何时注射该种药物?(精确到天) 2 2 (2)第二次最迟应在何时注射该种药物, 3 4 才能维持小白鼠的生命?(精确到天) 4 8 已知:lg2=0.3010. 5 16 6 32 7 64 ? ? 26.(2004 年上海市普通高校春季高考数学试卷 19) 某市 2003 年共有 1 万辆燃油型公交车.有关部门计划于 2004 年投入 128 辆电力型公交 车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50%,试问: (1) 该市在 2010 年应该投入多少辆电力型公交车? (2) 到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的

1 ? 3

27.某人上午 7 时乘摩托艇以匀速 V 千米/小时(4≤V≤20)从 A 港出发前往 50 千米处的 B 港,然后乘汽车以匀速 W 千米/小时(30≤W≤100)自 B 港向 300 千米处的 C 市驶 去,在同一天的 16 时至 21 时到达 C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是 x 小时、 y 小时,若所需经费 p ? 100 ? 3(5 ? x) ? 2(8 ? y) 元,那么 V、W 分别为多少时,所 需经费最少?并求出这时所花的经费.
22

28.A、B 两个批发市场,商品批发价格相同,但在某地区的居民从两地运回商品时,每单 位距离的运费不同,A 地的运费是 B 地的两倍,已知 A、B 两地相距 100 公里。问:A、 B 两批发市场售货区域分界线设在何处对居民进货有利?

八、参考答案
1-5 BACBC; 6-8 CCB 9.

4 ? ?4

2.解:V=π r

2

l ? 4r l 2 =π r ( -2r)≤π ( 2 2

r?r?

l ? 2r 2 3 ) 3

l?x 1 l 2 l l2 10.解:设长 x,面积 S=x× ≤ ( ) ,答案:长为 ,最大面积 ; 3 3 2 2 12
11. 6,30,10; 12. 120; 分析与解: 在解本题时, 需要利用分类计数原理和分步计数原理, 对 6 个部分逐个讨论: (1)先种标号为 1 的部分,共 4 种不同的种法; (2)栽种标号为 2 、3、5 的部分,
2 ①若 5 与 2 或 3 同色,则对于标号为 2、3、5 的部分有 A3 种不

图1 同的栽种方法,如果 5 与 2 同色,则 4 有 1 种栽种的方法,6 有 2 种 不同的栽种方法;如果 5 与 3 同色,则 4 有 2 种不同的栽种的方法,6 有 1 中栽种方法.
3 ②若 5 与 2 和 3 均不同色,则对于标号为 2、3、5 的部分有 A3 种不同的栽种方法,则

标号为 4 和 6 的部分分别有 1 种不同的栽种方法.
2 3 所以,共有 4 ?[ A3 ? (1? 2 ? 2 ?1) ? A3 ?1?1] ? 4 ? (24 ? 6) ? 120 种不同的栽种方法.

说明:本题考查了分类计数原理和分步计数原理、排列组合的有关知识以及运用数学知识 解决问题的能力,具有较高的难度,本题的得分率低于 0.1.其实这道题与下面的一道 题这样一道、绝大多数考生见过的原型的基础上改造而成的。 13. 由
3

30 =tg60°得 h=10 3 ≈17.3; h
1 2

14. C 8 C 5 C 4 =1680. 17. 14 ;
5

) 15. a(1?b ,
18. 34;

a(1? b)5 ;

16. n 2 ? n ? 1 ;

23

19.1, a , ? a , a , ? a , ? ( a ? 0) , r 与 s 同为奇数或偶数; 21.解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?

20.72;

设楼高为 n 层,总费用为 y 元,则征地面积为 2.5 A m 2 ,征地费用为 5970 A 元,楼层建筑
n

n

费用为 [445+445+(445+30)+(445+30×2)+?+445+30×(n-2)]·

A 30 ? (15 n ? ? 400 ) A n n

元,从而 5970 A 30 A 6000 y? ? 15nA ? ? 400 A ? (15n ? ? 400 ) A ? 1000 A (元) n n n 当且仅当 15n ? 6000 , n=20(层)时,总费用 y 最少.
n

故当这幢宿舍楼的楼高层数为 20 层时, 最少总费用为 1000A 元. 22.解:(1)安全负荷 y1 ? k ?
?

ad 2 da2 (k 为正常数) 翻转 90?后, y 2 ? k ? 2 l2 l

y1 d ? ,?当0 ? d ? a时, y1 ? y 2 ,安全负荷变大.?4 分当 0 ? a ? d时, y2 ? y1 ,安全负荷变 y2 a

小.
a (2)如图,设截取的宽为 a,高为 d,则 ( ) 2 ? d 2 ? R 2 ,即a 2 ? 4d 2 ? 4 R 2 . 2

∵枕木长度不变,∴u=ad2 最大时,安全负荷最大.
u ? d 2 a 2 ? d 2 4 R 2 ? 4d 2 ? 2 d 4 ( R 2 ? d 2 )

?d2 d2 ? ? ? (R 2 ? d 2 ) ? 2 2 ? d d 2 2 2 2 4 ? ? (R ? d ) ? 4 ? ? 2 2 3 ? ? ? ? ? ?

3

d2 4 3 3 6 , ? R 2 ? d 2 ,即取 d ? R ,当且仅当 R 2 9 3 取 a ? 2 R 2 ? d 2 ? 2 3 R 时,u 最大, 即安全负荷最大. 3 说明:三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解, 学过导数知识, 其解法就更 为方便, 省去了应用均值不等式时配凑“定和”或“定积”的技巧性.

?

23.解 设月利率为 r,每月还款数为 a 元,总贷款数为 A 元,还款期限为 n 月 第 1 月末欠款数 A(1+r)-a 第 2 月末欠款数 [A(1+r)-a](1+r)-a= A(1+r)2-a (1+r)-a
24

第 3 月末欠款数 [A(1+r)2-a (1+r)-a](1+r)-a =A(1+r)3-a (1+r)2-a(1+r)-a ?? 第 n 月末欠款数

A(1 ? r)n ? a(1 ? r)n?1 ? a(1 ? r)n?2 ? ? ? a(1 ? r) ? a ? 0 r 得: a ? A(1 ? r )n ? (1 ? r )n ? 1
对于 12 年期的 10 万元贷款,n=144,r=4.455?
144 ∴ a ? 100000? 1.004455 ?

0.004455 ? 942.37 1.004455144 ? 1 0.005025 ? 1268.22 1.005025180 ? 1

对于 15 年期的 15 万元贷款,n=180,r=5.025? ∴ a ? 150000 ? 1.005025180 ?

由此可知,汪先生家前 12 年每月还款 942.37+1268.22=2210.59 元,后 3 年每月还款 1268.22 元. (2)至 12 年末,汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款
4 3 2 X ? A(1 ? r)1 4 ? a(1 ? r)1 4 ? a(1 ? r)1 4 ? ? ? a(1 ? r) ? a 其中 A=150000,a=1268.22,r=5.025? ∴X=41669.53 再加上当月的计划还款数 2210.59 元,当月共还款 43880.12 元. 说明:本题的计算如果不许用计算器,就要用到二项展开式进行估算,这在 2002 年全 国高考第(12)题中得到考查.

24.分析:设∠ADC=α 后,将 AD、BC 用α 表示,进而将运费表示成α 的函数是,再求运 费最小值等. 解:设∠ADC=α ,则 AD=

10 ,BD=30-10cotα , sin ? 10 sin ?

设水路每 km 的运费为 1,则运费 y=(30-10cotα )+2× =10(3-

cos ? 2 2 ? cos ? + )=10(3+ ) sin ? sin ? sin ? 2 ? cos ? 设 t= ,即 t×sinα +cosα =2,有 t 2 ? 1 sin(α +θ )=2, sin ?
∴ t 2 ? 1 ≥2 即 t≥ 3 . 当 t= 3 时,2-cosα = 3 sinα 即 ∴ sin(α +30°)=1,即α =60°. ∴ CD=10cotα =

1 3 sinα + cosα =1, 2 2

10 3 km 3
25

综上所述,D 点应选在距 C 点

10 3 km 时运费最少. 3

说明:作为工具学科的三角,跨学科的应用是它的特点,不少物理学、工程测量、航海航 空等应用题都可以转化为三角函数来解决,或者运用解三角形中的基本知识和手段进行解 答,此种题型属于应用问题中的三角模型. 25.解: (1)由题意病毒细胞关于时间 n 的函数为 y ? 2 n?1 , 则由 2 n?1 ? 108 , 两边取对数得

(n ? 1) lg 2 ? 8,

n ? 27.5,

即第一次最迟应在第 27 天注射该种药物. (2)由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为 2 26 ? 2% , 再经过 x 天后小白鼠体内病毒细胞为 2 26 ? 2% ? 2 x , 由题意 2 26 ? 2% ? 2 x ≤108,两边取对数得 26lg 2 ? lg 2 ? 2 ? x lg 2 ? 8, 得x ? 6.2 , 故再经过 6 天必须注射药物,即第二次应在第 33 天注射药物. 说明:本题反映的解题技巧是“两边取对数” ,这对实施指数运算是很有效的. 26.解:(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列 { a n } ,其中 a1 ? 128, q ? 1.5,
6 6 则在 2010 年应该投入的电力型公交车为 a7 ? a1 ? q ? 128 ? 1.5 ? 1458 (辆).
n (2)记 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,依据题意,得 10000 ? Sn ? 1 . 3

S

于是 Sn ?

128(1?1.5n ) 1?1.5

,即 ? 5000 (辆) 1.5n ? 657 , 32

则有 n ? 7.5, 因此 n ? 8 .所以, 2011 年底, 到 电力型公交车的数量开始超过该市公交车总 量的

1 . 3

27.解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解. 50 由于 y ? 及4 ? V ? 100 ,? 2.5 ? y ? 12.5,同理 3 ? x ? 10 又 9 ? x ? y ? 14 V

P ? 100? 3(5 ? x) ? 2(8 ? y) ? 131? (3x ? 2 y),令z ? 3x ? 2 y. 则 z 最大时 P 最小.
作出可行域,可知过点(10,4)时, z 有最大值 38, ∴P 有最小值 93,这时 V=12.5,W=30. 说明: z ? 3x ? 2 y 这是整体思维的具体体现, 其中的换元法是数学解题的常用方法. 视 28. 分析与解: 因为选择从 A 或 B 进货的标准应该是包括运费在内的总费用比较便宜,
26

因此在 A、B 两个批发市场的售货区域分界线上,到两地进货的费用应该相等,由于商品价 格一致,于是只要运费相等就使附近居民获利。设 M 为分界线上任意一点,从 B 市场运往 M 的单位运费未能 a,则有 2a MA ? a MB 于是 MA / MB ? 1/ 2 ,从而知点 M 具有特

殊性质,即 M 到两定点 A、B 的距离之比为定值 1/2,这样问题就转化为“求到两定点 A、 B 距离之比为定值 1/2 的点 M 的轨迹方程” 。 以 A、B 两地距离的中点为原点,AB 所在直线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系, 则 A、B 的坐标分别(-50,0)(50,0) 、 ,设 M(x,y) ,由距离公式: 化简整理得: ( x ? 250/ 3) 2 ? y 2 ? (200/ 3) 2 , 为圆心 200/3 为半径的圆。由于 MA ?

( x ? 50) 2 ? y 2 ( x ? 50) 2 ? y 2

?

1 2

所以售货区域分界线应是以(-250/3,0)

100 200 400 200 ? , MB ? ? ,所以在该圆上的居 3 3 3 3

民从 A 或 B 市场进货均可以, 因为进货总费用一样, 而圆内的居民则从 A 市场进货较便宜, 圆外的居民从 B 市场进货较合算。

27


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