高中集合知识点及习题

集合复习
一 、集合的含义与表示 1. 集合与元素的概念 集合:指定的某些对象的全体,常用大写字母 A、B、C、D……表示。 元素:集合中的每个对象,常用小写字母 a、b、c、d……表示。 2. 元素与集合的关系 若元素 a 在集合 A 中,就说元素 a 属于集合 A,记作 a ? A ; 若元素 a 不在集合 A 中,就说元素 a 不属于集合 A,记作 a ? A 。 3. 常用数集及其记法 自然数集(非负整数集) :N 整数集:Z 4. 集合中元素的特征 确定性:集合中的元素是否属于这个集合是确定的; 互异性:集合中的元素是互不相同的; 无序性:集合中的元素没有先后顺序。 5. 集合的表示方法 列举法:把集合的元素一一例举出来,写在大括号内; 描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合。 6. 集合的分类(所含元素的多少) 有限集:含有有限个元素的集合; 无限集:含有无限个元素的集合; 空集:不含任何元素的集合,常用 ? 表示。 有理数集:Q 正整数集: N? 或 N ? 实数集:R

二、集合间的基本关系 1. 包含(子集) (1)定义:一般地,对于两个集合 A 与 B,若集合 A 中的任何元素 都是集合 B 中的元素,即若 a ? A ,则 a ? B ,就说集合 A 包含于集合 B(记作 A ? B ) ,或集合 B 包含集合 A(记 作B ? A) ,这时就说集合 A 是集合 B 的子集。 注意:①任何集合都是它本身的子集,即 A ? A ; ②集合的包含关系具有传递性,即若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ; ③空集是任何集合的子集,即 ? ? A ; ④若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 有 2n 个子集; 非空子集有 2n -1;真子集有 2n -1;非空真子集有 2n -2 2. 相等 (1)定义:一般地,对于两个集合 A 与 B,若集合 A 中的任何一个 元素都是集合 B 中的元素,同时集合 B 中的任何一个元 素都是集合 A 中的元素, 这时就说集合 A 与集合 B 相等, 记作 A=B。 注意:① A ? B且B ? A
?
A=B ;

②若 A=B,则集合 A、B 中元素个数必相等。 3. 真包含(真子集)

(1)定义:一般地,对于集合 A 与 B,若 A ? B ,且 A ? B ,就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A ? B 或 B ? A 。 注意:集合的真包含关系具有传递性,即若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ;

三、集合的基本运算 1. 交集 (1)定义:一般地,由既属于集合 A 又属于集合 B 的所有元素组成 的集合叫做 A 与 B 的交集, 记作 A B , A B={x|x ? A且x ? B} 。 (2)性质:① A A=A ;② A ?=? ;③ A B=B A ;
(A B) ?A, (A B) ? B ;⑤ (A B) =A ? A ? B 。 ④

2. 并集 (1)定义:一般地,由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的 集合叫做 A 与 B 的并集,记作 A B ,即 A B={x|x ? A或x ? B} 。 (2)性质:① A A=A ;② A ?=A ;③ A B=B A ;
(A B) (A B) (A B) =A ? B ? A ; ④A ? ,B? ;⑤

(A B)( ? A B) ⑥ 。

3. 全集 在研究某些集合时,这些集合往往是某个给定集合的子集,这定集 合叫作全集,常用 U 表示。 4. 补集 (1)定义:设 U 是全集,A 是 U 的一个子集,则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合叫作 U 中子集 A 的补集(余集) , 记作 CU A ,即 CUA={x|x ? U且x ? A} 。 (2) 性质: ① A (CU A) ? U , ② CA A ? ? , A (CU A) ? ? ;
CA? ? A 。

练习: (集合与元素) 1 、下列表示① ( A、1 ) B、2 C、3 D、4 ② ③ ④ 中 , 正确的个数为

2、 在以下五个写法中: ① {0}?{0,1,2}; ②φ ?{0}; ③{0,1,2}?{1,2,0} ④0?φ ;⑤0∩φ =φ ,写法正确的个数有( A、1 B、 2 C、3 ) D、 4

3、集合{a,b,c }的真子集共有( A、7 B、 8 C、9

)个 D、10

4、满足 A、6 B、 7

的集合 C、8

的个数为(

) D、9

5、已知集合 A 中有 10 个元素,集合 B 中有 8 个元素,集合 A∩B 中共有 4 个元素,则集合 A∪B 中共有( A、14 B、16 C、18 )个元素 D、不确定

6、集合 A、 B、

, C、 D、

,则(



(集合间的运算) 1、 设集合 M={x︱ 的关系是( A、M=N ) B、M∈N C、M ? N D、M ? N
x?3 ? 0 }, 集合 N={x︱(x-4)(x-1)≤0},则 M 与 N x?2

2、已知集合 M={(x,y) | x + y = 2} ,N={(x,y) | x – y = 4} ,那 么集合 M∩N 为( A、x = 3,y = – 1 C、 {3,– 1} ) B、(3,– 1) D、 { (3,– 1) }

3、设集合 A={x︱ ? <x<2},B={x︱ x 2 ? 1 },则 A∪B=( A、{x︱-1 ? x<2} C {x︱x<2} B {x︱ ? <x ? 1} D {x︱1 ? x<2}
1 2

1 2

)

? ? ?x-2 4、 若集合 A={x|-1≤2x+1≤3},B=?x? ≤0 ? ? x ? ( )

? ? ?,则 A∩B= ? ?

A、{x|-1≤x<0} C、{x|0≤x≤2}

B、{x|0<x≤1} D、{x|0≤x≤1}

5、已知集合



,则集合

y ?3 6、 若 U={(x,y)∣x,y∈R}, M={(x,y)∣ x }, N={(x,y)/y-3=x-2 }, ?2 ? 1

则 CUM?N 是 ( A、 ? ; C、{(2,3)};

) B、{2,3}; D、{(x,y)∣y-3≠x-2 }。

7、已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={1,3,6},那么集 合{2,7,8}是( A、A∪B ) B、A∩B C、 cu A∩ cu B D、 cu A∪ cu B

8、设集合 A={x︱x>-1},B={x︱-2<x<2},则 cu A ? cu B =_

(求参数范围) 1、设 ( A、 ) B、 C、 D、 , ,若 ,则实数 的取值范围是

集合 M ? {x x 2 ? 2x ? a ? 0, x ? R}, 且? 2、 A、 a ? ?1 B、 a ? 1

则实数 a 的范围是 ( ) M , C、 a ? ?1 D、 a ? 1

3、设全集 为





,则 的值

4、 已知集合 A={x︱ ? 2 ? x ? 5 },B={x︱ m ? 1 ? x ? 2m ? 1 },若 B ? A ,求实 数 m 的取值范围。

5、已知集合 求实数 的取值范围。



,且

,

6、已知集合 A ? {x | a ?1 ? x ? 2a ? 1} ,B ? {x | 0 ? x ? 1} ,若 A B ? ? ,求实 数 a 的取值范围。


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