云南省2012年第一次省统测数学(理科)

1

2012 年云南省第一次高中毕业生复习统一检测

理科数学
一、选择题 1.函数 f ? x ? ? 4 tan ? 2 x ? 3? ? 的最小正周期等于 A.

? 4
2

B.

? 3

C.

? 2

D. ?

2.抛物线 2 x ? y ? 0 的准线方程是 A. x ?

1 8

B. y ?

1 8

C. x ? ?

1 8

D. y ? ?

1 8
z12 在复平面内对应的 z2

3.已知 i 是虚数单位, z1 ? 2012 ? 2012i, z2 ? 1 ? 3i ,那么复数 z ? 点位于 A.第一象限
5 6

B.第二象限
7

C.第三象限

D.第四象限

4 4.在 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? 的展开式中, x 的系数等于

A.22

B.25

C.52

D.55

5.下图是一个几何体的三视图,其中正视图是边长为 2 的等边三角形,侧视图是直角边长 分别为 1 与 3 的直角三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积等于

A.

3 ? 6 4 3 ? 3

B.

3 ? 3

C.

D. ?

1 2

?2 x ? 1 6.函数 y ? 的极大值等于 2 x2 ? 2 x ? 3 1 A. B. ?1 C. 1 D. ?2 5
7.在等比数列 ? an ? 中, a6 与 a7 的等差中项等于 48,

正视图

侧视图

俯视图

a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 ? 1286 .如果设 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,那么 S n ?
A. 5 ? 4
n

B. 4 ? 3
n

C. 3 ? 2
n

D. 2 ? 1
n

2

8.某校对高三年级学生进行体检,并将高三男生的体重 ( kg ) 数据进行整理后分成五组,绘 制成下图所示的频率分布直方图.如果规定,高三男生的体重结果只分偏胖、偏瘦和正常三 个类型,超过 65kg 属于偏胖,低于 55kg 属于偏瘦.已知图中从左到右第一、第三、第四、 第五小组的频率分别为 0.25,0.2,0.1,0.05 , 第二小组的频数为 400. 若该校高三男生的体重 没有 55kg 和 65kg ,则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为 A.1000,0.5 B.800,0.5 C.800,0.6 频率 组距 D.1000,0.6

50

55

60 65

70 75

体重(kg)

9.已知 a ? ?1, ?2 ? , b ? ? 3,5 ? ,则向量 a 在向量 b 方向上的投影等于 A. ?

7 5 5

B. ?

7 34 34

C.

7 5 5

D.

7 34 34

10.已知 ? , ? 是两个互相垂直的平面, m, n 是一对异面直线,下列四个结论: ① m / /? , n ? ? ;② m ? ? , n / / ? ;③ m ? ? , n ? ? ; ④ m / /? , n / / ? ,且 m 与 ? 的距离等于 n 与 ? 的距离.其中是 m ? n 的充分条件的为 A.① B.② C.③ D.④

11.已知椭圆 E 的长轴的两个端点分别为 A1 ? ?5, 0 ? 、 A2 ? 5, 0 ? ,点 P 在椭圆 E 上,如果

???? ???? ? 144 , ?A1 PA2 的面积等于 9,那么椭圆 E 的方程是 PA1 ? PA2 ? ? 25
A.

x2 y 2 ? ?1 25 9

B.

x2 y 2 ? ?1 25 16

C.

y 2 x2 ? ?1 25 9

D.

y2 ? 16 ? 1 25

3

12.运行下图所示的程序,如果输出结果为 sum ? 1320 ,那么判断框中应填 A. i ? 9 B. i ? 10 C. i ? 9 D. i ? 10 开始

i=12,sum=1





输出 sum

sum=sum·i
结束

i=i-1

二、填空题 13. 在一个水平放置的底面半径等于 6 的圆柱形量杯中装有适量的水, 现放入一个半径等于

r 的实心球,如果球完全浸没于水中且无水溢出,水面高度恰好上升 r ,那么

r ? ____ 3 3 ___.
4 ? ex , x ? 0 f ? x? ? ? 14 . 已 知 e 是 自 然 对 数 的 底 数 , , 计 算 定 积 分 ? f ? x? dx, 得 ?2 ?3 x ? 1, x ? 0

? f ? x? dx? _____________.
4 ?2

3Sn 6 ,那么 a45 ? __________. , an ? 7 n?3 3 5 2 2 16.如果直线 ax ? by ? 1 ? 0 被圆 x ? y ? 25 截得的弦长等于 8,那么 2 ? 2 的最小值 a b
15.设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,如果 a1 ? 等于______ 72 ? 18 5 ________. 17 . 在 ?ABC 中 , 三 个 角 A 、 B 、 C 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 设 平 面 向 量

m ? ? cos C ? sin B, ? sin B ? , n ? ? cos C ? sin B,sin C ? , m ? n ? cos 2 A .
(Ⅰ)求 A 的值; (Ⅱ)设 a ? 4, b ? c ? 5 ,求 ?ABC 的边 BC 上的高 h .

4

18. 盒子内装有 5 张卡片, 上面分别写着数字 1, 2, 2, 1, 2, 每张卡片被取到的概率相等. 先 从盒子中随机任取 1 张卡片,记下在上面的数字 x,然后放回盒子内搅匀,再从盒子中随机 任取 1 张卡片,记下它上面的数字 y.设 M ? x ? y, f ? t ? ? (Ⅰ)求随机变量 M 的分布列和数学期望; (Ⅱ)设“函数 f ? t ? ? 的概率 P ? A ? . 19 . 如 图 , 在 空 间 几 何 体 SABCD 中 , 四 边 形 ABCD 为 矩 形 , SD ? AD, SD ? AB,

3 2 18 t ? Mt ? . 5 5

3 2 18 t ? Mt ? 在区间 ? 2, 4 ? 内有且只有一个零点”为事件 A ,求 A 5 5

AB ? 2 AD, SD ? 3 AD .
(Ⅰ)证明:平面 SDB ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 A ? SB ? D 的余弦值. 解析:几何法 (Ⅱ)取 SB 的中点 E ,连 AE 设 AD ? x ,则 AS ? AB ? 2 x, SD ? 3x, 所以 AE ? SB ,记二面角 A ? SB ? D 的大小为 ? 只需得到 AE 及 A 到平面 SBD 的距离 h 即可得到 sin ? 容易得到 AE ?

2x
2 5 x 5

利用等体积法( VB ? SAD ? VA? SBD )易得 h ?

所以 sin ? ?

h 10 ? AE 5

所以 cos ? ?

15 5

5

20.双曲线 S 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ?

6 5? ,倾斜角等于 的直线 l 经 2 6

过点 P ? 0,1? ,直线 l 上的点与双曲线 S 的左焦点的距离的最小值等于 3 . (Ⅰ)求点 P 与双曲线 S 上的点的距离的最小值; (Ⅱ)设直线 y ? k ? x ? 2 ? 与双曲线 S 交与 A、B 两点,且 ?ABP 是以 AB 为底的等腰三角 形,求常数 k 的值. 解析: (Ⅰ)由题意可得直线 l 的方程为 l : y ? 1 ? ?

3 x 即 x ? 3y ? 3 ? 0 3

又双曲线的左焦点到直线 l 的距离等于 3

所以

?c ? 3 2

? 3 ,得 c ? 3

又e ?

6 2 2 ,所以 a ? 2 , b ? c ? a ? 1 2

所以双曲线的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

在双曲线上任取一点 M ? x, y ? , 则 MP ?

x ? ? y ? 1? ? 2 ? 2 y ? ? y ? 1?
2 2 2

2

1? 8 ? ? 3y ? 2 y ? 3 ? 3? y ? ? ? 3? 3 ?
2

2

所以 MPmin ? 3 ? y ? ? ?

? ?

1? 3?

2

8 3

?
y? 1 3

2 6 3

(Ⅱ)联立 y ? k ? x ? 2 ? 与

x2 ? y 2 ? 1 ,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 2



x2 2 ? k 2 ? x ? 2 ? ? 1 ,整理得 2
2 2

?1 ? 2k ? x

? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0

所以 x1 ? x2 ?

8k 2 4k , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 4k ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

6

所以 AB 中点为 Q ?

? 4k 2 2k ? , 2 2 ? ? 1 ? 2k 1 ? 2k ?

由题意得 PQ ? AB

2k ?1 2 所以 1 ? 2k 2 ? k ? ?1 4k 1 ? 2k 2
整理得 2k ? 6k ? 1 ? 0
2

得k ?

?6 ? 36 ? 8 ?3 ? 11 ? 4 2

当 k ? 0 时显然是满足题意的 所以 k ?

?3 ? 11 或k ?0 2

21.已知实数 a 是常数, f ? x ? ? ? x ? a ? ? 3ln ? x ? 1? ? 5 ,当 x ? 0 时, f ? x ? 是增函数.
2

(Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)设数列 ?

1? ? 1 ? ? 的前 n 项和为 S n ,比较 ln ? n ? 1? 与 S n 的大小. 2 n? ? 3n

解析: (Ⅰ) f ? ? x ? ? 2 ? x ? a ? ?

3 3 ? 2x ? ? 2a x ?1 x ?1

显然 f ? ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上为增函数 所以,在 ? 0, ?? ? 上 f ? ? x ? ? f ? ? 0 ? ? 2a ? 3 又当 x ? 0 时, f ? x ? 是增函数 所以 2a ? 3 ? 0 ,得 a ?

3 2

(Ⅱ) (本题解题思路见文科 21 题)

3? 3 ? 令 a ? ,则 f ? x ? ? ? x ? ? ? 3ln ? x ? 1? ? 5 2? 2 ?
所以当 x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0 ?

2

7

即? x ?

? ?

3? ?3? ? ? 3ln ? x ? 1? ? 5 ? ? ? ? 5 2? ?2?

2

2

整理得 令x?

x2 ? x ? ln ? x ? 1? 3

1 ?0 n

所以

1 1 n ?1 ?1 ? ? ? ln ? ? 1? ? ln 2 3n n n ?n ?

所以 S n ?

? ln
k ?1

n

k ?1 ? ln ? n ? 1? k

22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是○ O 的内接四边形,BD 不经过点 O,AC 平分∠BAD,经过 · 点 C 的直线分别交 AB、AD 的延长线于 E、F,且 CD ? AB ? DF .证明:
2

(Ⅰ)△ABC∽△CDF; (Ⅱ)EF 是○ O 的切线. ·

23.选修 4-4:坐标系与参数方程

A 在平面直角坐标系 xOy 中, ?1, 0 ? , B ? 2, 0 ? 是两个定点, 曲线 C 的参数方程为 ?
(t 为参数) .

? x ? t2 ? y ? 2t

8

(Ⅰ)讲曲线 C 的参数方程化为普通方程;

,0 (Ⅱ)以 A ?1 ? 为极点, AB 为长度单位,射线 AB 为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极
坐标方程 (Ⅰ) y ? 4 x
2

??? ?

(Ⅱ) ? ? ? cos ? ? 2

24.选修 4-5:不等式选讲 已知实数 a、b、c、d 满足 a ? b ? c ? d ? 3, a ? 2b ? 3c ? 6d ? 5 .
2 2 2 2

证明: (Ⅰ) ? b ? c ? d ? ? 2b ? 3c ? 6d ;
2 2 2 2

(Ⅱ) a ?

3 1 ? . 2 2

解析: (Ⅰ)令 2b ? x, 3c ? y, 6d ? z 即b ?

x y z ,代入要证明的不等式得 ,c ? ,d ? 2 3 6
y z ? ? x 2 2 2 ? ? ? ? ?x ?y ?z 3 6? ? 2
2



由柯西不等式可得

y z ? 1 1? ? x 2 2 2 ?1 2 2 2 ? ? ? ? ? ? x ? y ? z ?? 2 ? 3 ? 6 ? ? x ? y ? z 2 3 6? ? ? ?
所以原式得证 (Ⅱ)将(Ⅰ)中的不等式两边都用 a 表示,就可以解出 a 的取值范围,就是(Ⅱ)的解, 得证

2


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